2.4 压缩映射原理及应用ppt课件
叙述压缩映射原理
叙述压缩映射原理压缩映射原理是数学中的一个重要概念，它在不同领域都有着广泛的应用，特别是在动力系统、概率论、几何等领域中。
本文将详细介绍压缩映射原理的概念、性质和应用。
一、概念压缩映射是指在度量空间中，存在一个映射f，使得对于任意两个点x和y，它们之间的距离d(f(x),f(y))都小于它们之间的距离d(x,y)。
也就是说，压缩映射可以将原来相距较远的点映射成相距较近的点。
具体来说，若存在一个常数0< k <1，使得对于任意两个点x和y，有d(f(x),f(y))≤k d(x,y)，则称f为一个k-压缩映射。
二、性质1. 压缩映射是连续的。
这是因为对于任意两个点x和y，有d(f(x),f(y))≤k d(x,y)，因此当x趋近于y时，f(x)也趋近于f(y)。
2. 压缩映射是唯一的。
若存在两个不同的压缩映射f和g，使得它们都满足上述条件，则对于任意两个点x和y，有d(f(x),f(y))≤k d(x,y)和d(g(x),g(y))≤k d(x,y)，因此d(f(x),g(x))≤(k/(1-k)) d(f(x),f(y))，这说明f和g之间的距离也可以被压缩，因此f和g必须相等。
3. 压缩映射是有界的。
这是因为对于任意一个点x，它的像f(x)一定在以x为中心、半径为d(x,0)/(1-k)的球内。
三、应用1. 压缩映射定理。
压缩映射定理是数学分析中的一个重要结果，它说明了对于任意一个k-压缩映射f，它都有唯一的不动点x0，即f(x0)=x0。
并且，从任意一个起始点x开始，通过不断迭代f，可以得到收敛于x0的数列。
这个定理在动力系统和概率论等领域中有着广泛的应用。
2. 度量空间的完备性。
一个度量空间是完备的，当且仅当它是一个压缩映射的不动点。
这个定理在数学分析和拓扑学中有着广泛的应用。
3. 分形几何。
分形几何是一种研究自相似性的几何学，而压缩映射是分形几何中的一个重要工具。
通过对一个图形进行一系列压缩映射，可以得到一个自相似的分形。
压缩映射原理的应用整理
压缩映射原理的应用整理1. 什么是压缩映射原理压缩映射原理是一种用于数据压缩的算法，它通过利用数据中的重复模式来减少存储空间。
这种技术在计算机科学和信息技术领域非常常见，可以用于网络传输、文件存储以及图像和视频处理等方面。
2. 压缩映射原理的应用领域压缩映射原理广泛应用于以下几个领域：•数据传输：通过在数据传输过程中对重复的数据片段进行压缩映射，可以减少网络传输的时间和带宽消耗。
•文件存储：将文件中的重复内容进行压缩映射，可以减少存储空间的占用。
•图像压缩：压缩映射可以通过对图像中重复的像素进行压缩映射来减少图像文件的大小。
•视频压缩：在视频文件中，往往连续的帧之间存在较多重复的像素，通过压缩映射可以有效地减少视频文件的大小。
3. 压缩映射原理的核心思想压缩映射的核心思想是利用数据中的重复性，将重复的数据片段用较短的标记来替代，从而减少存储空间的占用。
具体包括以下几个步骤：•数据分块：将数据按照一定的规则划分为多个块。
•块去重：通过比较块之间的内容，找出重复的块。
•块替换：将重复的块用较短的标记来替代。
•映射表维护：维护一个映射表，记录块和标记的对应关系。
4. 压缩映射原理的实现方法压缩映射原理可以通过多种实现方法来实现，以下是两种常见的方法：•字典方法：字典方法是一种将重复的数据片段存储到字典中，然后用字典的索引来替代重复的数据片段的方法。
在解压缩时，只需通过字典索引在字典中查找对应的数据片段即可。
•前向指针方法：前向指针方法将每个块的索引指向下一个不同的块，通过遍历索引链表来还原重复的数据片段。
5. 压缩映射原理的优点和局限性压缩映射原理具有以下优点：•存储空间节省：压缩映射可以有效地减少存储数据所占用的空间，提高存储效率。
•传输速度加快：对于重复性较高的数据，压缩映射可以减少传输时间和带宽消耗。
然而，压缩映射也存在一些局限性：•计算复杂性：压缩映射需要对数据进行分块、匹配和替换等操作，计算复杂性较高，可能会增加系统的负担。
压缩映射原理及其应用
压缩映射原理及其应用
1 压缩映射原理
压缩映射原理是一种著名的算法，它使用一组非负整数实现从源
集合到长度更短的目标集合的映射。
它基于一个分段数学原理，也称
为累加比总和，被广泛用于图像处理和黑白分割、遥感图像研究中。
它可以将灰度图像或数字序列按照预定义的百分比比例压缩，比如20%、30%或50%等。
2 压缩映射的基本原理
压缩映射的基本原理是从图像源的最大灰度值开始，依次减去一
定的百分比值，比如15%，25%，50% ......等来进行层次分割，并只
保存最大层次分割灰度值，然后将所有灰度值都映射到对应的最大层
次分割灰度值上，以便减少灰度级数，从而减少图像像素的量化。
3 压缩映射的应用
压缩映射的应用非常广泛，它不仅可以用于图像压缩，还可以用
于数字图像处理，如图像滤波、图像锐化、图像去噪等。
另外，压缩
映射原理也可以用于遥感图像的分割，对遥感图像中的地物进行CT值
定位，减少分类误差，提高分类精度，进而提高遥感图像处理的应用
效果。
4 结论
压缩映射是一种有效的数字图像处理算法，主要用于图像压缩、图像滤波、图像锐化以及遥感图像分割等。
它可以有效地减少灰度级别，降低图像质量，提高处理速度，增强遥感图像处理的应用效果。
叙述并证明压缩映射原理
叙述并证明压缩映射原理压缩映射原理，也称为Banach不动点定理，是数学分析中的一个重要定理。
它描述了完备度空间中的压缩映射的存在性与唯一性，并提供了一种计算不动点的方法。
设(X, d)是一个完备度量空间，而f：X→X是一个映射。
如果存在一个常数0 ≤ k < 1，使得对于任意x, y∈X，有d(f(x), f(y)) ≤k·d(x, y)，那么称f是一个压缩映射。
压缩映射原理的证明可以通过构造一个逐步逼近不动点的序列来完成。
首先，选择X中的任意一个点x0作为起始点。
然后，根据f的定义，我们可以得到一个点x1=f(x0)。
继续应用f，我们可以得到一个序列{x0, x1, x2, ...}，其中xn+1=f(xn)。
由于d(f(x), f(y)) ≤k·d(x, y)，可以证明这个序列是一个柯西序列。
因为(X, d)是一个完备度量空间，柯西序列在X中必有一个极限值x*。
我们可以证明，x*就是f的不动点，即f(x*)=x*。
这是因为当n趋向于无穷大，d(xn+1, xn)会趋向于0，即lim(n→∞)d(xn+1, xn)=0。
由于d(f(x), f(y)) ≤ k·d(x, y)，我们有d(x*, f(x*))=lim(n→∞)d(xn+1, xn)=0。
因此，x*是一个不动点。
进一步地，我们可以证明这个不动点是唯一的。
假设存在另一个不动点y*，即f(y*)=y*。
我们有d(x*, y*)=d(f(x*), f(y*)) ≤ k·d(x*,y*)，其中0 ≤ k < 1。
因为k < 1，我们可以将不等式两边除以1-k，得到d(x*, y*) ≤ (1/(1-k)) · d(x*, y*)。
由于d(x*, y*)是一个非负数，(1/(1-k))是一个正数，因此只有当d(x*, y*)=0时，不等式才成立，即x*=y*。
所以，这个不动点是唯一的。
叙述并证明压缩映射原理
叙述并证明压缩映射原理压缩映射原理，也被称为Banach原则或固定点定理，是函数分析中的一个重要定理。
该原理在数学领域中有广泛的应用，尤其在拓扑学、微积分学和动力系统领域中。
压缩映射原理简要地说，对于一个完备度量空间上的收缩映射，其将这个度量空间中的每一个元素映射到自身的一个更接近的点。
具体地说，设(X, d)是一个完备度量空间，f:X-->X是一个映射，如果存在一个常数k(0<k<1)，使得对于任意的x, y∈X，都有d(f(x), f(y))≤kd(x, y)，那么f称为一个压缩映射。
压缩映射原理指出，对于这样的压缩映射f，存在唯一的X中的点x_0，使得f(x_0)=x_0。
为了证明压缩映射原理，我们首先需要证明收缩映射的连续性。
对于任意的x_1和x_2∈X，我们有：d(f(x_1), f(x_2))≤kd(x_1, x_2)另一方面，由于度量空间X是完备的，所以对于一个Cauchy序列{x_n}在X中收敛于x，即lim_{n→∞d(x_n,x)}=0。
我们可以通过数学归纳法证明{x_n}是一个Cauchy序列。
首先，由于k<1，我们有：d(x_{n+1},x_n)≤kd(x_n,x_{n-1})≤k^2d(x_{n-1},x_{n-2})≤...≤k^n(x_1,x_0)由于k<1，所以k^n趋近于0，所以d(x_{n+1},x_n)也趋近于0。
因此，{x_n}是一个Cauchy序列，且由完备性可知其收敛于一些x∈X。
现在，我们定义一个函数序列{f_n}，其中f_1=f，f_2=f∘f，...，f_{n+1}=f∘f_n，...。
由于f是一个压缩映射，所以有：d(f_{n+1}(x),f_n(x))=d(f(f_n(x)),f_n(x))≤kd(f_n(x),x)≤k^n d(f(x),x)由此可得：d(f_{n+1}(x),f_n(x))≤k^nd(f(x),x)因此，我们得到了函数序列{f_n(x)}的一致收敛性。
压缩映射原理的几个应用
压缩映射原理的几个应用定义设 H 是一个非空集，称之为距离空间，如果在 H 上定义一个双变量的实值函数ρ(x,y) ，且满足下述三个条件：(1) ρ(x,y)≥0 ，且ρ(x,y)=0 当且仅当 x=y ；(2) ρ(x,y)=ρ(y,x) ，满足交换律；(3) ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) ，满足三角不等式，称作ρ为 H 上的一个距离，以ρ为距离的距离空间 H 记作 (H,ρ) .定义距离空间 (H,ρ) 上的点列 {xn} 叫做收敛到 x0 的是指：当 n→∞时，有ρ(xn,x0)→0 ，记作 limn→∞xn=x0 ，或简单记作 xn →x0 .定义度量空间 (H,ρ) 中的一个子集 E 称为闭集，是指：∀{xn}⊂E ，若 xn→x0 则 x0∈E .定义度量空间 (H,ρ) 上的点列 {xn} 叫做基本列，是指ρ(xm,xn)→0(m,n→∞) 。
若对∀ε>0 ， \existN(ε) 使得 m,n≥N(ε)⇒ρ(xm,xn)<ε .如果空间中所有基本列都是收敛列，那么就称该空间完备。
定义设 T:(H,ρ)→(Y,r) 是一个映射，称它是连续的，如果对于 H 中任意点 x0和点列 {xn} ，有ρ(xn,x0)→0⇒r(Txn,Tx0)→0 (n →∞) .命题映射 T:(H,ρ)→(Y,r) 连续，当且仅当∀ε>0, ∀x0∈H, 以及 \existδ=δ(x0,ε)>0 ，对于任意的 x∈H ，有ρ(x,x0)<δ⇒r(Tx,Tx0)<ε证明必要性，利用反证法证明，假设存在 x0∈H 以及ε>0 ，使得对任意的 n∈N ，存在 xn 使得ρ(xn,x0)<1/n 但 r(Txn,Tx0)≥ε，即有 limn→∞ρ(xn,x0)=0 但是 limn→∞r(Txn,Tx0)≠0 ，与连续矛盾，所以必要性成立。
充分性，设题目中条件成立，且 limn→∞ρ(xn,x0)=0 ，那么对于任意ε>0 存在 N ，当 n>N 时，有ρ(xn,x0)<δ，从而 r(Txn,Tx0)<ε，于是可得到映射 T 连续。
压缩映射原理的性质和应用
压缩映射原理的性质和应用摘要本文较有系统的研究了压缩映射原理及其一些应用，由于压缩映射原理是属于不动点理论中的一类原理，所以有许多不同的形式，本文主要利用在常规度量空间中讨论压缩映射原理的方法，在概率度量空间中讨论压缩映射原理。
主要内容如下：第一章，是绪论部分，首先讲了我之所以写这篇文章的原因，然后是本文所研究问题的历史背景和发展情况。
第二章，介绍压缩映射原理的最基本的形式，即Banach压缩映射原理，通过对其定理内容和证明方法的分析，深刻认识了Picard迭代方法在证明中起到的重要作用，总结出了一套通用的方法证明这类定理，还找了一个例子，用总结出的方法进行了证明。
第三章，用第一章总结出的方法研究了压缩映射原理更复杂的形式，随着研究问题的复杂，也使第一章总结出的方法变得更加完善。
第四章，把前几章得到的结论和方法应用到了微分方程和微分方程组的解的存在唯一性上。
虽然只有两个例子，但是获得方法和思想可以用到许多其他的例子上。
第五章，引入概率度量空间的概念，和其中一系列与压缩映射原理有关的概念，结合概率度量空间的一些特殊性质，用前几章的讨论方法，在概率度量空间上讨论压缩映射原理，依次讨论了含随机数的压缩映射原理，在概率度量空间上添加一些条件后的基本压缩映射原理，非线性的压缩映射原理及应用等。
关键词：压缩映射；不动点；概率度量空间；非线性微分方程ABSTRACTIn this paper, a systematic study of the compression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point, so there are many different forms, this paper mainly discussed used in conventional metric space compression mapping principle, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space. The main contents are as follows:The first chapter is the introduction part, first of all tell the reason why I write this article, and then this paper studies the historical background and development of the problem.The second chapter, this paper introduces the basic form of compression mapping principle, namely the contraction mapping theory, through the analysis of its proof content and methods, understanding the iteration method plays an important role in proof, summarizes a set of generic methods to prove this theorem, still looking for an example, summarizes the way has carried on the proof.The third chapter, in the first chapter summarizes the method of compression mapping principle is studied in the form of more complex, as the research problem of complex, also made the first chapter summarizes the methods become more perfect.The fourth chapter, in the previous chapter conclusion and method is applied to the existence and uniqueness of solution of differential equation and differential equations. Although only two examples, methods and thoughts can be used on many other examples.The fifth chapter, the introduction of the concept of probabilistic metric Spaces, and a series of concepts related to the contraction mapping theory, combined with some special properties of the probabilistic metric Spaces, the use of the previous chapters discuss method, compression mappings in probabilistic metric space principle, in order to discuss the compression mapping principle, containing the random number after adding some conditions in probabilistic metric space basic compression mapping principle, the principle and application of the compression of nonlinear mapping, etc.Key words: compression mapping; The fixed point. Probabilistic metric space; The nonlinear differential equation目录摘要 (I)ABSTRACT.................................................................................................................. I I第一章绪论 (1)1.1写作动机 (1)1.2不动点理论背景知识，历史渊源 (2)1.3压缩映射原理的简介 (3)第二章Banach压缩映射定理的证明思路探究 (6)2.1定理内容和证明 (6)2.2一个例子 (6)2.3本章总结 (8)第三章Banach压缩映射原理的推广 (10)3.1推广的背景： (10)3.2压缩映射原理的一种推广形式及其证明 (10)3.3本章总结 (12)第四章压缩映射原理的应用举例 (13)4.1一类简单积分方程的解的存在与唯一性的证明 (13)4.2积分方程组的解的存在与唯一性证明 (14)4.3本章总结 (16)第五章概率度量空间中的压缩映射原理 (17)5.1基本概念的构造 (17)5.2随机压缩映射原理的构造 (17)5.3概率度量空间的背景知识 (19)5.4概率度量空间中的基本概念 (19)5.5：t 范数的概念及其性质 (21)5.6概率度量空间上的压缩映射原理 (21)5.7概率度量空间上非线性的压缩映射原理 (24)5.8概率度量空间上的压缩映射原理的应用 (26)5.9本章总结 (26)结论 (28)参考文献 (29)第一章绪论1.1写作动机我第一次接触压缩映射原理是在张庆恭和林渠源老师所编写的泛函分析的书上，当时书中应用压缩映射原理瞬间证明出了常微分方程中当时分五步证明的解的存在唯一性定理和数学分析中的隐函数存在定理，这使当时的我感到非常吃惊，在常微分方程和数学分析书中对这两个定理的证明中似乎看不到这两个定理有什么联系，但是一旦应用上了压缩映射原理，就找到了它们的共同点。
Ch2-4 压缩映射原理及应用
n
(Tx (1) , Tx (2) )= max Tx (1) Tx (2)
1 i n
max ( aij x
1 i n j 1
n
(1) j
bi ) ( aij x (2) bi ) j
j 1 (2) x ) max aij x (1) x j j (2) j 1 i n j 1 n
j 1 j 1
n
nБайду номын сангаас
x Ax b
令 Tx Ax b
则T是Rn到Rn的映射, 可以证明，T是压缩映射，因而存在 唯一不动点x, 使得 x=Tx=Ax+b, 即原方程组有唯一解。 事实上，x(k)=(x1(k) ,x2(k) ,…,xn(k) )Rn, k=1,2.
i 1, 2,..., n, aij 1
d (Tx Ty ) max Tx(t ) Ty (t ) max
0 t 1 0 t 1
1 1 sin x(t ) sin y (t ) 2 2
max sin
0 t 1
x(t ) y (t ) x(t ) y (t ) x(t ) y (t ) x(t ) y (t ) 1 cos max sin max = d ( x, y ) 0 t 1 0 t 1 2 2 2 2 2
压缩映射原理(Banach不动点原理)
定理2 (压缩映射原理) 设X 是完备的距离空间，T：XX是压 缩映射，则T在X中存在唯一的不动点x, 即x=Tx。 证 存在性 设X完备，T: XX是压缩映射， ① 任取初始点x0X，构造迭代序列{xn}X： xn+1=Txn (n=0,1,2,…) ② 证明{xn}是基本列, 因而是收敛列。 T是压缩映射, 0<<1, 使得
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(x,y)=(Tx,Ty)(x,y)(x,y)=0 (0<1)
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注 1) 压缩映射原理给出了映射的不动点存在的条件； 2) 压缩映射原理提供了映射不动点的求法—迭代法: x0X, 令xn=Txn-1, 则 xn=Tnx0 (n=1,2,…), x=lim xn (n). 3)压缩映射原理给出了近似解的误差估计公式：
定义4.1 (映射的不动点) 设X距离空间，T：XX是X上的自映射， 如果存在xX，使得x=Tx，则称x是映射T的一个不动点。
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2. 压缩映射原理(Banach不动点原理，波兰，1922) 定理4.1 (压缩映射原理) 设X 是完备的距离空间，映射T： XX是压缩映射，则T在X中存在唯一的不动点x, 即x=Tx。
T是S(x0,r)上的压缩映射, 且(Tx0, x0)(1)r (0<1) (x1, x0)=(Tx0,x0)(1-)rr (x2,x0)=(Tx1,x0) (Tx1,Tx0)+(Tx0,x0)
(x1,x0)+(1-)r+r(1-)r=r (xn,x0)r (n=1,2,…) (数学归纳法) xnS(x0,r) (n=1,2,…) 唯一xS(x0,r)，使得x=Tx. （在S(x0,r)上应用定理4.1)
证 存在性 设X完备，T: XX是压缩映射， ① 任取初始点x0X，构造迭代序列{xn}X：
xn+1=Txn (n=0,1,2,…) ② 证明{xn}是基本列, 因而是收敛列。T是压缩映射 , 0<1, 使得
(xn+1,xn)=(Txn,Txn-1)(xn,xn-1)2(xn-1,xn-2) …n(x1,x0)=n(Tx0,x0) (n=1,2,…)
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事实上，由定理证明过程知
令k, 有极限保号性记即得证
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推论4.1 设X是完备的距离空间，T：XX. 如果T在闭球S(x0, r)上是压缩映射，并且 (Tx0, x0)(1)r (0<1) 则T在闭球S(x0, r) 中存在唯一的不动点。
分析 只要在闭球内构造一个迭代序列{xn}即可。 证 取初始点x0S(x0, r)，作迭代xn=Tn x0 (n=0,1,2,…)
x1,x2R, 由拉格朗日中值定理, 有 (f(x1), f(x2))=f(x1)-f(x2)=f’()x1-x2(x1,x2) f: RR是压缩映射 f(x)在R上有唯一的不动点x，对于迭代xn+1=Txn，有
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例4.2 设f(x)在闭区间[x0-h,x0+h]上可导, 且f’(x)<1, 又f(x0)x0(1-)h, 则f(x)在[x0-h,x0+h]上有唯一的不动点x, 且x可由迭代 xn+1=Txn (n=1,2,…) (x0[x0-h,x0+h])迭代求得. 证 （结合推论4.1及例4.1即得证。）
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推论4.2 设X是完备距离空间，T：XX，如果存在常数 (0<1) 及正整数n0 ，使对任何x, yX，都有
则T存在唯一不动点x，即x=Tx. (其中定义：T2x=T(Tx), T3x=T(T2x),…,Tnx=T(Tn-1x),…)
证 是X上的压缩映射
x与Tx都是 的不动点 x=Tx （不动点的唯一性）
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一、压缩映射及压缩映射原理 1.压缩映射及其不动点的定义
定义4.1 (压缩映射) 设X是距离空间，T：XX是X上的自映射， 如果存在0<1，对x,yX，都有
(Tx,Ty)(x,y)， 则称T是X上的一个压缩映射。
定理1 压缩映射是连续映射 事实上，{xn}X, xnxX, T:XX是压缩映射 (Txn, Tx)(xn,x)0 (n) T是连续映射
(xn+k,xn)(xn+k,xn+k-1)+(xn+k-1,xn+k-2)+…+(xn+1,xn) (n+k-1+n+k-2+…+n)(Tx0,x0) (kN)
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(xn+k,xn)0 (n) (0<1) {xn}是基本列{xn}收敛 (X完备) xX, 使xnx (n) ② 证明极限点x就是T的不动点。 T是压缩映射T是连续映射 xn+1=Txn , xnx, T连续x=Tx (n)
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3.压缩映射原理应用 应用压缩映射原理及其推论解决实际问题的步骤： 1) 说明X是完备距离空间； 2) 有实际问题定义映射T:XX，使x=Tx； 3) 证明所定义映射T是X上的压缩映射； 3) 有压缩映射原理说明不动点的存在唯一性。
例4.1 设f (x)在R可导, 且f ′(x)<1, 则f (x)在R上有唯一的不动 点x,且x可由迭代xn+1=Txn (n=1,2,…) (x0R)迭代求得. 证 R是完备距离空间，函数f(x)是R到R的一个映射，
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第四节 压缩映射原理及其应用
• 压缩映射及其不动点的概念 • 压缩映射原理 • 压缩映射原理应用举例—求映射的不动点
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基本思想：
代数方程 微分方程 积分方程
Байду номын сангаас
x=Tx
x0 , xn+1=Txn
~x T~x
注：1）把“方程的求解”问题化归为“求映射的不动点”问 题 ，并用逐次逼近（即迭代）法求不动点（既近似解）的方法 是计算数学，分析和代数中常用的一种重要方法。例如，牛顿 求代数方程根时采用的切线法。 2）映射的不动点：使x=Tx的x称为T:XX的不动点.
R是完备距离空间，函数f(x)是R到R的一个映射， x1,x2[x0-h, x0+h], 由拉格朗日中值定理, 有 (f(x1), f(x2))=f(x1)-f(x2)=f’()x1-x2(x1,x2) f: RR是压缩映射 又(f(x0), x0)=f(x0)-x0(1-)h f(x)在[x0-h, x0+h]上有唯一的不动点x (推论4.2)， 且对于迭代xn+1=Txn，有