高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 1.2 极 坐 标 系
为直角坐标为( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离 d＝
(
3－ 3)2＋[1－－1]2＝2.
变式 训练
π π 2．已知两点的极坐标 A3，2，B3，6 ，求：
(1)A、B 两点间的距离；所成的角．
解析：如图所示：
变式 训练
π π π ∵OA＝OB＝3，∠AOB＝ － ＝ ， 2 6 3 ∴△AOB 为正三角形． (1)A，B 两点间的距离为 3. 1 9 3 (2)△AOB 的面积 S＝ ×3×3sin 60° ＝ . 2 4 π 5π (3)直线 AB 与极轴正方向所成的角为 π－ ＝ . 6 6
题型1
极坐标的概念
例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点， ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
π π 3π 解析： A(5,0)， B2，6， C4，2， D5， 4 ， E(2， 4π 5π π)，F5， 3 ，G3.5， 3 .
题型2
极坐标与直角坐标的互化
2 (1)把点 M 的极坐标2，3π化为直角坐标形式；
例2
(2) 把 点 M 的 直 角 坐 标 (－ 3，－1) 化 成 极 坐 标 (ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解析：(1)由坐标变换公式
x＝ρcos θ， 得 y＝ρsin θ
2 y＝2sin3π＝
取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中 O 称为极点，射线 Ox 称为极轴)．
设 M 为平面内一点， 极点 O 与点 M 的距离|OM|叫作点 M 的 极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫 作点 M 的极角，记为 θ，有序实数对(ρ，θ)叫作点 M 的极坐标， 记作 M(ρ，θ)，一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可 取任意实数．
解析：(1)不是 (2)无数种表示方法 (3)由极角的多值性引起
预习 思考
π 3．已知点 M 的极坐标为 5，3，下列所给出的四个坐标
中能表示点 M 的坐标的是( D )
π A.5，－3 2π C . 5，－ 3 4π B.5， 3 5π D. 5，－ 3 ,
变式 训练
π 1．设点 A2，3，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，
分别求出点 A 关于极轴、直线 l、极点的对称点的极坐标(限定 ρ＞0，－π＜θ≤π)．
解析：如下图所示
变式 训练
π 关于极轴的对称点为 B2，－3. 2 关于直线 l 的对称点为 C2，3π. 2 关于极点 O 的对称点为 D2，－3π.
2．直角坐标与极坐标的互化． 以直角坐标系的 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐 标系中取相同的单位长度，平面内的任一点 P 的直角坐标和极
x＝ 坐 标 分 别 为 (x ， y) 和 (ρ ， θ) ， 则 y＝ ρ ＝ tan θ＝
2
ρcos θ ，
ρsin θ
2 x＝2cos π＝－1， 3 3.
即点 M 的直角坐标为(－1， 3)． (2)由坐标变换公式
2 2 2 ρ ＝ x ＋ y ，
y tan θ＝xx≠0，
得 ρ＝ － 32＋－12＝2，
－1 3 tan θ＝ ＝ . － 3 3 ∵点 M 在第三象限，ρ＞0， 7π ∴最小正角 θ＝ . 6
或
x2＋y2 ，
x≠0.
预习 思考
1.写出下图中各点的极坐标：
π π 3， 2， 4 A________，B________ ，C________. 2
(4,0)
预习 思考
2．回答下列问题： (1)平面上一点的极坐标是否唯一？ (2)若不唯一，那有多少种表示方法？ (3)坐标不唯一是由谁引起的？
第一讲
坐 标 系
1.2 极 坐 标 系
1.理解极坐标的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐
标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
3.能进行极坐标与平面直角坐标的互化.
1．极坐标系的建立． 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确
一个长度单位 和 ___________________________( 一个角度单位及其正方向 通 常 定 _________________
7π 因此，点 M 的极坐标是2， 6 .
π π 例 3 在极坐标系中， 已知 A2，6， B2，－6， 求 A，
B 两点间的距离．
解析：解法一 如下图所示，
π ∵∠AOB＝ ，又 OA＝OB＝2， 3 ∴△ABO 为等边三角形．∴AB 的长度为 2. 解法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化
平面直角坐标系
D
E
120m
C
60 3m
45o 50m 60o A) 60m B A(O
x
二、极坐标系 极坐标(,)与(,＋2k)(k∈Z)表示 同一个点.特别地，极点O的坐标为(0,) ( ∈R).和直角坐标不同，平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定＞0，0≤＜2，那么除 极点外，平面内的点可用惟一的极坐标 (,)表示；同时，极坐标表示的点(,) 也是惟一确定的.
x x ② y 3 y 我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个标伸长变换.
问题3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? y 在正弦曲线y=sinx上任取一 点P(x, y)，保持纵坐标不变， 将横坐标x缩为原来的1/2; O x 在此基础上，将纵坐标变为原来的 3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x. 即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点 P(x,y)经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系 为: 1
5 6
2 3
2
B
A
3
6
2
5 6
2 3
2
3
E
B A D
6
2
7 6
7 6
4 3
C
3 2
5 3
11 6
4 3
C
F
3 2
5 3
11 6
例2、在图中，用点A，B，C，D，E
分别表示教学楼，体育馆，图书馆， 实验楼，办公楼的位置.建立适当的 极坐标系，写出各点的极坐标.
∵点M的直角坐标为 (1,
3)
y
M (1, 3)
θ
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
选修4-4 1.2 极坐标系
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点 M，用 表示线段OM的 长度，用 表示从OX到 OM 的角度， 叫做点M 的极径， 叫做点M的极 角，有序数对（，）就 O 叫做M的极坐标。
M
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即 以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
有。（ρ，2kπ+θ）
M
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3 B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6 C (3, ) 2 F (4, )
2
5 6
4
E F O
C A B X
4 3
D
G
5 3
四、极坐标系下点与它的极坐标的 对应情况 P
( 3, 1)
化成极坐标.
（ ） 解: ( 3 ) 1 2
2 2
1 3 tan 3 3 7 因为点在第三象限, 所以 6 7 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
人教A版高中数学选修4-4课件1.1.2极坐标系
如果规定 0, 0 2 ，那么除极点外，平面内 的点可用唯一的极坐标 ， 表示. 同时，极坐标 ， 表示的点也是唯一确定的.
默认： 0， R. 第9页
负极径
默认： 0， R. 第9页
对称点
思考：设P , 是平面内一点，则点P关于 极轴、极垂线 过极点且垂直于极轴的直线 、 极点对称的点的坐标是什么？
2 B 5， 6
例5 把下列点的直角坐标化成极坐标：
0, 0 2
4 1 A 1, 1； 2 B 4， 3 ;
3 3 3 , 2 2
x cos y sin
x y
2 2
2
y tan x 0 x
例4 把下列点的极坐标化成直角坐标： 14 1 A 4， ； 3
2 B 5， 6
例4 把下列点的极坐标化成直角坐标： 14 1 A 4， ； 3
60m
A教学楼 B体育馆
思考：在极坐标中 4， ， 4 ， 2 ， 4 ， 4 ， 6 6 6 2 表示的点有什么关系？ 4， 6
一般地，极坐标 ， 与 ， 2k k Z 表示 同一个点.平面内一个点的极坐标有无数种表示.
（ ， ） M
x
注意：（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0， 可取任意实数。 （2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ），可取任 意值。
例1 如图，在极坐标系中，写出点A, B , C的极坐标.
A 1， 0
B 4， 2
高中数学 1.2 第一讲 坐标系课件 新人教A版选修44
3．极坐标与直角坐标的互化 我们把极轴与平面直角坐标系 xOy 的 x 轴的正半轴重合，且两 种坐标系取相同的长度单位，设 P(x，y)是平面上的任意一点，如 下图：
第十八页，共47页。
则有换算公式：
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ，
①
ρ＝ x2＋y2， 或tanθ＝yxx≠0. ② 在换算公式①和②中，一般 θ∈[0,2π)就可以了.
第十九页，共47页。
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
第二十页，共47页。
典例剖析 【例 1】 在极坐标系中作出下列各点，并说明每组中各点间 的位置关系． (1)A(2,0)，B(2，π6)，C(2，4π)，D(2，π2)，E(2，32π)，F(2，54π)， G(2，161π)． (2)A(0，π4)，B(1，4π)，C(2，54π)，D(3，54π)，E(3，94π)．
第九页，共47页。
自我 校对
1.极点 极轴 2.极径 极角 3.ρsinθ x2＋y2
第十页，共47页。
思考探究 1 极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？ 提示 平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景，而 极坐标系以角这一平面图形为几何背景；极坐标系和平面直角坐标 系都由两个量构成，都是平面坐标系．
ρ2＝x2＋y2， (2)由坐标变换公式tanθ＝yxx≠0， 得 ρ＝ － 32＋－12＝2，
第三十五页，共47页。
tanθ＝－－13＝
3 3.
∵点 M 在第三象限，ρ>0，
∴最小正角 θ＝76π.
因此，点 M 的极坐标是(2，76π)．
第三十六页，共47页。
规律技巧 极坐标与直角坐标互化时，必须符合以下三个条 件：
高中数学人教A版选修4-4课件 第一讲坐标系1.2极坐标系
A(4,0),B
π 3, 4
π 2, 2
7π 3, 4
探究一
探究二
思维辨析
解：(1)A,B,C,D四个点的位置如图所示.
探究一
探究二
思维辨析
(2)如图,点 A 关于极轴的对称点为 B 2, 为C
2π 2, 3
;关于极点 O 的对称点为 D
5π 3 4π 2, 3
;关于直线 l 的对称点 .
探究一
4
探究一
探究二
思维辨析
极坐标的概念 【例1】 (1)在极坐标系中,作出以下各点:
,C ,D ; π (2)设点A 2, 3 ,直线l为过极点且垂直于极轴的直线,分别求点A 关于极轴、直线l、极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,0<θ≤2π). 分析：(1)建立极坐标系 作出极角的终边 以极点O为 圆心,以极径为半径分别画弧→点的位置;(2)先确定每个点对应的ρ 和θ的值,再写出坐标.
名师点拨极坐标系的四要素:(1)极点;(2)极轴;(3)长度单位;(4)角 度单位和它的正方向.四者缺一不可,其中极轴是以极点为端点的 一条射线,它与极轴所在的直线是有区别的;极角θ的始边是极轴,它 的终边随着θ的大小和正负而位于不同位置;θ的正方向通常取逆时 针方向,θ的值一般是以弧度为单位的量数;点M的极径ρ表示点M与 极点O的距离|OM|,因此ρ≥0.
2 2
π 2, 4 5π 2, 4
B. D.
3π 2, 4 7π 2, 4
.
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”. (1)任意一个点都有唯一的极坐标. × ( ) (2)若ρ1=ρ2,θ1+θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)关于极点对称. ( ) × 3π (3)直角坐标为(- 3, 3)的点 P 的极坐标一定是 6, .( × ) (4)当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)与极坐 标(ρ,θ)是一一对应关系的. ( ) (5)极坐标与直角坐标在任意情况下均可互化.× ( )
高中数学选修4-4知识点(坐标系与参数方程)
这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引 入参数，也可把普通方程化为参数方程． 2．圆的参数方程
1．圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的参数方程 如图圆 O 与 x 轴正半轴交点 M0(r，0)．
α α (t
为参数)
称为直线参数方程的标准形式，此时的参数 t 有明确的几何意义．
一般地，过点 M0(x0，y0)，斜率 k＝ba(a，b 为常数)的直线，参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt(t 为参
数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数 t 不具有标准式中参数的几何意义． 四 渐开线与摆线（了解）
x＝rsin φcos θ (2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为y＝rsin φsin θ ．
z＝rcos φ
第二讲：
第4页
一 曲线的参数方程
1．参数方程的概念 1．参数方程的概念
(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变
2．参数方程与普通方程的区别与联系 (1)区别：普通方程 F(x，y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标 x，y 之间的关系，它含有
x，y 两个变量；参数方程xy＝ ＝fg（（tt））(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标 x，y 之间的关系，
它含有三个变量 t，x，y，其中 x 和 y 都是参数 t 的函数． (2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一
就可得到普通方程． (3)普通方程化参数方程，首先确定变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，
2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.2 极 坐 标 系
或
x2＋y2 ，
y x
栏 目 链 接
x≠0.
预习 思考
1.写出下图中各点的极坐标：
栏 目 链 接
π π 3， 2， 4 A________，B________ ，C________. 2
(4,0)
预习 思考
2．回答下列问题： (1)平面上一点的极坐标是否唯一？ (2)若不唯一，那有多少种表示方法？ (3)坐标不唯一是由谁引起的？
第一讲
坐 标 系
1.2 极 坐 标 系
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1.理解极坐标的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐
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标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
3.能进行极坐标与平面直角坐标的互化.
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1．极坐标系的建立． 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确
栏 目 链 接
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题型1
极坐标的概念
例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
栏 目 链 接
分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点， ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
π π 3π 解析： A(5,0)， B2，6， C4，2， D5， 4 ， E(2， 4π 5π π)，F5， 3 ，G3.5， 3 .
栏 目 链 接
为直角坐标为( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离 d＝
(
3－ 3)2＋[1－－1]2＝2.
变式 训练
π π 2．已知两点的极坐标 A3，2，B3，6 ，求：
新人教B版高中数学选修4-4第1章坐标系1.2极坐标系讲义
学习目标：1.了解极坐标系的意义，能用极坐标系刻画点的位置．(难点)2.了解极坐标系与直角坐标系的联系，能进行极坐标与直角坐标的互化．(重点)1．平面上点的极坐标(1)极坐标系：在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O 点称为极点，Ox 称为极轴．(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为极径，θ称为极角．2．点与极坐标的关系(ρ，θ)和(ρ，θ＋2k π)代表同一个点，其中k 为整数．特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R )．如果限定ρ≥0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的关系(1)互化背景：设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x 轴的正半轴，以θ＝π2的射线作为y 轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系(如图121所示)．(2)互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：[提示] 极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可．但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系，用来刻画平面内点的位置．思考2：极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？[提示] 建立极坐标系后，给定数对(ρ，θ)，就可以在平面内惟一确定一点M ；反过来，给定平面内一点M ，它的极坐标却不是惟一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系．思考3：联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？[提示] 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带． 事实上，若ρ>0，则sin θ＝y ρ，cos θ＝xρ，所以x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx.1．极坐标系中，点M (1,0)关于极点的对称点为( ) A ．(1,0) B ．(－1，π) C ．(1，π)D ．(1,2π)[解析] ∵(ρ，θ)关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)，∴M (1,0)关于极点的对称点为(1，π)． [答案] C2．极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是( ) A ．(1,0) B ．(2，π4) C ．(3，π2) D ．(4，π)[答案] C3．点A 的极坐标是(2，7π6)，则点A 的直角坐标为( )A ．(－1，－3)B ．(－3，1)C ．(－3，－1)D ．(3，－1)[解析] x ＝ρcos θ＝2cos 76π＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 76π＝－1.[答案] C4．点M 的直角坐标为(0，π2)，则点M 的极坐标可以为( )A ．(π2，0)B ．(0，π2)C ．(π2，π2)D ．(π2，－π2)[解析] ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为(π2，π2)．[答案] C【例1】 设点A (2，3)，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．[思路探究] 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值． [解] 如图所示，关于极轴的对称点为B (2，－π3)．关于直线l 的对称点为C (2，23π)．关于极点O 的对称点为D (2，－23π)．四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上．1．点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的． 2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后．1．在极坐标系中，B (3，π4)，D (3，74π)，试判断点B ，D 的位置是否具有对称性，并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π))．[解] 由B (3，π4)，D (3，7π4)，知|OB |＝|OD |＝3，极角π4与7π4的终边关于极轴对称．所以点B ，D 关于极轴对称．设点B (3，π4)，D (3，7π4)关于极点的对称点分别为E (ρ1，θ1)，F (ρ2，θ2)，且ρ1＝ρ2＝3.当θ∈[0,2π)时，θ1＝5π4，θ2＝3π4，∴E (3，5π4)，F (3，3π4)为所求．(1)(2，4π3)；(2)(2，－23π)；(3)(2，－π3)．[思路探究] 点的极坐标(ρ，θ)―→⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ―→点的直角坐标(x ，y )―→判定点所在象限．[解] (1)由题意知x ＝2cos4π3＝2×(－12)＝－1，y ＝2sin 4π3＝2×(－32)＝－ 3. ∴点(2，4π3)的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点．(2)x ＝2cos(－23π)＝－1，y ＝2sin(－23π)＝－3，∴点(2，－23π)的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点．(3)x ＝2cos(－π3)＝1，y ＝2sin(－π3)＝－3，∴点(2，－π3)的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点．1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x ，y )时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．2．分别把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)(2，π6)；(2)(3，π2)；(3)(π，π)．[解] (1)∵x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1.∴点的极坐标(2，π6)化为直角坐标为(3，1)．(2)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3.∴点的极坐标(3，π2)化为直角坐标为(0,3)．(3)∵x ＝ρcos θ＝πcos π＝－π，y ＝ρsin θ＝πsin π＝0，∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．(1)(－2,23)；(2)(6，－2)．[思路探究] 利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，但求角θ时，要注意点所在的象限． [解](1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝y x＝－3，θ∈[0,2π)， 由于点(－2,23)在第二象限． ∴θ＝2π3.∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标(4，23π)．(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22， tan θ＝y x ＝－33，θ∈[0,2π)， 由于点(6，－2)在第四象限，所以θ＝11π6.∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为(22，11π6)．1．将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)求解． 2．在[0,2π)范围内，由tan θ＝y x(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z )即可．3．(1)“例3”中，如果限定ρ>0，θ∈R ，分别求各点的极坐标；(2)如果点的直角坐标(x ，y )满足xy <0，那么在限定ρ>0，θ∈R 的情况下转化为点的极坐标时，试探究θ的取值范围．[解] (1)根据与角α终边相同的角为α＋2k π(k ∈Z )知，点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，θ∈R )分别如下：(－2,23)的极坐标为(4，2π3＋2k π)(k ∈Z )．(6，－2)的极坐标为(22，116π＋2k π)(k ∈Z )．(2)由xy <0得x <0，y >0或x >0，y <0. 所以(x ，y )可能在第二象限或第四象限．把直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，ρ>0，θ∈R 时，θ的取值范围为(π2＋2k π，π＋2k π)∪(3π2＋2k π，2π＋2k π)(k ∈Z )．【例4】 在极坐标系中，如果A (2，4)，B (2，4)为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．[思路探究] 解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C 的直角坐标，进而求出点C 的极坐标．[解] 对于点A (2，π4)有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2)．对于B (2，54π)有ρ＝2，θ＝54π，∴x ＝2cos 54π＝－2，y ＝2sin 54π＝－ 2.∴B (－2，－2)．设C 点的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形， 故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4.∴有⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16.解之得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6，或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.∴C 点的坐标为(6，－6)或(－6，6)． ∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1，∴θ＝74π或θ＝34π.故点C 的极坐标为(23，74π)或(23，34π)．1．本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质．结合几何图形可知，点C 的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键．2．若设出C (ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解，请读者完成．4．本例中，如果点的极坐标仍为A (2，π4)，B (2，5π4)，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点C 的极坐标．[解] 对于点A (2，π4)，直角坐标为(2，2)，点B (2，5π4)的直角坐标为(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，y )，由题意得AC ⊥BC ，且|AC |＝|BC |，∴AC →·BC →＝0， 即(x －2，y －2)·(x ＋2，y ＋2)＝0， ∴x 2＋y 2＝4. ①又|A C →|2＝|B C →|2，于是(x －2)2＋(y －2)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2，∴y ＝－x 代入①，得x 2＝2，解得x ＝± 2.∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点C 的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)， ∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4，∴点C 的极坐标为(2，3π4)或(2，7π4)．(教材P10习题1－2T3)把下列各点的直角坐标化为极坐标(限定ρ>0,0≤θ<2π)：A (－1,1)，B (0，－2)，C (3,4)，D (－3，－4)．已知点P 在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P的极坐标为________．[命题意图] 主要考查直角坐标与极坐标的互化．[解析] ∵点P (x ，y )在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2. ∴x ＝－2，且y ＝－2. ∴ρ＝x 2＋y 2＝2 2.又tan θ＝y x＝1，且θ∈[0,2π)． ∴θ＝54π.因此点P 的极坐标为(22，54π)．[答案] (22，54π)。
选修4-4 1.2 极坐标系
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3)
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, ∏ / 3)
1 3 2 （ ）
2 2
3 tan 3 1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
有。（ρ，2kπ+θ）
思考:极坐标系中，点A的极坐标是(3, ) 6
11 (3, ) （1）点A关于极轴对称的点是_______________ 6 7 (3, ) （2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________ 6 5 (3, ) （3）点A关于直线 ＝ 的对称点的极坐标是_______ 6 2
如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
π 2kπ+ 4 本题点M的极坐标统一表达式：4，
( 3, 1)
化成极坐标.
（ ） 解: ( 3 ) 1 2