广西玉林市博白县2015届高三下学期返校调研考试数学(理)试题 Word版含答案

广西玉林市博白县2015届高三下学期返校调研考试数学（理）试题（考试时量：120分钟 满分150分）一:单选题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．设复数11i z =+，22i ()z x x R =+∈，若12R z z ⋅∈，则x = A ．1- B ．2- C ．1D ．22．下列命题中的假命题是A ．021>∈∀-x R x ，B ．212),0x x x>∞+∈∀ ，　（C ．4001.1,x x x R x x <>∈∃时，恒有 当D ．R ∈∃α，使函数 αx y =的图像关于y 轴对称3．对于定义在实数集R 上的狄利克雷函数⎩⎨⎧∈∉=），（），（Q x Q x x D 10)(，则下列说法中正确的是A ．)(x D 的值域是[]01，B ．)(x D 的最小正周期是1C ．)(xD 是奇函数 D ．)(x D 是偶函数4．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A.163πB. 43πC.193π D.1219π5．已知0>t ，若8)22(0=-⎰tdx x ，则t =A.1B.2-C.2-或4D. 46．已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(15)0.6826P X ≤≤=，则(5)P X >= A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.15857．已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=A ．π6- B ．6πC ．π3-D ．π38．在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有6名志愿者要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，其中甲、乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有A. 12种B. 18种C. 36种D. 54种9．在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点(2,0)A ,将向量OA 绕点O 按逆时针方向旋转3π后得向量OB ,若向量a 满足1a OA OB --=，则a 的最大值是 A ．1-B ．C ．3D10．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，25(02)16()1()1(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩ 若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，a b R ∈、有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是A ．59(,)24-- B ．9(,1)4-- C. 599(,)(,1)244---- D ．5(,1)2--二.填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知函数()ln f x x =，则()1f x >的解集为12．春节期间，某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额y （单位：万元）与当天的平 均气温x （单位：℃）有关.现收集了春节期间这个销售公司4天的x 与y 的数据列于下 表：y b x a ∧∧∧=+的系数125b ∧=-，则a ∧= .13．在等比数列{}n a 中，11a =，且14a 、22a 、3a 成等差数列，则通项公式n a =14．某程序框图如右图所示,该程序运行后,输出的x 值为31,则a 等于_____15．定义函数{}{}()f x x x =⋅，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.52=，{}2.52-=-.当(]0,x n ∈，*n N ∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则12111na a a +++=________ 三：解答题：（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字学明、证明过程或演算步骤） 16.(本小题满分12分)某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。

规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。

学生甲三轮考试通过的概率分别为23、34、45，且各轮考核通过与否相互独立。

(Ⅰ)求甲通过该高校自主招生考试的概率；（Ⅱ）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。

记学生甲得到教育基金的金额为X ，求X 的分布列和数学期望。

17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别是a b c 、、.已知3a =，cos A =2B A π=+. (Ⅰ)求b 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积 18．(本小题满分12分)如图,三棱柱111ABC A B C -中,112AB AC AA BC ====,1160AAC ∠=︒,平面1ABC ⊥平面11AAC C ,1AC 与1AC 相交于点D .(Ⅰ) 求证:BD ⊥平面11AAC C ； (Ⅱ) 求二面角1C AB C --的余弦值.19．(本小题满分13分)某城市旅游资源丰富，经调查，在过去的一个月内(以30天计)，第t 天的旅游人数()t f (万人)近似地满足()tt f 14+=，而人均消费()t g (元)近似地满足()25125--=t t g .（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()W t (万元)与时间t (130t ≤≤，t N +∈)的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值. 20．(本小题满分13分)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令()11112241(1)log log n n n n n b a a -++=-⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和nT 21．(本小题满分13分)已知函数()2ln 1f x x a x =--，函数()1F x a =--（Ⅰ）如果()f x 在[]3,5上是单调递增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当2,0a x =>且1x ≠时，比较()1f x x -与()F x 的大小.数学（理科）答案（考试时量：120分钟 满分150分）参考答案一：单选题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合11． ()(),,e e -∞-+∞ 12．77513． 12n - 14． 3 15．21nn + 三：解答题：（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字学明、证明过程或演算步骤） 16.(本小题满分12分)解析：（Ⅰ）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A ，则P(A)＝23423455⨯⨯= 所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为254分 （Ⅱ）X 的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元 5分21(0)133P X ==-=， 231(1000)(1)346P X ==⨯-=，2341(2000)(1)34510P X ==⨯⨯-=2342(3000)3455P X ==⨯⨯= 9分所以，X 的分布列为数学期望为11124700()0100020003000361053E X =⨯+⨯+⨯+⨯=12分 17．(本小题满分12分)解析：（Ⅰ）因0A π<<，故sin A ===. 2分因2B A π=+，故sin sin cos 2B A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭. 4分CC 1B 1AA 1BDH由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B b A ===. 6分 （Ⅱ）cos cos sin 2B A A π⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭. 8分 ()()sin sin sin C A B AB π=-+=+⎡⎤⎣⎦ sincos cos sin A BA B =+13⎛=+= ⎝. 10分 则ABC ∆的面积为111sin 3223ab C =⨯⨯=分 18．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)依题意,侧面11AAC C 是菱形,D 是1AC 的中点,因为1BA BC =,所以1BD AC ⊥,又平面1ABC ⊥平面11AAC C ,且BD ⊂平面1ABC , 平面1ABC 平面111AAC C AC =所以BD ⊥平面11AAC C . 4分 (Ⅱ)方法一：由(Ⅰ)知BD ⊥平面11AAC C ,CD ⊂面11AAC C ,所以CD BD ⊥,又1CD AC ⊥,1AC BD D =,所以CD ⊥平面1ABC ,过D 作DH AB ⊥,垂足为H ,连结CH ,则CH AB ⊥,所以DHC ∠为二面角1C AB C --的平面角. 7分在Rt DAB ∆中,1,2ADBD AB ===,所以AD DB DH AB ⋅==,CH ==分所以cos DH DHC CH ∠==, 即二面角1C AB C --分 方法二：以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示, 5分由已知可得112,1,AC AD BD A DDC BC ======故()()(()()10,0,0,1,0,0,,1,0,0,D A B C C -,B则()(1,0,3,0,3,AB BC =-=, 7分 设平面ABC 的一个法向量是(),,x y z =n ,则00AB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即00x ⎧-=⎪=,解得x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩令1z =,得)=n 9分显然()DC =是平面1ABC 的一个法向量, 10分 所以cos ,5DC DC DC⋅<>===n n n , 即二面角1C AB C --分19．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）()()()()2512514--⎪⎭⎫ ⎝⎛+==t t t g t f t W()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3025,4150599251,10044013025,15014251,10014t t t t t t t t t t t t 6分（Ⅱ）①当t ∈[1,25]时，W (t )=401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(当且仅当tt 1004=时取等号) 所以，当5=t 时，W (t )取得最小值441. 8分 ②当t ∈(25,30]时，因为W (t )＝t t4150599-+单调递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值()44148430>=W ， 11分 综上，t ∈[1,30]时，旅游日收益W (t )的最小值为441万元. 13分 20．(本小题满分13分)解析：（Ⅰ）由11612S a =-，得11612a a =-，解得118a =． 2分 由612n n S a =- ……①，当2n ≥时，有11612n n S a --=- ……②， 3分 ①－②得：114n n a a -=， 4分 ∴数列{}n a 是首项118a =，公比14q =的等比数列 5分12111111842n n n n a a q-+-⎛⎫⎛⎫∴==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2111221log log 212n n a n +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭． 7分()()11111224141(1)(1)log log (21)(23)n n n n n n n b a a n n --+++=-⋅=-⋅⋅+⋅+ 所以111(1)2123n n b n n -⎛⎫=-⋅+⎪++⎝⎭ 9分 当n 为偶数时，11111111355*********n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11323n =-+ 11分 当n 为奇数时，11111111355*********n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11323n =++ 所以1132311,323n n n T n n ，为奇数为偶数⎧+⎪⎪+=⎨⎪-⎪+⎩13分21．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）∵2()ln 1f x x a x =--在[3,5]上是单调递增函数， ∴()20af x x x'=-≥在[3,5]上恒成立， 2分 ∴22a x ≤在[3,5]上的最小值为18， ∴18a ≤∴所求的a 的取值范围为(,18]-¥. 6分（Ⅱ）当2a =时，2()2ln 111f x x x x x --=--，0x >且1x ≠，()11F x a =--=，0x ≥. ∴当2a =，0x >且1x ≠时，()()1f x F x x -=- 8分设2()2ln 2h x x x x =--+-，则()h x 的定义域为0x >，2()21h x xx '=--+=. ∴当01x <<时，()0h x '<，此时，()h x 单调递减； 当1x >时，()0h x '>，此时，()h x 单调递增.∴当0x >且1x ≠时，()(1)0h x h >=. 10分。