中考数学一轮复习课后作业相似形

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北京市2023年九年级中考数学一轮复习——相似形练习题(解析版)

北京市2023年九年级中考数学一轮复习——相似形练习题一、单选题1．（2022·北京西城·一模）△ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2，DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是（）A．1:2B．1:4C．1:8D．2．（2022·北京西城·二模）如图，在ABCD中，点E在BA的延长线上，2=，EC，BD交于点AB AEBD=，则DF的长为（）F．若10A．3．5B．4．5C．4D．53．（2021·北京东城·一模）一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm，40cm．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以60cm长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（）A．60cm B．75cm C．100cm D．120cm4．（2021·北京西城·二模）若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（）A．1：16B．16：1C．1：4D．1：25．（2020·（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH△AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH6．（2020·北京西城·一模）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度，阳光下他测得长1m的竹竿落在地面上的影长为0.9m，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上，他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（）A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m7．（2020·北京市海淀外国语实验学校模拟预测）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，设正方形ABCD的周长为m，CHG△的周长为n，则mn的值为（）AB．12C D．28．（2020·北京顺义·二模）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．设AE=x，矩形ECFG的面积为y，则y与x之间的关系描述正确的是（）A．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y先增大再减小B．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y先减小再增大C．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y一直保持不变D．y与x之间不是函数关系9．（2020·北京市第三十五中学二模）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m.若小明的眼睛与地面距离为1.5m ，则旗杆的高度为(单位：m)A ．163B ．9C ．12D ．643二、填空题10．（2022·北京·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为_______．11．（2021·北京·中考真题）某企业有,A B 两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A 生产线共加工a 吨原材料，加工时间为()41a +小时；在一天内，B 生产线共加工b 吨原材料，加工时间为()23b +小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到,A B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A 生产线分配了m 吨原材料，给B 生产线分配了n 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m n 的值为______________．12．（2022·北京·清华附中一模）如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE △B C ．如果32AD DB =，AC ＝10，那么EC ＝________．13．（2022·北京·北理工附中模拟预测）如图，正方形ABCD ，E 是AD 上一点，113AE AD ==，CF BE ⊥于F ，则BF 的长为______．14．（2022·北京通州·一模）如图，在△ABC中点D在AB上（不与点A，B重合），连接CD．只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是______（写出一个即可）．15．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点．若S△APQ=1，则S四边形PBCQ=____．16．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF△AE，垂足为F，若DF＝6，则线段EF的长为_____．17．（2022·北京昌平·模拟预测）如图，为了测量两个路灯之间的距离，小明在夜晚由路灯AB走向路灯CD，当他走到点E时，发现身后他头顶部F的影子刚好接触到路灯AB的底部A处，当他向前再步行15m到达G点时，发现身前他头顶部H的影子刚好接触到路灯CD的底部C处，已知小明同学的身高是1.7m，两个路灯的高度都是8.5米，则AC＝_____m．18．（2022·北京房山·二模）如图，在ABC 中，点D 在AB 上（不与点A ，B 重合），过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，若1=AD DB ，则AE AC =__________．三、解答题19．（2022·北京昌平·模拟预测）如图，正方形ABCD 的边长为1．对角线AC 、BD 相交于点O ，P 是BC 延长线上的一点，AP 交BD 于点E ，交CD 于点H ，OP 交CD 于点F ，且EF 与AC 平行．（1）求证：EF △BD ．（2）求证：四边形ACPD 为平行四边形．（3）求OF 的长度．20．（2022·北京十一学校一分校模拟预测）如图1，在ABC ∆中，90,,BAC AB AC BD CD ∠=︒=⊥于点D ，连接,AD 在CD 上截取CE ，使,CE BD =连接AE()1直接判断AE 与AD 的位置关系()2如图2，延长,AD CB 交于点F ，过点E 作//EG AF 交BC 于点G ，试判断FG 与AB 之间的数量关系，并证明；()3在()2的条件下，若2,AE EC ==EG 的长．21．（2022·北京西城·一模）已知：如图，线段AB ．求作：点C ，D ，使得点C ，D 在线段AB 上，且AC =CD =DB ．作法：△作射线AM ，在射线AM 上顺次截取线段AE =EF =FG ，连接BG ；△以点E 为圆心，BG 长为半径画弧，再以点B 为圆心，EG 长为半径画弧，两弧在AB 上方交于点H ； △连接BH ，连接EH 交AB 于点C ，在线段CB 上截取线段CD =AC ．所以点C ，D 就是所求作的点．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：△EH =BG ，BH =EG ，△四边形EGBH 是平行四边形．（______）（填推理的依据）△EH BG ∥，即EC BG ∥．△AC △______=AE △AG ．△AE =EF =FG ，△AE =______AG ． △13AC AB CD ==． △13DB AB =．△AC =CD =DB ．22．（2022·北京昌平·模拟预测）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N ．当CP ＝6时，EM 与EN 的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，则可得：DF DE FC EP=，因为DE ＝EP ，所以DF ＝FC ．可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值．(1)请按照小明的思路写出求解过程．(2)小东又对此题作了进一步探究，得出了DP ＝MN 的结论．你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．23．（2022·北京房山·二模）如图1，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，过点A 作AE DC ∥交BC 边于点E ，过点E 作EF AB ∥交CD 边于点F ，连接AF ，过点C 作CH AF ∥交AE 于点H ，连接BH ．(1)求证：ABH EAF △≌△；(2)如图2，若BH 的延长线经过AF 的中点M ，求BE EC的值． 24．（2021·北京海淀·一模）如图，四边形ABCD 是矩形，点E 是边BC 上一点，AE ED ⊥．（1）求证：ABE ECD ∽△△；（2）F 为AE 延长线上一点，满足EF EA =，连接DF 交BC 于点G ．若2,1AB BE ==，求GC 的长．25．（2020·北京顺义·一模）已知，如图，△ABC 是等边三角形．（1）如图1，将线段AC 绕点A 逆时针旋转90°，得到AD ，连接BD ，△BAC 的平分线交BD 于点E ，连接CE ．△求△AED 的度数；△用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系（直接写出结果）．（2）如图2，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90°，得到AD ，连接BD ，△BAC 的平分线交DB 的延长线于点E ，连接CE ．△依题意补全图2；△用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系，并证明．26．（2020·北京东城·二模）如图，ABC 内接于O ，AB 为直径，作OD AB ⊥交AC 于点D ，延长BC ，OD 交于点F ，过点C 作O 的切线CE ，交OF 于点E（1）求证：EC ED =；（2）如果4OA =，3EF =，求弦AC 的长．27．（2020·北京朝阳·模拟预测）如图△所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图△所示．△线段DG与BE之间的数量关系是；△直线DG与直线BE之间的位置关系是；（2）探究：如图△所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．参考答案：1．B【分析】所有的等边三角形都相似，且相似比等于其边长比，再利用两个相似三角的面积之比等于其相似比的平方，即可求解．【详解】△△ABC 和△DEF 是两个等边三角形，△ABC DEF △△，且有相似比为：2142AB ED ==，又△两个相似三角的面积比等于其相似比的平方， △2211()()24ABC DEF AB S ED S ===△△，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的基本性质，利用两个相似三角的面积比等于其相似比的平方是解答本题关键．2．C【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质与判定即可解决问题．【详解】解：△四边形ABCD 是平行四边形，,//,AB CD AB CD ∴=2,AB AE =2,CD AE ∴=3,BE AB AE AE =+=22,33CD AE BE AE ∴== //,AB CD,CDF EBF ∴,CD DF BE BF∴= 10,BD =设,DF x =则10,BF x =-2,310x x∴=- ()3210,x x ∴=-3202,x x ∴=-4,x ∴=即 4.DF =故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．C【分析】根据勾股定理求出斜边的长，以60cm长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为xcm，利用相似三角形的对应边的比相等列分式方程，解方程即可得到答案．【详解】△直角三角形两条直角边分别是30cm，40cm，△斜边50=，△要做一个与其相似的三角形木架，△两个三角形对应边成比例，△直角三角形中斜边最大，△以60cm长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为xcm，则有2种情况，△3050=60x，解得：100x=，△4050=60x，解得：75x=，△另两边中长度最大的一边最多可达到100cm，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质及勾股定理，利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等进行计算是解题的关键．4．A【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答．【详解】两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16，故正确的答案为：A【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方．5．D【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，DF=FG∴=1CG∴=CGCD∴=△矩形DCGH为黄金矩形故选：D．【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．6．C【分析】根据在同一时刻物高和影长比值相同，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似进而解答即可．【详解】解：延长AC交BD延长线于点E，根据物高与影长成正比得：109 CDDE.=，△CD=1，△1109 DE.=解得：DE=0.9，则BE=2.7+0.9=3.6米，△AB△CD，△△ABE△△CDE，△AB BE CD DE=，即36 109 AB..=，解得：AB=4，即树AB的高度为4米，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．7．D【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，CH=x ，DE=y ，则m=4a ，根据折叠的性质可得△EHG=△A=90°，EH=AE ，可得EH=a-y ，DH=a-x ，根据直角三角形两锐角互余的关系可得△DEH=△CHG ，可证明△DEH△△CHG ，根据相似三角形的性质可用a 、x 、y 表示出CG 、HG 的长，在Rt△DEH 中利用勾股定理可得x 2=2a(x-y)，表示出△CHG 的周长，进而可得答案．【详解】设正方形ABCD 的边长为a ，CH=x ，DE=y ，则m=4a ，△将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合，△△EHG=△A=90°，EH=AE ，△DH=a-x ，EH=a-y ，△△CHG+△DHE=90°，△DEH+△DHE=90°，△△CHG=△DEH ，△△D=△C=90°，△△DEH△△CHG ， △CH CG HG DE DH EH==，即：x CG HG y a x a y ==--， △CG=()x a x y -，HG=()x a y y -，在Rt△DEH 中，EH 2=DE 2+DH 2，即(a-y)2=y 2+(a-x)2，△x 2=2a(x-y)， △n=CH+HG+CG=x+()x a x y -+()x a y y -=22ax x y-=2a ， △m n =42a a=2，故选：D ．【点睛】本题考查翻折变换及正方形的性质及相似三角形的判定与性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用．8．C【分析】设正方形的边长为(0)a a >，先根据正方形的性质得出,CB CD AB a BE a x ====-，90B BCD ∠=∠=︒，再根据矩形的性质得出90ECF F ∠=∠=︒，从而可得DCF ECB ∠=∠，然后根据相似三角形的判定与性质可得2CE CF CD CB a ⋅=⋅=，由此即可得出答案．【详解】设正方形的边长为(0)a a >四边形ABCD 是正方形，AE x =90B BCD ∴∠=∠=︒，,CB CD AB a BE a x ====-四边形ECFG 是矩形90ECF F ∴∠=∠=︒90DCF DCE ECB DCE ∴∠+∠=∠+∠=︒DCF ECB ∴∠=∠又90F B ∠=∠=︒CDF CEB ∴~CD CF CE CB∴=，即2CE CF CD CB a ⋅=⋅= 则矩形ECFG 的面积2y CE CF a =⋅=因此，y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 一直保持不变故选：C ．【点睛】本题考查了矩形与正方形的性质、相似三角形的判定与性质、函数等知识点，利用矩形与正方形的性质正确找出两个相似三角形是解题关键．9．C【详解】分析：根据题意容易得到△CDE△△AEB ，再根据相似三角形的性质解答即可．详解：如图：△根据入射角与反射角相等可知,△CED=△AEB,故Rt △CDE△Rt △AEB ， △=CD DE AB BE ，即1.52=16AB ，解得AB=12m.故选C.点睛：本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.10．1【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中， AD BC ∥ ，90ABC ∠=︒，△14AE AF BC FC ==，4BC ==， △144AE =， △1AE =，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 11． 2△3 12【分析】设分配到A 生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5-x ）吨，依题意可得()41253x x +=-+，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为()()421233m n ++=++，进而求解即可得出答案．【详解】解：设分配到A 生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5-x ）吨，依题意可得： ()41253x x +=-+，解得：2x =，△分配到B 生产线的吨数为5-2=3（吨），△分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为2△3；△第二天开工时，给A 生产线分配了()2m +吨原材料，给B 生产线分配了()3n +吨原材料，△加工时间相同，△()()421233m n ++=++，解得：12m n =， △12m n =；故答案为2:3，12．【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．12．4【分析】由DE△BC ，推出32AD AE DB EC == , 可得EC=25AC , 由此即可解决问题．【详解】解：△DE△BC ， △32AD AE DB EC ==， △AC=10，△EC=25AC =2105⨯=4，故答案为4．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13【分析】根据正方形的性质得到AB BC AD ==，90A ABC ∠=∠=，根据勾股定理得到BE【详解】△四边形ABCD 是正方形，△AB BC AD ==，90A ABC ∠=∠=， △113AE AD ==， △3AB BC AD ===，△BE△CF BE ⊥，△90CFB ∠=，△90ABE CBF CBF BCF ∠+∠=∠+∠=，△∠=∠ABE BCF ，△ABEFCB ∆∆， △AE BE BF BC =，△1BF =，△BF =【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 14．△ACD =△B （答案不唯一，或△ADC =△ACB 或=AD AC AC AB 均可）【分析】根据相似三角形的判定条件解答即可．【详解】解：△△A =△A△添加△ACD =△B 或△ADC =△ACB 或=AD AC AC AB．故答案是：△ACD =△B 或△ADC =△ACB 或=AD AC AC AB （答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定．两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．15．3．【分析】利用三角形中位线定理以及相似三角形的性质解决问题即可．【详解】△P ，Q 分别为AB ，AC 的中点，△//PQ BC ，12PQ BC =， △APQ ABC ∆∆∽， △211()24APQABC S S ∆∆==， △=1APQ S ∆，△=4ABC S ∆，△3ABC APQ PBCQ S S S ∆∆=-=四边形，故答案为：3．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．16．3【分析】证明△AFD △△EBA ，得到AF AD DF BE AE AB==，求出AF ，即可求出AE ，从而可得EF ．【详解】解：△四边形ABCD 为矩形，△AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝10，AD BC ∥，△△AEB ＝△DAF ，△△AFD △△EBA ， △AF AD DF BE AE AB==， △DF ＝6，△8AF ， △81063BE AE ==， △AE ＝5，△EF ＝AF －AE ＝8－5＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．17．25【分析】先证明△AEF△△ACD 得到1.78.5＝15AE AE CG ++ ，即AE+15+CG ＝5AE ，再证明△CGH△△CAB 得到1.78.5＝15CG AE CG++，即AE+15+CG ＝5CG ，然后解关于AE 、CG 的方程组，从而得到AC 的长．【详解】解：△EF△CD ，△△AEF△△ACD ， △EF CD ＝AE AC ，即1.78.5＝15AE AE CG++，即AE+15+CG ＝5AE ， △GH△AB ，△△CGH△△CAB ， △GH AB ＝CG CA ，即1.78.5＝15CG AE CG ++，即AE+15+CG ＝5CG ， △AE ＝CG ＝5，△AC ＝5+15+5＝25（m ）．故答案为25．【点睛】本题考查相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．18．12 【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出1AE AD EC DB ==，即可求解．【详解】解：△ ABC 中，DE BC ∥，1=AD DB， △1AE AD EC DB ==， △AE EC =， △122AE AE AE AC AE EC AE ===+，故答案为：12．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．19．（1）见解析；（2）见解析；（3 【分析】（1）根据正方形的性质求出AC △BD ，即可得出答案；（2）根据平行线得出DE OE ＝PE AE，求出AC △DP ，根据平行四边形的判定推出即可；（3）求出OE和EF的长，再根据勾股定理求出即可．【详解】（1）证明：△四边形ABCD是正方形，△AC△BD，△EF△AC，△EF△BD；（2）证明：△EF△AC，△PEPA＝EFOA，DEDO＝EFOC，△四边形ABCD是正方形，△AD△CP，OA＝OC，△PEPA＝DEDO，即PEAE＝DEOE，△AO△DP，△AD△CP，△四边形ACPD为平行四边形；（3）解：由勾股定理得：AC＝BD △四边形ACPD为平行四边形，△CP＝AD＝BC，△ADPB＝12，△AD△BP，△DEBE＝ADBP＝12，△DE＝13BD，OE＝OD﹣DE△DO ＝12BD △△DEF ＝△DOC ＝90°﹣△EDF ＝45°，△△DFE ＝45°，△EF ＝DE ，在Rt△OEF 中，由勾股定理得：OF 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．20．（1）AE AD ⊥；（2）FG =，证明见解析；（3）1【分析】（1）证明()ACE ABD SAS ∆≅∆，由全等三角形的性质得出CAE BAD ∠=∠，再根据余角的性质得到90DAE BAE BAD ∠=∠+∠=︒即可判断；（2）过点B 作BM BD ⊥交DF 于点M ，证得BDM ∆为等腰直角三角形，则BD BM =，证明()CEG BMF AAS ∆≅∆，由全等三角形的性质得出CG BF =，由直角三角形的性质可得出结论；（3）设EG FM x ==，则2DF x =+，证明CEG CDF ∆∆∽，由相似三角形的性质得出EG CE DF CD=，则可得出答案．【详解】解：（1）AE AD ⊥；理由如下：如图，DBA DFB AFE ACE ∠+∠=∠+∠，DFB AFE ∠=∠，DBA ACE ∴∠=∠，CE BD =，AB AC =，()ACE ABD SAS ∴∆≅∆，CAE BAD ∴∠=∠，△90BAC BAE CAE ∠=∠+∠=︒，△90DAE BAE BAD ∠=∠+∠=︒，即AE AD ⊥，故答案为：AE AD ⊥；（2）FG ；过点B 作BM BD ⊥交DF 于点M ，ACE ABD ∆≅∆，CAE BAD ∴∠=∠，AE AD =，CE BD =，90BAD BAE ∴∠+∠=︒，45ADE ∴∠=︒，BD CD ⊥，45BDM ∴∠=︒，BDM ∴∆为等腰直角三角形，BD BM ∴=，CE BM ∴=，//EG AF ，EGC MFB ∴∠=∠，,90,AB AC BAC =∠=︒45FBM ABD ∴∠+∠=︒，又45GCE ACE ∠+∠=︒，FBM GCE ∴∠=∠，()CEG BMF AAS ∴∆≅∆，CG BF ∴=，CG BG BF BG ∴+=+，FG BC ∴=， 2BC =，FG ∴=；（3）2AD AE ==，ADE ∆为等腰直角三角形，DE ∴= 2CE =，DC ∴=BD CE =2DM ∴=，CEG BMF ∆≅∆，EG FM ∴=，设EG FM x ==，2DF x ∴=+，//EG DF ，CEG CDF ∴∆∆∽， ∴EG CE DF CD =，∴123x x =+， 1x ∴=，经检验：1x =符合题意．1EG ∴=．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确构造全等三角形解决问题．21．(1)见解析；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB ；13．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）先证明四边形EGBH 是平行四边形，再通过平行线分线段成比例定理来解决问题．【详解】（1）、补全图形如下图所示：（2）证明：△EH =BG ，BH =EG ，△四边形EGBH 是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）△EH BG ∥，即EC BG ∥．△AC △AB =AE △AG ．△AE =EF =FG ，△AE =13AG ． △13AC AB CD ==． △13DB AB =．△AC =CD =DB ．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB ；13．【点睛】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．(1)见解析(2)正确，见解析【分析】（1）过E 作EG △BC 交DC 、AB 分别于F 、G ，结合平行线分线段成比例定理可得：DF DE FC EP =，由DE ＝EP ，可知DF ＝FC ，可求出EF 和EG 的值，再利用AB △CD ，可得EM EF EN EG=，进而可求得EM 与EN 的比值；（2）作MH △BC 交AB 于点H ，可得一对直角和一组对应边相等，然后根据AB △CD ，可得△MNH ＝△CMN ，结合对顶角的性质可证得△DPC ＝△MNH ，进而可得△DPC △△MNH ，从而有DP ＝MN ．（1）解：过E 作直线GE 平行于BC 交DC ，AB 分别于点F ，G ，（如图1），则DF DE FC EP=，GF ＝BC ＝12， △DE ＝EP ，△DF ＝FC ，△EF ＝12CP ＝162⨯＝3，EG ＝GF +EF ＝12+3＝15， △AB △CD ，△31155EM EF EN EG ===；（2）解：正确，证明：作MH △BC 交AB 于点H ，（如图2），则MH ＝CB ＝CD ，△MHN ＝90°，△△DCP ＝180°﹣90°＝90°，△△DCP ＝△MHN ，△AB △CD ，△△MNH ＝△CMN ，△NE 是DP 的垂直平分线，△△CMN ＝△DME ＝90°﹣△CDP ，△△DPC ＝90°﹣△CDP ，△△DPC ＝△MNH ，△△DPC △△MNH （AAS ），△DP ＝MN ．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识．关键是作出合适的辅助线，使所求的线段在一个三角形中．23．(1)证明见解析(2)1【分析】（1）由ABC BCD ∠=∠， AE DC ∥可证明AB =AE ，再根据EF AB ∥证得△BAH =△AEF ，△ABC =△FEC ，进而得到EF =CF ，再证明四边形AHCF 是平行四边形得到AH =CF =EF ，再利用SAS 证明两三角形全等即可；（2）设CF =EF =AH =a ，BE CE=k ，证明△ABE △△FEC 得出AB =AE =ak ，再证明△ABM △△FGM (AAS )证得AB =GF =ak ，则GE =ak +a ，再证明△ABH △△EGH 得到AB AH EG EH =即111k k k =+-，解方程求出k 值即可解答.（1）证明：△ABC BCD ∠=∠， AE DC ∥，△△AEB =△BCD =△ABC ，△AB =EA ，△EF AB ∥，△△BAH =△AEF ，△ABC =△FEC ，△EF =CF ，△AE △CD ，CH △AF ，△四边形AHCF 是平行四边形，△CF =AH ，即AH =EF ，在△ABH 和△EAF 中，AB EA BAH AEF AH EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABH △△EAF （SAS ）；（2）解：延长BM 、EF 交于点G ，△AB △EF ，AE △CD ，△△ABE =△FEC ，△AEB =△FCE ，△ABM =△FGM ，△△ABE △△FEC ， △BE AB AE EC FE CF==，由（1）知CF =EF =AH ，AB =AE ，设CF =EF =AH =a ，BE EC=k ，则AB =AE =ak ， △点M 为AF 的中点，△AM =MF ，在△ABM 和△FGM 中，ABM FGM AMB FMG AM MF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABM △△FGM (AAS )，△AB =GF =ak ，则GE =ak +a ，△AB △EF ，△△ABH =△EGH ，△BAH =△GEH ，△△ABH △△EGH ， △AB AH EG EH =， △ak a ak a ak a =+-即111k k k =+-，解得：k =1k =1-，经检验，k =1 △BEEC=k =1【点睛】本题考查平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.24．（1）证明见解析；（2） 32．【分析】（1）由矩形的性质和垂直的定义，得到90B C ∠=∠=︒，BAE CED ∠=∠，即可得到结论成立；（2）由相似三角形的性质和矩形的性质，求出4EC =，5BC =，再证明AFD EFG ∽，再利用相似三角形的性质，即可求出GC 的长．【详解】（1）证明：△四边形ABCD 是矩形，△90B C ∠=∠=︒．△90BAE AEB ∠+∠=︒．△AE ED ⊥，△90AED ∠=︒．△90AEB CED ∠+∠=︒．△BAE CED ∠=∠．△ABE ECD ∽．（2）解：△由（1）ABE ECD ∽△△， △AB EC BE CD=． △矩形ABCD 中，2,1CD AB BE ===，△4EC =．△5BC BE EC =+=．△//AD BC ，△AFD EFG ∽． △AD AF EG EF=． △AE EF =，△2AF EF =． △2AD EG =，即115222EG AD BC ===． △32CG EC EG =-=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，余角的性质，以及垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确的进行解题．25．（1）△45°，△2=BD CE ；（2）△见解析，△BD 2CE =-，证明见解析【分析】（1）△证明△AED ＝△D ＝15°，△BAE ＝30°，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．△结论：2=BD CE ．作CK △BC 交BD 于K ，连接CD ．证明BE ＝EK ，DK AE 即可解决问题．（2）△根据要求画出图形即可．△结论：BD 2CE -．过点A 作AF △AE ，交ED 的延长线于点F （如图3），利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质解决问题即可．【详解】（1）解：△如图1中，△△ABC是等边三角形，△AB＝AC，△BAC＝60°，△AE平分△BAC，△△BAE＝1△BAC＝30°，2由旋转可知：AD＝AC，△CAD＝90°．△AB＝AD，△BAD＝150°，△△ABD＝△D＝15°，△△AED＝△ABD+△BAE＝45°．△结论：2BD CE．=理由：作CK△BC交BD于K，连接CD．△AB＝AC，△BAE＝△CAE，AE＝AE，△△AEB△△AEC（SAS），△BE＝EC，△AEB＝△AEC＝135°，△△BEC＝90°，△△EBC＝△ECB＝45°，△△BCK＝90°，△△CKB＝△CBE＝45°，△CB＝CE，△CE△BK，△BE＝EK，△△ADC＝45°，△ADB＝15°，△△CDK＝△CAE＝30°，△△CKD＝△AEC＝135°，△△CDK△△CAE，△DKAE＝CDAC，△DK，△BD＝BK+DK＝2BE AE．（2）解：△图形如图2所示：△结论：BD2CE-．理由：过点A作AF△AE，交ED的延长线于点F（如图3）．△△ABC是等边三角形，△AB＝AC，△BAC＝60°，△AE平分△BAC，△△1＝12△BAC＝30°，由旋转可知：AD＝AC，△CAD＝90°，△AB＝AD，△2＝△CAD﹣△BAC＝30°，△△3＝△4＝75°，△△5＝△4﹣△1＝45°，△AF△AE，△△F＝45°＝△5，△AF＝AE，△EF，△△6＝△EAF﹣△1﹣△2＝30°，△△6＝△1＝30°，又△△F＝△5＝45°，AD＝AB，△△ADF△△ABE（SAS），△DF＝BE，△AB＝AC，AE平分△BAC，△AE垂直平分BC，△CE＝BE，△BD＝EF﹣DF﹣BE，△BD﹣2CE．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．26．（1）见解析；（2）AC=【分析】（1）连接OC，由切线的性质可证得△ACE+△A=90°，又△CDE+△A=90°，可得△CDE=△ACE，则结论得证；（2）先根据勾股定理求出OE，OD，AD的长，证明Rt△AOD△Rt△ACB，得出比例线段即可求出AC的长．【详解】（1）证明：连接OC，△CE与O相切，OC是O的半径，△OC CE⊥，△90OCA ACE ︒∠+∠=.△OA OC =，△A OCA ∠=∠，△90ACE A ︒∠+∠=.△OD AB ⊥，△90ODA A ︒∠+∠=.△CDE ACE ∠=∠，△EC ED =.（2）△AB 为直径，△90ACB ∠=.在Rt DCF ∆中，90DCE ECF ︒∠+∠=，又DCE CDE ∠=∠，△90CDE ECF ︒∠+∠=，又△90CDE F ︒∠+∠=，△ECF F ∠=∠，△EC EF =.△3EF =，△3EC DE ==.在Rt OCE ∆中，4OC =，3CE =，△5OE =.△2OD OE DE =-=.在Rt OAD ∆中，AD =在Rt AOD ∆和Rt ACB ∆中，△A A ∠=∠，△Rt AOD Rt ACB ∆∆∽，△AO AD AC AB =，即4AC =，△AC = 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．27．（1）△BE ＝DG ，△BE △DG ；（2）数量关系不成立，DG ＝2BE ，位置关系成立．理由见解析；（3）BG 2+DE 2＝25．【分析】（1）先判断出△ABE△△DAG ，进而得出BE=DG ，△ABE=△ADG ，再利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE△△DAG ，得出△ABE=△ADG ，再利用等角的余角相等即可得出结论；（3）如图△中，作ET△AD 于T ，GH△BA 交BA 的延长线于H ．设ET=x ，A T=y ．利用勾股定理，以及相似三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）△如图△中，△四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，△AE ＝AG ，AB ＝AD ，△BAD ＝△EAG ＝90°，△△BAE ＝△DAG ，在△ABE 和△DAG 中，AB AD BAE DAG AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△DAG （SAS ），△BE ＝DG ；△如图2，延长BE 交AD 于T ，交DG 于H ．由△知，△ABE △△DAG ，△△ABE ＝△ADG ，△△ATB +△ABE ＝90°，△△ATB +△ADG ＝90°，△△ATB ＝△DTH ，△△DTH +△ADG ＝90°，△△DHB ＝90°，△BE△DG，故答案为：BE＝DG，BE△DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图△中，延长BE交AD于T，交DG于H．△四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，△△BAD＝△DAG，△△BAE＝△DAG，△AD＝2AB，AG＝2AE，△ABAD＝AEAG＝12，△△ABE△△ADG，△△ABE＝△ADG，BEDG ＝12，△DG＝2BE，△△ATB+△ABE＝90°，△△ATB+△ADG＝90°，△△ATB＝△DTH，△△DTH+△ADG＝90°，△△DHB＝90°，△BE△DG；（3）如图△中，作ET△AD于T，GH△BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．。

2019-2020九年级数学一轮复习图形的相似中考真题当堂反馈考点过关训练作业练习含答案解析

2019-2020九年级数学一轮复习图形的相似中考真题当堂反馈考点过关训练作业练习含答案解析一．选择题（共4小题）1．如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD 于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1B．C．1D．3．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m4．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC 的面积为a，则△ABD的面积为（）A．2a B．a C．3a D．a二．填空题（共2小题）5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD 交AC于点E，DE＝．6．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形ADEF的边OA、AD分别在x轴上，OA＝2，AD＝3，则正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐标是．三．解答题（共3小题）7．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC；（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标：；（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标：．8．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△EGB；（2）若AB＝4，求CG的长．9．如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8．AD和过点B的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：∠BAD+∠C＝90°；（2）求线段AD的长．图形的相似参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD 于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：∵在▱ABCD中，EM∥AD∴易证四边形AMEN为平行四边形∴易证△BEM∽△BAD∽△END∴＝＝，A项错误＝，B项错误＝＝，C项错误＝＝，D项正确故选：D．2．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1B．C．1D．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴（）2＝．∵S△ADE＝S四边形BCED，∴＝，∴＝＝＝﹣1．故选：C．3．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO＝90°，又∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO，则＝，∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，∴＝，解得：CD＝0.4，故选：C．4．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC 的面积为a，则△ABD的面积为（）A．2a B．a C．3a D．a【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴＝（）2，即＝，解得，△BCA的面积为4a，∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，故选：C．二．填空题（共2小题）5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD 交AC于点E，DE＝．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠D＝∠ABE，∴∠D＝∠CBE，∴CD＝BC＝6，∴△AEB∽△CED，∴，∴CE＝AC＝×8＝3，BE＝，DE＝BE＝×＝，故答案为．6．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形ADEF的边OA、AD分别在x轴上，OA＝2，AD＝3，则正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐标是（﹣4，0）或（2，）．【解答】解：连接FC并延长交x轴于点M，由题意可得：△MOC∽△MAF，则＝＝，∴＝，解得：MO＝4，故M点的坐标为：（﹣4，0）．连接DC，OE，交点为N，可得△CNO∽△END，则＝＝，解得：AN＝，故N点坐标为：（2，），综上所述：正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐标是（﹣4，0）或（2，）．故答案为：（﹣4，0）或（2，）．三．解答题（共3小题）7．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC；（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标：（﹣3，3）；（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标：（6，6）．【解答】解：（1）△ABC如图所示；（2）△A1B1C1如图所示；A1（﹣3，3），（3）△A2B2C2如图所示；A2（6，6）．故答案为（﹣3，3），（6，6）．8．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△EGB；（2）若AB＝4，求CG的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，∴∠A＝∠BEG，∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，∴∠ABE＝∠G，∴△ABE∽△EGB；（2）∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，∴AE＝DE＝2，在Rt△ABE中，BE＝＝＝2，由（1）知，△ABE∽△EGB，∴＝，即：＝，∴BG＝10，∴CG＝BG﹣BC＝10﹣4＝6．9．如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8．AD和过点B的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：∠BAD+∠C＝90°；（2）求线段AD的长．【解答】解：（1）连接BO延长交⊙O于E，连接AE．∵DB为⊙O的切线，∴EB⊥BD．∵AD⊥BD，∴AD∥BE，∴∠BAD＝∠EBA．∵BE为直径，∴∠EBA+∠E＝90°，由圆周角定理得，∠E＝∠C．∴∠BAD+∠C＝90°；（2）∵⊙O的半径为5，∴BE＝10．∵∠BAD＝∠EBA，∠D＝∠BAE，∴△ABE∽△DAB，∴，∵AB＝8，BE＝10，∴AD＝6.4．∴线段AD的长度为6.4．。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章微专题一线三等角模型解决全等、相似问题练习课件

第四章微专题一线三等角模型解决全等、相似问题
微专题一线三等角模型解决全等、相似问题 1. 如图，△ABC为等边三角形，D是BC上一点，连接AD，点P，Q在AD 上，连接BP，CQ，且∠BPD＝∠CQD＝60°，若BP＝3，CQ＝5，则PQ 的长为_______2_．
第1题图
微专题一线三等角模型解决全等、相似问题 2. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝10，点E是AB的中点，连接 DE，CE，若∠A＝∠B＝∠DEC，则 BBCE的值为____45____．
角，保留作图痕迹；
图①
第5题图
图②
微专题一线三等角模型解决全等、相似问题解：(1)作图如解图①；(注：只需作出其中三种)
方法1
方法2
方法3
方法4
方法5 第5题解图①
方法6
微专题一线三等角模型解决全等、相似问题
方法7
方法8 第5题解图①
方法9
微专题一线三等角模型解决全等、相似问题
(2)如图③，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC >AP，延长AP至点B，使AB
＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD，将△APC沿PC折叠，使点A落
在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长
交PD的延长线于F，连接BF.
N
①确定△PCF的形状，并说明理由；
(2)①△PCF是等腰直角三角形．理由如下：
如图，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于点N.
图③ 第5题图
第5题解图②
微专题一线三等角模型解决全等、相似问题
∴ QE QF ，而QE＝BN－NE－BQ＝3k－NE－k＝2k－NE，
NE NC
即 2k NE k 1 ，

中考一轮复习数学专题16 相似三角形(学生版)

专题16 相似三角形一、单选题1．（2022·甘肃兰州）已知ABC DEF∽△△，12ABDE=，若2BC=，则EF=（）A．4B．6C．8D．162．（2022·广西梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形''''A B C D﹐已知'1 3OAOA，若四边形ABCD的面积是2，则四边形''''A B C D的面积是（）A．4B．6C．16D．183．（2022·浙江丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段3AB=，则线段BC的长是（）A．23B．1C．32D．24．（2021·浙江温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2:3，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若6AB=，则A B''的长为（）A．8B．9C．10D．155．（2020·河北）在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR6．（2020·甘肃金昌）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中b 为2米，则a 约为（）A ．1．24米B ．1．38米C ．1．42米D ．1．62米7．（2020·广西贵港）如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，若3BC =，2BD =，且BCD A ∠=∠，则线段AD 的长为（）A ．2B ．52C ．3D ．928．（2020·湖南永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（）A ．913B ．25C ．35D ．639．（2020·四川成都）如图，直线123////l l l ，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，5AB =，6BC =，4EF =，则DE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．10310．（2020·重庆）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（）A B ．2 C ．4 D ．11．（2020·重庆）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA △OD =1△2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）A ．1△2B ．1△3C ．1△4D ．1△512．（2020·浙江嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标（）A ．（﹣1，﹣1）B ．（﹣43，﹣1）C ．（﹣1，﹣43）D ．（﹣2，﹣1）13．（2020·贵州遵义）如图，△ABO 的顶点A 在函数y ＝kx（x ＞0）的图象上，△ABO ＝90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为（）A ．9B ．12C ．15D ．1814．（2021·辽宁沈阳）如图，ABC 与111A B C △位似，位似中心是点O ，若1:1:2OA OA ，则ABC 与111A B C △的周长比是（）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．15．（2021·四川巴中）如图，AB C 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且12AD AE DBEC，下列结论正确的是（）A ．DE ：BC ＝1：2B ．ADE 与ABC 的面积比为1：3 C ．ADE 与ABC 的周长比为1：2D ．DE //BC16．（2021·湖南湘西）如图，在ECD ∆中，90C ∠=︒，AB EC ⊥于点B ， 1.2AB =， 1.6EB =，12.4BC =，则CD 的长是（）A ．14B ．12.4C ．10.5D ．9.317．（2021·山东济宁）如图，已知ABC ．（1）以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交AC 于点M ，交AB 于点N ．（2）分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点P ．（3）作射线AP 交BC 于点D ．（4）分别以A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于G ，H 两点．（5）作直线GH ，交AC ，AB 分别于点E ，F ．依据以上作图，若2AF =，3CE =，32BD =，则CD 的长是（）A ．510B ．1C ．94D ．418．（2022·广西）已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（） A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：119．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，,,AB CD AC BD ∥相交于点E ，1,2,3AE EC DE ===，则BD 的长为（）A ．32B ．4C ．92D ．620．（2022·山东临沂）如图，在ABC 中，∥DE BC ，23AD DB =，若6AC =，则EC =（）A ．65B ．125C ．185D ．24521．（2022·四川雅安）如图，在△AB C 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，DE △BC ，若AD BD＝21，那么DEBC ＝（）A ．49B ．12C ．13D ．2322．（2022·江苏盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（）A ．40米B ．60米C ．80米D ．100米23．（2022·贵州贵阳）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC 与ACB△的周长比是（）A．B ．1:2C ．1:3D ．1:424．（2022·江苏连云港）如图，将矩形ABCD 沿着GE 、EC 、GF 翻折，使得点A 、B 、D 恰好都落在点O 处，且点G 、O 、C 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：△GF △EC ；△AB =AD ；△GE ；△OC ；△△COF △△CEG ．其中正确的是（）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△25．（2022·重庆）如图，ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，相似比为2:3．若ABC 的周长为4，则DEF 的周长是（）A ．4B ．6C ．9D ．16 本号*资料皆来源于微信：数学26．（2021·山东淄博）如图，在Rt ABC 中，90ACB CE ∠=︒,是斜边AB 上的中线，过点E 作EF AB ⊥交AC 于点F ．若4,BC AEF =△的面积为5，则sin CEF ∠的值为（）A ．35B C ．45D 27．（2021·吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，x 过点A 作x 轴的垂线，与函数(0)ky x x=->的图象交于点C ，连结BC 交x 轴于点D ．若点A 的横坐标为1，3BC BD =，则点B 的横坐标为（）A ．32B ．2C ．52D ．328．（2021·黑龙江黑龙江）如图，平行四边形ABFC 的对角线AF BC 、相交于点E ，点O 为AC 的中点，连接BO 并延长，交FC 的延长线于点D ，交AF 于点G ，连接AD 、OE ，若平行四边形ABFC 的面积为48，则EOG S ∆的面积为（）A ．4B ．5C ．2D ．329．（2021·黑龙江）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，点F 是DE 的中点，连接OF 交CD 于点G ，连接CF ，若4CE =，6OF =．则下列结论：△2GF =；△OD =；△1tan 2CDE ∠=；△90ODF OCF ∠=∠=︒；△点D 到CF ．其中正确的结论是（）A ．△△△△B ．△△△△C ．△△△△D ．△△△△30．（2021·海南）如图，在菱形ABCD 中，点E F 、分别是边BC CD 、的中点，连接AE AF EF 、、．若菱形ABCD 的面积为8，则AEF 的面积为（）本号资料*皆来源于微信：数学A ．2B ．3C ．4D ．531．（2021·广西来宾）如图，矩形纸片ABCD ，:AD AB =，点E ，F 分别在AD ，BC 上，把纸片如图沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A '，B '，连接AA '并延长交线段CD 于点G ，则EFAG的值为（）A B ．23C ．12D 32．（2021·江苏连云港）如图，ABC 中，BD AB ⊥，BD 、AC 相交于点D ，47AD AC =，2AB =，150ABC ∠=︒，则DBC △的面积是（）A B C D 33．（2021·浙江绍兴）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1cos 4B =，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使ADE B ∠=∠，连结CE ，则CE AD的值为（）A ．32 B C D ．2二、填空题34．（2022·湖南邵阳）如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，请添加一个条件_________，使ADE ABC △△∽．35．（2021·贵州黔西）如图，A B C '''与ABC 是位似图形，点O 为位似中心，若OA A A '='，则A B C '''与ABC 的面积比为__．36．（2020·辽宁盘锦）AOB 三个顶点的坐标分别为()5,0A ，()0,0O ，()3,6B ，以原点O 为位似中心，相似比为23，将AOB 缩小，则点B 的对应点'B 的坐标是__________.37．（2020·辽宁锦州）如图，在ABC 中，D 是AB 中点，//DE BC ，若ADE 的周长为6，则ABC 的周长为______．38．（2020·湖南娄底）若1()2b d a c a c ==≠，则b d a c-=-________． 39．（2020·湖南湘潭）若37y x =，则x y x -=________．40．（2020·贵州黔东南）如图，矩形ABC D 中，AB ＝2，BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ △BC 于点Q ，则PQ ＝_____．41．（2021·的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD 是黄金矩形，边AB 1，则该矩形的周长为 __________________．42．（2021·贵州黔东南）已知在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点分别为点A （2，1）、点B （2，0）、点O （0，0），若以原点O 为位似中心，相似比为2，将△AOB 放大，则点A 的对应点的坐标为________． 43．（2021·吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出竿上AD 长为1m 时，它离地面的高度DE 为0.6m ，则坝高CF 为__________m ．44．（2021·内蒙古）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点B 作BD CB ⊥，垂足为B ，且3BD =，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN CB⊥，垂足为N．若2AC=，则MN的长为__________．45．（2022·广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是________米．46．（2022·浙江杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB△BC，DE△EF，DE=2.47m，则AB=_________m．47．（2022·北京）如图，在矩形ABCD中，若13,5,4AFAB ACFC===，则AE的长为_______．48．（2022·上海）如图，在△AB C中，△A=30°，△B=90°，D为A B中点，E在线段AC上，AD DEAB BC=，则AEAC=_____．49．（2022·广西）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．50．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x 轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33OA B ，44OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．51．（2022·湖北鄂州）如图，在边长为6的等边△AB C 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD =CE =2，则△ABP 的周长为 _____．52．（2022·辽宁沈阳）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，折痕为MN ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，点C ，D 的对应点分别在E ，F 且点F 在矩形内部，MF 的延长线交BC 与点G ，EF 交边BC 于点H ．2EN =，4AB =，当点H 为GN 三等分点时，MD 的长为______．53．（2022·湖南常德）如图，已知F 是ABC 内的一点，FD BC ∥，FE AB ∥，若BDFE 的面积为2，13BD BA =，14BE BC =，则ABC 的面积是________．54．（2021·四川内江）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线BD 的垂直平分线EF 交AD 于点E 、交BC 于点F ，则线段EF 的长为 __．55．（2021·甘肃兰州）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =．△以点A 为圆心，以不大于AB 长为半径作弧，分别交边AD ，AB 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，以大于12EF 长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 分别交BD ，BC 于点O ，Q ；△分别以点C ，Q 为圆心，以大于12CQ 长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 交AP 于点G ，则OG 长为______．56．（2021·辽宁营口）如图，矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，点E 是AB 边上一点，3AE =，连接DE ，点F 是BC 延长线上一点，连接AF ，且12F EDC ∠=∠，则CF =_________．57．（2021·江苏无锡）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB =6AC =，点E 在线段AC 上，且1AE =，D 是线段BC 上的一点，连接DE ，将四边形ABDE 沿直线DE 翻折，得到四边形FGDE ，当点G 恰好落在线段AC 上时，AF =________．58．（2020·四川眉山）如图，等腰ABC 中，10AB AC ==，边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ．若ABD △的周长为26，则DE 的长为________．59．（2020·四川宜宾）在直角三角形AB C 中，90,ACB D ︒∠=是AB 的中点，BE 平分ABC ∠交AC 于点E 连接CD 交BE 于点O ，若8,6AC BC ==，则OE 的长是________．60．（2020·山东潍坊）如图，矩形ABCD 中，点G ，E 分别在边,BC DC 上，连接,,AG EG AE ，将ABG 和ECG分别沿,AG EG 折叠，使点B ，C 恰好落在AE 上的同一点，记为点F ．若3,4CE CG ==，则sin DAE ∠=_______．三、解答题61．（2021·江苏南通）如图，利用标杆DE 测量楼高，点A ，D ，B 在同一直线上，DE AC ⊥，BC AC ⊥，垂足分别为E ，C ．若测得1m AE =， 1.5m DE =，5m CE =，楼高BC 是多少？62．（2021·广西贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知ABC ，且AB ＞A C ．本号资料皆来源于微信公众#号：数学（1）在AB 边上求作点D ，使DB ＝DC ；（2）在AC 边上求作点E ，使ADE △AC B ．63．（2021·广西玉林）如图，在ABC 中，D 在AC 上，//DE BC ，//DF AB ．（1）求证：DFC △△AED ；（2）若13CD AC =，求DFC AED S S △△的值．64．（2021·湖北黄冈）如图，在ABC 和DEC 中，A D ∠=∠，BCE ACD ∠=∠．（1）求证：ABC DEC △△；（2）若:4:9ABC DEC S S =，6BC =，求EC 的长．65．（2020·湖北省直辖县级单位）在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图1，在BC上找出一点M，使点M是BC的中点；（2）如图2，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个三等分点．66．（2022·上海）如图所示，在等腰三角形AB C中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：(1)△CAE=△BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ67．（2022·吉林长春）如图△、图△、图△均是55⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)网格中ABC 的形状是________；(2)在图△中确定一点D ，连结DB 、DC ，使DBC △与ABC 全等：(3)在图△中ABC 的边BC 上确定一点E ，连结AE ，使ABE CBA △∽△：(4)在图△中ABC 的边AB 上确定一点P ，在边BC 上确定一点Q ，连结PQ ，使PBQ ABC △∽△，且相似比为1：2．68．（2022·湖南常德）在四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线AF 交BC 于F ，延长AB 到E 使BE FC =，G 是AF 的中点，GE 交BC 于O ，连接GD ．(1)当四边形ABCD 是矩形时，如图，求证：△GE GD =；△BO GD GO FC ⋅=⋅．(2)当四边形ABCD 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论△的证明．69．（2022·湖北黄冈）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是△ABC 的角平分线，可证AB AC ＝BD CD．小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE △AB ，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB AC ＝BD CD ．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB AC ＝BD CD； (2)应用拓展：如图3，在Rt △AB C 中，△BAC ＝90°，D 是边BC 上一点．连接AD ，将△ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．△若AC ＝1，AB ＝2，求DE 的长；△若BC ＝m ，△AED ＝α，求DE 的长（用含m ，α的式子表示）．70．（2022·山东泰安）如图，矩形ABCD 中，点E 在DC 上，DE BE =，AC 与BD 相交于点O ．BE 与AC 相交于点F ．(1)若BE 平分CBD ∠，求证：BF AC ⊥；(2)找出图中与OBF 相似的三角形，并说明理由;(3)若3OF =，2EF =，求DE 的长度．71．（2022·四川自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD ，把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB 由AB 旋转得到，所以EB AB =．我们还可以得到FC ＝， EF ＝；(2)进一步观察，我们还会发现EF △AD ，请证明这一结论；(3)已知BC 30,DC 80==cm cm ，若BE 恰好经过原矩形DC 边的中点H ，求EF 与BC 之间的距离．72．（2021·四川雅安）如图，OAD △为等腰直角三角形，延长OA 至点B 使OB OD =，其对角线AC ，BD 交于点E ．（1）求证：OAF DAB △≌△；（2）求DF AF的值．73．（2021·广西贺州）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，D 是AB 上的一点，以AD 为直径的O 与BC 相切于点E ，连接AE ，DE ．（1）求证：AE 平分BAC ∠；（2）若30B ∠=︒，求CE DE的值．74．（2021·湖南永州）如图1，AB 是O 的直径，点E 是O 上一动点，且不与A ，B 两点重合，EAB ∠的平分线交O 于点C ，过点C 作CD AE ⊥，交AE 的延长线于点D ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求证：22AC AD AO =⋅；（3）如图2，原有条件不变，连接,BE BC ，延长AB 至点M ，EBM ∠的平分线交AC 的延长线于点P ，CAB ∠的平分线交CBM ∠的平分线于点Q ．求证：无论点E 如何运动，总有P Q ∠=∠．75．（2021·湖南益阳）如图，在等腰锐角三角形ABC 中，AB AC =，过点B 作BD AC ⊥于D ，延长BD 交ABC 的外接圆于点E ，过点A 作AF CE ⊥于F ，,AE BC 的延长线交于点G ．（1）判断EA 是否平分DEF ∠，并说明理由；（2）求证：△BD CF =；△22BD DE AE EG =+⋅．76．（2021·黑龙江绥化）如图所示，四边形ABCD 为正方形，在ECH 中，90,,ECH CE CH HE ∠=︒=的延长线与CD 的延长线交于点F ，点D B H 、、在同一条直线上．（1）求证：CDE CBH ≌；（2）当15HB HD =时，求FD FC 的值；（3）当3,4HB HG ==时，求sin CFE ∠的值．77．（2021·山西）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：9325F C =+得出，当10C =时，50F ．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式12111R R R =+求得R 的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120︒的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：△用公式12111R R R =+计算：当17.5R =，25R =时，R 的值为多少； △如图，在AOB 中，120AOB ∠=︒，OC 是AOB 的角平分线，7.5OA =，5OB =，用你所学的几何知识求线段OC 的长．78．（2022·辽宁大连）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在ABC 中，D 是AB 上一点，ADC ACB ∠=∠．求证ACD ABC ∠=∠．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长CA至点E ，使CE BD =，BE 与CD 的延长线相交于点F ，点G ，H 分别在,BF BC 上，BG CD =，BGH BCF ∠=∠．在图中找出与BH 相等的线段，并证明．” 本号资料皆来源@于微信：数学问题解决：（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当90BAC ∠=︒时，若给出ABC 中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若90BAC ∠=︒，4AB =，2AC =，求BH 的长．”79．（2022·广东深圳）（1）【探究发现】如图△所示，在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，将AEB △沿BE 翻折到BEF 处，延长EF 交CD 边于G 点．求证：BFG BCG △≌△（2）【类比迁移】如图△，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，且8,6,AD AB ==将AEB △沿BE 翻折到BEF 处，延长EF 交BC 边于点,G 延长BF 交CD 边于点,H 且,FH CH =求AE 的长．（3）【拓展应用】如图△，在菱形ABCD 中，E 为CD 边上的三等分点，60,D ∠=︒将ADE 沿AE 翻折得到AFE △，直线EF 交BC 于点,P 求CP 的长．80．（2022·山东烟台）(1)【问题呈现】如图1，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，连接BD ，CE ．求证：BD ＝CE ．(2)【类比探究】如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，△ABC ＝△ADE ＝90°．连接BD ，CE ．请直接写出BD CE的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，△ABC＝△ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD，CE．△求BDCE的值；△延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin△BFC的值．。

精品九年级数学中考数学一轮复习第12课相似形

3 3 ) 2 2
3 2
3 2
)
C. (
1
3 2
2
)
D. (
3 1 , ) 2 2
10.如图,D 是△ABC 的边 BC 上一点,已知 AB=4,AD=2,∠DAC=∠B,若△ABD 的面积为 a，则△ACD 的面积为（） A.a B.
1 a 2
C.
1 a 3
D.
2 a 3
11.在直角坐标系中,已知 O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3)，D 为 x 轴上一点.若以 D、O、C 为顶点的三角形与△AOB 相似,这样的 D 点有（ A.2 个） B.3 个
3 2
B.
2 3
C.
1 2
D.
3 4
第 1 题图
第 2 题图
第 3 题图
2.如图,在 5 5 方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么,下面的平移方法中，正确的是（ A.先向下平移 3 格，再向右平移 1 格 C.先向下平移 2 格，再向右平移 2 格） B.先向下平移 2 格，再向右平移 1 格 D.先向下平移 3 格，再向右平移 2 格）
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中考数学一轮复习
21.如图, Rt△ ABC 中, ACB 90° 直线 EF ∥ BD，交 AB 于点 E 交 AC 于点 G 交 AD 于点 F, ，若 S△ AEG 1 S四边形EBCG，则 CF 3 AD ．
第 21 题图
第 22 题图
第 23 题图
0
33.操作:如图,在正方形 ABCD 中,P 是 CD 上一动点（与 C、 D 不重合），使三角板的直角顶点与点 P 重合, 并且一条直角边始终经过点 B,另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点 E．探究：①观察操作结果,哪一个三角形与△BPC 相似,写出你的结论，（找出两对即可）；并选择其中一组说明理由； ②当点 P 位于 CD 的中点时,直接写出① 中找到的两对相似三角形的相似比和面积比．

中考数学一轮复习《相似》专项练习-带含参考答案

中考数学一轮复习《相似》专项练习-带含参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列四组图形中，不是相似图形的是（）A．B．C．D．2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A．B．C．D．3．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m4．如图所示，四边形中，AD//BC，∠B=90°，AB=7，AD=3，BC=4，若与相似，则符合条件的点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）A．或B．C． D．或6．如图，四边形是平行四边形，点E在边上，连接交于点F，则（）A．2：1 B．2：3 C．2：5 D．1：37．如图，点为的重心连结CG并延长交AB于点，作于点，过点作交AC于点，则的值为（）A．1 B．C．D．8．如图，是等腰直角三角形，点O是的中点，点D是延长线上的一点，以为斜边向左侧作等腰，与交于点F，连接，平分．下列结论不成立的是（）A．B．C．D．二、填空题9．如果，那么的值为．10．如图，与交于点，若，则．11．如图，平行四边形中，E为延长线上的一点，且，交于点F.若，则的长为.12．如图，将正方形ABCD的边AB，BC绕着点A逆时针旋转一定角度，得到线段，连接交CD于点E，连接，若，则.13．如图，在中，∠C=60°，D为线段的中点，点E，F分别在，上，且，沿将折叠得到，若，则的长是．三、解答题14．如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为多少．15．已知a，b，c是的三边长，且．（1）求的值；（2）若的周长为81，求三边a，b，c的长．16．如图，在中，BC=20，BA=10，点是边上的一点，且，联结，过点作，交的延长线于点．（1）求证：；（2）如果，求的面积．17．如图，在中，点、分别在边，上，线段分别交线段，于点，G，且．（1）求证：；（2）若，求的值．18．如图，在锐角中，过点A作于点D，过点B作于点E，与相交于点H，连接.的平分线交于点F，连接交于点G. （1）求证：（2）试探究线段，BE，DE之间的数量关系；（3）若，求的长.参考答案：1．D2．C3．A4．C5．D6．C7．B8．C9．510．11．2.512．75°13．14．解：如图，过作于，则∴，即解得答：坝高为．15．（1）解：因为设，则（2）解：令，得所以，和．16．（1）证明：∵∴∵∴∴在与中∴∴∵∴∴．（2）解：∵∴设∵在中，由勾股定理得∴．∴∵∴△CAD∽△CEB ．∴∵∴．∴∴．17．（1）证明：．又；（2）解：．18．（1）证明：∵∴∴∴；（2）解：过点作，交于点则：∵∴，AD=BD ∴又∵∴∴∴是等腰直角三角形∴∴（3）解：由（2）知：∵∴∴∵的平分线交于点F∴∴∵∴∴∴∵∴∵∴∴∴过点作，垂足为则：∴∵∴∴∴∴，即：∴∴∴∵∴∴∴作，交于点则：∴，即：∴∴∵∴∴，即：∴。

人教版中考一轮复习《相似三角形》同步练习含试卷分析答题技巧

中考数学一轮复习相似三角形一、选择题1.下列叙述正确的是（）A．任意两个正方形一定是相似的B．任意两个矩形一定是相似的C．任意两个菱形一定是相似的D．任意两个等腰梯形一定是相似的2.Rt△ABC的两条直角边分别为3cm、4cm,与它相似的Rt△A/B/C/的斜边为20cm,那么Rt△A/B/C/的周长为（）A．48cm B．28cm C．12cm D．10cm3.如图,已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC，EF∥AB,且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：54.如图,已知直线a∥b∥c,直线m,n与a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,若AC=4,CE=6,BD=3,则DF的值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.55.下列说法中正确的是（）①在两个边数相同的多边形中，如果对应边成比例，那么这两个多边形相似；②如果两个矩形有一组邻边对应成比例，那么这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似.A．①②B．②③C．③④D．②④6.如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是 ( )7.如图，在▱ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中相似三角形共有（）对.A．2对B．3对C．4对D．5对8.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A． =B．C．D．9.下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．A．②B．①②C．③④D．②③④10.如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A．2cm2B．4cm2C．8cm2D．16cm211.如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图)，她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下树高是( )A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m12.将一副三角尺（在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中，∠EDF=90°,∠E=45°)如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°<α<60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则PM：CN的值为（）A．B．C．D．二、填空题13.在一张比例尺为1：50000的地图上，如果一块多边形地的面积是100cm2，那么这块地的实际面积是________m2（用科学记数法表示）．14.如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= .15.如图278，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，则这两个四边形每组对应顶点到位似中心的距离之比是__________．16.如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB，若NF=NM=2，ME=3，则AN的长度为 .17.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.Rt△MPN中，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=________.18.如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1， A3A4=4OA1，…．那么A2B2=________，A n B n=________．（n为正整数）三、解答题19.如图，已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E．(1)求证：BC=CE；(2)求证：AD:BD=AC:BC;20.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，若∠APB=120°.求证：△ACP∽△PDB．21.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B.点E在AD边上，CD=CE.（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若AB=6，AC=4.5，BD=2，求AE的长.22.如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN=90°，联结MN、AC，N与边AD交于点E．（1）求证；AM=AN；（2）如果∠CAD=2∠NAD，求证：AM2=AC•AE．23.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PF:PC=1:2，AF=5，求CP的长.24.如图，矩形OABC的顶点A．C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y=(x>0)的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E是AB的中点.(1)求点D的坐标；(2)点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求点F的坐标.参考答案1.A2.A3.A4.B5.6.D；7.B；8.A9.A10.C11.C；12.C13.答案为：2.5×10714.答案为：；15.答案为：1：；16.答案为：4；17.答案为：3；x k218.答案为：6；n（n+1）19.证明：(1)∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD．又∵BE∥CD，∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD．∵∠ACD=∠BCD，∴∠CBE=∠CEB．故△BCE是等腰三角形，BC=CE．(2)∵BE∥CD，根据平行线分线段成比例定理可得AD:BD=AC:CE，又∵BC=CE，∴AD:BD=AC:BC．20.证明：∵△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°．∴∠ACP=∠PDB=120°．∵∠APB=120°，∴∠A+∠B=60°．∵∠PDB=120°，∴∠DPB+∠B=60°．∴∠A=∠DPB．∴△ACP∽△PDB．21.（1）证明：∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED.∴∠ADB=∠CEA．∵∠DAC=∠B，∴△ABD∽△CAE.（2）解：由（1）△ABD∽△CAE，∴.∵AB=6，AC=，BD=2，∴AE=.22.23.解：(1)AB是⊙O的切线.理由：连接DE、CF.∵CD是直径，∴∠DEC=∠DFC=90°.∵∠ACB=90°，∴∠DEC ＋∠ACE=180°，∴DE ∥AC ，∴∠DEA=∠CAE=∠DCF. ∵∠DFC=90°，∴∠DCF ＋∠CDF=90°.∵∠ADF=∠CAE=∠DCF ，∴∠ADF ＋∠CDF=90°，∴∠ADC=90°， ∴CD ⊥AD ，∴AB 是⊙O 的切线.(2)∵∠CPF=∠APC ，∠PCF=∠PAC ，∴△PCF ∽△PAC ，∴，∴PC 2=PF ·PA ．设PF=a ，则PC=2a ，PA=a ＋5，∴4a 2=a(a ＋5)，∴a=，∴PC=2a=.24.解：(1)∵四边形OABC 为矩形，∴AB ⊥x 轴.PC PF PA PC 35310。

中考数学一轮复习专题解析—相似三角形

中考数学一轮复习专题解析—相似三角形复习目标1.了解相似图形和相似三角形的概念。

2.掌握三角形相似的判定方法和性质并学会运用。

考点梳理一、相似图形1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.2.比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=．注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． 3. 比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b ad b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=．合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等．等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．4.比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．5.黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB 例1．如果0ab cd =≠，则下列正确的是（）A ．::a c b d =B ．::a d c b =C ．::a b c d =D ．::d c b a = 【答案】B【分析】根据比例的基本性质，列出比例式即可．【详解】解：∵0ab cd =≠，∵::a d c b =，故选：B ．例2．两个相似多边形的一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，那么它们的相似比为（）A ．23B C ．49 D ．94【答案】A【分析】根据相似多边形的性质求解即可；【详解】两个相似多边形一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，∵它们的相似比为：6293=．故选A ．二、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∵”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：∵对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．∵顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．∵两个三角形形状一样，但大小不一定一样．∵全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．三、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∵ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∵'''C B A ∆，则'''C B A ∆∵ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∵C B A '∆''，且C B A '∆''∵C B A ''''''∆，则ABC ∆∵C B A ''''''∆．四、相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：五、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

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相似形课后作业1、如图，△ABC 中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A ．B ．C ．D ．2、如图，已知D 是△ABC 中的边BC 上的一点，∠BAD=∠C ，∠ABC 的平分线交边AC 于E ，交AD 于F ，那么下列结论中错误的是（）A ．△BDF ∽△BECB ．△BFA ∽△BEC C ．△BAC ∽△BDAD ．△BDF ∽△BAE3、已知x ：y ：z=2：3：4，则zyx 23 =（） A ．1 B ．43 C ．0 D ．834、如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）A ．B ．C ．D ．5、P 是△ABC 一边上的一点（P 不与A 、B 、C 重合），过点P 的一条直线截△ABC ，如果截得的三角形与△ABC 相似，我们称这条直线为过点P 的△ABC 的“相似线”．Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，当点P 为AC 的中点时，过点P 的△ABC 的“相似线”最多有几条？（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6、如图，△ABC 中，P 为AB 上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B ；②∠APC=∠ACB ；③AC 2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC 和△ACB 相似的条件是（）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③7、若bca a cbc b a +=+=+=k ，则k= 8、如图，D 是BC 上一点，E 是AB 上一点，AD 、CE 交于点P ，且AE ：EB=3：2，CP ：CE=5：6，那么DB ：CD= ．9、将两块全等的三角板如图放置，点O 为AB 中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O 旋转，B′C′、A′B′与边AC 分别交于点M 、N ，当CM= 时，△OMN 与△BCO 相似．10、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，△ABC 的高AM 交DE 于点N ，BC=15，AM=10，DE=MN ，求MN 的长．11、如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、CD 上的点，AE=ED ，DF=41DC ，连接EF 并延长交BC 的延长线于点G ．（1）求证：△ABE ∽△DEF ；（2）若正方形的边长为4，求BG 的长．12、如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D 是AB 的中点，点E 在DC 的延长线上，且CE=31CD ，过点B 作BF ∥DE 交AE 的延长线于点F ，交AC 的延长线于点G ．（1）求证：AB=BG ；（2）若点P 是直线BG 上的一点，试确定点P 的位置，使△BCP 与△BCD 相似参考答案1、解析：根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．解：A 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误； D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．故选D ．2、解析：根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．解：∵∠BAD=∠C ，∠B=∠B ， ∴△BAC ∽△BDA ．故C 正确． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠AB E=∠CBE ，∴△BFA ∽△BEC ．故B 正确． ∴∠BFA=∠BEC ， ∴∠BFD=∠BEA ，∴△BDF ∽△BAE ．故D 正确．而不能证明△BDF ∽△BEC ，故A 错误．故选A3、解析：根据等式的性质，可得x ，y ，z ，根据等式的性质，可得答案．解：设x=2k ，y=3k,z=4k8383623=-=-k k k z y x ，故选：D ． 4、解析：设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出左图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项．解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为2，2，10，A 、因为三边分别为：2，5，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；B 、因为三边分别为：1，2，5，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；C 、因为三边分别为：1，22，5三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；D 、因为三边分另为：2，5，13，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选：B ．5、解析：根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．解：如图所示：当PD ∥BC 时，△APD ∽△ACB ；当PE ∥AB 时，△CPE ∽△BAC ；当PF ⊥AB 时，△APF ∽△ABC 故过点P 的△ABC 的相似线最多有3条．故选：C ．6、解析：根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．解：当∠ACP=∠B ，∠A 公共，所以△APC ∽△ACB ；当∠APC=∠ACB ，∠A 公共，所以△APC ∽△ACB ；当AC 2=AP•AB，即AC ：AB=AP ：AC ，∠A 公共，所以△APC ∽△ACB ；当AB•CP=AP•CB，即PC:BC=AP:AB 而∠PAC=∠CAB ，所以不能判断△APC 和△ACB 相似．故选D ．7、解析：用k 表示出a+b ，b+c ，c+a ，然后相加求解即可．解：∵bca a cbc b a +=+=+=k ，∴a+b=kc ，b+c=ka ，c+a=kb ， ∴2（a+b+c ）=k （a+b+c ），∴（a+b+c ）（2-k ）=0，∴a+b+c=0或2-k=0，当a+b+c=0时，k=ccc b a -=+=-1，当2-k=0时，k=2，所以，k=-1或2．故答案为：-1或2．8、解析：过E 点作EF ∥BC ，交AD 于F ．根据平行线分线段成比例得出EF ：BD=3：（3+2）=3：5，EF ：CD=（6-5）：5=1：5=3：15，从而得解．解：过E 点作EF ∥BC ，交AD 于F ． ∵AE ：EB=3：2，CP ：CE=5：6，∴EF ：BD=3：（3+2）=3：5，EF ：CD=（6-5）：5=1：5=3：15， ∴DB ：CD=5：15=1：3．故答案为：1：3．9、解析：由直角三角形斜边上的中线性质得出OC=21AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性质得出∠B=∠MON ．△OMN 与△BCO 相似，分两种情况：①当OM=MN 时，作OD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，则AD=CD=21AC=4，由勾股定理求出OD ，由三角形的面积求出CE ，由相似三角形的性质得出比例式求出OM=MN=825，由勾股定理求出DM ，得出CM=CD-DM=4-87=825；②当ON=MN 时，由△OMN ∽△BCO ，得出58OM MN OD BC BO CE ====，求出OM ，与勾股定理求出DM ，即可得出CM 的长．解：∵∠ACB=90°，点O 为AB 中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，∴OC=21AB=OA=OB=5，=8， ∵△ABC ≌△A′B′C′，∴∠B=∠MON ．若△OMN 与△BCO 相似，分两种情况：①当OM=MN 时，作OD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，如图所示：则AD=CD=21AC=4，△ABC 的面积=21AB•CE=21AC•BC， ∴OD=22AD OA -=2245-=3，CE=AB BC AC ∙=524，∵△OMN ∽△BOC ，∴CE OD BC MN ==5243=85，即5MN ＝85，∴OM=MN=825，∴DM=22OD OM -=87，∴CM=CD-DM=4-87=825； ②当ON=MN 时， ∵△OMN ∽△BCO ，∴5243===CE OD BO MN BC OM =85，即6OM ＝85，解得：OM=415，∴DM=22OD OM -=49，∴CM=CD-DM=4-49=47；综上所述：当CM=825或47时，△OMN 与△BCO 相似10、解析：设MN=x ，则AN=10-x ，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出MN 的长．解：设MN=x ，则AN=10-x ，∵DE ∥BC ，∴BC DE AM AN =，即101015xx -=，即MN 的长为6．11、解析：（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D ，根据已知可得DEDFAB AE =，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE ∽△DEF ；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG 的长，即可求得BG 的长．（1）证明：∵ABCD 为正方形，∴AD=AB=DC=BC ，∠A=∠D=90°， ∵AE=ED ，∴21=AB AE ，∵DF=21DC ，∴DE DF ＝21， ∴DEDF AB AE =，∴△ABE ∽△DEF ；（2）解：∵ABCD 为正方形，∴ED ∥BG ，∴CFDFCG ED =，又∵DF=41DC ，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．12、解析：（1）利用平行分线段成比例定理得出EFAECG AC BD AD ==，进而得出△ABC ≌△GBC （SAS ），即可得出答案；（2）分别利用第一种情况：若∠CDB=∠CPB ，第二种情况：若∠PCB=∠CDB ，进而求出相似三角形即可得出答案．（1）证明：∵BF ∥DE ，∴EFAECG AC BD AD ==， ∵AD=BD ，∴AC=CG ，AE=EF ，在△ABC 和△GBC 中：AC ＝CG, ∠ACB ＝∠GCB, BC ＝BC ∴△ABC ≌△GBC （SAS ），∴AB=BG ；（2）解：当BP 长为25或532时，△BCP 与△BCD 相似； ∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴CD=2.5，∴∠DCB=∠DBC ， ∵DE ∥BF ，∴∠DCB=∠CBP ，∴∠DBC=∠CBP ，第一种情况：若∠CDB=∠CPB ，如图1：在△BCP 与△BCD 中,∠CDB ＝∠CPB, ∠DBC ＝∠PBC, BC ＝BC ∴△BCP ≌△BCD （AAS ），∴BP=CD=2.5；第二种情况：若∠PCB =∠CDB ，过C 点作CH ⊥BG 于H 点．如图2：∵∠CBD=∠CBP ，∴△BPC ∽△BCD ，∵CH ⊥BG ，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH ，∴△ABC ∽△CBH ，∴BH BC CB AB =，∴BH=516，BP=532．综上所述：当PB=2.5或532时，△BCP 与△BCD 相似．。