3-3点的投影
点的三面投影规律
一、点的三面投影
设第一分角内有一A点，过A点分别向三投影面投射即得A点的三面 投影。 将三投影面展开便得到 点的三面投影图点的三面投影图如下图所示。
二、点的三面投影与直角坐标的关系
为了研究问题方便，可将三投影面体系视为一空间直角坐标 系。这样就可将 H 、 V、 W 三投影面视为坐标平面， X 、 Y、 Z 三 投影轴视为坐标轴，投影原点O视为坐标原点。
一、点的三面投影
设第一分角内有一 A 点，过 A 点分别向 三投影面投射即得A点的三面投影。
点及其投影的表示方法：
空间的点用大写字母表示 点的投影用小写字母，加上'，或''。
如A—水平投影a，正面投影a'，侧面投影a''。
为表示点的各投影的对应关系用细线相连接。点的投影连线与投 影轴的交点分别记做ax、ay、az。
结论：任给点的两个投影，该两投影均能反映点的三个坐标。
二、点的三面投影与直角坐标的关系
点的坐标还表示了点到投影面的距离。 XA=a ayh=a ' az=A 点到W面的距离 YA=a ax=a ''az=A 点到V面的距离 ZA=a' ax=a'' ayw=A 点到H面的距离
三、点的三面投影规律
A点在B点之上方 、 后方、 右方 点的坐标是作点的投影图和判断两点间 位置关系的基础，也是分析和解决空间问题 的关键。 应充分理解点的投影与其坐标的关系， 尤其要熟悉三投影面的转换规律。
五、重影点及其可见性
重影点：若两个点在某一投影面上的投影重合成一点则称为重影 点，如图所示。
问题：重影的两点其坐标有何特点？ 重影点的坐标中有两个相等。
试分析A、B两点哪两个坐标相等，C、D 两点哪两个坐标相等？
第三章 点、线、面的投影
29
10IM1
2)平行于V面,同时倾斜于H、W面的直线称为正平线,见 表3-2中CD线。
3)平行于W面,同时倾斜于H、V面的直线称为侧平线,见 表3-2中EF线。
30
10IM1
名称
表3-2 投影面平行线
立体图
投影图
投影特性
水
1.a'b'∥OX,a″
平
b″∥OYW
线
2.ab=AB
3
10IM1
第一节 点 的 投 影 点、线、面是构成各种形体的基本几何元
素,它们是不能脱离形体而孤立存在的,研究点、 线、面的投影规律,有助于认识形体的投影本质, 掌握形体的投影规律。
一、点的三面投影及其规律
4
10IM1
如图3-1a所示,空间点A放置在三面投影体系中,过点A分 别作垂直于H面、V面、W面的投射线,投射线与H面的交点 (即垂足点)a称为A点的水平投影(H投影);投射线与V面的交 点a'称为A点的正面投影(V投影);投射线与W面的交点a″称 为A点的侧面投影(W投影)。
图3-5 投影面上的点
18
10IM1
(2)投影轴上的点 当点的三个坐标中有两个坐标为零时,则 该点在某一投影轴上。如图3-6a所示,D点在X轴上,E点在Y轴 上,F点在Z轴上。对于D点而言,其H投影d、V投影d'都与D点 重合,并在OX轴上;其W投影d″与原点O重合。同样可得出E 、F两点的投影,如图3-6b所示。
建筑工程制图与识图
主编
第三章 点、线、面的投影 【学习目标与能力要求】
本章主要介绍立体表面点、直线、平面投 影的基本概念及其投影特性。通过学习,应该达 到以下要求:
1.掌握点的类型、投影特性和两点的相对位置,了解重
第三章 投影作图
1. 圆 柱 (1) 圆柱的投影 (2) 圆柱表面上的点和线
例一 如下图所示,已知圆柱表面上点A和点B 的正面投影a`和b`,试求出a和a``及b和b``。 解题分析
(1) 分析基本体的投影特性 主要分析是否有积 a` 聚性表面,图示圆柱面 为侧垂面,其侧面投影 积聚为圆周。 (2) 判定点的空间位置 A点在上半圆柱面的 前方,B点在圆柱的最前 素线上。 (3) 作图 利用积聚性直接求出 a a``,再由a`和a`` ; b和b`` 直接投影到圆柱最前素 线的同面投影上。
2 、a b、a’b’、a’’ b’’均倾斜于投影轴 3 、 不反映 、 、 实角
二. 各种位置直线的投影
1. 一般位置直线
2. 投影面平行线
平行于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的直线。
水平线——平行于H面而倾斜Ｖ、Ｗ面的直线； 正平线——平行于Ｖ面而倾斜H、W面的直线； 侧平线——平行于W面而倾斜H、Ｙ面的直线。
2. aax＝Aa’; axa’＝ Aa A 点的正面投影 ——a ’
点在三面体系中的坐标和投影
V
a' Z V a' Z a" W
A
X a O
a"
W X O
YW
H
Y H
a YH
A点的水平投影 ——a A点的正面投影 ——a' A点的侧面投影 ——a"
投影图
Z a'
az
投影规律
a" 1.
X
ax
O
ay
轴测轴
z1
o 1 x 1 、 o 1 y 1 、 o 1 z1
轴间角
∠ x 1 o 1 z1 ∠ x1o1y 1 ∠ y 1 o 1 z1
机械制图学案 第三章 正投影法与三视图 §3-3点的投影
§3-3点的投影【学习目标】1．识记：点的投影特性点的投影标记2．领会：点的三面投影点的投影规律点的坐标点的投影与坐标两点的相对位置重影点的投影3．应用：点的三面投影点的投影规律点的坐标点的投影与坐标两点的相对位置重影点的投影【重点难点】点的三面投影点的投影规律点的坐标点的投影与坐标两点的相对位置重影点的投影【课前准备】三角尺一付、圆规、HB、B的铅笔两只，两组备一把小刀等作图工具。
【预习导学】1.点的投影特性2.点的投影标记3.点的三面投影4.点的投影规律【学习内容】一、点的投影特性点的投影特性：。
二、点的投影标记空间点用标记，正面投影用标记，侧面投影用标记，水平面投影用标记。
三、点的三面投影从图中可以看出，Aa、A a′、A a″分别为点A到H、V、W面的距离，即：A a = a′a x = a″a y (即a″a YW)，反映空间点A到H面的距离；A a′=a a x = a″a z ，反映空间点A到V面的距离；A a″ = a′a z = a a y (即a YH)，反映空间点A到W面的距离；上述即是点的投影与点的空间位置的关系，根据这个关系，若已知点的空间位置，就可以画出点的投影。
反之，若已知点的投影，就可以完全确定点在空间的位置。
四、点的投影规律由图中可以看出：a a YH = a′a z 即a′a⊥OXa′a x = a″a YW即a′a″⊥OZa a x = a″a z这说明点的三个投影不是孤立的，而是彼此之间有一定的位置关系。
而且这个关系不因空间点的位置改变而改变，因此可以把它概括为普遍性的投影规律：（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴，即a′a⊥OX；（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴，即a′a″⊥OZ；（3）点的水平投影a和到OX轴的距离等于侧面投影a″到OZ轴的距离，即a a x = a″a z 。
（可以用45°辅助线或以原点为圆心作弧线来反映这一投影关系）根据上述投影规律，若已知点的任何两个投影，就可求出它的第三个投影。
工程制图与识图3-3：直线上点的投影规律
特性1.从属性
• 点在直线（或平面）上，则该点的投影一定在直线（或平面）的同面投影
上
K在DE上
N在∆ABC上
投影后，k 在ed上
投影后，n在∆ abc上
特性2.定比性
点分线段之比，投影后该比值保持不变； 空间平行的两线段长度之比，投影后该比值不变
根据2：点的投影必在该直线
的同名投影上.
b'
b"
c’
c’’
a'
a"
X
YW
O
经典例题
a
cb
【例3-4】已知直线AB的两面投影，C点在AB上，且已知正面投影点c′,完成直线 和点的三面投影。
作图步骤：求出点A、B的侧面投影a″、b″并连线完成直线的三面投影。 因为C点投影应该符合点的投影规律，故过c′作横线和竖线辅助线； 因为从属性，点C的投影必在直线AB的同名投影上，故所作辅助线与ab、 a″b″的交点即为c、c″。
例 已知直线EF的两面投影及EF上一点C的正面 投影，求点C的水平投影。• 可利用定比性求
e'e' c'c' f'f'
ff
f0
ee
c0
e' c' f'
f
c
f0
c0
小结与作业
• 可选作业： • 《工程制图与识图习题集》 • P20：3-3
点、直线是作图基础
第第3章几何要素投影33直线上点的投影规律及作图方法点直线的投影是制图基础如果点在直线上则点的三面投影就必定在直线的三面投影之上
第3章 几何要素投影
机械制造与自动化《点的三面投影》
点的三面投影尽管点的两个投影已能确定该点的空间位置，但为了清楚地表达某些几何形体，常需采用三面投影图。
图2-9 三投影面体系图2-10 三投影面体系中点的投影1 三投影面体系三投影面体系是在两投影面体系的根底上，加上一个与H面、V面都垂直的侧立投影面W〔简称侧面〕所组成。
三个投影面互相垂直相交，它们的交线称为投影轴。
V面和H面的交线称为OX轴，H面和W面的交线称为OY轴，V面和W面的交线称为OZ轴。
三个投影轴互相垂直相交于一点O，称为原点，如图2-9所示。
2 点的三面投影设A是三投影面体系中的一点，它在H面和V面上的投影分别为a 和a’。
自点A向W面作垂线，其垂足a〞即为点A在W面上的投影，a〞称为点A的侧面投影，如图2-10所示。
规定点的侧面投影用小写字母加两撇“"〞表示。
绘图时，仍需把三个投影面摊平在一个平面上，为此，规定V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，将W面绕OZ轴向右旋转90°与V面重合〔随H面旋转的OY轴用OY H表示，随W面旋转的OY轴用OY W表示〕，如图2-11a所示。
然后去掉投影面的边框，即得点A的三面投影图，如图2-11b所示。
a 三个投影面摊平在一个平面上b 点A的三面投影图图2-11 点的三面投影3 点的三面投影规律和分析点的两面投影的投影规律一样，在三投影面体系中点的投影规律是：1〕点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即aa’⊥OX。
2〕点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a’a〞⊥OZ。
3〕点的正面投影到OX轴的距离与点的侧面投影到OY W轴的距离相等，都反映点A到H面的距离，即a’a=a"a yw= Aa 。
4〕点的正面投影到OZ轴的距离与点的水平投影到OY H轴的距离相等，都反映点A到W面的距离，即a’a=aa yh= Aa〞。
5〕点的水平投影到OX轴的距离与点的侧面投影到OZ轴的距相等，都反映点A到V面的距离，即aa=a〞a=Aa’。
第3章 投影变换
图3-3 点的一次投影变换（变换H面）
X1 H1 XV H ax1 a1
X
ax
a
b) 投影图
用正垂面H1来代替H面，H1面和V面组成新投影体系V/H1，投影体系由V/H 变换为V/H1。新旧两体系具有同一个V面，因此a1ax1=Aa′ =aax。
无名湖畔论坛
b'
XH b k
V
O a
c
b1' a1'
k1'
作图过程如图4-21所示。
c1'
无名湖畔论坛 图3-21 过点A作直线与BC垂直相交
【例3-2】已知AB、CD是两条交叉直线，求两直线最短距 c' 离及其投影。
B
分析： 连接两交叉直线的线段中，只有它们 的公垂线最短。
M A C N
a
c
无名湖畔论坛 图3-10 一般位置平面变换为正垂面直观图
作图: 将一般位置平面变为正垂面的投影图。
b' a' k' 平面有积聚性的投影
步骤： ①找平面内的水平线;
c'
V XH
b1' a1' (k1')
②建新轴V1/H垂直于 ak，AK变成正垂线; ③平面变成垂直面， 有积聚性，反映平面 与H面的夹角。
无名湖畔论坛
一般位置平面变换为投影面的平行面，必须经过二次换面。
b'
a' k'
平 行
c'
X
V H
b1' a1' (k1') b2 a2 c1 '
b k a c
图3-13 一般位置平面变换为水平面
工程制图第3章答案
3．两直线交叉
交叉两直线各组同面投影不会都平行，特殊情况下可能有一两组 平行；其各组同面投影交点的连线与相应的投影轴不垂直，即不符合 点的投影规律。
重影点 反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不 符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交叉两直线。
4．两直线垂直
一般情况下，在投影图中不能确定空间两直线是否垂直， 但当直线处于特殊位置时可以直接从投影图中判断：
三、正投影的基本性质
1. 实形性
2．积聚性
∟
三、正投影的基本性质
3.类似性
4．平行性
三、正投影的基本性质
5．定比性
6．从属性
3-2 三视图的形成及其投影关系
一、 三视图的形成
1. 三投影面体系的建立
物体的一个投影不能确定空间物体的形状。
怎吗办？
建立三面投影体系
2．三视图的形成
主视图
左 视图
[例3-4] 已知点A(15,10,12)，求作点A的三面投影图。
作图步骤如下：
1.自原点O沿OX轴向左量取x=15,得点 ax 2.过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向下量取y=10,得点A的水平投影a 向上量取z=12,得点A的正面投影a
3.根据点的投影规律，可由点的两个投影作出第三投影 a 。
★ 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
[例3-11] 求一般位置直线MN与铅垂面ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
[例3-12] 求铅垂线MN与一般位置平面△ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
⒉ 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共 有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。
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§3-3点的投影
一、教学要求
1、了解点的投影规律，点与投影轴、投影面的关系；
2、掌握求作、分析点投影的方法。
二、教学重、难点
1、求点投影的几种方法及投影分析；
2、点与投影轴、投影面关系的的分析判断。
三、知识点归纳
四、基础练习
1、当某点有一个坐标值为0时，则该点一定在_______上；当某点有二个坐标值为0时，则该点一定在_______上；当某点三个坐标值为0时，则该点一定在_______；
2、点A 的X 坐标为0，则点A 一定在_________上；点B 的 X 、Z 坐标为0，则点B 一定在______上。
3、已知点A （17，10，28），则点A 距离H 面、V 面、W 面的距离分别为_____、______、______。
4、若点A 的X 、Y 、Z 坐标均小于B 的X 、Y 、Z 坐标，则点B 在点A 的_____方、_____方和_____方。
5、空间点A 和空间点B 在W 面上出现重影点，则A 点与B 点的______、______坐标相同。
6、已知点A （17，15，28），点A 在点B 的上方5mm ，右方6mm ，前方10mm ，则点B 坐标为（ ， ， ）。
五、作图练习
1、
2、某点A 的坐标为（12，10，15），分别作出A 点正前方、正上方、正右方距离为5mm 的三个点B 、C 、D 的各面投影，并判别可见性。
六、课后作业
1、已知各点的一个投影（如图），并知：点P至H面距离为0，点S至W面距离为15，点N至V面距离为0。
求作图中各点的其余两个正投影。
2、已知直线AB
七、预习练习
1、直线垂直于投影面，反映___________性；直线平行于投影面，反映___________性；直线倾斜于投影面，反映___________性。
故可以将以上三个投影特性简单归纳为：直线垂直于投影面，投影___________；直线平行于投影面，投影___________；直线倾斜于投影面，投影___________。
2、空间一直线若垂直于侧面，我们称之为________线，若垂直于水平面，我们称之为________线。
3、空间一直线若平行于正面，可能会出现什么情况？
答：________________________________________________________________________________。
4、根据直观图，在三个视图中分别标出点A、B、C、D、E、M、N的投影，并判断直线空间位置。
AN是____________线； BM是_____________线； CD是_____________线
AB是____________线； BC是_____________线； MN是_____________线。