河南省新乡市2017届高三第二次模拟测试数学(理)试题(含答案)

新乡市高三第二次模拟测试
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合(){}{}
2|20,|490A x x x B x Z x =-==∈-≤，则A B 等于 A. {}2,1,0,1-- B. {}1,0,1,2- C. []2,2- D.{}0,2
2.设a R ∈，复数3a i z i
-=
+（i 是虚数单位）的实部为2，则复数z 的虚部为 A. 7 B. 7- C. 1 D.1-
3.若向量()()1,2,,4a b m ==- ，若0a b a b ⋅+⋅= ，则实数m 等于 A. -4 B. 4 C. -2 D. 2
4.设0.40.40.86,log 0.5,log 0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系是
A. a b c <<
B. c b a <<
C. c a b <<
D. b c a <<
5.执行如图所示的程序框图输出S 的值为
A. 3115-
B. 75-
C. 3117-
D. 2117
- 6.已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2,
所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取
20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分
别为
A. 100,8
B. 80,20
C. 100,20
D.80,8
7.已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点为F,点B 是虚轴上的一个顶点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A,若2BA AF = ，且4BF = ，则双曲线C 的方程为
A. 22165x y -=
B. 221812x y -=
C. 22184x y -=
D. 22
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x y -= 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 323 B. 163 C. 83 D. 43
9.设函数()9sin 20,48f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，若方程()f x a =恰好有三
个根，分别为123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是 A.95,84ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 511,48ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 313,28ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 715,48ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
10.若实数,x y 满足22026003x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩
，且()2z mx y m =-<的最小值为52-，则m 等于 A. 54 B. 56- C. 1 D.13
11.已知正三角形ABC 的三个顶点都在球心为O ，半径为3的球面上，且三棱锥O-ABC 的高为2，点D 到线段BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值为 A. 154π B. 4π C. 72
π D.3π 12.函数()y f x =的图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别为,A B k k ，规定
(),A B
k k A B AB ϕ-=叫做曲线在点A 与点B 之间的“弯曲线”，设曲线x
y e =上不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，且121x x -=，若(),3t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是
A. (],3-∞
B.(],2-∞
C. (],1-∞
D.[]1,3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若()5234501234512x a a x a x a x a x a x -=+++++，则32
a a = .
14.已知()()121,9,A y B y 是抛物线()220y px p =>上的两点，210y y >>，点F 是它的焦点，若5BF AF =，则212y y +的值为 .
15.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并无关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出关，第一关收税金
12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14
，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，五关所收税金之和，恰好重1斤.问原本持金多少？”改为“假设这个人原本持金x ，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为 x .
16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，1cos 9
C =,且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分12分）
在数列{}{},n n a b 中，{}11,2
n a a =的前n 项和n S 满足()1111.22n n
n n S S n N +*+⎛⎫⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(){}21,n n n b n a b =+的前n 项和为.n T （1）求数列{}n b 的通项公式n b 以及n T ；
（2）若()13223,,3T T mT T T ++成等差数列，求实数m 的值.
18.（本题满分12分）
如图，在三棱柱111A B C ABC -中，侧面11ACC A 与侧面
11CBBC
都是菱形，1116
0,2A C C C CB A C ∠=∠== （1）求证：11AB CC ⊥；
（2
）若111AB AC = 的中点为1D
，求二面角11C AB D --的余弦值.
19.（本题满分12分）
在高中学习过程中，同学们经常这样说：“如果物理成绩好，那么学习数学就没有什么问题.”
某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论.现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如下表：
（1）求数学成绩y 关于物理成绩x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+（精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；
（2）要从抽取的这5位同学中随机抽取三位参加一项知识竞赛，以X 表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.
20.（本题满分12分）
设椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A,过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且1F 恰好为线段2QF
的中点. （1）若过2,,A Q F 三点的圆恰好与直线3470x y --=相切，求椭圆C 的方程；
（2）在（1）的条件下，B 是椭圆的左顶点，过点3,02R ⎛⎫
⎪⎝⎭作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于E,F 两点，直线,BE BF 分别交直线83
x =于,M N 两点，若直线,MR NR 的斜率分别为12,k k ，试问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不存在，请说明理由.
21.（本题满分12分）
已知函数()2
2ln 311.f x x x x =-- （1）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；
（2）若关于x 的不等式()()()232132f x a x a x ≤-+--恒成立，求整数a 的最小值；
（3）若正实数12,x x 满足()()()
()221212124124f x f x x x x x +++++=， 证明：122x x +≥.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，已知直线的参数方程为
sin 2cos x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩
，曲线C 的参数方程为（t 为参数，0ϕπ<<），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin .ρθθ=
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于A,B 两点，当ϕ变化时，求AB 的最小值.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数() 2.f x x =-
（1）求不等式()2
40f x x +->的解集； （2）若()73g x x m =-++，若关于x 的不等式()()f x g x <解集非空，求实数m 的取值范围.。