-关于面面垂直性质定理
面面垂直的判定和性质
1、半平面—— 平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。
l
α
.
1
二面角
2、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半
α
平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
记作：
3、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 的 棱 ， 并 与 两 半 平 面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B
性质定理
• 面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
• 平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平
面β的垂线，只需过这一点在平面 内作
交线的垂线。
Aα
α
A
D
β
B
D
β
B
C
C
问题 发现练猜习2想 证明 证明过.程 结论 注注
14
应用
例1、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面， A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B
C
例1题目 解答
.
15
例1已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面， A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。
P
证明： 正方形ABCD中 C，BDA
P B
A平 D平
面 面
AA BBPCCA DDB
D
A
D
A
C平
面
P
A
C， 平P面A
PA
C
B
O
C
A C P AA
B D平 面 P A C平 面 PA平C面 B D平 面 P B D
问题 发发现现 猜想 证明 证明 过. 程 结论 注
面面垂直的判定定理课件
Part
04
面面垂直的判定定理在几何中 的应用
应用场景一：多面体
在多面体中，如果一个平面与多面体的一个面相交，并且交线与多面体的一个顶 点垂直，则该平面与多面体的所有面都垂直。这个判定定理在证明多面体的性质 和解决相关问题时非常有用。
例如，利用面面垂直的判定定理可以证明正方体的六个面都是正方形，也可以证 明长方体的相对两面平行。
复杂几何问题的思考
问题1
在长方体中，如果一个顶点上的 三条棱分别与另一个顶点上的三 条棱垂直，那么这两个顶点是否
在同一平面上？
问题2
在四面体中，如果一个顶点上的三 条棱分别与另一个顶点上的三条棱 垂直，那么这两个顶点是否在同一 平面上？
问题3
在球体中，是否存在两个点，使得 从一个点出发的三条射线分别与从 另一个点出发的三条射线垂直？
符号表示
设平面α内有两条相交直线$a$和$b$， 平面β内有一直线$c$，若$a ⊥ c$，$b ⊥ c$，则平面α与平面β互相垂直，记 作α⊥β。
定理证明
• 证明过程：首先，由于直线$a$和$b$在平面α内相交，且都与直线$c$垂直，根据空间几何的性质，我们知道两条相 交的直线确定一个平面。因此，我们可以确定直线$a$和$b$确定的平面记作γ。接下来，由于直线$c$与平面γ内的 两条相交直线$a$和$b$都垂直，根据面面垂直的判定定理，我们可以得出结论：平面α与平面γ互相垂直。
相关定理与公式的关联性探讨
定理1
如果一个平面内的两条相交 直线分别与另一个平面垂直 ，那么这两个平面垂直。
定理2
如果一个平面内的任意一条 直线都与另一个平面垂直， 那么这两个平面垂直。
公式1
在直角三角形中，斜边的 平方等于两直角边的平方 和。
面面垂直的条件
面面垂直的条件
一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相
垂直。
定义：若两个平面的二面角为直二面角，则面面垂直
判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直
性质定理：
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点,向另一平面作这条垂线必在第一个
平面内
3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直
如何证明面面垂直
面与面的垂直，其实就是两个面法向量的的垂直关系。
即是读者要找到两个面的法向量，然后判别两个法向量的位置关系即可。
分别算出两个平面的法向量，n1,n2.找法向量一般根据平面的书写形似即可找到。
两个面的法向量之间的向量积结果是零的话，就说明两个平面是垂直的。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
面面垂直判定定理的证明
面面垂直判定定理的证明一、引言面面垂直判定定理是平面几何中的一个重要定理，它用于判断两个面是否垂直。
本文将对面面垂直判定定理进行证明，并详细探讨其原理和应用。
二、面面垂直判定定理的定义面面垂直判定定理是指：如果两个平面相交于一条直线，且这两个平面与另一平面的两个相交线都是垂直的，那么这两个平面是垂直的。
三、证明过程为了证明面面垂直判定定理，我们需要先证明两个命题：1. 命题一：两个平面与同一平面的两个相交线垂直假设两个平面P和Q相交于直线l，且P与平面R的两个相交线m和n都与l垂直。
首先，我们可以得出m和l在P平面上的一个交点A，以及n和l在Q平面上的一个交点B。
由于m都与P平面垂直，那么P平面上的任意一条直线都与m垂直。
同理，n与Q平面垂直，那么Q平面上的任意一条直线都与n垂直。
考虑平面R上的一条直线s，它与m交于点C，与n交于点D。
由于m与l垂直，所以线段AC与线段AD是两条垂直直线上的线段，即AC和AD垂直。
又因为n与l垂直，所以线段AD与线段BD也是两条垂直直线上的线段，即AD和BD垂直。
由于AC和AD垂直，且AD和BD垂直，根据垂直的传递性，可以得出AC和BD垂直。
综上所述，我们可以得到结论：平面P上的任意一条直线与平面Q上的任意一条直线都垂直。
即命题一得证。
2. 命题二：两个平面与同一平面的两个相交线垂直，那么这两个平面是垂直的假设两个平面P和Q相交于直线l，且P与平面R的两个相交线m和n都与l垂直。
为了证明P和Q是垂直的，我们假设有一条直线s在平面P上，且与平面Q相交于点E。
要证明P和Q是垂直的，我们需要证明s与l垂直。
通过平面P上s与l的交点F，我们可以找到平面R上与F相交的一条直线g。
由命题一可知，直线g与平面Q的两个相交线都是与l垂直的，即g与平面Q垂直。
考虑平面Q上的一条直线h，它与g交于点I。
由于g与平面Q垂直，所以平面R上与I相交的一条直线j也与g垂直。
假设j与平面Q相交于点K，我们可以发现线段FK和线段IK是相互垂直的。
面面垂直的判定定理公式
面面垂直的判定定理公式定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
几何描述：若a⊥β，a⊂α，则α⊥β证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β∵a⊂α，P∈a∴P∈α即α和β有公共点P，因此α与β相交。
设α∩β=b，∵P是α和β的公共点∴P∈b过P在β内作c⊥b∵b⊂β，a⊥β∴a⊥b，垂足为P又c⊥b，垂足为P∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵c⊂β∴a⊥c，即∠aPc=90°根据面面垂直的定义，α⊥β扩展资料：性质定理：定理1：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α求证：OP⊥β。
证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。
∵α⊥β∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ∵OP⊥l，l∩OQ=O，l⊂β，OQ⊂β∴OP⊥β定理2：如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。
求证：AB⊂α证明：假设AB不在α内，则AB与α只有一个交点A。
（因为不可能直线的一部分在平面内而另一部分在平面外，即直线的两点在面上则直线就在面上）当A在α和β的交线外时，则B是垂足∵AB⊥β于B∴B∈β设α∩β=MN，过B在β内作BC⊥MN，由定理1可知BC⊥α连接AC∵AC⊂α∴AC⊥BC但AB⊥β，BC⊂β∴AB⊥BC即在平面ABC上，过一点A有AB、AC同时垂直BC，与垂直定理矛盾。
当A在α和β的交线上时，A是垂足。
设α∩β=MN，在α内作AC⊥MN，由定理1可知AC⊥β但AB⊥β，即过A有两条直线AB、AC与β垂直，这和线面垂直的性质定理矛盾∴假设不成立，AB⊂α定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。
线面垂直 面面垂直的性质与判定定理
A
又⊥β，∩β=AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
符号语言：
ab
a ,b a//b
α
线面垂直关 系
线线平行关 系
平面与平面垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
a/ / ,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
α
Aa
β
a⊥β
B
例3 ,a ,a ,判 断 a 与 位 置 关 系
证明：设 I l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
I b b
l
l
b
α 发展条件
转化结论
CB
D β
E 证明：在平面β内过D作直线
A
DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
面面垂直的基本定义与性质
面面垂直的基本定义与性质在几何学中，面面垂直是指两个平面之间的相对关系。
当两个平面互相垂直时，它们的法线向量之间的夹角为90度。
本文将详细探讨面面垂直的基本定义和性质。
一、基本定义面面垂直的定义可以用如下方式描述：给定两个平面P和Q，如果P与Q的法线向量垂直，则称P与Q是面面垂直的。
二、性质1.垂直平面的法线向量根据定义，当两个平面互相垂直时，它们的法线向量也垂直。
设P 的法线向量为n1=(a1, b1, c1)，Q的法线向量为n2=(a2, b2, c2)，则有以下关系：a1*a2 + b1*b2 + c1*c2 = 02.平面的垂直性与法线向量对于给定的平面P，任意一条与P垂直的直线的方向向量都与P的法线向量平行。
也就是说，如果v=(x, y, z)是P的法线向量，那么对于任意一条在P上的点A，向量OA=(x1, y1, z1)也与v平行。
3.平面的垂直性与交线如果两个平面P和Q是面面垂直的，那么它们的交线与它们的法线向量垂直。
设P与Q的交线为L，则L与P的法线向量n1以及L与Q的法线向量n2都垂直。
4.垂直平面的距离对于两个垂直平面P和Q，它们之间的距离可以通过以下公式计算：d = |(D1-D2)·n1/|n1||其中D1和D2分别表示平面P和Q到原点的距离，n1是P的法线向量。
5.垂直平面的投影当两个平面相互垂直时，它们的投影也相互垂直。
设平面P的法线向量为n1，点A在平面Q上，设Q的法线向量为n2，则A在Q上的投影点B与P的法线向量垂直。
6.垂直平面的内角两个垂直平面的夹角为90度。
由于两个平面的法线向量垂直，它们之间的夹角是90度。
总结：面面垂直是几何学中的一个重要概念，涉及到两个平面之间的相对关系。
本文介绍了面面垂直的基本定义和性质，包括垂直平面的法线向量、平面的垂直性与法线向量、平面的垂直性与交线、垂直平面的距离、垂直平面的投影以及垂直平面的内角等方面。
对于深入理解几何学中的垂直关系以及应用到实际问题中具有重要意义。
面面垂直的判定与性质
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
3
二面角: 从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角。
面
面
这两个半平 面叫做二面 角的面。
l
这条直线叫做 二面角的棱。
二面角的记法: 二面角－AB－
A
二面角C－AB－ D
C B D
B
A
l
二面角－ l－
l
二面角的平面角 过二面角棱上任一点在两个 半平面内分别作垂直于棱的射线， 则这两条射线所成的角叫做二面角 的平面角。
B
l
O A
二面角的平面角
二面角的平面角应注意什么？
注意：二面角的平面角必须满足： （1）、角的顶点在棱上。 （2）、角的两边分别在两个面内。 （3）、角的两边都要垂直于二面角的棱。
例3、如图，AB是 ⊙O的直径，PA垂直于⊙O所 在的平面，C是 圆周上不同于A、B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC.
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面 , BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径 AC BC PA AC A PA 面PAC, AC 面PAC BC 面PAC BC 面PBC 面PAC 面PBC
B
l
O
A
平面角是直角的二 面角叫做直二面角
当两个半平面重合时,平面角为0 °, 当两个半平面合成一个平面时,平面角为180 °
平面角的范围是[0 °, 180 °]
面面垂直的定义： 一般地，两个平面相交，
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§2.3.4平面与平面垂直的性质
教学目标：
1.进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定
2.使学生理解和掌握面面垂直的性质定理
3.让学生在观察物体模型的基础上进行操作确认，获得对性质定理的认识
教学重、难点：
重点：理解和掌握面面垂直的性质定理和推导
难点：运用性质定理解决实际问题
教学过程：
师：好，在上课之前我们来回顾一下前面的面面垂直的定义和判定。
我们了解到两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
这是面面垂直的定义，假设我们把定义中的条件和结论交换，也就是说两个平面垂直，那么它们所成的二面角是直二面角这个命题是成立的。
而判定定理是：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。
这是通过线面垂直得到的面面垂直，那么能否通过面面垂直得到线面垂直呢？而这一问题就是这就可要研究的：
（§2.3.4平面与平面垂直的性质）
那我们来探究这样一个问题：黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，能否在黑板所在的平面内作一条直线与地面垂直？
现在把这个问题数学符号化：
已知：α⊥βα∩β=CD
求证：β内一直线与α垂直
在右边把这两个平面的形象图作出来：
分析：要证明一条直线与一个平面垂直，这就需要证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直，这是前面学的直线与平面垂直的判定定理，那么就需要在这个平面内找两条相交直线都与这条直线垂直，那不妨在β内作BE⊥CD于点B,在α内过点B作AB⊥CD
证明：
在β内作BE⊥CD于点B，在α内过点B 作
AB⊥CD
BE⊥CD
ABE为直二面角α⊥βα∩β=CD
AB⊥BE
CD⊥BE BE⊥α
AB∩CD＝B
这样上面的问题就得以解决证明
像这样的，两个平面垂直，其中一个平面内一条直线垂直于两个平面的交线，那么这条直线垂直与另一个平面，我们把满足这样的性质叫做面面垂直的性质定理
定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直。
我们的性质定理是通过面面垂直得到线面垂直，前面所学的面面垂直判定是由线面垂直得到面面垂直，这些转化关系在以后解题中有很大的作用，所以啊在解题的时候同学们需要抓住解题的关键之处。
接下来看到书上第二个思考题
思考一：设α⊥β，点P在平面α内，过点P作β的垂线a，那么直线a与α有什么位
置关系？
分析：点P可以在α与β的交线上，也可以不在交线上，那么作两个图：
解：设α∩β=c ，过点P作b⊥c，由性质定理得b⊥β过一点有且只有一条直线与另一个平面垂直，故a与b重合，则a在平面α内
推论：两个平面垂直，那么经过平面内
一点垂直于另一平面的直线在这个平面内。
这个推论用来证明一条直线在一个平面内。
这种方法就叫做“同一法”。
例：如图，平面α⊥β，直线a满足a⊥β，a不在平面α内，试判断a与平面α有什么位置关系？
分析：从图上观察可知a//α，要证明这个结论，则需在α内找一直线和a平行，根据前面所学直线和平面垂直的性质定理有同时垂直于同一平面的两直线平行。
下面写一写证明过程：
证明：
在α内作b⊥c
b⊥β
α∩β=c α⊥β a//b a⊥βa不在平面α内
b在平面α内
a//α
课堂小结
对于面面垂直的性质定理要注意的是两个垂直的平面是前提，我们可以通过面面垂直得到线线垂直再进一步得到线面垂直。
这些转化规律在问题的应用中起到了决定性的作用，是解题的突破口。
再一个就是证明过平面内一点的直线在这个平面内用到“同一法”也就是说证明另一条直线和这条直线重合。