2.4 压缩映射原理及应用1

⇒x与Tx都是 的不动点 与 都是 ⇒x=Tx （不动点的唯一性） 不动点的唯一性）
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3.压缩映射原理应用 压缩映射原理应用 应用压缩映射原理及其推论解决实际问题的步骤： 应用压缩映射原理及其推论解决实际问题的步骤： 1) 说明 是完备距离空间； 说明X是完备距离空间 是完备距离空间； 2) 有实际问题定义映射 有实际问题定义映射T:X→X，使x=Tx； → ， ； 3) 证明所定义映射 是X上的压缩映射； 证明所定义映射T是 上的压缩映射 上的压缩映射； 3) 有压缩映射原理说明不动点的存在唯一性。 有压缩映射原理说明不动点的存在唯一性。 例4.1 设f (x)在R可导 且|f ′(x)|≤α 可导, |≤α<1, 则f (x)在R上有唯一的不动 在 可导 |≤α 在 上有唯一的不动 可由迭代x 迭代求得. 点x,且x可由迭代 n+1=Txn (n=1,2,…) (∀x0∈R)迭代求得 且 可由迭代 ∀ 迭代求得 是完备距离空间， 的一个映射， 证 R是完备距离空间，函数 是完备距离空间 函数f(x)是R到R的一个映射， 是 到 的一个映射 由拉格朗日中值定理, ∀x1,x2∈R, 由拉格朗日中值定理 有 ||x |≤αρ(x ρ(f(x1), f(x2))=|f(x1)-f(x2)|=|f’(ξ)|| 1-x2|≤αρ 1,x2) | | | ξ || ⇒ f: R→R是压缩映射 → 是压缩映射 上有唯一的不动点x，对于迭代x ⇒ f(x)在R上有唯一的不动点 ，对于迭代 n+1=Txn，有 在 上有唯一的不动点
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满足Lipschitz条件： 条件： 例4.3 设f (x,y)在R2上连续 且关于 满足 在 上连续, 且关于y满足 条件 |≤k| 则微分方程初值问题： |f (x, y1)-f (x,y2)|≤ |y1-y2 | (k>0),则微分方程初值问题： |≤ 则微分方程初值问题
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→∞) ≤α<1) ⇒ρ(xn+k,xn)→0 (n→∞ (0≤α → →∞ ≤α 是基本列⇒ 完备) ⇒{xn}是基本列⇒{xn}收敛 (X完备 是基本列 收敛 完备 →∞) ⇒∃x∈X, 使xn→x (n→∞ ∈ →∞ ② 证明极限点 就是 的不动点。 证明极限点x就是 的不动点。 就是T的不动点 T是压缩映射⇒T是连续映射 是压缩映射⇒ 是连续映射 是压缩映射 xn+1=Txn , xn→x, T连续⇒x=Tx (n→∞ 连续⇒ →∞) 连续 →∞ ⇒x是T的不动点 是 的不动点 都是T的不动点 唯一性 设x,y都是 的不动点⇒x=Tx,y=Ty 都是 的不动点⇒ ≤αρ(x,y)⇒ρ(x,y)=0 (0≤α ≤α<1) ⇒ρ(x,y)=ρ(Tx,Ty)≤αρ ρ ≤αρ ⇒ ≤α
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2. 压缩映射原理 压缩映射原理(Banach不动点原理，波兰，1922) 不动点原理，波兰， 不动点原理 定理4.1 (压缩映射原理 设X 是完备的距离空间，映射 ： 压缩映射原理) 是完备的距离空间，映射T： 定理 压缩映射原理 X→X是压缩映射，则T在X中存在唯一的不动点 即x=Tx。 是压缩映射 中存在唯一的不动点x, → 是压缩映射， 在 中存在唯一的不动点 。 完备， 映射， 证 存在性 设X完备，T: X→X是压缩映射， 完备 → 是压缩映射 任取初始点x ① 任取初始点 0∈X，构造迭代序列 n}⊂X： ，构造迭代序列{x ⊂ ： xn+1=Txn (n=0,1,2,…) 证明{x 是基本列 因而是收敛列。 是压缩映射 是基本列, ② 证明 n}是基本列 因而是收敛列。T是压缩映射 ∃α, ≤α ≤α<1, 使得 ⇒∃α 0≤α ≤αρ(x ρ(xn+1,xn)=ρ(Txn,Txn-1)≤αρ n,xn-1)≤α2ρ(xn-1,xn-2) ρ ≤αρ ≤α ≤…≤αnρ(x1,x0)=αnρ(Tx0,x0) (n=1,2,…) ≤α α ≤ρ(x ⇒ρ(xn+k,xn)≤ρ n+k,xn+k-1)+ρ(xn+k-1,xn+k-2)+…+ρ(xn+1,xn) ≤ρ ρ ρ ≤(αn+k-1+αn+k-2+…+αn)ρ(Tx0,x0) (∀k∈N) α α α ρ ∀ ∈
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结束Leabharlann 第6页 页压缩映射原理给出了映射的不动点存在的条件； 注 1) 压缩映射原理给出了映射的不动点存在的条件； 2) 压缩映射原理提供了映射不动点的求法 迭代法 压缩映射原理提供了映射不动点的求法—迭代法 迭代法: ∀x0∈X, 令xn=Txn-1, 则 xn=Tnx0 (n=1,2,…), x=lim xn (n→∞ →∞). →∞ 3)压缩映射原理给出了近似解的误差估计公式： 压缩映射原理给出了近似解的误差估计公式： 压缩映射原理给出了近似解的误差估计公式
x=Tx
∀x0 , xn+1=Txn
~ = T~ x x
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一、压缩映射及压缩映射原理 1.压缩映射及其不动点的定义 压缩映射及其不动点的定义 定义4.1 (压缩映射 设X是距离空间，T：X→X是X上的自映 压缩映射) 是距离空间， ： → 是 上的 上的自映 定义 压缩映射 是距离空间 如果存在0≤α ≤α<1， 射，如果存在 ≤α ，对∀x,y∈X，都有 ∈ ， ≤αρ(x,y)， ρ(Tx,Ty)≤αρ ≤αρ ， 则称T是 上的一个压缩映射。 上的一个压缩映射 则称 是X上的一个压缩映射。 定理1 定理 压缩映射是连续映射 事实上， 事实上，∀{xn}⊂X, xn→x∈X, T:X→X是压缩映射 ⊂ ∈ → 是压缩映射 ≤ρ(x → →∞) ⇒ρ(Txn, Tx)≤ρ n,x)→0 (n→∞ ⇒T是连续映射 ≤ρ →∞ 是连续映射 定义4.1 (映射的不动点 设X距离空间，T：X→X是X上的自映射， 映射的不动点) 距离空间， ： → 是 上的自映射， 上的自映射 定义 映射的不动点 距离空间 如果存在x∈ ，使得x=Tx，则称 是映射 的一个不动点。 是映射T的一个不动点 如果存在 ∈X，使得 ，则称x是映射 的一个不动点。
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是压缩映射⇒ 唯一y(x) y(x)∈ ⇒ T是压缩映射⇒∃唯一y(x)∈C(x0-δ,x0+δ), 使
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例4.3 设有线性方程组 如果对每个i, 如果对每个 证 Rn按距离 则该方程组有唯一解。 则该方程组有唯一解。 是完备的距离空间. 是完备的距离空间
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推论4.2 设X是完备距离空间，T：X→X，如果存在常数α 是完备距离空间， ： → ，如果存在常数α 推论 是完备距离空间 (0≤α ≤α<1) ≤α 及正整数n 使对任何x, ∈ ， 及正整数 0 ，使对任何 y∈X，都有 存在唯一不动点x， 则T存在唯一不动点 ，即x=Tx. 存在唯一不动点 (其中定义：T2x=T(Tx), T3x=T(T2x),…,Tnx=T(Tn-1x),…) 其中定义： 其中定义 证 ⇒ 是X上的压缩映射 上的压缩映射
的映射, 可以证明， 是压缩映射 是压缩映射， 则T是Rn到Rn的映射 可以证明，T是压缩映射，因而存在唯一 是 不动点x, 即原方程组有唯一解。 不动点 使得 x=Tx=Ax+b, 即原方程组有唯一解。 事实上， 事实上，∀x(k)=(x1(k) ,x2(k) ,…,xn(k) )∈Rn, k=1,2. ∈
有唯一解。 有唯一解。 完备, 上连续, 证 R2完备 且y(x)在R上连续 ∀δ 在 上连续 ∀δ>0, 使α=kδ<1, 令 δ C[x0-δ,x0+δ]={y=y(x)|x∈[x0-δ, x0+δ], y(x)连续 ， 连续}， δ δ | ∈ δ δ 连续 按如下距离ρ 是完备的距离空间： 则C[x0-δ, x0+δ]按如下距离ρ(y1,y2)是完备的距离空间： δ δ 按如下距离 是完备的距离空间
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在闭区间[x 上可导, |≤α<1, 又|f(x0)例4.2 设f(x)在闭区间 0-h,x0+h]上可导 且|f’(x)|≤α 在闭区间 上可导 |≤α x0|≤ α)h, 则f(x)在[x0-h,x0+h]上有唯一的不动点 且x可由迭代 |≤(1-α 上有唯一的不动点x, 在 上有唯一的不动点 可由迭代 xn+1=Txn (n=1,2,…) (∀x0∈[x0-h,x0+h])迭代求得 迭代求得. ∀ 迭代求得 结合推论4.1及例 即得证。） 及例4.1即得证 证 （结合推论 及例 即得证。） R是完备距离空间，函数 是完备距离空间， 的一个映射， 是完备距离空间 函数f(x)是R到R的一个映射， 是 到 的一个映射 由拉格朗日中值定理, ∀x1,x2∈[x0-h, x0+h], 由拉格朗日中值定理 有 ||x |≤αρ(x ρ(f(x1), f(x2))=|f(x1)-f(x2)|=|f’(ξ)|| 1-x2|≤αρ 1,x2) | | | ξ || ⇒ f: R→R是压缩映射 → 是压缩映射 |≤(1-α 又ρ(f(x0), x0)=|f(x0)-x0|≤ α)h | ⇒f(x)在[x0-h, x0+h]上有唯一的不动点 (推论 上有唯一的不动点x 推论4.2)， 在 上有唯一的不动点 推论 ， 且对于迭代x 且对于迭代 n+1=Txn，有