一元二次方程应用题(销售问题)
一元二次方程应用题之销售问题[1]
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一元二次方程应用题之销售问题[1] 某公司生产一种产品，每个单位的成本为C元，每个单位的售价为P元。
假设公司共生产了x个单位的产品，销售了y个单位的产品。
根据题意，我们可以得到以下信息：1.成本方程：C = cx，表示生产x个单位的产品的成本为Cx元。
2.收入方程：R = Py，表示销售y个单位的产品的收入为R元。
现在我们需要解决以下问题：1.如果每个单位的成本为5元，每个单位的售价为8元，公司共生产了200个单位的产品，销售了180个单位的产品，那么公司的盈利是多少？解：根据题意，我们可以得到以下信息： C = 5，P = 8，x = 200，y = 180 根据成本方程和收入方程，我们可以求解盈利：盈利 = 收入 - 成本 = Py - Cx = 8y - 5x = 8 * 180 - 5 * 200 = 1440 - 1000 = 440所以，公司的盈利为440元。
2.如果公司的盈利为600元，每个单位的成本为3元，每个单位的售价为6元，那么公司最少需要销售多少个单位的产品才能实现这个盈利？解：根据题意，我们可以得到以下信息：盈利 = 600，C = 3，P = 6根据成本方程和收入方程，我们可以列出方程：盈利 = Py - Cx 600 = 6y - 3x我们需要求解最小的y值。
将方程600 = 6y - 3x化简为600 = 3(2y - x)，可以得到x的取值范围。
由于x和y都是正整数，为了使得2y - x最小，我们需要使得x最大。
假设x最大，即取x的最大值，那么2y - x最小。
根据x的取值范围，我们可以得到以下不等式： 600 = 3(2y - x) ≥ 3(2y - 200) 600 ≥ 6y - 600 1200 ≥ 6y y ≤ 200所以，公司最少需要销售200个单位的产品才能实现600元的盈利。
通过以上两个例子，我们可以看出一元二次方程在销售问题中的应用。
通过建立成本方程和收入方程，我们可以求解出公司的盈利，并且可以根据盈利的要求求解出最少需要销售的产品数量。
一元二次方程营销类问题
一元二次方程应用——营销类问题
列方程解应用题：
1．某种服装，平均每天可以销售20件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过30元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要赢利1900元，每件应降价多少元？
2．某果园原计划种100棵桃树．一棵桃树平均结300个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量．实验发现，每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种桃树不能超过25棵．如果要使产量增加4%，那么应多种多少棵桃树？
3．某商场服装部销售一种服装，每件进价30元，若售价定价70元，平均每天可售出30件．为了尽可能给顾客的到实惠，商场决定降价销售，经调查，每件降价3元时，平均每天可多卖出6件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利1400元，问每件售价为多少元？
（2）若商场要求该服装部每天盈利1600元，问这个要求能否实现？请说说你的理由．
4．将进价为90元/个的某种商品按100元/个出售时，能卖出500个，已知这种商品每个每涨价1元，其销售数量就减少10个，若想使利润达到9000元，售价应是多少？设售价为x元/个，则可列方程（）
A．（x﹣100）（500﹣10x）＝9000B．（x﹣90）（500﹣10x）＝9000
C．（x﹣100）[500﹣10（x﹣100）]＝9000D．（x﹣90）[500﹣10（x﹣100）]＝9000
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一元二次方程应用题-----市场营销类
答 : 每 件 商 品 的 售 价 应 为 2 5元 .
利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 某商场礼品柜台春节期间购进大量 贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500张，每张盈利0.3元，为了尽快减 少库存，商场决定采取适当的降价措 施，调查发现，如果这种贺年卡的售 价每降低0.1元，那么商场平均每天可 多售出100张，商场要想平均每天盈利 120元，每张贺年卡应降价多少元?
开启
智慧
销售问题
某商店从厂家以每件21元的价格购进 一批商品,若每件商品售价为x元,则 每天可卖出(350-10x)件,但物价局限 定每件商品加价不能超过进价的20%. 商店要想每天赚400元,需要卖出多少 年来件商品?每件商品的售价应为多 少元?
解 : 设 每 件 商 品 的 售 价 应 为 x元 , 根 据 题 意 , 得
一元二次方程应用 ----市场营销类
源于生活,服务于生活
Байду номын сангаас
销售问题
某商场销售一批名牌衬衫,现在平均 每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽 快减少库存,商场决定采取降价措施.经 调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1 元时,平均每天能多售出2件.商场要想 平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价 多少元? 解 : 设 每 件 衬 衫 应 降 价 x元 , 根 据 题 意 , 得
( x 21)( 350 10 x ) 400 .
整 理 得 : x 2 56 x 775 0 .
x 31 21 1 20 % 25 . 2 , x 31不 合 题 意 , 舍 去 .
解这个 方程,得 x1 25 , x 2 31 .
专题21.20 一元二次方程的应用—营销问题(拓展提高)(解析版)
专题21.20 一元二次方程的应用—营销问题（拓展提高）一、单选题1．疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液的瓶数是（ ） A ．200 B ．150C ．150或200D ．200或300【答案】A【分析】设购买洗手液x 瓶，列出一元二次方程计算即可； 【详解】设购买洗手液x 瓶， ∵8100800⨯=＜1200， ∴x ＞100， ∴10080.2120010x x -⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭， 解得：1200x =，2300x =， ∵10080.2510x --⨯≥，∴250x ≤， ∴200x =； 故答案选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．2．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x ，则列出方程正确的是（ ） A ．56（1﹣x ）2＝31.5 B ．56（1﹣x ）÷2＝31.5 C ．56（1+x ）2＝31.5 D ．31.5（1﹣x ）2＝56【答案】A【分析】设降价的百分率为x ，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是56（1﹣x ），第二次后的价格是56（1﹣x ）（1-x ），据此即可列方程求解． 【详解】解：设降价的百分率为x ，根据题意得： 56（1﹣x ）2＝31.5．故选：A ．【点睛】本题考查方程的应用，在正解理解题意的基础上设定合适的未知数列出方程是解题关键 ． 3．某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件．经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场每天要获得3750元利润，则每件玩具应涨多少元？ 这道应用题如果设每件玩具应涨x 元，则下列说法错误．．的是（ ） A ．涨价后每件玩具的售价是(30)x +元;B ．涨价后每天少售出玩具的数量是10x 件C ．涨价后每天销售玩具的数量是(30010)x -件D ．可列方程为：(30)(30010)3750x x +-= 【答案】D【解析】A.涨价后每件玩具的售价是()30x +元，正确；B.涨价后每天少售出玩具的数量是10x 件，正确；C.涨价后每天销售玩具的数量是()30010x -件，正确；D.可列方程为：()()30300103750x x +-=，错误，应为(30+x-20)(300-10x)=3750，故选D.4．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（ ） A ．6 B ．8C ．10D ．12【答案】A【分析】设该产品的质量档次是x 档，则每天的产量为[95﹣5（x ﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x ﹣1）]元，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其小于等于10的值即可得出结论．【详解】设该产品的质量档次是x 档，则每天的产量为[95﹣5（x ﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x ﹣1）]元， 根据题意得：[6+2（x ﹣1）][95﹣5（x ﹣1）]＝1120， 整理得：x 2﹣18x+72＝0， 解得：x 1＝6，x 2＝12（舍去）． 故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用5元．为尽快回笼资金，该电商计划开展降价促销活动．通过市场调研发现，该时装售价每降价1元，每天销量增加4件．若该电商每天扣除平台推广费之后的利润要达到4500元，则适合的售价应定于（ ） A ．70元 B ．80元C ．70元或90元D ．90元【答案】A【分析】设降价x 元后利润达到4500元．则每天可售出(204)x +件，每件盈利(110405)x ---元．再根据相等关系：每天的获利=每天售出的件数⨯每件的盈利；列方程求解即可． 【详解】解：设降价x 元后利润达到4500元， 由题意得：(110405)(204)4500x x ---+= 解得：120x =，240x =， ∵为尽快回笼资金 ∴40x =，∴售价应定为1104070-=元 故选：A【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找到题目的相等关系：每天的获利=每天售出的件数⨯每件的盈利是解答本题的关键．6．西菜市场某商户销售冰鲜海产品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，期间发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，在每件盈利不少于 25 元的前提下，要取得每天利润为 1200 元，每件商品降价（ ） A ．10元 B ．20元C ．10元或20元D ．15元【答案】A【分析】设每件商品应降价为x 元，则平均每天可多售出2x 件，根据总利润=单个利润×数量，单个利润=售价-成本，列出方程，求解x.【详解】解：设每件商品应降价为x 元，则平均每天可售出(20+2x)件，每件的利润为(40-x)元， 由题意知：(20+2x)(40-x)=1200 解得：x 1=10，x 2=25， ∵ 要求每件盈利不少于25，∴ 当x 1=10时，盈利为40-10=30>25，符合题意， 当x 2=25时，盈利为40-25=15<25，不符合题意，故舍去.故答案选A.【点睛】本题考查了一元二次方程在实际中的应用，要抓住关键公式：总利润=单个利润×数量，本题属于中档题，熟练掌握公式是解题关键.二、填空题7．某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个赢利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天赢利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价x 元，可列方程为_____________________．（不需要化简）【答案】(2)100802700.5x x ⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭【分析】设每个口罩降价x 元，则每个口罩盈利(2)x -元，平均每天的销售量为100800.5x ⎛⎫+⨯⎪⎝⎭个，根据该超市每天销售口罩的利润＝每个口罩的盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每个口罩降价x 元，则每个口罩盈利(2)x -元，平均每天的销售量为100800.5x ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭个，依题意得：(2)100802700.5x x ⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：(2)100802700.5x x ⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，若每降价1元，每星期可多卖出20件，现要尽量优惠顾客的前提下，同时每星期获利6080元，每件商品应降价______元． 【答案】4【分析】设每件商品降价x 元，则每件商品的利润为（60-40-x ）元，每星期可卖出（300+20x ）件，根据每星期获得的利润=销售每件商品的利润×每周的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【详解】解：设每件商品降价x元，则每件商品的利润为（60-40-x）元，每星期可卖出（300+20x）件，依题意，得：（60-40-x）（300+20x）=6080，整理，得：x2-5x+4=0，解得：x1=1，x2=4，又∵要尽量优惠顾客，∴x=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的赢利为1600元，则每件应降价_________元．【答案】4【分析】设降价为x，根据降价一元，多售5件，得出销售件数增加到（20+5x）件；接下来根据“总盈利=每件盈利×销售件数”列出方程，解方程即可得到答案.【详解】设每件应降价x元，则每件可盈利（44-x）元，销售件数增加到（20+5x）件，则(44-x)(20+5x)=1600即x2-40x+144=0，解得x1=4，x2=36（舍去），∴应降价4元.故答案为4.【点睛】此题考查了一元二次方程的应用-销售问题，找出题中的等量关系是解本题的关键．解答本题时还应明确：利润=售价-进价，总利润=单个利润×数量.10．某农产品公司以64000元的成本收购了某种农产品80吨，目前可以1200元/吨的价格直接售出.如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元.那么要获利122000元且尽早卖出，需要将这批农产品储藏____星期.【答案】15【分析】设储藏x星期出售这批农产品可获利122000元，则需要支付费用1600x元，损失2x吨，价格为（1200＋200x）元，根据获利122000元，列方程求解．【详解】设储藏x星期出售这批农产品可获利122000元，由题意得（1200＋200x）×（80−2x）−1600x−64000＝122000，解得：x 1＝x 2＝15．即储藏15星期出售这批农产品可获利122000元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．11．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，则这种台灯的售价应定为________元． 【答案】50【分析】设这种台灯应涨价x 元，那么就少卖出10x 个，根据利润=每个台灯的利润×销售量，可列方程求解．【详解】设这种台灯应涨价x 元, 依题意得，()()106001010000x x +-=，解得：110x =，240x =（不合题意，舍去） 40+10=50（元）答：这种台灯售价定为50元． 故答案是：50元12．某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套；应市场变化调整第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套．若商店预计要在这两个月的代销中获利4160元，则第二个月销售定价每套_______元． 【答案】50元或60元【分析】设第二个月的销售定价为x 元，则销售量为[180-10（x-52）]元，根据两个月的销售利润为4160元建立方程求出其解即可．【详解】设第二个月的销售定价为x 元,则销售量为[180−10(x−52)]元，由题意，得 180×(52−40)+(x−40)[180−10(x−52)]=4160， 解得：x 1=50,x 2=60. 故答案为：50元或60.【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于理解题意找到等量关系列出方程. 13．有下列四个结论： ①a÷m+a÷n=a÷(m+n)；② 某商品单价为a 元．甲商店连续降价两次，每次都降10%．乙商店直接降20%．顾客选择甲或乙商店购买同样数量的此商品时，获得的优惠是相同的； ③若222450x y x y ++-+=，则x y 的值为12； ④关于x 分式方程211x ax -=-的解为正数，则a ＞1． 请在正确结论的题号后的空格里填“√” ，在错误结论的题号后空格里填“×”： ①______； ②______； ③______； ④______ 【答案】× × √ × 【解析】①()a m n a a a m a n m n mn+÷+÷=+= 故错误； ②由题意得甲商店优惠：()2110%a a -- 元，乙商店优惠为：20%a 元，故错误； ③222450x y x y ++-+=，()()222221440120x x y y x y +++-+=++-=解得：1,2x y =-=，∴1122xy -==，故正确； ④由题意得：21x a x -=-，解得：1x a =-， ∵x 为正数 ，∴10,1a a ->>， 又∵1x ≠，∴2a ≠即a 的范围为：1a >且2a ≠，故错误．【点睛】本题属于综合题，要熟记多项式的运算规则，因式分解的方法以及一元二次方程的应用． 14．近年来，网红北京迎来了无数中外游客．除了游故宫、登长城、吃烤鸭以外，稻香村的传统糕点成为了炙手可热的伴手礼．根据消费者的喜好，现推出A 、B 两种伴手礼礼盒，A 礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼：B 礼盒装有1个福字饼，2个禄字饼，3个寿字饼，A 、B 两种礼盒每盒成本价分别为盒中福禄寿三种糕点的成本价之和．已知A 种礼盒每盒的售价为96元，利润率为20%，每个禄字饼的成本价是寿字饼的成本价的3倍．国庆期间，由于客流量大，一天就卖出A 、B 两种礼盒共计78盒，工作人员在核算当日卖出礼盒总成本的时候把福字饼和禄字饼的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的总成本少500元，则当日卖出礼盒的实际总成本为_____元． 【答案】5740【分析】根据题意可得A 礼盒的成本价格，进而可求出1个福字饼和1个禄字饼的成本和为40元，再设一个福字饼成本x 元，一个禄字饼成本（40﹣x ）元，A 种礼盒m 袋，B 种礼盒n 袋，列出方程得到xn ＝20n+250，最后求出每日卖出礼盒的实际总成本即可．【详解】解：设A 礼盒成本价格a 元，根据题意，得 96﹣a ＝20%a ， 解得a ＝80，∵A 礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼， ∴2个福字饼和2个禄字饼的成本价格为80元， ∴1个福字饼和1个禄字饼的成本价格为40元，设个福字饼成本价x 元，1个禄字饼成本价（40﹣x ）元，则1个寿字饼成本价为13（40﹣x ）元， A 种礼盒m 袋，B 种礼盒n 袋， 根据题意，得 m+n ＝7880m+n[x+2（40﹣x ）+3×13（40﹣x ）]+500＝80m+n[（40﹣x+2x+3×13（40﹣x ）] ∴xn ＝20n+250设A 、B 两种礼盒实际成本为w 元，则有 w ＝80m+xn+2n （40﹣x ）+n×133（40﹣x ） ＝80（m+n ）﹣500 ＝80×78﹣500 ＝5740． 故答案为：5740．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是求出A 礼盒的成本．三、解答题15．夏季是葡萄上市的季节，某超市7月购进巨玫瑰和金手指两个品种的葡萄进行销售．已知巨玫瑰葡萄的售价为40元/千克，金手指葡萄的售价为50元/千克，统计发现，第一周共卖岀两个品种的葡萄800千克． （1）若卖出巨玫瑰葡萄的总销售额不低于金手指葡萄的45，求至少卖岀巨玫瑰葡萄多少千克； （2）由于7月份第二周葡萄大量上市，该店决定对两ˆ品种的葡萄进行降价销售．巨玫瑰葡萄降价1%2a ，金手指葡萄降价2%a ，结果巨玫瑰葡萄的销量在（1）中的最小销量下增加4%a ，而金手指葡萄的销量在（1）中最高销量基础上增加了8%5a ，最终7月份第二周的总销售额为36000元，求a 的值． 【答案】（1）至少卖出巨玫瑰葡萄400千克；（2）a 的值为50．【分析】（1）设卖出巨玫瑰葡萄x 千克，则金手指葡萄卖出（800-x ）千克，由题意易得()440508005x x ≥⨯-，然后求解即可； （2）由题意易得()()1840140014501240013600025a a a a ⎛⎫⎛⎫-⨯++-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭％％％％，然后求解即可． 【详解】解：（1）设卖出巨玫瑰葡萄x 千克，则金手指葡萄卖出（800-x ）千克，由题意得：()440508005x x ≥⨯-，解得：400x ≥，答：至少卖出巨玫瑰葡萄400千克． （2）由题意得：()()1840140014501240013600025a a a a ⎛⎫⎛⎫-⨯++-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭％％％％， 令a t =％，化简得：220t t -=， 解得：1250,0t t ==％（舍去）， ∴50a =．【点睛】本题主要考查一元一次不等式及一元二次方程的应用，熟练掌握一元一次不等式及一元二次方程的应用是解题的关键．16．疫情期间，某企业每日需向疫情严重的地区捐赠20万只口罩．该企业原口罩日产量为40万只，经政府出资两次加大设备投入后，日产量提升为90万只．每日用于销售的口罩当日全部售出，且每只口罩的成本和销售单价始终不变．该企业原来每日亏损4万元，加大设备投入后，每日盈利11万元． （1）求两次口罩日产量的平均增长率； （2）求每只口罩的成本和单价；（3）该企业将每天生产的口罩达成90包（每包1万只），现从捐赠和自行销售的口罩中分别抽取若干包以成本价支持本地防疫工作，企业规定口罩捐赠量高于自行销售量的13．若企业每日仍盈利4万元，则从捐赠和自行销售的口罩中各抽取多少包？【答案】（1）50%；（2）成本为0.5元，单价为0.8元；（3）捐赠口罩为23包，自行销售为67包 【分析】（1）设求两次口罩日产量的平均增长率为x ，根据题意列出方程，解之即可； （2）设每只口罩的成本为m 元，销售单价为n 元，根据题意列出方程组，解之即可；（3）设捐赠口罩为a 包，自行销售为()90a -包，列出不等式组，求出a 的范围，再根据每日仍盈利4万元，得到a 值，可得结果．【详解】解：（1）设求两次口罩日产量的平均增长率为x ， 由题意可列式得240(1)90x +=， 解得1150%2x ==，252x =-（舍去），∴两次口罩日产量的平均增长率为50%．（2）设每只口罩的成本为m 元，销售单价为n 元， 由题意可列式得20000040000040000700000900000110000n m n m -=-⎧⎨-=⎩ ，解得0.50.8m n =⎧⎨=⎩，∴每只口罩的成本为0.5元，销售单价为0.8元． （3）设捐赠口罩为a 包，自行销售为()90a -包，由题意可列式得()19030900a a a a ⎧>-⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解得22.590a <<，由（2）得，每只口罩成本0.5元，销售单价为0.8元， 则18000(90)900000400002a --⨯=， 解得552a =， ∵22.590a <<，∴23a =，∴9067a -=，∴捐赠口罩为23包，自行销售为67包．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程（组）和不等式组．17．某商场经营一种新型台灯，进价为每盏300元．市场调研表明：当销售单价定为400元时，平均每月能销售300盏；而当销售单价每下降1元时，平均每月的销售量就增加10盏．（1）当销售单价为多少时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元？（2）临近春节，为了回馈广大顾客，商场部门经理决定在一月份开展降价促销活动，估计分析：若每盏台灯的销售单价在（1）的最高销售单价基础上降价m %，则可多售出2m %．要想使一月份的销售额达到209950元，并且保证不亏损，求m 的值．【答案】（1）当销售单价为350元或380元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元；（2）m 的值为15【分析】（1）当降价为x 元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元，利用总利润等于每盏灯的利润乘以销售量列方程得（10x +300）（400-300-x ）=40000，然后解方程即可；（2）当x =380时，销售量为500盏，则利用一月份的销售额达为209950元列方程得380（1-m %）×500（1+2m %）=209950，然后解关于m %的一元二次方程即可得到m 的值．【详解】解：（1）当降价为x 元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元，根据题意得（10x +300）（400-300-x ）=40000，解得x 1=50，x 2=20，所以400-50=350（元），400-20=380（元）．答：当销售单价为350或380元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元；（2）当售价380时，此时销售量为500盏．根据题意得380（1-m %）×500（1+2m %）=209950， 解得m =15或m =35，当m =15时，销售单价为323元；当m =35时，销售单价为247元，将亏损，故舍去．答：m 的值为15．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．解决本题的关键是理解总利润等于每盏灯的利润乘以销售量．18．为培育和践行社会主义核心价值观，弘扬传统美德，学校决定购进相同数量的名著《平凡的世界》（简称A ）和《恰同学少年》（简称B ），其中A 的标价比B 的标价多25元，为此，学校划拨了1800元用于购买A ，划拨了800元用于购买B ．（1）求A 、B 的标价各多少元？（2）阳光书店为支持学校的读书活动，决定将A 、B 两本名著的标价都降低m %后卖给学校，这样，A 的数量不变，B 还可多买2m 本，且总购书款不变，求m 的值．【答案】（1）45元，20元；（2）35．【分析】（1）设B 的标价为x 元，则A 的标价为（x +25）元，列方程180080025x x=+，解方程即可； （2）将A 、B 两本名著的新标价计算出来，根据数量×单价＋数量×单价 =2600，列方程求解即可．【详解】解：（1）设B 的标价为x 元，则A 的标价为（x +25）元，列方程180080025x x =+， 解方程，得x =20，经检验，x =20是原方程的根，所以x +25=45，答：A 的标价是45元，B 的标价是20元；（2）将A 、B 两本名著的标价都降低m %后，A 的标价为45（1- m %）元，B 的标价为20（1- m %）元，原购买数量为A ：180045=40（本），变化后的购买数量：A 种40本，B 种（40+2m ）本， 根据题意，得40×45（1- m %）+（40+2m ）×20（1- m %）=2600， 2350,m m ∴-=解得：1235,0,m m ==经检验：20m =不合题意舍去，取135,m =答：m 的值为35.【点睛】本题考查了分式方程的应用，熟记数量×单价＝费用是解题的关键，注意分式方程必须要验根． 19．某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械．该厂经过调研发现：当生产线适当减少后（减少的条数在总条数的20%以内时），每减少10条生产线，每条生产线每个月反而会多生产4台．若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？【答案】10．【分析】先设减少x 台生产线，求出x 的取值范围，接下来通过相等关系列出方程求解即可．【详解】解：设减少x 台生产线∵80×20％=16∴016x ≤< ∴()488084010x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即 20.4242000x x -+-=解得：110x =，250x =（舍去），所以应减少10条生产线．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到相等关系，列出方程，同时要注意自变量的取值范围即可．20．新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为20元，经市场调研，销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋．（1）直接写出：①每天的销售量y （袋）与销售单价x （元）之间的函数关系式；②每天的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）小王希望每天获利1760元，则销售单价应定为多少元?（3）若每袋口罩的利润不低于15元，则小王每天能否获得2000元的总利润，若能，求出销售定价；否则，说明理由．【答案】（1）①10500y x =-+；②21070010000w x x =-+-；（2）28元；（3）在每袋口罩销售利润不低于15元的情况下，不能获得2000元的总利润；理由见解析．【分析】（1）①根据销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，列代数式，即可完成求解；②结合（1）①的结论，根据每袋进价为20元列代数式，即可得到答案；（2）根据平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋，通过求解一元一次不等式，得到x 的取值范围；再结合（1）②结论，通过求解一元二次方程，即可得到答案；（3）结合每袋口罩的利润不低于15元合（2）结论，得到x 的取值范围；通过求解一元二次方程，比较一元二次方程的解和x 的取值范围，即可作出判断．【详解】（1）①根据销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，得：()250102510500y x x =--=-+；②根据题意得：()()220105001070010000w x x x x =--+=-+-；（2）∵10500y x =-+120≥∴38x ≤∵21070010000x x -+-1760=解得: 128x =，242x = (舍去)∴要想获利1760元，销售单价应定为28元；（3）∵每袋口罩的利润不低于15元∴2015x -≥∴35x ≥由（2）知38x ≤∴3538x ≤≤当210700100002000w x x =-+-=时，解得：30x =或4030x =或40，与3538x ≤≤矛盾∴在每袋口罩销售利润不低于15元的情况下，不能获得2000元的总利润．【点睛】本题考查了代数式、一元一次不等式、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、一元一次不等式、一元二次方程的性质，从而完成求解．。
一元二次方程应用题销售问题
一元二次方程应用题销售问题问题描述在销售过程中，特别是涉及到价格优惠和销售额的计算时，一元二次方程可以帮助我们进行定量分析。
本文将通过一个销售问题的应用例子，展示一元二次方程在解决销售问题中的应用。
问题分析假设某公司销售某种产品，产品的定价为每单位价格为P元，并设定了一个优惠折扣d。
根据历史数据分析，销售额（以万元为单位）可以用以下一元二次方程来描述：E = -aP^2 + bP + c其中，E表示销售额，P表示产品的定价。
系数a，b和c表示根据历史数据拟合得出的值。
例子假设某公司销售某种产品的历史销售数据如下：通过以上数据，我们可以建立以下一元二次方程：E = -0.008P^2 + 0.9P + 30解决问题1. 计算销售额根据以上一元二次方程，我们可以通过给定的产品定价P来计算销售额E。
例如，当定价P为120元时，销售额E可采用以下计算方式：E = -0.008(120)^2 + 0.9(120) + 30 = 650 (万元)2. 计算最优定价为了最大化销售额，我们需要找到使销售额最大的定价P。
这可以通过计算一元二次方程的顶点来实现。
二次方程的顶点可以通过以下公式计算：P = -b / (2a)在例子中，a = -0.008，b = 0.9，将这些值带入公式，我们可以计算出最优定价：P = -0.9 / (2 * -0.008) ≈ 562.5 (元)因此，最优定价为562.5元。
3. 验证结果为了验证最优定价的正确性，我们可以将最优定价带入一元二次方程，并计算销售额：E = -0.008(562.5)^2 + 0.9(562.5) + 30 ≈ 891.56 (万元)和之前计算的销售额相比较，我们可以得出结论，最优定价为562.5元时，销售额达到了最大值。
结论通过一元二次方程的应用，我们可以通过定价来计算销售额，找到最优定价来最大化销售额。
这种方法可以帮助企业在销售过程中做出更明智的决策，并提高销售业绩。
一元二次方程应用-销售利润问题
习数学的兴趣
问题1：
华润万家超市销售一种月饼,其进价为
每份40元,按每份60元出售,平均每天可售出
100份.中秋节为促销,决定适当降价,单价每
降低1元,则平均每天获利2240
元,并尽量让利于顾客.每份月饼应售价多少
（1）单利润=售价—进价
（2）总利润=单利润×销售数量
售价−进价
利润
（3）利润率=
× %=
× %
进价
进价
（4）售价=进价×（1+利润率）
打折数
（5）售价=标价×
➢ 以一元二次方程解决实际问题为载体，进
一步探索数学建模的基本方法
➢ 通过小组讨论、独立思考的方式，在分析
销售问题的过程中培养数学思维
销量
元
元
份
份
设每份月饼应售价元,那么降价了多
少元呢？增加销量又是多少？
售价
降价
60−
销售量
原销量
增加销量
100
10（60−）
如果设每份月饼降价元,数量关系中
的每部分基本代数式如何表示？
降价
单利润
− −
销售量
原销量
增加销量
100
10
通常情况下，一般采用间接设法可降
题需要注意哪些地方？
通常采用间接设法,设降价（涨价）可以降低列方程和解方
程的复杂程度,但要注意题目要求,如果求售价记得求出售价
列方程时先逐个表示单利润、销量（基础销量±价格变化增
加或减少的销量）的代数式,再依据等量关系列方程
解方程时要先化为一般式,再选择适合自己的解法
一元二次方程应用题之销售问题
一元二次方程应用题之销售问题销售问题是生活中常见的一种数学应用问题，它涉及到销售量与价格之间的关系。
而在解决销售问题时，一元二次方程是一个非常有用的工具。
本文将讨论一元二次方程在销售问题中的应用，并通过实际案例来说明其解决问题的过程。
销售问题的一般形式是：某种商品的销售量与价格之间存在一定的关系。
我们需要根据已知条件，通过建立一元二次方程来求解问题。
假设某种商品的每单位售价为p，销售量为x。
已知当售价为10时，销售量为100，当售价为5时，销售量为300。
通过这些已知条件，我们可以建立一元二次方程。
首先，我们设定方程的未知数为x，表示销售量。
根据已知条件，当售价为10时，销售量为100，因此可以得到方程：10x = 100同样地，当售价为5时，销售量为300，可以得到方程：5x = 300将这两个方程整理为标准的一元二次方程形式，可以得到：10x - 100 = 05x - 300 = 0接下来，我们将这两个方程合并为一个一元二次方程。
为了方便求解，可以将方程两边同时除以5，得到：2x - 20 = 0x - 60 = 0现在，我们可以通过求解这个一元二次方程，来得到商品的销售量。
求解一元二次方程最常用的方法是配方法、因式分解和求根公式。
我将选择使用求根公式来解决这个问题。
求根公式告诉我们，对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)将方程2x - 20 = 0代入到求根公式中，可以得到：x = (-(-20) ± √((-20)^2 - 4(2)(-20))) / (2(2))化简计算得到：x = (20 ± √(400 + 160)) / 4x = (20 ± √560) / 4x = (20 ± 2√140) / 4x = 5 ± 0.5√140根据求根公式，我们得到了x的两个解：5 + 0.5√140和5 - 0.5√140。
一元二次方程的应用题训练(商品销售问题)
一元二次方程的应用题训练（商品销售问题）一．选择题1．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，即在确保盈利的前提下，尽量增加销售量，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价（）元．A．3B．2.5C．2D．52．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低（）元．A．0.2或0.3B．0.4C．0.3D．0.23．祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了尽快减少库存并且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降x元，超市每天销售酥梨的利润为120元，则可列方程为（）A．（3+x）（50+10x）＝120B．（3﹣x）（50+10x）＝120C．（3+x）（50﹣10x）＝120D．（3﹣x）（50﹣10x）＝1204．文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．小张：该工艺品的进价是每个22元；小李：当销售价为每个38元时，每天可售出160个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出120个．经理：为了实现平均每天3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？设这种工艺品的销售价每个应降低x元，由题意可列方程为（）A．（38﹣x）（160+×120）＝3640B．（38﹣x﹣22）（160+120x）＝3640C．（38﹣x﹣22）（160+3x×120）＝3640D．（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640 5．商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（）A．50元B．60元C．70元D．50元或70元6．疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液的瓶数是（）A．200B．150C．150或200D．200或3007．某电商销售一款时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，为尽快回笼资金，该电商计划开展降价促销活动，通过市场调研发现，该时装售价每降1元，每天销量增加4件．问该电商对这款时装的每件售价定为多少元，若该电商每天扣除平台推广费之后的利润达到4500元，则适合的售价应定于（）A．70元B．80元C．70元或90元D．90元8．商场服装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六•一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装共盈利1200元，设每件童装降价x元，那么应满足的方程是（）A．（40+x）（20﹣2x）＝1200B．（40﹣2x）（20+x）＝1200C．（40﹣x）（20+2x）＝1200D．（40+2x）（20﹣x）＝12009．县食品厂生产一种饮料，平均每天销售20箱，每箱盈利32元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱，若要保证盈利1215元，设每箱降价的价钱为x元，则根据题意可列方程（）A．（32﹣x）（20+5x）＝1215B．（32+x）（20+5x）＝1215C．（32﹣x）（20﹣5x）＝1215D．（32+x）（20+5x）＝121510．香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．某水果店以每千克10元的进价进了批香水梨，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克，售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该水果店想平均每天获利408元，设这种香水梨的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（）A．（20+x）（40﹣3x）＝408B．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408C．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408二．填空题11．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销出2件．若商场每天要盈利1200元，设每件衬衫应降价x元．请你帮助商场算一算，满足x的方程是..12．苏果超市进购某种商品出售，若按每件盈利2元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元其销售量就减少10件，设每件商品提高x元出售，平均每天利润为1210元，根据题意可列方程为：．13．商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，那么第二周每个旅游纪念品的销售价格为元．14．某种商品的进价为10元，当售价为x元时，此时能销售该商品（x+10）个，此时获利是1500元，则该商品的售价为元．15．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？设每件村衫降价x元，由题意列得方程．16．商场服装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装共盈利1200元，设每件童装降价x元，那么应满足的方程是．17．某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，设每件降价x，所列的方程为．三．解答题（共8小题）18．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为个．（2）在（1）的条件下，当该种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？19．为了满足初中学业水平体育与健康考试的需求，某体育用品专卖店从厂家以单价40元进购了一种排球，如果以单价60元出售，那么每月可售出400个，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少5个．（1）设销售单价提高x元，则每个排球获得的利润是元；这种排球这个月的销售量是个；（2）若该专卖店准备在这种排球销售上一月获利10500元，同时又要使顾客得到实惠，则售价应定为多少元？20．某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：40455560销售单价x（元/千克）销售量y（千克）80705040（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？21．随着人们购物方式观念的转变，网络购物给人们生活带来了方便．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件40元销售，每月可卖出600件，通过市场调查发现，每件小商品售价每上涨1元，销售件数减少10件．为了实现平均每月10000元的销售利润，每件商品售价应定为多少元？这时电商每月能售出商品多少件？22．某脐橙种植园的脐橙有线上和线下两种销售方式．已知去年12月份该脐橙种植园在线上、线下的销售价格分别为10元/千克、8元/千克．12月份一共销售了3000千克，总销售额为26000元．（1）去年12月份该脐橙种植园在线上、线下销售脐橙各多少千克？（2）元旦后是脐橙销售旺季．今年1月份，为了促销，该脐橙种植园决定在去年12月份基础上将在线上、线下的销售价格都降低，预计在线上、线下的销售量将在去年12月份的基础上分别增长3m%、25%，要使1月份该脐橙的总销售额达到30000元，求m的值．23．某商场以每千克20元的价格购进某种榴莲，计划以每千克40元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量y（kg）与每千克降价x（元）（0＜x＜10）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y关于x的函数解析式．（2）该商场在销售这种榴莲中要想获利1105元，则这种榴莲每千克应降价多少元？24．某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？25．2021年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得某县的一个电子器件厂扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的成本是200元/个，2020年与2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的成本降低到162元/个．（1）若这两年此类电脑显卡成本下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；（2）2021年某商场以高于成本价10%的价格购进若干个此类电脑显卡，以216.2元/个销售时，平均每天可销售20个，为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1120元，单价应降低多少元？。
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新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500 元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平 均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时， 平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱 的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的 降价应为多少元？
中考 试题
例1 某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天
可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商 场决定采取适当的降价措施，扩大销量，增加盈利，减少库存. 经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可 多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么 每件童装应降价多少元？
巩固练习：
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，
平均每月能售出600个。调查表明：这种台 灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10 个。为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯 多少个？
请你利用方程解决这一问题。
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解一元二次方程应用题的一般步骤？
第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知 数，用字母表示题目中的一个未知数； 第二步：找出能够表示应用题全部含义的相 等关系； 第三步：根据这些相等关系列出需要的代数 式（简称关系式）从而列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值；
第五步：在检查求得的答数是否符合应用题 的实际意义后，写出答案（及单位名称）。