2020版高考数学大二轮复习第二部分专题4概率与统计增分强化练二十二文20191128328
高考数学大二轮复习专题4概率与统计增分强化练二十一(文科)
增分强化练(二十一)考点一 古典概型1．一个盒子里装有标号为1—6的6个大小和形状都相同的小球，其中1到4号球是红球，其余两个是黄球，若从中任取两个球，则取出的两个球颜色不同，且恰有1个球的号码是偶数的概率是( ) A.115 B.215 C.315D.415解析：盒子里装有标号为1—6的6个大小和形状都相同的小球，其中1到4号球是红球，5,6号是黄球，从中任取两个球，有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15种情况，恰有1个球的号码是偶数且颜色不同的有16,25,36,45，共有4种情况，故所求概率P ＝415.故选D. 答案：D2．读算法，完成该题：第一步，李同学拿出一正方体；第二步，把正方体表面全涂上红色；第三步，将该正方体切割成27个全等的小正方体；第四步，将这些小正方体放到箱子里，搅拌均匀；第五步，从箱子里随机取一个小正方体．问：取到的小正方体恰有两个面为红色的概率是( ) A.627 B.827 C.1227D.2427解析：在大正方体中，每一条棱各有一个小正方体恰有两个面为红色，故共有12个小正方体有两面为红色，P ＝1227，故选C.答案：C3．袋子中有四个小球，分别写有“和”“平”“世”“界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“和”“平”“世”“界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组： 232 321 230 023 123 021 132 220 011 203 331 100 231 130 133 231 031 320 122 103 233 221 020 132由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为( ) A.18 B.14 C.16D.524解析：由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，出现0就不能出现1，反之亦然，第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0，可得符合条件的数组只有3组：021,130,031，故所求概率为P ＝324＝18. 故选A.答案：A考点二 几何概型1．(2019·新乡模拟)从区间[0，π]内任取一个实数x ，则sin x ＋3cos x >1的概率为( ) A.13 B.12 C.23D.34解析：由sin x ＋3cos x >1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3>12，因为x ∈[0，π]，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，由几何概型可知所求概率P ＝π2π＝12，故选B.答案：B2．一只蚂蚁在三边长分别为6,8,10的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为( ) A.π24 B.π48C.112D.18解析：因为三角形三边长分别为6,8,10，由勾股定理，该三角形为直角三角形，且面积为12×6×8＝24，距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的部分是以三角形三个角分别为圆心角，1为半径的的扇形区域，因为三个圆心角之和为180°，所以三个扇形面积之和为12×π×12＝π2，所以某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为π2÷24＝π48，故选B. 答案：B3．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(图1)，图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成．现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形(阴影)区域的概率为( )A.49169B.30169C.49289D.60289解析：直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为5＋12－(5＋5)＝7，最大正方形的边长为5＋12＝17，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得P ＝49289，故选C. 答案：C4．如图是希腊著名数学家欧几里德在证明勾股定理时所绘制的一个图形，该图形由三个边长分别为a ，b ，c 的正方形和一个直角三角形围成．现已知a ＝3，b ＝4，若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的直角三角形区域的概率为( )A.328B.356C.325D.625解析：因为a ＝3，b ＝4， ∴c ＝5，∴S ＝a 2＋b 2＋c 2＋12ab ＝9＋16＋25＋6＝56，其中S △＝6，∴该点取自其中的直角三角形区域的概率为656＝328，故选A.答案：A考点三 概率与统计的综合问题1．某电子商务平台的管理员随机抽取了1 000位上网购物者，并对其年龄(在10岁到69岁之间)进行了调查，统计情况如下表所示.(1)求a ，b 的值；(2)若将年龄在[30,50)内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”．现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝500ab ＝40 000a >b，解得a ＝400，b ＝100.(2)由题意可知，在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为a 1，a 2，a 3，有2人是消费潜力军，分别记为b 1，b 2.记“这2人中至少有一人是消费潜力军”为事件A .从这5人中抽取2人所有可能情况为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，共10种．符合事件A 的情况有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，共7种．故所求概率为P (A )＝710.2．(2019·宁德质检)党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态．为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村旅游项目．现统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：(1)若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；(2)从(1)中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率； (3)为吸引顾客，该村特推出两种促销方案： 方案一：每满80元可立减8元；方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折．若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案． 解析：(1)样本中“水果达人”的频率为(0.007 5＋0.005)×20＝0.25， 所以样本中“水果达人”的人数为100×0.25＝25人． 由题可知，消费金额在[80,100)与[100,120]的人数比为3∶2， 其中消费金额不低于100元的人数为25×25＝10人所以，抽取的5人中消费金额不低于100元的人数n ＝10×525＝2(人)．(2)由(1)得，抽取的5人中消费金额低于100元的有3人，记为A ，B ，C ， 消费金额不低于100元的有2人，记为a ，b .所有基本事件如下：(A ，B )，(A ，C )，(A ，a )，(A ，b )，(B ，C )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(B ，C )，(a ，b )，共有10种，其中满足题意的有7种， 所以P ＝n N ＝710. (3)依题意得，该游客要购买110元的水果， 若选择方案一，则需支付(80－8)＋30＝102元；选择方案二，则需支付50＋(80－50)×0.9＋(100－80)×0.8＋(110－100)×0.7＝100元， 所以选择方案二更优惠．。
2020新高考文科数学二轮培优基础保分强化试题二及答案解析(7页)
2020新高考文科数学二轮培优基础保分强化试题二1．已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{|x ∈R 12a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A 解析因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A解析 因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( )A ．1B ．3C ．7D ．13 答案 C解析 因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C. 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3B.8π3C.16π3D.32π3 答案 A解析 由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析 因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<12.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A.6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0 C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4上是减函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π8对称 答案 B解析 函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T＝2π2＝π，故A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝0，故B 正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k ＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，故C 错误；当x ＝－π8时，f ⎝⎛⎭⎪⎫－π8＝0.故D 错误，故选B.7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64B.14C.26D.36 答案 A解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22＋(6)2－222×2×6＝64.故选A.8．如图，在矩形区域ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，且在A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．2－π2 B.π2－1 C ．1－π4 D.π4 答案 C解析 由条件得扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积均为π4，又矩形区域ABCD 的面积为2×1＝2，根据几何概型概率公式可得所求概率为P ＝2－2×π42＝1－π4，即在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是1－π4.9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0 D ．x ±2y ＝0答案 A解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.10．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 答案 D解析 依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋3＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.11．椭圆x 24＋y 2＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝( )A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析 由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2－4(2m 2－2)＝－4m 2＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y －3＝0上，∴4m －2×m 2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA →＋OB →＝(2,1)，∴|OA →＋OB →|＝ 5.故选C.12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则cos2α＝________.答案 －35解析 设点P 到原点的距离是r ，由三角函数的定义，得r ＝5，sin α＝2r ＝25，可得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝－35.13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．答案 91解析 由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.14．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ，且S △BCD ∶S △ACD ＝4∶3，则cos A ＝________.答案 38解析 在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝37AB sin ∠ACD ⇒AC 37AB ＝sin ∠ADCsin ∠ACD.同理，在△BCD 中，得BC sin ∠BDC ＝47AB sin ∠BCD ⇒BC 47AB＝sin ∠BDCsin ∠BCD，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47AB ⇒AC ＝34BC ，由正弦定理，得sin B ＝34sin A ，又B ＝2A ，即sin B ＝2sin A cos A ，求得cos A ＝38.。
2020版高考数学二轮复习第二部分专题四概率与统计第2讲统计与统计案例练习(含解析)(最新整理)
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第2讲统计与统计案例［做真题］题型一抽样方法与总体分布的估计1．（2019·高考全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。
7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是( ）A．中位数B．平均数C．方差D．极差解析：选A。
记9个原始评分分别为a，b，c，d,e，f，g，h,i（按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A。
2．(2018·高考全国卷Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( )A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A.法一:设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a,则由饼图可得建设前种植收入为0。
2020高考数学二轮复习概率与统计.docx
2020 高考数学二轮复习 概率与统计概率内容的新概念 多，相近概念容易混淆，本 就学生易犯 作如下 ：型一 “非等可能 ”与 “等可能 ”混同 例 1 两枚骰子，求所得的点数之和 6 的概率．解两枚骰子出 的点数之和2， 3， 4， ⋯ ，12 共 11 种基本事件，所以概率P=111剖析以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和 2 只有 (1， 1)，而点数之和6 有 (1， 5)、(2， 4)、 (3， 3)、 (4，2)、 (5， 1)共 5 种．事 上， 两枚骰子共有 36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和6”的概率 P= 5．36型二 “互斥 ”与 “ 立 ”混同例 2把 、黑、白、4 牌随机地分 甲、乙、丙、丁4 个人，每个人分得1 ，事件“甲分得 牌”与“乙分得 牌”是（）A ． 立事件B ．不可能事件C ．互斥但不 立事件D ．以上均不解A剖析 本 的原因在于把 “互斥 ”与 “ 立”混同，二者的 系与区 主要体 在 ：(1)两事件 立，必定互斥，但互斥未必 立； (2) 互斥概念适用于多个事件，但 立概念只适用于两个事件； (3) 两个事件互斥只表明 两个事件不能同 生，即至多只能 生其中一个，但可以都不 生；而两事件 立 表示它 有且 有一个 生．事件 “甲分得 牌 ”与 “乙分得 牌 ”是不能同 生的两个事件，两个事件可能恰有一个 生，一个不 生，可能两个都不 生，所以 C ．型三 例 3解“互斥 ”与 “独立 ”混同甲投 命中率 O ．8，乙投 命中率 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少 ?“甲恰好投中两次” 事件 A ， “乙恰好投中两次” 事件B ， 两人都恰好投中两次事件A+B ， P(A+B)=P(A)+P(B)： c 32 0.820.2 c 32 0.720.3 0.825剖析本 的原因是把相互独立同 生的事件当成互斥事件来考 ， 将两人都恰好投中2 次理解 “甲恰好投中两次”与 “乙恰好投中两次 ”的和．互斥事件是指两个事件不可能同 生；两事件相互独立是指一个事件的 生与否 另一个事件 生与否没有影响，它 然都描 了两个事件 的关系，但所描 的关系是根本不同．解：“甲恰好投中两次 ” 事件 A ，“乙恰好投中两次” 事件 B ，且 A ， B 相互独立，两人都恰好投中两次 事件A ·B ，于是 P(A ·B)=P(A) ×P(B)= 0.169类型四例 4错解“条件概率 P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同袋中有 6 个黄色、 4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黄色球的概率．记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件62C,所以 P(C)=P(B/A)=.93剖析本题错误在于 P(A B)与 P(B/A) 的含义没有弄清 , P(A B) 表示在样本空间S 中 ,A 与 B 同时发生的概率；而P（ B/A ）表示在缩减的样本空间S A中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。
2020版高考数学大二轮复习第二部分专题4概率与统计增分强化练(二十六)理(最新整理)
增分强化练（二十六）一、选择题1．某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元,被随机分配为2.49元、1.32元、2。
19元、0.63元、3。
37元共5份，供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）A.错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!解析：所发红包的总金额为10元，被随机分配为2。
49元、1.32元、2.19元、0。
63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，基本事件总数n＝C错误!＝10，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况有：(2。
49，2。
19)，（2.49,3.37)，（1。
32，3.37)，（2.19,3。
37），（0。
63,3.37）共有5种,∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率P ＝错误!＝错误!，故选B。
答案：B2．(2019·东三省三校模拟）某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布N(10,0。
12）(单位：kg），现抽取500袋样本,X表示抽取的面粉质量在（10,10.2）kg的袋数，则X的数学期望约为( ）附：若Z～N(μ，σ2）,则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.687 2，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0。
954 5.A．171 B．239C．341 D．477解析：设每袋面粉的质量为Z kg，则由题意得Z～N（10，0.12）,∴P(10〈Z≤10.2)＝错误!P（9.8<Z≤10。
2)＝错误!P（μ－2σ〈Z≤μ＋2σ）≈0。
477 25.由题意得X～B（500，0。
477 25)，∴E（X)＝500×0.477 25＝238。
625≈239。
故选B.答案：B3．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯,枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取,又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上．甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作,四人每人模仿一个动作．若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作,则甲不模仿“爬"且乙不模仿“扶”的概率是( ）A.错误!B.错误!C.错误!D。
2020版高考数学大二轮复习第二部分专题4概率与统计增分强化练(二十六)理
增分强化练(二十六)一、选择题1．某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( ) A.25 B.12 C.34D.56解析：所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，基本事件总数n ＝C 25＝10，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况有：(2.49,2.19)，(2.49,3.37)，(1.32,3.37)，(2.19,3.37)，(0.63,3.37)共有5种，∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率P ＝510＝12，故选B. 答案：B2．(2019·东三省三校模拟)某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布N (10,0.12)(单位：kg)，现抽取500袋样本，X 表示抽取的面粉质量在(10,10.2)kg 的袋数，则X 的数学期望约为( )附：若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z ≤μ＋σ)≈0.687 2，P (μ－2σ<Z ≤μ＋2σ)≈0.954 5. A ．171 B ．239 C ．341D ．477解析：设每袋面粉的质量为Z kg ，则由题意得Z ～N (10,0.12)，∴P (10<Z ≤10.2)＝12P (9.8<Z ≤10.2)＝12P (μ－2σ<Z ≤μ＋2σ)≈0.477 25.由题意得X ～B (500,0.477 25)， ∴E (X )＝500×0.477 25＝238.625≈239. 故选B. 答案：B3．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上．甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作．若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是( ) A.34 B.712 C.12D.512解析：依题意，基本事件的总数为A 44＝24，设事件A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，①若甲模仿“扶”，则A 包含1×A 33＝6个基本事件；②若甲模仿“捡”或“顶”则A 包含2×2×A 22＝8个基本事件，综上A 包含6＋8＝14个基本事件，所以P (A )＝1424＝712，故选B.答案：B4.(2019·安阳模拟)如图所示，分别以点B 和点D 为圆心，以线段BD 的长为半径作两个圆．若在该图形内任取一点，则该点取自四边形ABCD 内的概率为( )A.338π＋33B.34π－3C.338πD.334π解析：设BD ＝2，由已知可得△ABD ，△BCD 为全等的等边三角形，所以S 四边形ABCD ＝2×12×2×3＝23，整个图形可以看作由位于直线AC 左右两侧的两个弓形组成，其面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×2π3－12×4×sin 2π3＝163π＋23，所以所求的概率为2316π3＋23＝338π＋33，故选A.答案：A 二、填空题5．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________. 解析：由题意得X ～B (100,0.02)， ∴D (X )＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96. 答案：1.966．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解析：设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.答案：257．(2019·南宁模拟)用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为________．解析：5个格子用0与1两个数字随机填入共有25＝32种不同方法，从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数包含的基本事件有：①全是1，有1种方法；②第一个格子是1，另外4个格子有一个0，有4种方法；③第一个格子是1，另外4个格子有2个0，有5种方法，所以共有1＋4＋5＝10种基本方法，那么概率P ＝1032＝516.答案：516三、解答题8．2017年诺贝尔奖陆续揭晓，北京时间10月2日17：30首先公布了生理学和医学奖，获奖者分别是三位美国科学家霍尔(Jeffrey C ．Hall)、罗斯巴什(M ichael Rosbash)和杨(MichaelW.Young)，以表彰他们“发现控制生理节律的分子机制”，通过他们的研究成果发现，人类每天睡眠时间在7—9小时为最佳状态，从某大学随机挑选了100名学生(男生、女生各50名)做睡眠时间统计调查，调查结果如下：(1)请分别估计出该校男生和女生的睡眠平均时间(以表格中的频率代替总体的概率)； (2)若从全校(人数较多，且男女人数相当)睡眠最佳状态的人群中随机选出20人进行深度睡眠时间测试，记选出的女生人数为ξ，求ξ的期望． 解析：(1)男生的平均睡眠时间T 1＝4.5×550＋5.5×650＋6.5×1250＋7.5×1250＋8.5×850＋9.5×550＋10.5×250＝7.2；女生的平均睡眠时间T 2＝4.5×050＋5.5×250＋6.5×650＋7.5×1850＋8.5×1250＋9.5×1050＋10.5×250＝8.06.(2)根据表格可以估计出全校的睡眠最佳状态的学生中女生占的比例为35，根据二项分布知，ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫20，35，因此E (ξ)＝20×35＝12. 9．(2019·恩施质检)某校的 1 000名高三学生参加四门学科的选拔考试，每门试卷共有10道题，每题10分，规定：每门错x (0≤x ≤1)题成绩记为A ，错x (2≤x ≤4)题成绩记为B ，错x (5≤x ≤7)题成绩记为C ，错x (8≤x ≤10)题成绩记为D ，在录取时，A 记为90分，B 记为80分，C 记为60分，D 记为50分． 根据模拟成绩，每一门都有如下统计表：(1)设ξ为高三学生一门学科的得分，求ξ的分布列和数学期望； (2)预测考生4门总分为320的概率． 解析：(1)由已知得，ξ的分布列为：E (ξ)＝90×110＋80×25＋60×5＋50×10＝70(分)．(2)考生得90分的概率为110，考生得80分的概率为25，考生得60分的概率为25，考生得50分的概率为110，因为320＝3×90＋50＝2×90＋80＋60＝4×80， 所以预测考生4门总分为320概率为C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫1103×110＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1102×C 12×25×25＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫254＝1134×⎝ ⎛⎭⎪⎫154＝1132 500.10．(2019·株洲模拟)从某公司生产线生产的某种产品中抽取1 000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：(1)求这1 000件产品质量指标的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(175.6<Z<224.4)；②已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品(质量指标值Z∈(175.6,224.4)的定价为16元；若为次品(质量指标值Z∉(175.6,224.4))，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元. 若该公司卖出100件这种产品，记Y表示这件产品的利润，求E(Y)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)≈0.68, P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.95.解析：(1)由题意得x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.∴s2＝(170－200)2×0.02＋(180－200)2×0.09＋(190－200)2×0.22＋(200－200)2×0.33＋(210－200)2×0.24＋(220－200)2×0.08＋(230－200)2×0.02＝150，即样本平均数为200，样本方差为150.(2)①由(1)可知，μ＝200，σ＝150≈12.2，∴Z～N(200,12.22)，∴P(175.6<Z<224.4)＝P(μ－2σ<Z<u＋2σ)≈0.95，②设X表示100件产品的正品数，由题意得X～B(100,0.95)，∴E(X)＝100×0.95＝95，∴E(Y)＝16E(X)－48×5－100×10＝280.。
2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)专题强化训练：24 概率
专题强化训练(二十四)一、选择题1．(2019·山东青岛一模)在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数字，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是( )A.14B.13C.12D.34[解析] 在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数字，基本事件总共有4个，分别为(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,6)，(2,3,6)．数字2是三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1,2,3)，共1个．∴数字2是三个不同数字的平均数的概率P ＝14，故选A.[答案] A2．(2019·福建福州一模)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )A.12B.14C.13D.16[解析] 两名同学分3本不同的书，基本事件有(0,3)，(1a,2)，(1b,2)，(1c,2)，(2,1a )，(2,1b )，(2,1c )，(3,0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P ＝28＝14，故选B.[答案] B3．(2019·广东广州模拟)已知某运动员每次投篮命中的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示没有命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569683 431 257 393 027 556 488 730 113537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.15[解析] 观察数据，代表恰有两次命中的有191,271,932,812,393共5个，而总的试验数据共20个，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P ＝520＝0.25，故选B. [答案] B4．(2019·吉林长春二模)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130[解析] 开机密码的所有可能结果有：(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)，共15种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C.[答案] C5．(2019·河南安阳一模)在边长为a 的正三角形内任取一点Q ，则点Q 到三个顶点的距离均大于a 2的概率是( )A.1112－36πB ．1－36π C.13 D.14[解析] 设边长为a 的正三角形为三角形ABC ，如图所示：∵AB ＝a ，∴S 三角形ABC ＝12·a 2·sin π3＝34a 2，满足到正三角形ABC的顶点A 、B 、C 的距离至少有一个小于或等于a 2的所有点组成的平面区域如图中阴影部分所示，各部分组合起来构成一个半径为a 2的半圆， ∴S阴影＝12·π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝πa 28， ∴使点Q 到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于a 2的概率P ＝1－πa 283a 24＝1－36π，故选B.[答案] B6．(2019·南昌一模)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78[解析] 平面区域Ω1的面积为12×2×2＝2，平面区域Ω2为一个条形区域，画出图形如图所示，其中C (0,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －x －2＝0x ＋y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－12，y ＝32，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 则△ACD 的面积为S ＝12×1×12＝14，则四边形BDCO 的面积S＝S △OAB －S △ACD ＝2－14＝74.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为742＝78，故选D.[答案] D二、填空题7．(2019·海口一模)从一箱产品中随机地抽取一件，记事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为__________．[解析] ∵事件A ＝{抽到一等品}，且P (A )＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.[答案] 0.358．(2019·山西运城一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为__________．[解析] 记两道题分别为A ，B ，所有抽取的情况为AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB (其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种．故所求事件的概率为12.[答案] 129．(2019·沈阳二模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是__________．[解析]易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S1＝(3－1)2＝4－23，又大正方形的面积为S＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝S1S＝4－234＝2－32.[答案]2－32三、解答题10．(2019·德州二模)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A、B、C、D四所需要面试的院校，这四所院校的面试安排在同一时间．因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设每位同学选择各个院校是等可能的，试求：(1)甲、乙选择同一所院校的概率；(2)院校A、B至少有一所被选择的概率．[解]由题意可得，甲、乙都只能在这四所院校中选择一个做志愿的所有可能结果为：(甲A，乙A)，(甲A，乙B)，(甲A，乙C)，(甲A，乙D)，(甲B，乙A)，(甲B，乙B)，(甲B，乙C)，(甲B，乙D)，(甲C，乙A)，(甲C，乙B)，(甲C，乙C)，(甲C，乙D)，(甲D，乙A)，(甲D，乙B)，(甲D，乙C)，(甲D，乙D)，共16种．(1)其中甲、乙选择同一所院校有4种，所以甲、乙选择同一所院校的概率为416＝14.(2)院校A 、B 至少有一所被选择的有12种，所以院校A 、B 至少有一所被选择的概率为1216＝34.11．(2019·贵州贵阳模拟)一个袋中装有5个形状大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白球．(1)从袋中随机取两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．[解] (1)2个红球记为a 1，a 2,3个白球记为b 1，b 2，b 3，从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共10个．记事件A ＝“取出的两个球颜色不同”，A 中的基本事件有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，共6个．所以P (A )＝610＝35，即取出的两个球颜色不同的概率为35.(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，b 2)，(b 2，b 3)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)，(b 3，b 1)，(b 3，b 2)，(b 3，b 3)，共25个．设事件B ＝“两次取出的球中至少有一个红球”，B 中的基本事件有：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)，共16个．所以P (B )＝1625，即两次取出的球中至少有一个红球的概率为1625.12．(2019·河北衡水中学4月联考)为了提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名．从这6名导游中随机选择2人参加比赛．(1)求选出的2人都是高级导游的概率；(2)为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是[30,50](单位：万元)，乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是[20,40](单位：万元)，求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献的概率．[解](1)设来自甲旅游协会的3名导游为A1，A2，A3，其中A2，A3为高级导游，来自乙旅游协会的3名导游为B1，B2，B3，其中B3为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3共15种，其中选出的2人都是高级导游的有A2A3，A2B3，A3B3，共3种，所以选出的2人都是高级导游的概率为P＝315＝15.(2)依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为x(单位：万元)，乙旅游协会对本地经济收入的贡献为y(单位：万元)，则x∈[30,50]且y∈[20,40]，若甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献，则x≥y，属于几何概型问题．作图，由图可知S1＝S△DEF，S＝S ABCD，S－S1S＝1－S1S＝1－12×10×1020×20＝78.故所求概率为P＝。
2020届数学(理)高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题四 满分示范课——概率与统计
满分示范课——概率与统计概率与统计问题需要从数据中获取有用的信息，通过数据的筛选、分析构建相关模型特别是从图表、直方图、茎叶图中获取信息，利用图表信息进行数据分析．解题的关键重在“辨”——辨型、辨析、求解要抓住几点：(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立、独立等；(2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等；(3)明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等；(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数，或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率；(5)确定随机变量取值并求其对应的概率，写出分布列后再求期望、方差．(6)会套用求、K 2的公式，再作进一步求值与分析．b ^ 【典例】 (满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[规范解答] (1)由题意知，20件产品中恰有2件不合格品的概率220为f(p)＝C p2(1－p)18.220220因此f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0，0.1)时，f′(p)＞0，f(p)单调递增；当p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0，f(p)单调递减．所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×180×0.1＝490.②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于E(X)＞400，故应该对余下的产品作检验．高考状元满分心得1．写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全．如第(1)问求出概率f(p)，判断f′(p)的符号．第(2)问中明确X＝40＋25Y等．2．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问应写出f′(p)，第(2)问中写出E(X)、E(Y)的值，得出结论“应该对余下的产品作检验”得2分，否则不得分．3．正确计算是满分的关键：如第(1)问正确求导，计算p0＝0.1，如第(2)问对数学期望E(X)＝490，否则不得分．[解题程序] 第一步：提炼信息，由相互独立事件概率求f(p)．第二步：利用导数，求出f(p)的最大值点p0.第三步：确定随机变量X与Y的关系，计算E(X)的值．第四步：根据数据信息，作出决策判断．第五步：检验反思，规范解题步骤．[跟踪训练]1．(2019·六安一中模拟)国际奥委会于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡、美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出．某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：分类支持不支持总计年龄不大于50岁80年龄大于50岁10总计70100(1)根据已有数据，把表格数据填写完整；(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关？(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求女教师人数的分布列与期望．附：K 2＝，n ＝a ＋b ＋c ＋d .n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）P (K 2＞k )0.1000.0500.0250.010k2.7063.841 5.024 6.635解：(1)分类支持不支持总计年龄不大于50岁206080年龄大于50岁101020总计3070100(2)K 2＝＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）≈4.762＞3.841，100×（200－600）280×20×30×70所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关．(3)设选出女教师人数为X ，则P (X ＝0)＝＝，P (X ＝1)＝＝＝，11061035P (X ＝2)＝＝.310随机变量X 的分布列为：X012P0.10.60.3E(X)＝0×0.1＋1×0.6＋2×0.3＝1.2.2．(2019·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付之方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额/元支付方式 (0，1 000](1 000，2 000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．解：(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30(人)，仅使用B的学生有10＋14＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人，故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为＝0.4.40100(2)X 的所有可能值为0，1，2.记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”．由题设知，事件C ，D 相互独立，且P (C )＝＝0.4，9＋330P (D )＝＝0.6，14＋125所以P (X ＝2)＝P (CD )＝P (C )P (D )＝0.24，P (X ＝1)＝P (C ∪D )＝P (C )P ()＋P ()P (D )＝0.4×(1－0.6)D － C － D － C － ＋(1－0.4)×0.6＝0.52.P (X ＝0)＝P ()＝P ()P ()＝0.24.C －D － C － D － 所以X 的分布列为X012P 0.240.520.24故X 的数学期望E (X )＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.(3)记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2 000元”．假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化．则由上个月的样本数据得P (E )＝＝.14 060答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P (E )比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，P (E )比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．。
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增分强化练(二十二)一、选择题1．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7解析：由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.答案：B2．某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为( )A.112B.19C.536D.16解析：先后投掷两次骰子的结果共有6×6＝36种．以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为336＝1 12.答案：A3．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么( )A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分但不必要条件C．甲是乙的必要但不充分条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：当A1、A2是互斥事件时，A1、A2不一定是对立事件，所以甲是乙的不充分条件．当A1、A2是对立事件时，A1、A2一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件．所以甲是乙的必要不充分条件．故选C.答案：C4．盒中装有2个白球和3个黑球，从中任取两个，则取出1个白球1个黑球的概率为( )A.12B.15C.25D.35解析：5个球中任取两个球共有10种结果，取出1个白球1个黑球的结果有6种，所以概率为610＝35，故选D.答案：D5．(2019·乌鲁木齐质检)从1,2,3,4,5,6中任意取出两个不同的数，其和为7的概率为( ) A.215 B.15 C.415D.13解析：从1,2,3,4,5,6中任意取出两个不同的数，共有15种不同的取法，它们分别是{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，从1,2,3,4,5,6中任意取出两个不同的数，它们的和为7，则不同的取法为：{1,6}，{2,5}，{3,4}，共有3种情形，故所求的概率为15，故选B.答案：B6．(2019·蚌埠模拟)如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1 089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．8D ．9解析：由题意在正方形区域内随机投掷1 089个点， 其中落入白色部分的有484个点， 则其中落入黑色部分的有605个点， 由随机模拟试验可得：S 黑S 正＝6051 089，又S 正＝9， 可得S 黑＝6051 089×9＝5，据此可估计黑色的面积约为5.故选B.答案：B7．已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率．先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1,2,3表示命中靶心，4,5,6,7,8,9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数： 321 421 191 925 271 932 800 478 589 663 531 297 396 021 546 388 230 113 507 965据此估计，小李三次打靶恰有两次命中的概率为( ) A ．0.25 B ．0.30 C ．0.35D ．0.40解析：利用古典概型的概率计算公式，即可求出小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率．由题意知，在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421,191,271,932,800,531，共6组随机数，所以所求概率为620＝0.30，故选B.答案：B8．(2019·合肥质检)在区间[－4,4]上任取一个实数a ，使得方程x 2a ＋2＋y 2a －3＝1表示双曲线的概率为( ) A.18 B.14 C.38 D.58解析：若方程x 2a ＋2＋y 2a －3＝1表示双曲线，则(a ＋2)(a －3)<0，解得－2<a <3.在区间[－4,4]上任取一个实数a ，当a ∈(－2,3)时，题中方程表示双曲线， 由几何概型，可得所求概率为P ＝3－(－2)4－(－4)＝58.故选D.答案：D9．(2019·大连模拟)一个口袋中装有5个球，其中有3个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，若一次从中摸出2个球，则至少有一个红球的概率为( )A.910B.35C.310D.110解析：有题意知：白球有5－3＝2个， 记三个红球为：A ，B ，C ；两个白球为：a ，b ，一次摸出2个球所有可能的结果为：AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共10种， 至少有一个红球的结果为：AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，共9种， ∴所求概率P ＝910.故选A. 答案：A10．一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的概率为( ) A.π12B.π8C.π6D.π4解析：记三角形为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积为12×6×8＝24，在该三角形区域内，到三角形顶点的距离小于2的区域的面积为12π×22＝2π，因此所求概率为2π24＝π12.答案：A11．(2019·九江模拟)如图，正方形的边长为a ，以A ，C 为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．2－π2B ．2－π3C.π3－1 D.π2－1 解析：如图所示：阴影部分可拆分为两个小弓形，则阴影部分面积S ′＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14πa 2－12a 2＝12πa 2－a 2，正方形面积S ＝a 2， ∴所求概率P ＝S ′S ＝π2－1. 故选D. 答案：D12．(2019·芜湖模拟)19世纪德国工程师勒洛发现了一种神奇“三角形”能够象圆一样当作轮子用，并将其命名为勒洛三角形，这种三角形是三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图所示，现从图中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.2π－334π－23B.23π3－3 C.32π－23D.2π－332π－23解析：设圆半径为R ，因为阴影部分面积为S 1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π6R 2－34R 2＝2π－334R 2，勒洛三角形的面积为S ＝S 1＋34R 2＝π－32R 2， 若从勒洛三角形内部随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率为P ＝S 1S ＝2π－332π－23.故选D.答案：D 二、填空题13．(2019·南宁模拟)不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，则摸到同色球的概率为________．解析：不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，基本事件总数为10，摸到同色球包含的基本事件个数是4，∴摸到同色球的概率P ＝m n ＝410＝25.答案：2514．甲、乙两名同学各自等可能地从政治、历史、地理3门课程中选择2门作为考试科目，则他们选择的课程完全相同的概率为________．解析：甲和乙各有三种选择方法，故基本事件的总数有3×3＝9种，其中选课完全相同的有3种，故概率为39＝13.答案： 1315．(2019·威海模拟)从1,2,3,4中选取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率为________．解析：从1,2,3,4中选取两个不同的数字组成的所有两位数为：12,13,14,21,23,24,31,32,34, 41,42,43，共计12个基本事件，其中能被3整除的有：12,21,24,42，共有4个基本事件，所以这个两位数能被3整除的概率为P ＝412＝13.答案：1316．(2019·中卫模拟)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则cos πx 2的值介于0到12之间的概率为________．解析：由于函数cos πx2是一个偶函数，可将问题转化为在区间[0,1]上随机取一个数x ，则cos πx 2的值介于0到12之间的概率，在区间[0,1]上随机取一个数x ，即x ∈[0,1]时，要使cos12πx 的值介于0到12之间，需使π3≤π2x ≤π2∴23≤x ≤1，区间长度为13，由几何概型知cos πx 2的值介于0到12之间的概率为13.答案：13三、解答题17．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某市2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到下面的频率分布直方图，且规定计分规则如下表：(1)请估计学生的跳绳个数的众数、中位数和平均数(保留整数)；(2)若从跳绳个数在[155,165)、[165,175)两组中按分层抽样的方法抽取9人参加正式测试，并从中任意选取2人，求两人得分之和不大于34分的概率． 解析：(1)众数为180.中位数m ＝175＋0.5－0.06－0.120.034＝175＋0.320.034≈184.平均数X ＝160×0.06＋170×0.12＋180×0.34＋190×0.30＋200×0.1＋210×0.08＝185(个)．(2)跳绳个数在[155,165)内的人数为100×0.06＝6个 跳绳个数在[165,175)内的人数为100×0.12＝12个按分层抽样的方法抽取9人，则[155,165)内抽取3人，[165,175)内抽取6人，经列举得基本事件总数为36种．经列举得发生事件包含基本事件数为3种， 则P ＝112.18．(2019·九江模拟)某饮料公司根据市场调查数据分析得到以下结果：如果某款饮料年库存积压率低于千分之一，则该款饮料为畅销产品，可以继续大量生产．如果年库存积压率高于千分之一，则说明需要调整生产计划．现公司2013－2018年的某款饮料生产，年销售利润及年库存积压相关数据如下表所示：注：年库存积压率＝年生产件数.(1)从公司2013—2018年的相关数据中任意选取2年的数据，求该款饮料这2年中至少有1年畅销的概率；(2)公司根据上表计算出年销售利润与年生产件数的线性回归方程为y ^＝9.90x －9.30.现公司计划2019年生产11千万件该款饮料，且预计2019年可获利108千万元．但销售部门发现，若用预计的2019年的数据与2013—2018年中畅销年份的数据重新建立回归方程，再通过两个线性回归方程计算出来的2019年年销售利润误差不超过4千万元，该款饮料的年库存积压率可低于千分之一．如果你是决策者，你认为2019年的生产和销售计划是否需要调整？请说明理由．(参考公式：y ^＝b ^x ＋a ^，b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y)∑i ＝1n(x i －x)2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x )第二次建立线性回归方程的参考数据：∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝500，∑i ＝15(x i －x )2＝48, ∑i ＝15x i y i＝3 380，∑i ＝15x 2i ＝368.解析：(1)公司2013－2018年年度存积压率分别为：2.93 000<11 000，5.85 000>11 000，36 000<11 000，98 000>11 000，7.59 000<11 000，811 000<11 000. 则该饮品在13,15,17,18年畅销记为A 1，A 2，A 3，A 4,14,16年不畅销记为B 1，B 2任取2年的取法有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1), (A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1), (A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2), (A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种．其中2年均不畅销的取法是(B 1，B 2)，共1种， ∴该款饮料这年中至少有1年畅销的概率为：P ＝1－115＝1415. (2)由题意得，2019年数据与2013,2015,2017,2018年数据重组如下表：经计算得x ＝8，y ＝72，∵∑i ＝15x i y i ＝3 380，∑i ＝15x 2i ＝368,∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝3 380－5×8×72368－5×82＝12512≈10.42， a ^＝y －b ^·x ＝72－10.42×8＝－11.36， ∴y ^＝10.42x －11.36.当x ＝11时，y ^＝10.42×11－11.36＝103.26，此时预估年销售利润为103.26千万元， 将x ＝11代入y ^＝9.90x －9.30中得，y ^＝9.90×11－9.30＝99.6，此时预估年销售利润为99.6千万元，∵|103.26－99.6|＝3.66<4，故认为2019年的生产和销售计划不需要调整．。