高中数学 选修2-1 北师大版 抛物线的简单性质 课时作业(含答案)
【金版优课】高中数学北师大版选修2-1课时作业：3.2.2 抛物线的简单性质(1) Word版含解析
第三章 §2 课时作业26一、选择题1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， ∴p2＝3，即p ＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p2，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)． 答案：D2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：由定义|AB |＝5＋2＝7， ∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有且仅有两条． 答案：B3．[2014·安徽省合肥六中月考]已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2 2B ．4C ． 2D ．322＋1解析：本题主要考查抛物线的性质的应用．将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为P 到焦点F (1,0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A. 答案：A4．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)解析：F (1,0)，设A (y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)，由OA →·AF →＝－4得到y 0＝±2.∴A (1，±2)． 答案：B 二、填空题5．抛物线顶点在坐标原点，以y 轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为______________．解析：∵过焦点且与对称轴y 轴垂直的弦长等于p 的2倍． ∴所求抛物线的方程为x 2＝±16y . 答案：x 2＝±16y6．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是__________． 解析：把直线2x －y －4＝0平移至与抛物线y ＝x 2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x －y ＋b ＝0，联立y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，由题意得Δ＝4＋4b ＝0，b ＝－1.即x 2－2x ＋1＝0，解x ＝1，y ＝1.答案：(1,1)7．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.解析：直线AB 的方程为y ＝x －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得x 2－3px ＋p 24＝0.如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝3p .根据抛物线的定义，得 |AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8. ∴p ＝2. 答案：2 三、解答题8．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程及准线方程．解：设所求抛物线的标准方程为 x 2＝2py (p >0)，设A (x 0，y 0)，M (0，－p2)，∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3，∵|AM |＝17，∴x 20＋(y 0＋p 2)2＝17，∴x 20＝8代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p (3－p2)，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y . 准线方程为y ＝－1或y ＝－2.9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55.若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ， 得(－2)2＝2p ·1，∴p ＝2，故所求的抛物线方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－2x ＋t ，得y 2＋2y －2t＝0，因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与直线l 的距离等于55可得|t |5＝55，∴t ＝±1，由于－1∉⎣⎡⎭⎫－12，＋∞，1∈⎣⎡⎭⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为y ＝－2x ＋1.。
高中北师大版数学选修2-1学案：3.2.2 抛物线的简单性质 含答案
解析：(1)由题意得，点 P 到准线的距离为 d1＋1，设抛物线的焦点
为 F，则 d1＋1＝|PF|，∴ d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1，又焦点
52
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到直线的距离为 d＝ ，∴ d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥ －1.
2
2
(2)本题可转化为在抛物线 y2＝4x 上找一个点 P，使得点 P 到点
也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲
线．
(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点．当抛物线的
方程为标准方程时，抛物线的顶点是坐标原点．
(4)离心率：抛物线上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，
叫作抛物线的离心率．可见，抛物线的离心率为 e＝1.
(5)通径：通过焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线 y2＝2px(p>0)两交
若 y 轴是抛物线的轴，则设抛物线的标准方程为 x2＝2py(p>0)， ∵ 点(2,4)在抛物线上，∴ 22＝8p，
1 ∴ p＝ ，∴ 抛物线方程为 x2＝y.
2 ∴ 所求抛物线的标准方程为 y2＝8x 或 x2＝y.
1．抛物线的几何性质的几个注意点： (1)抛物线的几何性质和椭圆比较起来，差别较大，它的离心率等 于 1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中 心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆为有心圆锥曲线． (2)给出各种标准形式的抛物线方程，能熟练说出开口方向、焦点 坐标、对称轴和准线方程；反过来，也能根据各种类型的抛物线的示 意图，说出抛物线的类型．
【思路探究】 由题中条件知抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)， 将点 M(4，－8)的坐标代入即可得答案．
北师大版高中数学选修2-1同步练习：17 抛物线的简单性质
课时分层作业(十七)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知点A(－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上,记C 的焦点为F,则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12 C [因为抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2,且点A(－2,3)在准线上,故－p 2＝－2,解得p ＝4,所以y 2＝8x,焦点F 的坐标为(2,0),直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.] 2．将两个顶点在抛物线y 2＝2px(p ＞0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角个数记为n,则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥3 C [结合图像可知,过焦点的斜率为33和－33的直线与抛物线各有两个交点,所以能够构成两个正三角形．]3．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F,点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P 3(x 3,y 3)在抛物线上,且2x 2＝x 1＋x 3,则有 ( )A ．|P 1F|＋|P 2F|＝|FP 3|B ．|P 1F|2＋|P 2F|2＝|P 3F|2C ．2|P 2F|＝|P 1F|＋|P 3F|D ．|P 2F|2＝|P 1F|·|P 3F|C [∵点P 1,P 2,P 3在抛物线上,且2x 2＝x 1＋x 3,两边同时加上p,得2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p 2, 即2|P 2F|＝|P 1F|＋|P 3F|,故选C.]4．已知点A(2,0),抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3C [如图,直线MF 的方程为x 2＋y 1＝1, 即x ＋2y －2＝0.设直线MF 的倾斜角为α,则tan α＝－12.由抛物线的定义得|MF|＝|MQ|.所以|MF||MN|＝|MQ||MN|＝sin α＝15.] 5．如图,过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A,B,交其准线l 于点C,若|BC|＝2|BF|,且|AF|＝3,则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3xC [如图,分别过A,B 作AA 1⊥l 于点A 1,BB 1⊥l 于点B 1,由抛物线的定义知：|AF|＝|AA 1|,|BF|＝|BB 1|, ∵|BC|＝2|BF|,∴|BC|＝2|BB 1|,∴∠BCB 1＝30°,∴∠AFx ＝60°,连接A 1F,则△AA 1F 为等边三角形,过点F 作FF 1⊥AA 1于点F 1,则F 1为AA 1的中点,设l 交x 轴于点K,则|KF|＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF|,即p ＝32, ∴抛物线方程为y 2＝3x,故选C.]二、填空题6．顶点在原点,对称轴为y 轴且过(1,4)的抛物线方程是________．x 2＝14y [由题意知抛物线开口向上,设标准方程为x 2＝2py,∴1＝2p·4,∴2p ＝14,∴x 2＝14y.] 7．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2相切,则a ＝________．－14 [由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x －1＝0, ∵直线与抛物线相切,∴a ≠0且Δ＝1＋4a ＝0.∴a ＝－14.] 8．已知直线l 过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点且与抛物线相交,其中一交点为(2p,2p),则其焦点弦的长度为________．25p 8 [由题意知直线l 过⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0和(2p,2p), 所以l ：y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0. 由根与系数的关系,得x 1＋x 2＝17p 8, 所以焦点弦的长度为x 1＋x 2＋p ＝25p 8.] 三、解答题9． 已知顶点在原点,焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15,求此抛物线的方程．[解] 设抛物线方程为x 2＝ay(a≠0),由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y,得2x 2－ax ＋a ＝0. ∵直线与抛物线有两个交点,∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0,即a<0或a>8.设两交点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝a 2,x 1x 2＝a 2, ∴|AB|＝54（x 1－x 2）2＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝145（a 2－8a ）.∵|AB|＝15,∴145（a 2－8a ）＝15, 即a 2－8a －48＝0,解得a ＝－4或a ＝12,∴所求抛物线的方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y.10．在平面直角坐标系xOy 中,直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A,B 两点,OA →·OB →＝－4,求证：直线l 必过一定点．[证明] 设l ：x ＝ty ＋b,代入抛物线y 2＝4x,消去x 得y 2－4ty －4b ＝0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1＋y 2＝4t,y 1y 2＝－4b.又∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b)(ty 2＋b)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt(y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b,又∵OA →·OB →＝－4,∴b 2－4b ＝－4,解得b ＝2,故直线过定点(2,0)．[能力提升练]1．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短,则该点坐标为( )A ．(1,2)B ．(0,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,4)C [因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交,设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m. 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，⇒4x 2－4x －m ＝0. ①设此直线与抛物线相切,此时有Δ＝0,即Δ＝16＋16m ＝0,∴m ＝－1.将m ＝－1代入①式,x ＝12,y ＝1, 故所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.] 2．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA →＋FB →＋FC →＝0,则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．9B ．6C ．4D ．3B [设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(xC ,y C ),由FA →＋FB →＋FC →＝0,得x A ＋x B ＋x C ＝3.∴|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋p 2＋x B ＋p 2＋x C ＋p 2＝3＋32p ＝3＋32×2＝6.] 3．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F,准线与x 轴的交点为K,点A 在抛物线C 上,且|AK|＝2|AF|,则△AFK 的面积为________．8 [易知F(2,0),K(－2,0),过点A 作AM 垂直准线于点M,则|AM|＝|AF|,∴|AK|＝2|AM|,∴△AMK 为等腰直角三角形．设A(m 2,22m)(m>0),则S △AFK ＝4×22m×12＝42m. 又由|AK|＝2|AM|,得(m 2＋2)2＋8m 2＝2(m 2＋2)2,解得m ＝2,∴△AFK 的面积S ＝42m ＝8.]4．已知定点A(－3,0),B(3,0),动点P 在抛物线y 2＝2x 上移动,则PA →·PB →的最小值等于________．－9 [设P(x 0,y 0),则y 20＝2x 0,x 0≥0,∴PA →·PB →＝(－3－x 0,－y 0)·(3－x 0,－y 0)＝x 20＋y 20－9＝x 20＋2x 0－9,当x 0＝0时,PA →·PB →min ＝－9.]5．抛物线y 2＝2px(p>0)上有两动点A,B 及一个定点M,F 为抛物线的焦点,若|AF|,|MF|,|BF|成等差数列．(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q ；(2)若|MF|＝4,|OQ|＝6(O 为坐标原点),求抛物线的方程．[解] (1)证明：设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0),则|AF|＝x 1＋p 2,|BF|＝x 2＋p 2,|MF|＝x 0＋p 2,x 0为已知值． 由题意得x 0＝x 1＋x 22,∴线段AB 的中点坐标可设为(x 0,t), 其中t ＝y 1＋y 22≠0(否则|AF|＝|MF|＝|BF|⇒p ＝0)． 而k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212p（y 21－y 22）＝2p y 1＋y 2＝p t , 故线段AB 的垂直平分线的方程为y －t ＝－t p(x －x 0), 即t(x －x 0－p)＋yp ＝0,可知线段AB 的垂直平分线过定点Q(x 0＋p,0)．(2)由(1)知|MF|＝4,|OQ|＝6,得x 0＋p 2＝4,x 0＋p ＝6,联立解得p ＝4,x 0＝2.∴抛物线方程为y 2＝8x.。
高中数学 选修2-1 北师大版 抛物线及其标准方程 作业(含答案)
1．明确抛物线方程有四种形式，记住并理解：“一次项定轴，正负定方向”． 2．重视抛物线定义的灵活应用，并重视抛物线解题时“数形结合”的作用． 3．在采用待定系数法求抛物线标准方程时，如果不知道开口方向，可将抛物线方程设成y 2＝2mx (或x 2＝2my )，m ∈R ，m ≠0，此时焦点到准线的距离为|m |.4．根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，一定要先化为标准形式，找出2p ，进而求出p 和p2的值，然后借助抛物线的开口方向即可求出焦点坐标和准线方程．————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————[A 级 基础夯实]1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)解析：抛物线的开口向左，焦点在x 轴的负半轴上，2p ＝8，得p2＝2，故焦点坐标为(－2,0)．答案：B2．抛物线x 2＝4y 上一点P 的纵坐标为4，则点P 到抛物线焦点的距离为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵x 2＝4y ，设P (x p,4)， 故|PF |＝4＋1＝5. 答案：D3．抛物线y 2＝2x 的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝12D ．x ＝－12解析：由y 2＝2x ，知p 2＝12，所以准线方程x ＝－p 2＝－12，故选D.答案：D4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|AB |的值为________．解析：∵y 2＝4x ，∴p ＝2.∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：85．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m ＝________.解析：由已知，可设抛物线方程为x 2＝－2py .由抛物线定义有2＋p2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式，得m 2＝16.∴m ＝±4.答案：±46．根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)已知抛物线的焦点坐标是F (0，－2)； (2)准线方程为y ＝23；(3)焦点在x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是5； (4)过点P (－2，－4)．解析：(1)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且－p2＝－2，则p ＝4，所以，所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y .(2)因为抛物线的准线在y 轴正半轴上，且p 2＝23，则p ＝43，所以，所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .(3)由焦点到准线的距离为5，知p ＝5，又焦点在x 轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y 2＝－10x .(4)如图所示，因为点P 在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程为y 2＝－2p 1x (p 1＞0)或x 2＝－2p 2y (p 2＞0)．分别将点P 的坐标代入上述方程，解得p 1＝4，p 2＝12.因此，满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y 2＝－8x 和x 2＝－y .[B 级 能力提升]7．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.答案：C8．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：由已知得B 点的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B ⎝⎛⎭⎫p 4，1，将其代入y 2＝2px 得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，则B 点到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝342.答案：3429．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，点A (72，4)，求|P A |＋d 的最小值．解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F (12，0)．又点A (72，4)在抛物线的外侧，且点P到准线的距离为d ，所以d ＝|PF |，则|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5.∴|P A |＋d 的最小值是5.10．河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽为8 m ，一条小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面的部分高34 m ，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船不能通航？解析：如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． 由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85.∴x 2＝－165y .。
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 抛物线的简单性质课时作业(含解析)北师大版选修2-1-
课时作业15 抛物线的简单性质时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．顶点在原点，焦点为F (32，0)的抛物线的标准方程是( C )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3x C ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x解析：顶点在原点，焦点为F (32，0)的抛物线的标准方程可设为y 2＝2px (p >0)，由题意知p 2＝32，故p ＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝6x . 2．过抛物线y 2＝16x 的焦点的最短弦长为( A ) A ．16 B ．8 C ．32D ．4解析：过抛物线焦点的最短弦长即通径长，故长度为2p ＝16.3．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|的值为( C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由焦点弦公式易知|P 1P 2|＝y 1＋y 2＋2＝8.4．已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM ||MN |＝( C )A ．2 5B ．1 2C ．15D ．1 3解析：如图，过M 作准线的垂线MH ，设∠FAO ＝∠MNH ＝α，则sin α＝|OF ||AF |＝|MH ||MN |＝|MF ||MN |＝15.5．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( C )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：考查了抛物线的焦半径公式、焦点三角形的面积，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF |＝x 0＋2＝42，x 0＝32代入抛物线的方程，得|y 0|＝26，S △POF ＝12|y 0|·|OF |＝23，选C.6．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( B )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－2解析：由题意，设抛物线的标准方程为：x 2＝－2py ，由题意得，p2＋2＝4，∴p ＝4，x2＝－8y .又点(k ，－2)在抛物线上，∴k 2＝16，k ＝±4.7．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( D )A.12B.22C. 2D ．2解析：抛物线y 2＝8x 焦点坐标为(2,0)，直线方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x －2，得k 2(x －2)2＝8x ，即k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1＋2，y 1－2)，MB →＝(x 2＋2，y 2－2)，由MA →·MB →＝0得(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，将y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)，x 1＋x 2＝4k 2＋8k2，x 1·x 2＝4代入上式中，整理得(k －2)2＝0，∴k ＝2.8．等腰直角三角形ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是( B )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2解析：不妨设点A 在x 轴上方，则由抛物线的对称性及OA ⊥OB 知，直线OA 的方程为y＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得A (2p,2p )，∴B (2p ，－2p )，|AB |＝4p . ∴S △ABO ＝12×4p ×2p ＝4p 2.二、填空题9．若抛物线y 2＝mx 与椭圆x 29＋y 25＝1有一个共同的焦点，则m ＝±8.解析：椭圆焦点为(－2,0)和(2,0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m ＝±8. 10．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a ＝±2 3.解析：设正三角形边长为x .363＝12x 2sin60°，∴x ＝12.当a >0时，将(63，6)代入y 2＝ax 得a ＝23， 当a <0时，将(－63，6)代入y 2＝ax 得a ＝－23， 故a ＝±2 3.11．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.则该抛物线的方程为y 2＝8x .解析：易知直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，消去y 得4x 2－5px ＋p2＝0，则x 1＋x 2＝5p4①.由焦点弦长公式得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9 ②. 由①②解得p ＝4，从而抛物线的方程是y 2＝8x . 三、解答题12．已知圆x 2＋y 2－9x ＝0，与顶点在原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△OAB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程．解：依题意设所求抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝2px 0，x 20＋y 20－9x 0＝0，∴x 20＋(2p －9)x 0＝0.①∵OA ⊥BF ，∴k OA ·k BF ＝－1. ∴y 0x 0·y 0p 2－x 0＝－1，即2px 0x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 0＝－1.∴x 0＝52p .②把②代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .13．设抛物线C ：y 2＝4x ，O 为C 的顶点，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小；(2)求证：OA →·OB →是一个定值． 解：(1)∵焦点坐标为F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝x －1，与y 2＝4x 联立消去y 可得x 2－6x ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，从而焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. (2)证明：设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，与y 2＝4x 联立消去x 可得y 2－4ky －4＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则y A ＋y B ＝4k ，y A y B ＝－4.∴x A x B ＝(ky A ＋1)(ky B ＋1)＝k 2y A y B ＋k (y A ＋y B )＋1＝－4k 2＋4k 2＋1＝1. ∴OA →·OB →＝x A x B ＋y A y B ＝1－4＝－3. 即OA →·OB →是一个定值．——能力提升类——14．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一内接△OAB ，O 为坐标原点，OA →·OB →＝0，直线OA 的方程为y ＝2x ，且|AB |＝413，则抛物线的方程为y 2＝165x .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得A (p2，p )．又OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB ，∴直线OB 的方程为y ＝－12x ，与y 2＝2px 联立可得B (8p ，－4p )．∵|AB |＝413，∴(p2－8p )2＋(p ＋4p )2＝208， 解得p ＝85.故抛物线的方程为y 2＝165x .15．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322. 设P 为直线l 上的点，过点P 做抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程．(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程． 解：(1)依题意d ＝|0－c －2|2＝322，解得c ＝1(负根舍去)， ∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) ，P (x 0，y 0)， 由x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x .∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x ＋y 1－12x 21.∵y 1＝14x 21，∴y ＝x 12x －y 1.∵点P (x 0，y 0)在切线l 1上， ∴y 0＝x 12x 0－y 1. ① 同理，y 0＝x 22x 0－y 2 . ②综合①②得，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都满足方程y 0＝x2x 0－y .∵经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线是唯一的， ∴直线 AB 的方程为y 0＝x2x 0－y ，即x 0x －2y －2y 0＝0.。
高中数学北师大版选修2-1课时作业3.2.3 抛物线的简单性质(2) Word版含解析
第三章§课时作业一、选择题．过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若点，在抛物线的准线上的射影分别为，，则∠为( )．°．°．°．°解析：设抛物线的方程为＝(>)．如图，∵＝，＝，∴∠＝∠，∠＝∠.又∥∥，∴∠＝∠，∠＝∠.∴∠＝∠＝°.答案：．设抛物线＝(＋)的准线为，直线＝与该抛物线相交于、两点，则点及点到准线的距离之和为( )．．．．解析：易知＝过抛物线的焦点，∴＋＝＝－＝×＝，故选择.答案：．已知点是抛物线＝上的一个动点，则点到点()的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )．．．．解析：依题意设点在抛物线准线上的投影为点′，抛物线的焦点为，依抛物线的定义，知点到该抛物线准线的距离为′＝，则点到点()的距离与点到该抛物线准线的距离之和＝＋≥＝＝.答案：二、填空题．设斜率为的直线过抛物线＝(≠)的焦点，且和轴交于点.若△(为坐标原点)的面积为，则抛物线方程为( )．＝±．＝±．＝．＝解析：不论值正负，抛物线的焦点坐标都是，故直线的方程为＝，令＝得＝－，故△的面积为××＝＝，故＝±.故选择.答案：．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线＝与抛物线交于，两点，若()为的中点，则抛物线的方程为．解析：设抛物线的方程为＝(≠)，由方程组(\\(＝，＝))得交点坐标为()，(，)，而点()是的中点，从而有＝，故所求抛物线的方程为＝.答案：＝．设抛物线＝(>)的焦点为，点()．若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为．解析：抛物线的焦点的坐标为，线段的中点的坐标为，代入抛物线方程得＝×，解得＝，故点的坐标为，故点到该抛物线准线的距离为＋＝.答案：．过抛物线＝(>)的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于，两点，，在轴上的正射影分别为，.若梯形的面积为，则＝.解析：依题意，抛物线的焦点的坐标为，设(，)，(，)，直线的方程为－＝，代入抛物线方程得，－＋＝，故＋＝，＝＋＝＋＋＝，直角梯形有一个内角为°，故＝＝×＝，梯形面积为(＋)×＝××＝＝，＝.答案：三、解答题．过抛物线的焦点作不垂直于对称轴的直线交抛物线于，两点，线段的垂直平分线交对称轴于点.求证：＝.证明：如图，不妨设抛物线的方程为＝(>)，交点为(，)，(，)，的中点为(，)，则＝，。
高中数学 选修2-1 北师大版 抛物线的简单性质 作业(含答案)
1．抛物线的性质和椭圆比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心．2．由抛物线的几何性质，确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程，对于非标准型的抛物线方程，关键是确定顶点的位置，当过焦点向准线作垂线时，焦点和垂足所连线段的中点就是抛物线的顶点．3．抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p 2等于焦点到抛物线顶点的距离．4．在解题时，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化．再者要注意利用“数形结合”灵活运用定义．————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————[A 级 基础夯实]1．过点M (2,4)作直线l 与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线的条数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：点M (2,4)是抛物线上的点，所以直线l 有两条，一条是切线，另一条是平行于抛物线的对称轴的直线．答案：B2．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B ．1 C.54D.74解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3， ∴x A ＋x B ＝52. ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54. 答案：C3．连接抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M (1,0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为( )A ．－1＋ 2B.32－ 2 C ．1＋ 2D.32＋ 2 解析：由题意得F 的坐标为(0,1)．又M (1,0)，故线段MF 的方程为x ＋y ＝1(0≤x ≤1)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1(0≤x ≤1)，x 2＝4y ，得 交点A 的坐标为(22－2,3－22)．∴S ＝12×1×(3－22)＝32－ 2. 答案：B4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.解析：∵F (p 2，0)，∴设AB ：y ＝x －p 2，与y 2＝2px 联立， 得x 2－3px ＋p 24＝0. ∴x A ＋x B ＝3p .由焦半径公式x A ＋x B ＋p ＝4p ＝8，得p ＝2.答案：25．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝________.解析：如图，由AB 的斜率为3，知∠BMx ＝60°，又AM →＝MB →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°.∴|BP |＝12|AB |＝|BM |.∴M 为焦点，即p 2＝1，∴p ＝2. 答案：26．已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2＝－x 交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)若△OAB 的面积为10，求k 的值；(2)求证：以弦AB 为直径的圆必过原点．解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，原点O 到直线AB 的距离为d ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)y 2＝－x ，化简整理得k 2x 2＋(2k 2＋1)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－2k 2＋1k 2，x 1x 2＝1.由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2· 1k 4＋4k 2， 由点到直线的距离公式得d ＝|k |1＋k 2， ∴S △OAB ＝12|AB |·d ＝121k 2＋4＝10， 解得k ＝±16. (2)证明：由(1)可得k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2，k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2. ∵y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)2， ∴k OA ·k OB ＝1y 1y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)y 2＝－x ，得ky 2＋y －k ＝0， ∴y 1y 2＝－1，即k OA ·k OB ＝－1，∴OA ⊥OB ，∴以弦AB 为直径的圆必过原点．[B 级 能力提升]7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为(a 4，0)． 过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2(x －a 4)，令x ＝0，得y ＝－a 2.∴12·|a |4·|a |2＝4， ∴a 2＝64，∴a ＝±8，所以抛物线方程为y 2＝±8x ，故选B.。
【教学参考】高二北师大版数学选修2-1同步作业：第3章 抛物线的简单性质 Word版含答案[ 高考]
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抛物线的简单性质 同步练习【选择题】1．抛物线y =ax 2(a <0)的焦点坐标和准线方程分别是（A ）(14a , 0), x =－14a （B ）(－14a , 0), x =－14a（C ）(0, 14a ), y =－14a （D ）(0, －14a ), y =14a2．已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，点A 的坐标是(－1, 8)，P 是抛物线上一点，|PA |+|PF |则的最小值是（A ）8 （B ）9 （C 1 （D ）103．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（A ）x 2+y 2－x －2y －41=0 （B ）x 2+y 2+x －2y +1=0 （C ）x 2+y 2－x －2y +1=0 （D ）x 2+y 2－x －2y +41=0 4．抛物线y = 4x 2上一点到直线y = 4x －5的距离最短，则该点的坐标是（A ）(1, 2) （B ）(0, 0) （C ）(21, 1) （D ）(1, 4) 5．抛物线x 2=－32y 的焦点的纵坐标与它的通径的比是 （A ）4 （B ）－4 （C ）41 （D ）－41 6．对于抛物线，有如下说法：① 抛物线只有一个顶点，一个焦点；② 抛物线没有对称轴，也没有对称中心；③ 抛物线的焦点与准线之间的距离为2p ，其中说法正确的个数有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个7．已知点A (4, －2)，F 为y 2=8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当|MA |+|MF |取最小值时，点M 的坐标是（A ）(0, 0) （B ）(1, －22) （C ）(2, －2) （D ）(21, －2) 8．过点M (－p , p )作直线l 与抛物线y 2=2px 仅有一个公共点的直线共有 （A ）3条 （B ）2条 （C ）1条 （D ）不能确定9．过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A , B 两点，A , B 在准线上的射影分别为A 1, B 1，则∠A 1FB 1为（A ）等于90° （B ）大于90° （C ）小于90° （D ）不能确定10．以过抛物线的焦点弦为直径的圆与它的准线的位置关系是（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）不确定11．已知A , B 是抛物线y 2=2px (p >0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |=|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（A ）x =p （B ）x =3p （C ）x =23p （D ）x =25p 12．若抛物线的准线为2x +3y －1=0，焦点坐标为(－2, 1)，则抛物线的对称轴方程是（A ）2x +3y +1=0 （B ）3x －2y +8=0 （C ）3x －2y +6=0 （D ）3x +2y +4=0【填空题】13．若抛物线y 2==2px (p >0)上一点到其准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点的横坐标是 .14．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点的纵坐标是－4，且该点到焦点的距离是6，则抛物线的标准方程是 .15．已知三点A (2, y 1), B (x 2, －4), C (6, y 2)，三点均在抛物线y 2=2px (p >0)上，且2<x 2<6，若A , B , C 三点到焦点的距离依次成等差数列，则x 2= ; y 1= ;y 2= .16．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px (p >0)的准线相切，则p = .17．已知M ={(x , y )| y 2=21x }, N ={(x , y )| (x －23)2+y 2=49}，则M ∩N 中元素的个数是 .18．斜率为1的直线与抛物线x 2=2y 相交于A , B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 .19．对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q ，点P (a , 0)都满足|PQ |≥a ，则a 的取值范围是 .【解答题】20. 过(0,-2)的直线与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，求|AB|21．已知抛物线y 2=2px (p >0)，过动点M (a , 0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A , B ，（1）若|AB |≤2p ，求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，交x 轴于点N ，试求△MNQ 的面积。
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学业分层测评(十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．过抛物线y ＝ax 2
(a ＞0)的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF 的长分别为m ，n ，则
mn
m ＋n
等于( ) A.
1
2a
B ．14a
C ．2a
D ．a
4
【解析】 抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的标准方程x 2
＝1a
y
∴2p ＝1a ，p ＝12a ，∴1m ＋1n ＝2
p ＝4a
∴
mn m ＋n ＝11m ＋1n
＝14a
. 【答案】 B
2．设F 为抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点，曲线y ＝k x
(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )
A.1
2 B ．1 C ．3
2
D ．2
【解析】 ∵y 2
＝4x ，∴F (1,0)．
又∵曲线y ＝k x
(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)． 将点P (1,2)的坐标代入y ＝k x
(k ＞0)得k ＝2.故选D. 【答案】 D
3．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →
与x
轴正向的夹角为60°，则|OA |为( )
A.214
p B ．
212
p
C.
136p D ．1336
p
【解析】 如图所示，设A (x 0，y 0)，|FB |＝m ，∵∠AFB ＝60°，∴|AF |＝2m ，|AB |＝3
m ，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0＝m ＋p 2
y 0＝3m
由抛物线的定义|AF |＝x 0＋p
2＝m ＋p
∴2m ＝m ＋p ，∴m ＝p ，
∴A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32p ，3p ，∴|OA |＝x 20＋y 20＝94p 2＋3p 2＝21
2
p . 【答案】 B
4．过点P (4,4)与抛物线y 2
＝2x 只有一个公共点的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条
D ．3条
【解析】 当直线斜率不存在时，直线与抛物线有两个不同交点，不符合题意，故设直线方程为y －4＝k (x －4)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y －4＝k x －4 ，
y 2
＝2x ，
得：ky 2
－2y ＋8－8k ＝0.
当k ＝0时，解得：y ＝4，故直线与抛物线交于点(8,4)， 当k ≠0时，由Δ＝4－4k (8－8k )＝0得：k ＝2±24，
故有两条直线与抛物线相切， 故符合条件的直线有3条． 【答案】 D
5．设F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA
→
|＋|FB →|＋|FC →
|＝( )
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3
【解析】 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )， 由FA →＋FB →＋FC →
＝0，得x A ＋x B ＋x C ＝3.
∴|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋p 2＋x B ＋p 2＋x C ＋p 2＝3＋32p ＝3＋3
2³2＝6.
【答案】 B 二、填空题
6．已知抛物线的离心率为e ，焦点为(0，e )，则抛物线的标准方程为________． 【解析】 由e ＝1，得焦点为(0,1)，∴抛物线的标准方程为x 2
＝4y . 【答案】 x 2
＝4y
7．已知A (2,0)，点B 为抛物线y 2
＝x 上的一点，求|AB |的最小值为________． 【解析】 设点B (x ，y )，则x ＝y 2≥0，所以 |AB |＝ x －2 2
＋y 2
＝ x －2 2＋x ＝
x 2－3x ＋4＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋74，
所以当x ＝32时，|AB |取得最小值，且|AB |的最小值为7
2.
【答案】
7
2
8．已知定点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 在抛物线y 2
＝2x 上移动，则PA →²PB →
的最小值等于________．
【导学号：32550080】
【解析】 设P (x 0，y 0)则y 2
0＝2x 0，x 0≥0， ∴PA →²PB →
＝(－3－x 0，－y 0)²(3－x 0，－y 0) ＝x 2
0＋y 2
0－9 ＝x 20＋2x 0－9，
当x 0＝0时，PA →²PB →
min ＝－9. 【答案】 －9。