垂直的性质定理
直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
D、a 或a //
应用举例
例1：在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上
一点，N是A1C上的一点，MN 平面A1DC
求证：MN // AD1
分证析明：：要证A1 AMDND//1是AD正1 , 方 只需形证明
ADA1D1 平面A1AD1DC.只需证 明CADD1垂直平于面平A1面ADA1DD1C内 的两AD条1 相C交D直线即可。
简记： 线面垂直
线线平行
作用：证明空间直线的平行。
课堂练习（一）：
判断下列命题是否正确： (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行。（ ）
(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行。（ ）
(3)平行于同一个平面的两条直线互相平行。（ ）
课堂练习（二）：
（D ）
A、a //
B、a
已则C知a、与直a线的a位,b置和关平系面是，且a b,b ,
线线垂直判定 定定 义理线面垂直性性 质质 判定定理 定理线线平行．
新知探究二：平面与平面垂直的性质
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，
平面AC 平面D1C
平面AC 平面D1C DC D1
C1
D1D 平面D1C
A1
B1
D1D CD D1D 平面AC
D A
C B
平面与平面垂直的性质定理
直则于平A面BE，是须二证面 明直角
E
线 相 件垂 交 已- C直 直 有D于 线 一平 ， 条面而，的内题故平两中可面条条过角
D
B
A
该直AB线作B辅E助线.
C
AB CD
CD , BE , BE CD B
AB
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
面面垂直的性质定理
1、平面与平面垂直旳定义
两个平面相交，假如它们所成旳二面角是 直二面角，就说这两个平面相互垂直。
2、平面与平面垂直旳鉴定定理
一种平面过另一种平面旳垂
线，则这两该个命平面题垂正直确。吗？
符号表达：
b
平面与平面垂直旳性质定理
两Ⅰ.观个察平试面验垂 直 , 则一种平 面观内察垂两垂直直于平交面线中旳,一直线
已知：α⊥β，α∩β=AB， P∈ α， PC ⊥ β.求证：PC α。
α P
B β
DC
A 过P做PD⊥AB，垂足为D。 ∵PD⊥AB，∴PD⊥面β。 ∵ 过一点只能做一条直线与平面垂直。 ∴ P C 与PD必重叠，即PC在面α内。
例1如：图 : 已知平面α，β， ⊥β,直线a满足
a⊥β，a ，判断直线a与平面 旳位 置关系。
2、证明线面垂直旳两种措施： 线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
3、线线、线面、面面之间旳关系旳转化是处 理空间图形问题旳主要思想措施。
当堂达标
1、如图, α ⊥ β , α ∩ β = l ， A B α ， AB⊥l， BC β，DE β，BC⊥DE. 求证：AC⊥DE.
A
B
D
C
E
(1) 平面α内旳任意一条直线必垂直于平面β（
）×
(2) 垂直于交线l 旳直线必垂直于平面β （
）×
(3)过平面α 内任意一点作交线旳垂线，则此
√ 垂线必垂直于平面β （
）
思索
平面⊥平面β ，点P在平面α内，过 点P作平面β 旳垂线PC，直线PC与平面α 具有什么位置关系？
α P
B β
C
A
猜测：直线PC在平面α内
与种另平一面内种旳平直面线垂与直另.
平面与平面垂直的性质定理
D
E
A
β
C
B
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直．
符号表示:
CD AB
AB
C
AB CD
AB CD B
A BD
证明： , CD，AB , AB CD,
垂足为B，那么AB ⊥β
证明:在平面 内 作BE⊥CD,
垂足为B.
则∠ABE就是二面角 CD
的平面角.
∵ , ∴AB⊥BE.
又由题意知AB⊥CD,
α
且BE CD=B
∴AB⊥ .
Eβ D
B
A
C
思考1 设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P作平
面 的垂线a，直线a与平面 具有什么位置关系?
直线a在平面内
α aP
β
α a
P
β
思考5 已知平面 ， AB，直线a∥， a AB，试判断直线a与的位置关系. 垂直
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手 ☆ 已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内 ☆ 解题过程中应注意充分领悟、应用
线线垂直 面面垂直
线面垂直 线面垂直
面面垂直 线线垂直
垂直、平行关系小结
所成的角。
E
D
M A
C B
如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直， AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点.
(1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE⊥平面BEC.
【证明】(1)取DE中点N，连接MN，AN.
面面垂直的判定定理
面面垂直的判定定理
判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
推论：1、如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。
2、如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）面面垂直性质定理
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点，向另一平面作这条垂线必在第一个平面内。
3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直。
2面面垂直定理证明
证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β
∵a⊂α，P∈a
∴P∈α
即α和β有公共点P，因此α与β相交。
设α∩β=b，∵P是α和β的公共点
∴P∈b
过P在β内作c⊥b
∵b⊂β，a⊥β
∴a⊥b，垂足为P
又c⊥b，垂足为P
∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角
∵c⊂β
∴a⊥c，即∠aPc=90°
根据面面垂直的定义，α⊥β。
面面垂直的性质定理
⊄α 判断直线a与 ，判断直线 与平面
分析: 交线的直线b。 分析:在 α 内作垂直于 α与β交线的直线 。 α ∵ α ⊥β
b
a
∴b ⊥β(平面与平面垂直的性质定理) ( ∵ α ⊥β ∴a//b(直线与平面垂直的性质定理) ( 又∵a ⊄ α ∴a// α (直线与平面平行的判定定理) 即直线a与平面 α 平行。 即直线 与平面 平行。
该命题正确吗？ 该命题正确吗？
β
α
b
b ⊥ β ⇒α ⊥ β b ⊂α
平面与平面垂直的性质定理
Ⅰ. 观察实验 两个平面垂直, 两个平面垂直,则一个平 观察两垂直平面中,一 面内垂直于交线的直线 个平面内的直线与另 与另一个平面垂直. 与另一个平面垂直.
一个平面的有哪些位 符号表示： 符号表示： 置关系?
性质定理 判定定理
线面垂直
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面 、平面与平面垂直的性质定理： 垂直， 垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直。 一个平面垂直。 2、证明线面垂直的两种方法： 、证明线面垂直的两种方法： 线线垂直→线面垂直 面面垂直→线面垂直 线面垂直； 线线垂直 线面垂直；面面垂直 线面垂直 3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解 、线线、线面、 决空间图形问题的重要思想方法。 决空间图形问题的重要思想方法。
1、如图,α⊥β,α∩β=l，AB ⊂ ， 如图, α 如图 AB⊥l， BC ⊂ ，DE β，BC⊥DE. β ⊂ 求证： 求证：AC⊥DE. α A
B D C E
当堂达标
l
β
β
例2：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同 如图，AB是 的直径， 的任意一点，平面PAC⊥平面ABC PAC⊥平面ABC， 于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC， (1)判断BC与平面PAC的位置关系 并证明。 判断BC与平面PAC的位置关系， (1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系 判断平面PBC与平面PAC的位置关系。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
面面垂直的判定和性质定理
面面垂直的判定和性质定理面面垂直是几何学中一个重要的概念，它在几何证明和解题中扮演着重要的角色。
本文将介绍面面垂直的判定和性质定理，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、面面垂直的判定面面垂直的判定有以下几种常见的方法：1. 垂直平分线判定法如果两个平面的垂直平分线相交于一点，那么这两个平面就是垂直的。
垂直平分线是指一个平面同时平分另外两个平面，并且相交于同一个点。
2. 垂直相交线判定法如果两个平面有一条相交线同时垂直于这两个平面，那么这两个平面就是垂直的。
垂直交线是指一个平面与另外两个平面相交，且与这两个平面的交线的方向垂直。
3. 法线向量判定法如果两个平面的法线向量互相垂直，那么这两个平面就是垂直的。
法线向量是指一个向量垂直于平面，其方向由平面的法线确定。
二、面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理可以用于解决几何题目，以下是几个常见的定理：1. 两个垂直平面的截线是垂直的如果两个平面垂直，那么它们的任意一个截线与另一个截线的垂直切线是垂直的。
2. 两个垂直平面的夹角是锐角或钝角两个平面垂直的夹角是锐角或钝角，而不可能是直角或平角。
3. 直线与垂直平面的夹角等于直线与平面上法线的夹角如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面上法线的夹角是相等的。
4. 直线与垂直平面的交点到平面的距离是最短的如果一条直线与一个平面垂直，那么直线上的任意一点到平面的距离都是最短的。
总结：面面垂直的判定包括垂直平分线判定法、垂直相交线判定法和法线向量判定法。
面面垂直的性质定理包括两个垂直平面的截线是垂直的、两个垂直平面的夹角是锐角或钝角、直线与垂直平面的夹角等于直线与平面上法线的夹角以及直线与垂直平面的交点到平面的距离是最短的。
这些定理在几何证明和解题中有着广泛的应用，对于深入理解和应用面面垂直概念非常有帮助。
结论：通过面面垂直的判定和性质定理，我们能够准确判断两个平面是否垂直，并且了解到垂直平面的一些重要性质。
两个平面垂直的性质定理
∩
A
∵AB⊥β,CD
β∴AB⊥CD
C
∩
D
B E
在平面β内过点B作直线BE⊥CD
∩
∴ ∠ABE是二面角α—CD — β的平面角∵ AB⊥β BE β∴AB⊥BE 即∠ABE=90。 ∴二面角α—CD — β是直二面角∴α⊥β
所以 AC⊥，AC⊥BD．
又 BD⊥AB ， 所以 BD⊥，BD⊥BC． 在 Rt△BAC 中，BC ＝5 ；
A
所以 △BAC 和△CBD 都是直角三角形．
在 Rt△CBD 中，CD ＝13 ．
课 1.空间四面体ABCD中，若AB=BC， 堂 AD=CD，E为AC的中点，则有（ ） 练 (A) 平面ABD ⊥面BCD 习
☆ 解题过程中应注意充分领悟、应用
感谢你的聆听！ 感谢你的真诚 祝福你们！
1、课本第135页
A组 第3,题,
盛年不再来，
一日难再晨， 及时当勉励，
岁月不待人
从一条直线出发的两个半 1、二面角的平面角 平面所组成的图形叫做二 必须满足三个条件 面角。这条直线叫做二面 1、根据定义作出来——定义法 2、二面角的平面角 角的棱。这两个半平面叫 2、利用直线和平面垂直作出来 的大小与 做二面角的面。其顶点 ——垂面法 3、借助三垂线定理或其逆定理作出来 二、二面角的表示方法： 在棱上的位置无关 3、二面角的大小用 ——三垂线法 它的平面角的大 三、二面角的平面角： 小来度量 二 面 角 －AB－ 二 四、二面角的平面角的作法： 面 角 C－AB－ D 二 面 角 － l－
复习回顾：
一、二面角的定义：
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1. 直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任何 一条直线都垂直,则称这条直线和这个平 面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫 做直线的垂面.交点叫做垂足.
l
α A
2.直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 一相交两垂直
b a b A l la l b
a b
α
总结提练
直线和平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行。
a a / /b b
α
作用：证两条直线平行
a
b
性质定理的应用
判断下列命题的正误。 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行（
√
）
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（×） （3）平行于同一平面的两条直线互相平行（×） （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行（
已知:平面α⊥平面β,α∩β＝l,则
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β （ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此 垂线必垂直于平面β（ ）
√
例1.如图，长方体ABCD A ' B ' C ' D '中，MN 在平面BCC ' B '内， MN BC于点M .判断MN 与AB的位置关系，并说明理由。
面面关系 面面平行 线面关系 线面平行 线线关系 线线平行
注意辅助线的作用
空间问题平面化
面面垂直
线面垂直 线线垂直
a
l
a
A
b
线线垂直
线面垂直
提出问题
问题 1. 在同一平面内，垂直于同一条
直线的两条直线互相平行。在空间中上述 结论还成立吗？
即：在空间中，垂直于同一条直线的两条
直线互相平行吗？
问题 2. 在空间中，垂直于同一平面的 两条直线平行吗？
D1 A1
C1 B1
a
D A
b
B
c
C
归纳猜想
如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行。
AA'⊥平面ABCD,所以AA'⊥BD
又四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD
又AA'∩AC=A,所以BD⊥平面A'AC,从而A'C⊥BD
(2)同理可证A'C ⊥DC',而BD∩DC'=D,
所以A'C⊥平面BDC'.
课堂小结
从已知想性质，从求证想判定 1、证题原则： 2、会利用“转化思想”解决垂直问题
一个平面的有哪些位 符号表示： 置关 Nhomakorabea?
b
l
Ⅱ.概括结论
l bl
该命题正确吗？ b b b 简述为： b
面面垂直 线面垂直
垂直体系
线线垂直
判定 定义
线面垂直
判定
面面垂直
性质
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
√）
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直。
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直。
符号表示： 该命题正确吗？
b
b b
平面与平面垂直的性质定理
Ⅰ. 观察实验 ,则一个平 两个平面垂直 观察两垂直平面中,一 面内垂直于交线的直线 个平面内的直线与另 与另一个平面垂直 .
理论迁移
练习:如图，已知 l , CA , 于点A，CB 于点B， a , a AB, 求证：a // l .
β B α l A a
C
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法 2、本题充分地体现了面面垂直与线面 垂直之间的相互转化关系。
P
A
C
B
练习：如图，已知SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC， 求证：AB⊥BC 证明：过点A作AD⊥SB于D， S ∵平面SAB⊥平面SBC， 平面SAB∩平面SBC=SB， ∴AD⊥平面SBC C A ∵BC 平面SBC
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC B ∴SA⊥BC “从已知想性质，从求证 ∵SA∩AD=A， 想判定”这是证明几何问 ∴BC⊥平面SAB 题的基本思维方法． ∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
例题讲解
例2 如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中， BD,BC′,DC′分别为三条面对角线，A′C为 一条体对角线。 求证：（1）A'C⊥BD;
A A'
D' B'
C'
D
B
C
(2)A'C⊥平面DBC′
证明： (1)连接AC,在正方体ABCD-A'B'C'D'中
解： 平面BCC ' B ' 平面ABCD 平面BCC ' B ' 平面ABCD=BC
MN 平面BCC ' B '
MN BC
MN 平面ABCD
AB 平面ABCD
MN AB.
例2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB