【优化探究】2014高考数学总复习 提素能高效题组训练 2-6 文 新人教A版
2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：2-6
［命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难指数幂的化简求值1、6指数函数的图象与性质2、3、54、8、9、10、1112指数函数的应用7一、选择题1．化简错误!的结果是（）A．－错误!B。
错误!C．－错误!D。
错误!解析：依题意知x〈0，∴错误!＝－错误!＝－错误!。
答案:A2．(2013年杭州模拟)函数y＝a｜x｜(a＞1)的图象是( ）解析：y＝a｜x｜＝错误!当x≥0时，与指数函数y＝a x(a＞1)的图象相同；当x＜0时,y＝a－x与y＝a x的图象关于y轴对称，由此判断B 正确．答案：B3．(2013年西安模拟）已知a＝错误!，函数f(x)＝a x,若实数m，n 满足f(m）＞f(n),则m、n的关系为( )A．m＋n＜0 B．m＋n＞0C．m＞n D．m＜n解析：∵0＜错误!＜1，∴f(x）＝a x＝错误!x,且f(x)在R上单调递减，又∵f(m）＞f（n）,∴m＜n，故选D。
答案:D4．（2013年宁化质检)当x＞0时,函数f（x)＝(a2－1）x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )A．1＜|a|＜2 B．|a｜＜1C．｜a|＞错误!D．|a|＜错误!解析：∵x＞0时，f(x）＝(a2－1)x的值总大于1，∴a2－1＞1，即a2>2.∴｜a｜＞错误!。
答案：C5．(2013年河源模拟）函数y＝｜2x－1|在区间（k－1，k＋1）上不单调，则k的取值范围是( )A．(－1,＋∞) B．(－∞,1）C．(－1，1) D．(0，2)解析：由于函数y＝|2x－1｜在（－∞,0)上递减，在(0，＋∞）上递增,而函数在区间（k－1，k＋1）上不单调，所以有k－1<0<k＋1，解得－1<k〈1.故选C。
答案：C二、填空题6。
错误!－错误!×错误!0＋8错误!×错误!－错误!＝________。
解析：原式＝错误!错误!×1＋2错误!×2错误!－错误!错误!＝2.答案:27．若函数f(x）＝a x－1(a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．解析：当a＞1时，x∈［0,2］，y∈［0，a2－1]．因定义域和值域一致，故a2－1＝2，即a＝错误!.当0＜a＜1时，x∈［0，2］，y∈［a2－1,0]．此时，定义域和值域不一致，故此时无解．答案：错误!8．已知f(x）＝错误!x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g（x），则g(x)的表达式为________．解析:设y＝g(x)上任意一点P(x，y），P(x,y）关于x＝1的对称点P′(2－x，y）在f(x)＝错误!x上,∴y＝错误!2－x＝3x－2。
《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：3-7
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：3-7[命题报告·教师用书独具]1．(2012年高考广东卷)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 ．2 3 C. 3.32解析：利用正弦定理解三角形． 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A ，∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.答案：B2．(2013年安阳模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A.14 .24 C ．－14．－24解析：依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12si n 30°＝－14，选C.答案：C3．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( )A.π4 .π6 C.2π3.π12解析：因为S △ABC ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，所以sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，故A ＝π4.答案：A4．(2013年江西师大附中月考)在△ABC 中，∠A ＝60°，且角A 的角平分线AD 将BC 分成两段BD 、DC ，且BD ∶DC ＝2∶1，若AD ＝43，则C ＝( )A.π6 .π4 C.π2.π3解析：因为AD 是角A 的角平分线，所以AC ∶AB ＝CD ∶DB ＝1∶2.设AC ＝x ，则AB ＝2x .易知3S △ACD ＝S △ABC ，即3×12×43×sin 30°＝12×2x 2sin 60°，解得x ＝6，所以AB ＝12.由余弦定理得BC ＝6 3.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以C ＝π2.答案：C5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形 解析：依题意得asin A＝bsin B，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58，12<58<32，因此30°<B <60°，或120°<B <150°.若30°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，选C.答案：C 二、填空题6．(2012年高考湖北卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.解析：应用余弦定理求角．由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又因为角C 为△ABC 的内角，所以C ＝2π3.答案：2π37．(2013年大同质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 依次成等差数列，AB ＝8，BC ＝5，则△ABC 外接圆的面积为________．解析：记△ABC 的外接圆半径为R .依题意得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π，因此有B ＝π3，所以AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝7.又2R ＝ACsin B ＝7sin 60°，即R ＝73，故△ABC 的外接圆的面积是πR 2＝49π3.答案：49π38．(2012年高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：利用同角三角函数基本关系式、三角函数和角公式及正弦定理求解． 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.答案：1459．有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，c ＝________，求角A .(答案提示：A ＝60°，请将条件补充完整)解析：由题知1＋cos(A ＋C )＝(2－1)cos B ，所以 1－cos B ＝(2－1)cos B ，解得cos B ＝22，∴B ＝45°， 又A ＝60°，所以C ＝75°.根据正弦定理得3sin 60°＝c sin 75°，解得c ＝6＋22.故应填6＋22. 答案：6＋22三、解答题10．(2013年北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝2B ，sin B ＝33. (1)求cos A 及sin C 的值； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积． 解析：(1)因为A ＝2B ，所以cos A ＝cos 2B ＝1－2sin 2B . 因为sin B ＝33， 所以cos A ＝1－2×13＝13.由题意可知，A ＝2B,0<A <π，所以0<B <π2.因为sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝223.所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.(2)因为b sin B ＝asin A ，b ＝2，所以233＝a223. 所以a ＝463.所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝2029.11．(2012年高考大纲全国卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解析：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ， 由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.12．(能力提升)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6.(1)求∠BAC 的大小；(2)设E 为AB 的中点，已知△ABC 的面积为15，求CE 的长．解析：(1)由已知得tan ∠BAD ＝BD AD ＝13，tan ∠CAD ＝CD AD ＝12，则tan ∠BAC ＝tan(∠BAD ＋∠CAD )＝13＋121－13×12＝1，又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4.(2)设BD ＝2t (t >0)，则DC ＝3t ，AD ＝6t ，由已知得S △ABC ＝12×(2t ＋3t )6t ＝15，则t ＝1，故BD ＝2，DC ＝3，AD ＝6，所以AB ＝AD 2＋BD 2＝2 10，AC ＝AD 2＋DC 2＝35，则AE ＝AB2＝10，由余弦定理得CE ＝AE 2＋AC 2－2AE ·AC ·cos∠BAC ＝5.[因材施教·学生备选练习]1．(2012年高考安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinB cos A ＝sin A cosC ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．解析：(1)解法一 由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.解法二 由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)解法一 因为A D →2＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(A B →2＋A C →2＋2AB →·AC →) ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋4＋2×1×2×cos π3＝74，所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.解法二 因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝ 1＋34＝72. 2．(2013年南昌模拟)△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 向量m ＝(2，－1)，n ＝(sin B sin C ，3＋2cos B cos C )，且m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)现给出以下三个条件：①B ＝45°；②2sin C －(3＋1)·sin B ＝0；③a ＝2.试从中再选择两个条件以确定△ABC ，并求出所确定的△ABC 的面积．解析：(1)∵m ⊥n ，∴2sin B sin C －2cos B cos C －3＝0， ∴cos(B ＋C )＝－32， ∴cos A ＝32， 又0<A <π，∴A ＝30°.(2)解法一 选择①③，∵A ＝30°，B ＝45°，C ＝105°，a ＝2且sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24， c ＝a sin C sin A＝6＋2，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3＋1.解法二 选②③，已知A ＝30°，a ＝2， ∵2sin C －(3＋1)sin B ＝0， ∴2c ＝(3＋1)b ，∴c ＝3＋12b .由余弦定理，知a 2＝4＝b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋12b 2－2b ×3＋12b ×32. ∴b 2＝8，∴b ＝22，c ＝3＋12b ＝6＋2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋1.注：不能选①②，因①②不能确定△ABC .倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。
高考数学总复习 提素能高效题组训练 211 文 新人教A版
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-11[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度 题号及难度基础 中档稍难 导数的运算 1导数的几何意义 2、36、7、10 综合应用4、5、8、911、12一、选择题1．y ＝cos x 1－x 的导数是( )A.cos x ＋sin x ＋x sin x1－x 2B.cos x －sin x ＋x sin x1－x 2C.cos x －sin x ＋x sin x1－xD.cos x ＋sin x －x sin x1－x2解析：y ′＝－sin x1－x －－1cos x 1－x 2＝cos x －sin x ＋x sin x1－x2. 答案：B2．已知P (x ，y )为函数y ＝x sin x ＋cos x 上的任意一点，f (x )为该函数在点P 处切线的斜率，则f (x )的部分图象是( )解析：f (x )＝y ′＝x cos x ，显然f (x )为奇函数，其图象关于原点成中心对称，排除A 、C ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，排除D.故选B.答案：B3．(2013年石家庄质检)已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值是( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析：依题意，设直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切于点(x 0，kx 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧kx 0＝ln x 0，k ＝1x 0，由此得ln x 0＝1，x 0＝e ，k ＝1e，选C.答案：C4．(2013年南昌二校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：根据函数f (x )的图象可得函数f (x )的导函数f ′(x )在[0，＋∞)上是单调递减，函数f (x )在[2,3]上的平均变化率小于函数f (x )在点(2，f (2))处的瞬时变化率，大于函数f (x )在点(3，f (3))处的瞬时变化率．所以0<f ′(3)<f 3－f 23－2<f ′(2)，即0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．答案：B5．在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1得3≤x 2<103，显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.答案：A 二、填空题6．(2013年焦作模拟)点P 为曲线f (x )＝23x 3－2x 2上的一个动点，则曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k 的最小值为________．解析：k ＝f ′(x )＝2x 2－4x ＝2(x －1)2－2，故k 的最小值为－2. 答案：－27．(2012年高考新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为______． 解析：利用导数的几何意义先求得切线斜率．∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3 ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 答案：y ＝4x －38．(2013年太原四校联考)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的一点，若曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意得y ′＝1x＋x ＋(1－a )，其中x >0.由曲线在M 处的切线的倾斜角是均不小于π4的锐角得，对于任意正数x ，均有1x ＋x ＋(1－a )≥1，即a ≤1x ＋x .当x >0时，1x ＋x ≥2 1x·x ＝2，当且仅当1x＝x ，即x ＝1时取等号，因此实数a 的取值范围是(－∞，2]．答案：(－∞，2]9．(2013年长沙十二校联考)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3·…·x 2 012的值为________．解析：∵y ′＝(n ＋1)x n，∴曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，即y ＝(n ＋1)x －n ，令y ＝0得x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·x 3·…·x 2 012＝12·23·34·…·2 0122 013＝12 013. 答案：12 013三、解答题10．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a3)2－9－a 23，即当x ＝－a3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，∴a ＝±3.11．已知函数f (x )＝x 3－x .(1)求曲线y ＝f (x )过点(1,0)的切线方程；(2)若过x 轴上的点(a,0)可以作曲线y ＝f (x )的三条切线，求a 的取值范围．解析：(1)由题意得f ′(x )＝3x 2－1.曲线y ＝f (x )在点M (t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x －t )，即y ＝(3t 2－1)·x －2t 3，将点(1,0)代入切线方程得2t 3－3t 2＋1＝0，解得t ＝1或－12，代入y ＝(3t 2－1)x －2t 3得曲线y ＝f (x )的过点(1,0)的切线方程为y ＝2x －2或y＝－14x ＋14.(2)由(1)知若过点(a,0)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则方程2t 3－3at 2＋a ＝0有三个相异的实数根．记g (t )＝2t 3－3at 2＋a ，则g ′(t )＝6t 2－6at ＝6t (t －a )．当a >0时，函数g (t )的极大值是g (0)＝a ，极小值是g (a )＝－a 3＋a ，要使方程g (t )＝0有三个相异的实数根，需使a >0且－a 3＋a <0，即a >0且a 2－1>0，即a >1；当a ＝0时，函数g (t )单调递增，方程g (t )＝0不可能有三个相异的实数根；当a <0时，函数g (t )的极大值是g (a )＝－a 3＋a ，极小值是g (0)＝a ，要使方程g (t )＝0有三个相异的实数根，需使a <0且－a 3＋a >0，即a <0且a 2－1>0，即a <－1.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 12．(能力提升)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝e x. (1)若函数φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1，求函数φ(x )的单调区间； (2)设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线．证明：在区间(1，＋∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y ＝g (x )相切．解析：(1)∵φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1＝ln x －x ＋1x －1， ∴φ′(x )＝1x＋2x －12＝x 2＋1x ·x －12.∵x >0且x ≠1， ∴φ′(x )>0，∴函数φ(x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)． (2)∵f ′(x )＝1x ，∴f ′(x 0)＝1x 0，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1，①设直线l 与曲线y ＝g (x )相切于点(x 1，e x 1)， ∵g ′(x )＝e x，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0.∴直线l 的方程为y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0，②①－②，得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝x 0＋1x 0－1. 证明：在区间(1，＋∞)上x 0存在且唯一． 由(1)可知，φ(x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上递增． 又φ(e)＝ln e －e ＋1e －1＝－2e －1<0，φ(e 2)＝ln e 2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1>0，结合零点存在性定理，说明方程φ(x )＝0必在区间(e ，e 2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一的x 0.故结论成立．[因材施教·学生备选练习]1．(2011年高考重庆卷)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x，求函数g (x )的极值．解析：(1)因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ， 因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ， 因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x， 从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x.令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，故g (x )在(－∞，0)上为减函数； 当x ∈(0,3)时，g ′(x )>0，故g (x )在(0,3)上为增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(3，＋∞)上为减函数．从而函数g (x )在x 1＝0处取得极小值g (0)＝－3，在x 2＝3处取得极大值g (3)＝15e －3. 2．(2013年九江模拟)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax＋ln x －1，g (x )＝(ln x －1)e x＋x (其中e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )在(0，e]上的单调性；(2)是否存在实数x 0∈(0，＋∞)，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值，若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f (x )＝a x＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2.①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，e]上单调递增；②若0<a <e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减， 当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增； ③若a ≥e，则f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减． (2)∵g (x )＝(ln x －1)e x＋x ，x ∈(0，＋∞)，∴g ′(x )＝(ln x －1)′e x＋(ln x －1)(e x)′＋1＝exx＋(ln x －1)e x＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x －1ex ＋1，由(1)易知，当a ＝1时，f (x )＝1x＋ln x －1在(0，＋∞)上的最小值f (x )min ＝f (1)＝0，即x 0∈(0，＋∞)时，1x 0＋ln x 0－1≥0.又e x 0>0，∴g ′(x 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋ln x 0－1e x 0＋1≥1>0.曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解． 而g ′(x 0)>0，即方程g ′(x 0)＝0无实数解．故不存在。
【优化探究】2014高考数学总复习提素能高效题组训练1-1文新人教A版
A∪ ( ?UB) 等于 (
)
A．?
B． {1}
C．{1,2}
D． { － 1,0,1,2}
解析： 由题意可知 ?UB＝ { － 1,0} ，所以 A∪( ?UB) ＝ { －1,0,1,2} ，选 D.
答案： D 3．(2013 年北京东城模拟 ) 设全集 U＝ R， A＝ { x| － x2－ 3x>0} ， B＝ { x| x<－ 1} ，则图中阴
答案： B
1 4．(2013 年佛山质检 ) 已知非空集合 M满足：若 x∈ M，则 1－ x∈M，则当 4∈ M时，集合 M
的所有元素之积等于 ( )
A．0
B． 1
C．－ 1
D．不确定
解析： 依题意，当11 Nhomakorabea1
4∈M时，有 1－ 4＝－ 3∈ M，从而
1
1－ －3
3
1
＝ 4∈M， 3＝ 4∈ M，于
所以 ( ?UA) ∩ B＝{ x| x>－1} ∩｛y| y≥0} ＝ { x| x≥0} ，故选 C.
答案： C
2．(2013 年衢州模拟 ) 已知集合 A＝ { x| －2≤ x≤7} ， B＝ { x| m＋ 1<x<2m－ 1} ，且 B≠ ?，若
A∪ B＝A，则实数 m的取值范围是 ( )
影部分表示的集合为 ( )
A．{ x| x>0}
B． { x| －3<x<－ 1}
C．{ x| － 3<x<0}
D． { x| x<－ 1}
解析： 依题意，得集合 A＝ { x| － 3<x<0} ，所求的集合即为 A∩ B，所以图中阴影部分表示
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答案： [ － 1,0]
9．(2013 年海口模拟 ) 在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当
a≥ b 时， a
⊕ b＝ a；当 a<b 时， a⊕ b＝ b2. 设函数 f ( x) ＝ (1 ⊕ x) x－ (2 ⊕ x) ， x∈ [ － 2,2] ，则函数 f ( x) 的
值域为 ________．
x
③
f
(
x)
＝
x2 ＋ x ＋
；④ 1
f
(
x)
是定义在
R 上的奇函数，且满足对一切实数
x1， x2 均有 | f ( x1) －
f ( x2)| ≤2| x1－ x2|. 其中是 F 函数的序号为 (
)
A．②④
B．①③
C．③④
D．①②
|f x
|f x
解析： 据 F 函数的定义可知，由于 | f ( x)| ≤ m| x| ? | x| ≤ m，即只需函数 | x| 存
数且 a>0，令函数 f ( x) ＝ g( x) · h( x) ． (1) 求函数 f ( x) 的表达式，并求其定义域； 1 (2) 当 a＝ 4时，求函数 f ( x) 的值域．
1
x＋1
解析： (1) ∵f ( x) ＝ g( x) · h( x) ＝ ( x＋ 1) x＋ 3＝ x＋ 3
x＋ 1 ∴f ( x) ＝ x＋ 3 ， x∈[0 ， a] ．( a>0)
16 ∴F( t ) ∈ 3， 13 .
16 即函数 f ( x) 的值域为 3， 13 .
|f x 在最大值， 函数即为 F 函数． 易知①②不符合条件； 对于③， | x|
1
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高考数学总复习 提素能高效题组训练 94 文 新人教A版
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：9-4[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年石家庄调研)下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A ．①② B ．①②③ C ．①②④D ．①②③④解析：由回归分析的方法及概念判断． 答案：C2．(2013年广州模拟)工人月工资(元)依劳动产值(千元)变化的回归直线方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是( )A ．劳动产值为1 000元时，工资为50元B ．劳动产值提高1 000元时，工资提高150元C ．劳动产值提高1 000元时，工资提高90元D ．劳动产值为1 000元时，工资为90元解析：回归系数的意义为：解释变量每增加1个单位，预报变量平均增加b 个单位． 答案：C3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )A ．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B ．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌C ．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D ．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有解析：统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发生． 答案：D4．(2011年高考江西卷)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm)175175176177177则y 对x 的线性回归方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176 解析：因为x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x ，y )，所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C.答案：C5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050 110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：根据独立性检验的定义，由K 2≈7.8＞6.635可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.答案：C 二、填空题6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析的方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m106115124103则这四位同学中，A B 解析：由题中表可知，丁同学的相关系数最大且残差平方和最小，故丁同学的试验结果表明A ，B 两变量有更强的线性相关性．答案：丁7．(2013年嘉兴模拟)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科 文科 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计203050已知P (K 22根据表中数据，得到K 2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________．解析：由K 2＝4.844>3.841.故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%. 答案：5%8．(2013年盐城测试)某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度)24343864由表中数据得回归直线方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．解析：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a ^，∴a ^＝60. ∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：689．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的判断：p ：在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； r ：这种血清预防感冒的有效率为95%； s ：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，正确结论的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)． ①p ∧綈q ②綈p ∧q③(綈p ∧綈q )∧(r ∨s ) ④(p ∨綈r )∧(綈q ∨s )解析：本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语．由题意，得K 2≈3.918，P (K 2≥3.841)≈0.05，所以，只有第一位同学的判断正确，即在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知①④为真命题．答案：①④ 三、解答题10．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想．⎝⎛⎭⎪⎪⎫参考公式：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i－n x 2＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，a ＝y ＝b x 解析：(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A .因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P (A )＝515＝13. (2)由数据求得x ＝11，y ＝24，由公式求得b ＝187，再由a ＝y －b x ＝－307，得y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，|1507－22|<2；同样，当x ＝6时，y ^＝787，|787－12|<2，所以，该小组所得线性回归方程是理想的．11．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查．数据如下表：认为作业多认为作业不多总计 喜欢玩游戏 18 9 不喜欢玩游戏8 15 总计(1)(2)试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？附：P (K 2≥k ) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k3.841 5.0246.6357.879 10.828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d解析：(1)认为作业多认为作业不多总计 喜欢玩游戏 18 9 27 不喜欢玩游戏8 15 23 总计262450(2)将表中的数据代入公式K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d得到K 2的观测值为k ＝50×18×15－8×9226×24×27×23≈5.059>5.024，查表知P (K 2≥5.024)＝0.025，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系．12．(能力提升)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：人数x i 10 15 20 25 30 35 40 件数y i471215202327其中i ＝1,2,3,4,5,6,7.(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；(2)求回归直线方程．(结果保留到小数点后两位)⎝⎛参考数据：∑7i ＝1x i y i ＝3 245，x ＝25，y ＝15.43， ⎭⎫∑7i ＝1x 2i＝5 075，7x2＝4 375，7x y ＝2 695(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数) 解析：(1)散点图如图．a ^＝y －b x ＝－4.32，∴回归直线方程是y ^＝0.79x －4.32.(3)进店人数为80人时，商品销售的件数y ＝0.79×80－4.32≈59.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年合肥检测)已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝，y 0＝”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x ，y )，因此(x ，y )一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(x ，y )外，可能还有其他样本点．答案：B2．(2013年东北四校联考)某超市为了了解热茶的销售量y (单位：杯)与气温x (单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5 ℃时，热茶销售量为________杯．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫已知回归系数b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －b x 解析：根据表格中的数据可得，x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.则a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60，故y ^＝－2x ＋60. 当x ＝－5时，y ^＝－2×(－5)＋60＝70. 答案：70。
【优化探究】高考数学总复习 提素能高效题组训练 101 文 新人教A版
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：10-1[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对解析：由于甲和乙有可能一人得到红牌，一人得不到红牌，也有可能甲、乙两人都得不到红牌，故两事件为互斥但不对立事件．答案：C2．在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )A．0.20 B．0.60C．0.80 D．0.12解析：令“能上车”记为事件A，则3路或6路车有一辆路过即事件发生，故P(A)＝0.20＋0.60＝0.80.答案：C3．(2013年赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( )A.18B.38C.58D.78解析：至少一次正面朝上的对立事件的概率为18，故P ＝1－18＝78.答案：D4．(2013年温州五校联考)从集合{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为a ，从集合{1,2,3}中随机选取一个数记为b ，则b >a 的概率为( )A.45 B.35 C.25D.15解析：分别从两个集合中取一个数a ，b ，共有15种取法，其中满足b >a 的取法有3种，故所求事件的概率P ＝315＝15.答案：D5．(2013年江南十校联考)第26届世界大学生运动会于2011年8月12日在中国深圳举行，运动会期间从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( )A.115B.25C.35D.1415解析：利用对立事件“2名大学生全来自B 大学”去求， ∴P ＝1－615＝35.答案：C 二、填空题6．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 互斥，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和．∴P (B ∪D ∪E )＝P (B )＋P (D )＋P (E ) ＝15＋15＋15＝35. 答案：357．(2013年南通模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．解析：因为事件A 与事件B 是互斥事件， 所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.答案：238．在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：则至少有两人排队的概率为________． 解析：P ＝1－(0.1＋0.16)＝0.74. 答案：0.749．(2013年广东六校联考)盒子里共有大小相同的3个白球，1个黑球．若从中随机摸出两个球，则它们颜色不同的概率是________．解析：设3个白球为A ，B ，C,1个黑球为d ，则从中随机摸出两只球的所有可能情况有：AB ，AC ，Ad ，BC ，Bd ，Cd ，共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为12.答案：12三、解答题10．某战士甲射击一次，问：(1)若事件A (中靶)的概率为0.95，事件A (不中靶)的概率为多少？(2)若事件B (中靶环数大于6)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数不大于6)的概率为多少？解析：(1)∵事件A (中靶)的概率为0.95，根据对立事件的概率公式得到A 的概率为1－0.95＝0.05. (2)由题意知中靶环数大于6与中靶环数不大于6是对立事件， ∵事件B (中靶环数大于6)的概率为0.7，∴事件C (中靶环数不大于6)的概率为1－0.7＝0.3.11．(2013年长春模拟)黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解析：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)解法一由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.解法二因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(B′＋D′)＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.答：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.12．(能力提升)(2012年高考安徽卷)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：(1)(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．解析：(1)如下表所示．频率分布表(2)(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x 件，依题意有505 000＝20x ＋20，解得x ＝5 000×2050－20＝1 980.所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．[因材施教·学生备选练习]1．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4解析：P (a ，b )的个数为6个．落在直线x ＋y ＝2上的概率P (C 2)＝16，落在直线x ＋y ＝3上的概率P (C 3)＝26，落在直线x＋y ＝4上的概率P (C 4)＝26，落在直线x ＋y ＝5上的概率P (C 5)＝16.答案：D2．(2013年南昌模拟)三张卡片上分别写有字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．解析：记写有字母E 的两张卡片分别为E 1，E 2，则三张卡片随机排成一行的所有可能情况为共6种，其中三张卡片恰好排成英文单词BEE 的事件个数为2，故所求的概率P ＝26＝13.答案：13。
备考2014高考数学--《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：4-2
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：4-2[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6) C ．(2,1)D ．(7,2)解析：2a －3b ＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)． 答案：B2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则m n＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D.12解析：由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得ma ＋nb ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为ma ＋nb 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.答案：C3．(2013年潍坊模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c ，都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：本题考查平面向量基本定理．任意两个不共线的向量均可作为基底向量来表示平面内的任一向量，故本题需满足a ，b 不共线，当a ∥b ，即向量a ，b 共线时，满足3m －2＝2m ，解得m ＝2.故a ，b 不共线时，m ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)．答案：D4．(2013年郑州模拟)若向量a ＝(x ＋1,2)和向量b ＝(1，－1)平行，则|a ＋b |＝( ) A.10B.102 C. 2 D.22解析：依题意得，－(x ＋1)－2×1＝0，得x ＝－3，又a ＋b ＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a ＋b |＝－2＋12＝2，选C.答案：C5．(2013年淮南质检)已知向量OA →，OB →满足|OA →|＝|OB →|＝1，OA →·OB →＝0，OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，若M 为AB 的中点，并且|MC →|＝1，则点(λ，μ)在( )A ．以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12为圆心，半径为1的圆上 B ．以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12为圆心，半径为1的圆上C ．以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12为圆心，半径为1的圆上D ．以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，半径为1的圆上解析：由于M 是AB 的中点， ∴在△AOM 中， OM →＝12(OA →＋OB →)，∴|MC →|＝|OC →－OM →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－12OB →＝1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－12OB →2＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－122＝1，故选D. 答案：D 二、填空题6．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，若 a ∥b ，则4x ＋8y的最小值为________． 解析：∵a ∥b ，∴3×(y －1)－(－2)×x ＝0，∴2x ＋3y ＝3. 故4x＋8y＝22x＋23y≥222x ＋3y＝223＝42，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝34，y ＝12时等号成立．答案：4 27．(2013年苏州质检)已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2.若向量d ＝λa ＋μb 与c 共线，则实数λ，μ的关系为________．解析：d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应存在实数k ，使d ＝kc ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2，由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.答案：λ＝－2μ8．(2013年济南调研)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．解析：因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB ＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.答案：3119．(2013年苏北四市联考)如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．解析：∵AO →＝μAC →＝μ(AD →＋DC →) ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝μ a ＋μ2b . ∵μ＋μ2＝1，解得μ＝23.∴AO →＝23a ＋13b .答案：23a ＋13b三、解答题10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得ka ＋b 与a －3b 共线，且方向相反？解析：设存在实数k ，则ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若这两个向量共线，则必有 (k －3)×(－4)－(2k ＋2)×10＝0. 解得k ＝－13.这时ka ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43， 所以ka ＋b ＝－13(a －3b )．即存在实数k ，使得ka ＋b 与a －3b 共线，且方向相反． 11．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．解析：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)，(－2,0)， 从而CD →＝(－2，－4)．12．(能力提升)(2013年东营模拟)已知P 为△ABC 内一点，且3AP →＋4BP →＋5CP →＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AP →、AD →.解析：∵BP →＝AP →－AB →＝AP →－a ，CP →＝AP →－AC →＝AP →－b ， 又3AP →＋4BP →＋5CP →＝0，∴3AP →＋4(AP →－a ) ＋5(AP →－b )＝0. 化简，得AP →＝13a ＋512b .设AD →＝tAP →(t ∈R)，则AD →＝13t a ＋512t b ．①又设BD →＝kBC →(k ∈R )， 由BC →＝AC →－AB →＝b －a ，得 BD →＝k (b －a )．而AD →＝AB →＋BD →＝a ＋BD →，∴AD →＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .② 由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧13t ＝1－k ，512t ＝k .解得t ＝43.代入①，有AD →＝49a ＋59b .[因材施教·学生备选练习]1．(2013年徐州质检)在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则4x ＋y 的最小值为________．解析：如图所示，由题意知AD →＝12(AB →＋AC →)，AE →＝12AD →，又M ，E ，N 三点共线，所以AE →＝λAM →＋(1－λ)AN →(其中0＜λ＜1)， 又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，所以14(AB →＋AC →)＝λxAB →＋(1－λ)yAC →，因此有⎩⎪⎨⎪⎧4λx ＝1，－λy ＝1.解得x ＝14λ，y ＝1－λ，令1λ＝t (t ＞1)，则4x ＋y ＝1λ＋1－λ＝t ＋t t －＝(t －1)＋1t －＋54≥94， 当且仅当t ＝32，即λ＝23时取等号．答案：942．(2013年西安模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .m ＝(1,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin C －32，cos B cos C ，且m∥n . (1)求A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3c ，求S △ABC . 解析：(1)m∥n ⇔sin B sin C －32－cos B cos C ＝0. ∴cos(B ＋C )＝－32. ∵B ，C 为△ABC 的内角，∴0＜B ＋C ＜π. ∴B ＋C ＝5π6，∴A ＝π6.(2)由余弦定理得b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ⇒c 2＝1. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34c 2＝34.。
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《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：
2-6
[命题报告·教师用书独具]
1．化简
－x
3
x
的结果是( )
A ．－－x B.x C ．－x
D.－x
解析：依题意知x <0，∴－x
3
x
＝－
－x
3
x 2
＝－－x .
答案：A
2．(2013年杭州模拟)函数y ＝a |x |
(a ＞1)的图象是( )
解析：y ＝a
|x |
＝⎩⎪⎨⎪⎧
a x
x ≥0，
a －x
x ＜0.
当x ≥0时，与指数函数y ＝a x
(a ＞1)的图象相同；当x
＜0时，y ＝a －x
与y ＝a x
的图象关于y 轴对称，由此判断B 正确．
答案：B
3．(2013年西安模拟)已知a ＝5－12
，函数f (x )＝a x
，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m 、n 的关系为( )
A ．m ＋n ＜0
B ．m ＋n ＞0
C ．m ＞n
D ．m ＜n
解析：∵0＜5－1
2
＜1， ∴f (x )＝a x
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫5－12x
，且f (x )在R 上单调递减，
又∵f (m )＞f (n )，∴m ＜n ，故选D. 答案：D
4．(2013年宁化质检)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2
－1)x
的值总大于1，则实数a 的取值范围是( )
A ．1＜|a |＜2
B ．|a |＜1
C ．|a |＞ 2
D ．|a |＜ 2
解析：∵x ＞0时，f (x )＝(a 2
－1)x
的值总大于1， ∴a 2
－1＞1，即a 2
>2. ∴|a |＞ 2. 答案：C
5．(2013年河源模拟)函数y ＝|2x
－1|在区间(k －1，k ＋1)上不单调，则k 的取值范围是( )
A ．(－1，＋∞)
B ．(－∞，1)
C ．(－1,1)
D ．(0,2)
解析：由于函数y ＝|2x
－1|在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)上不单调，
所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.故选C. 答案：C 二、填空题
6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×4
2－
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2323＝________.
解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫231
3×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.
答案：2
7．若函数f (x )＝a x
－1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________． 解析：当a ＞1时，x ∈[0,2]，y ∈[0，a 2
－1]． 因定义域和值域一致，故a 2
－1＝2，即a ＝ 3. 当0＜a ＜1时，x ∈[0,2]，y ∈[a 2
－1,0]． 此时，定义域和值域不一致，故此时无解． 答案： 3
8．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，
则g (x )
的表达式为________．
解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，
P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13
x 上，
∴y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫132－x ＝3x －2
.
答案：g (x )＝3
x －2
9．(2013年太原模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a ，x ＝1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x －1|
＋1，x ≠1，若关于x 的方程2f 2
(x )－(2a
＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，则a 的取值范围是________．
解析：由2f 2
(x )－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0得f (x )＝32或f (x )＝a .由已知画出函数f (x )的大
致图象，结合图象不难得知，要使关于x 的方程2f 2
(x )－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，即要使函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝3
2
，y ＝a 共有五个不同的交点，结合图形分析
不难得出，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2.
答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2 三、解答题
10．设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x
＋2a x
－1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值． 解析：令t ＝a x
(a >0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2
－2(t >0)．
①当0<a <1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x
∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤a ，1a ，
此时f (t )在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤a ，1a 上为增函数．
所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1a
＋12
－2＝14.
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12
＝16，所以a ＝－15或a ＝13.
又因为a >0，所以a ＝1
3
.
②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x
∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a
，a ，
此时f (t )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a
，a 上是增函数．
所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2
－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝1
3
或3.
11．已知函数f (x )＝3x
，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax
－4x
的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；
(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 解析：解法一 (1)由已知得3
a ＋2
＝18⇒3a
＝2⇒a ＝log 32.
(2)此时g (x )＝λ·2x
－4x
，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，
即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20
＋20
＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2. 解法二 (1)由已知得 3
a ＋2
＝18⇒3a
＝2⇒a ＝log 32.
(2)此时g (x )＝λ·2x
－4x
，
因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，
所以有g ′(x )＝λln 2·2x
－ln 4·4x
＝2x
ln 2·(－2·2x
＋λ)≤0成立，所以只需λ≤2·2x
恒成立．
所以实数λ的取值范围是λ≤2.
12．(能力提升)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12ax
，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)．
(1)求a 的值；
(2)若g (x )＝4－x
－2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．
解析：(1)由已知得⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－a
＝2，解得a ＝1.
(2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，又g (x )＝f (x )，则4－x
－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －2＝0，
即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－2＝0，
令⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＝t ，则t 2
－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0， 又t >0，故t ＝2，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
＝2，解得x ＝－1.
[因材施教·学生备选练习]
1．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1a |x －2|，若f (0)＝14，则函数f (x )的单调递减区间是( )
A ．[2，＋∞)
B ．(－∞，2]
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
解析：因为f (0)＝14，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝1
4
，
因此a ＝2，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12|x －2|，
由于函数y ＝|x －2|在[2，＋∞)上单调递增，
由复合函数的“同增异减”可知f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故选A. 答案：A
2．若曲线|y |＝2x
＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为________． 解析：画出曲线|y |＝2x
＋1与直线y ＝b 的图象如图所示
由图象可得|y |＝2x
＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]． 答案：[－1,1]。