九年级数学上册 24.4 一元二次方程的应用 探讨数学应用题的优美解答素材 (新版)冀教版

探讨数学应用题的优美解答
数学应用题的优美解答就象一件精美艺术品一样，能给人们精神上的享受和心理上的满足．
解数学应用题，首先应深入分析题意，利用它所提供的一切信息，迅速抓住问题的本质；第二，要充分发挥自己直觉思维的作用．领悟事物的本质，随机应变，独辟蹊径，设计出新颖、别具一格的解题方法．英国科学家狄拉克说：“谁只要照次追求方程美的观点去工作，谁只要具有良好的直觉，谁就确定地走在了前进的路上”；第三，要能按陌生原理，即无论对熟悉的或不熟悉的题目，都能用好奇、探索的眼光去审视它．只有这样，才有可能得到独创性的、优美的妙解．
例1．甲、乙二人自A、B两地骑车相向而行，两人相遇在离A地8公里处．相遇后两人继续按原方向前进，分别到达A、B之后立即返回，又在离B地10公里处相遇，求A、B 两地的距离．
【分析】设A、B两地距离为x公里．第一次相遇时，甲走了8公里；第二次相遇时，甲走了（x+10）公里；显然，第二次相遇时，甲、乙共走过的路程是第一次相遇时，甲、乙共走的路程的3倍，因而，第二次相遇时甲所走过的路程，也是第一次相遇时甲所走的路程的3倍，则得：x+10=3×8．x=14
答：A、B两地的距离为14公里．
【注】这是《中等数学习题集》第一册（翟连林等编）第181页的一道题．书中的解答是：
设A、B距离为S公里，甲、乙的速度分别为x公里/小时，y公里/小时，则得
例2．甲、乙两个工程队合做一项工程，12天可以完工．如果甲队单独先做5天后，乙队也来参加，两队再合做9天才完工．两队单独完成这项工程各需多少天？
【分析】设甲队与乙队的工效的比为x∶1，则甲队做12天等于乙队做12x天，甲队做5+9=14（天）等于乙队做14x天，故乙队独做需（12+12x）天或（9+14x天）天，则得：12+12x=9+14x，x=1.5．
所以，乙队独做需12+12x=12+12×1.5=30（天）．
答：甲队单独完成这项工程需20天，乙队单独完成这项工程需30天．
【注】这是现行课本初中代数第三册149页习题第9题，“教参”中的解是：
设单独完成这项工程甲队需要x天，乙队需y天，则
例3．A、B两地相距36公里，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时出发相向而行．若行走4小时，则两人相遇；若行走6小时，则此时甲所余下的路程是乙所余下的路程的2倍，求甲、乙两人每小时各走多少公里？
【分析】设走6小时后，乙的余路为x公里，甲的余路为2x公里，又显然，这两人的速度和为36/4=9（公里/小时），而两人共走6小时，再加上共有的余路应等于全程的两倍，则得6×9+3x=2×36
∴x=6
答：甲每小时走4公里，乙每小时走5公里
【注】这是1990年福建省初中毕业会考试题，其参考答案是：
设甲每小时走x公里，乙每小时走y公里，根据题意得
例4．猴子分桃趣题．有五只猴子分一堆桃子，可是怎样分也平分不了，于是大家先去睡觉，明天再说．夜里，一只猴子偷偷起来，把一个桃子扔到山下，剩下的桃子正好可以分成五份，它把自己的一份收藏起来就睡觉去去．第二只猴子起来也扔掉一个，所剩的桃子又刚好能分成五份，它把自己的一份收藏起来也睡觉去了．第三、第四、第五只猴子都照此办理．问一共有多少个桃子？
【分析】设加上4个桃子之后，桃子总数为x，依题意x可以被5整除，不过
答：桃子数至少为3121个．
【注】这是《世界数学名题趣题选》（王长烈等编）第1题，书中是这样“提示”的：设有桃子数为x，n只猴子各自藏起来的桃子数依次为k1，k2，…，k n，则得方程组
（n－l）（k1+1）=n（k2+1）
（n－1）（k2+1）=n（k3+1）
（n－1）（k n－1+1）=n（k n+1）
再把这些等式两边乘起来可得
（n－1）n－1（k1+1）=n n－1（k n+1）
由此可知，k1+1必是n n－1的倍数，记为
k1+1=n n－1k （k∈N）
代入①得
x=n（n n－1k－1）+1
即 x=n n k－（n－1）
取k=1，得最小的正整数解为n n－（n－1），令n=5，求得题中最少的桃子数为55－4=3121（个）
例5. 甲、乙两人分别从A、B两地同时向同一方向出发，甲经过B地后，再走3小时12分在C地追上乙，这时两人共走72公里，而C，A两地的距离等于乙走5小时的路程．求A、B两地的距离．
【分析】设甲的速度与乙的速度之比为x∶1，而已知甲走｜BC｜需16/5小时，所以，乙走｜BC｜需16x/5小时，从而甲走｜AC｜需16x/5小时，于是，乙走｜AC｜需16x2/5小时，则得16x2/5=5
∴x=±1.25
x=－1.25不合题意，舍去．∴x=1.25
16x/5=16×1.25/5=4（时），因而A、B两地距离为：
[72/（5+4）]（5－4）=8（里）
答：A、B两地的距离为8公里．
【注】这是78年辽宁中学数学竞赛第二试题．1978年全国部分省市《中学数学竞赛试题解答汇集》（福建省教育学院数学组编）中是这样解答的：
设A、B地距离为x公里，乙的速度为y里/时，则甲的速度为（5y－x）/3.2（里/时）则得
例6. 一号列车由甲地向乙地出发1时后，二号列车由乙地出发，速度较一号列车每时大10里．两车相遇之地点，适在甲乙两地之中央，又若一号列车出发之时间，在二号列车出发后1小时，而仍欲在甲乙两地之中央相遇，则一号列车之速度，非每时增加28里不可，求甲乙两地之距离及一号列车每时之速度．
【分析】第一次：一号列车早出发1时．二号列车速度较一号列车速度每时大10里．所以，若设二号列车由乙地出发x小时后，适在甲乙两地之中央与一号列车相遇．则一号列车之速度为10x/1（里/时）；第二次：一号列车较二号列车迟一时出发．且仍要在甲乙两地之中央与二号列车相遇，所以，一号列车走这一距离用（x－1）时，它的速度非每时增加28里不可．但实际上，较二号列车每时只大（28－10）里．所以，二号列车的速度为（28－10）（x－1）（里/时），故得
（28－10）（x－1）－10x=10
x=3.5
所以，一号列车之速度为10x=35（里/时），两地距离为
2x（35+10）=2×3.5×45=315（里）
答：甲：乙两地距离为315里．一号列车之速度为35里/时．
【注】这是《代数学辞典》第1188题，书中的解答是：设甲、乙两地距离为2x公里，一号列车每时之速度为y里，则得
例7. 一水槽，以甲、乙二管注水．今先在乙管注满所需时间之3/5内，单以甲管注之，继单以乙管注满其余．这样所用的时间，较之以甲、乙二管同时开放注满所需之时间多6时．又甲、乙二管同时开放，至注满为止，所注水量，甲为乙的2/3，问单以甲或乙一管注之，各需若干时而满？
【分析】由题设可知，甲管的工效是乙管工效的2/3倍，所以，同时开放二管至注满止，乙管注该水槽的3/5，设单以乙管注满水槽需x 小时，则二管同时开放需（3/5）x 小时才能注满，又在乙管注满所需时间之3/5内，单以甲管注之，其注水量只相当于乙管注水232x x 355⎛⎫= ⎪⎝⎭（小时）所注水量，所以，继单以乙管注满其余，还需3x 5
小时，故得
答：单以甲管注之需15小时，单以乙管注之需10小时．
【注】这是《代数学辞典》（日本，长泽龟之助著，德炯等编译．以下简称《代》）第2391题．书中的解答是：设甲需x 时而满，乙需y 时而满．则先用甲管之时间为（3/5）y 时，故所注之水量为全量的3y/5x ．又此时所余之水量，为全量之1－（3y/5x ），故以乙管注满此量所需之时间为3y y(1)5x -时，据此，所经之总时间为3y 3y y(1)55x
+-时，若两管同时开放，则经1
xy 11x y
x y +++时而水满，故得。