数学：2.3.1-《直线与平面垂直的判定》课件(新人教A版必修2)
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高一数学人教A版必修2课件：2.3.1直线与平面垂直的判定 教学课件
[ 思路分析]
(1) 求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出
过直线上一点的平面的垂线． (2) 中过 A1 作平面 BDD1B1 的垂线，该垂线必与 B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．
[ 解析]
(1)∵直线 A1A⊥平面 ABCD， ∴∠A1CA 为直线 A1C 与平面 ABCD 所
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB. (2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.
(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， ∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
命题方向2 ⇨直线与平面所成的角
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 导学号 09024474
(1)求直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角的正切值； (2)求直线 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
又 BB1∥AA1，∴CD⊥BB1， 又 AA1⊂平面 ABB1A1，BB1⊂平面 ABB1A1， ∴CD⊥平面 ABB1A1.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[ 错因分析]
错解中 AA1 和BB1 是平面 ABB1A1 内的两条平行直线，不是相交
直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件．
第二章 点、
线面垂直的判定方法：
(1)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理． ③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直 于这个平面． ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一 个平面．
高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判定课件新人教A版必修2
错解:因为F,G分别为棱B1B,C1C的中点,所以BC∥FG. 因为BC⊥AB,BC⊥B1B,且B1B∩AB=B, 所以BC⊥平面A1ABB1. 又因为B1E⊂平面A1ABB1, 所以BC⊥B1E, 即FG⊥B1E. 同理A1D1⊥B1E,所以B1E⊥平面A1FGD1. 纠错:本题的错误在于只证明了直线和平面内的两条平行直线垂直,不符
(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
(2)解:作 A1F⊥DE,垂足为 F,连接 BF. 因为 A1E⊥平面 ABC,所以 BC⊥A1E. 因为 BC⊥AE,所以 BC⊥平面 AA1DE.所以 BC⊥A1F,所以 A1F⊥平面 BB1C1C. 所以∠A1BF 为直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角.
(1)证明:A1D⊥平面A1BC;
(1)证明:设E为BC的中点,连接A1E,AE.由题意得A1E⊥平面ABC,所以 A1E⊥AE. 因为AB=AC,所以AE⊥BC. 故AE⊥平面A1BC. 连接DE,由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B, 从而DE∥A1A且DE=A1A, 所以AA1DE为平行四边形. 于是A1D∥AE. 又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.
和这个平面所成的角.
锐角
(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是 直角 ;一条直线在平面内或 一条直线和平面平行,称它们所成的角是 0° 的角,于是,直线与平面 所成的角θ 的范围是0°≤θ ≤90°.
自我检测
1.(线面垂直的性质)已知直线a⊥平面α ,直线b∥平面α ,则a与b的关系为
(B ) (A)a∥b
在 Rt△A1NB1 中,sin∠A1B1N= A1N = 1 ,因此∠A1B1N=30°.所以,直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为 A1B1 2
高中数学人教A版必修二 2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质 课件(39张)
2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
要点 1 直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
(2)图形语言： (3)符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
要点 2 直线 l 与平面 α 垂直，则 l 垂直于 α 内的任意一条 直线
要点 3 平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直．
探究 2 证明面面平行的方法： ①定义，②判定定理，③判定定理的推论，④平行公理的传 递性，⑤本题结论．
思考题 2 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1，棱长为 a，
(1)截面 AB1D1 和截面 C1BD 的位置关系如何？并证明； (2)求 C 点到截面 BDC1 的距离； (3)截面 AB1D1 和截面 C1BD 之间的距离是多少？ 【答案】 (1)平行，(可证明两截面都与直线 A1C 垂直) (2) 33a(可用等积法)
又 PD∩CD＝D，∴AE⊥平面 PCD. ② 由①，②可知 AE∥MN.
题型二 证明面面平行
例 2 和同一条直线垂直的两个平面互相平行． 已知：直线 l⊥平面 α，直线 l⊥平面 β. 求证：α∥β.
【证明】 假设 α 与 β 不平行，则 α 与 β 相交，设 α∩β＝m.
设 l∩α＝A，l∩β＝B，如图． 在 m 上取一点 D，则 l 和 D 确定一个平面 γ. 连接 BD、AD，则 AD⊂γ，AD⊂α，BD⊂γ，BD⊂β. ∵l⊥α，l⊥β，∴l⊥AD，l⊥BD. 这与在平面内过直线外一点只能作一条已知直线的垂线相 矛盾， ∴α∥β.
【证明】 (1)连接 BD.∵四边形 ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，
∴BG⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，平面 PAD∩ 平面 ABCD＝AD. ∴BG⊥平面 PAD.
要点 1 直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
(2)图形语言： (3)符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
要点 2 直线 l 与平面 α 垂直，则 l 垂直于 α 内的任意一条 直线
要点 3 平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直．
探究 2 证明面面平行的方法： ①定义，②判定定理，③判定定理的推论，④平行公理的传 递性，⑤本题结论．
思考题 2 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1，棱长为 a，
(1)截面 AB1D1 和截面 C1BD 的位置关系如何？并证明； (2)求 C 点到截面 BDC1 的距离； (3)截面 AB1D1 和截面 C1BD 之间的距离是多少？ 【答案】 (1)平行，(可证明两截面都与直线 A1C 垂直) (2) 33a(可用等积法)
又 PD∩CD＝D，∴AE⊥平面 PCD. ② 由①，②可知 AE∥MN.
题型二 证明面面平行
例 2 和同一条直线垂直的两个平面互相平行． 已知：直线 l⊥平面 α，直线 l⊥平面 β. 求证：α∥β.
【证明】 假设 α 与 β 不平行，则 α 与 β 相交，设 α∩β＝m.
设 l∩α＝A，l∩β＝B，如图． 在 m 上取一点 D，则 l 和 D 确定一个平面 γ. 连接 BD、AD，则 AD⊂γ，AD⊂α，BD⊂γ，BD⊂β. ∵l⊥α，l⊥β，∴l⊥AD，l⊥BD. 这与在平面内过直线外一点只能作一条已知直线的垂线相 矛盾， ∴α∥β.
【证明】 (1)连接 BD.∵四边形 ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，
∴BG⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，平面 PAD∩ 平面 ABCD＝AD. ∴BG⊥平面 PAD.
2.3.1_直线与平面垂直的判定_课件3(新人教版A必修2)
1．直线与平面垂直的概念 2．直线直
数学思想方法： 3．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
P M N A C
B
第２个 垂线 空间角 平面的一条斜线和它在平 Ａ θ Ｏ 面内的射影所成的锐角， 面内的射影所成的锐角，叫做 α 这条直线和这个平面所成的角
斜线在平面上的射影
斜线
Ｐ
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 成的角是0 °的角
(1)四面体P ABC中有几个直角三角形 (1)四面体P-ABC中有几个直角三角形 四面体 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 指出PB,PC与平面ABC AC,PC与平面PAB所成的角 AC,PC与平面PAB所成的角 与平面PAB P
A
C B
知识小结
直线和平面所成角的范围是[0° 90° 直线和平面所成角的范围是[0°，90°] 两条异面直线所成的角,(0,900] 两条异面直线所成的角
例２ 分别指出对角线 1C 分别指出对角线A
与六个面所成的角. 与六个面所成的角
D1 A1
1
C1 B1 C
1
D A B
练习 在Rt△ABC中,∠B=90°,P为 Rt△ABC中,∠B=90°,P为 ABC所在平面外一点,PA⊥平面 所在平面外一点,PA⊥平面ABC △ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC
⊥ α ，求证 b ⊥ α .
b
n
证明： 证明：在平面 α 内作 a 两条相交直线m， ． 两条相交直线 ，n． 因为直线 a ⊥ α， 根据直线与平面垂直的定义知 α m a ⊥ m, a ⊥ n. 又因为 b // a 所以 b ⊥ m, b ⊥ n. 是两条相交直线， 又 m ⊂ α , n ⊂ α , m, n 是两条相交直线， 所以 b ⊥ α .
数学思想方法： 3．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
P M N A C
B
第２个 垂线 空间角 平面的一条斜线和它在平 Ａ θ Ｏ 面内的射影所成的锐角， 面内的射影所成的锐角，叫做 α 这条直线和这个平面所成的角
斜线在平面上的射影
斜线
Ｐ
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 成的角是0 °的角
(1)四面体P ABC中有几个直角三角形 (1)四面体P-ABC中有几个直角三角形 四面体 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 指出PB,PC与平面ABC AC,PC与平面PAB所成的角 AC,PC与平面PAB所成的角 与平面PAB P
A
C B
知识小结
直线和平面所成角的范围是[0° 90° 直线和平面所成角的范围是[0°，90°] 两条异面直线所成的角,(0,900] 两条异面直线所成的角
例２ 分别指出对角线 1C 分别指出对角线A
与六个面所成的角. 与六个面所成的角
D1 A1
1
C1 B1 C
1
D A B
练习 在Rt△ABC中,∠B=90°,P为 Rt△ABC中,∠B=90°,P为 ABC所在平面外一点,PA⊥平面 所在平面外一点,PA⊥平面ABC △ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC
⊥ α ，求证 b ⊥ α .
b
n
证明： 证明：在平面 α 内作 a 两条相交直线m， ． 两条相交直线 ，n． 因为直线 a ⊥ α， 根据直线与平面垂直的定义知 α m a ⊥ m, a ⊥ n. 又因为 b // a 所以 b ⊥ m, b ⊥ n. 是两条相交直线， 又 m ⊂ α , n ⊂ α , m, n 是两条相交直线， 所以 b ⊥ α .
新课标高中数学人教A版必修二全册课件2.3.1直线与平面垂直的判定
D' A'
C' B'
O
D A
C B
第十二页，编辑于星期日：十三点 十六分。
例1 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求直线 A'B和平面A'B'CD所成的角.
D' A'
C'
B'
O
D A
C B
第十三页，编辑于星期日：十三点 十六分。
3. 平行四边形ABCD所在平面外有一点 P，且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平 行四边形对角线交点O的连线PO垂直于 AB、AD.
P
A
O
第七页，编辑于星期日：十三点 十六分。
讲授新课
直线和平面所成的角
过斜线上斜足以外的一点向平面引
垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫
做斜线在这个平面上的射影.平面的一条
斜线和它在平面上的射影所成的锐角，
叫做这条直线和这
P
个平面所成的角.
范围：(0o，90o).
A
O
第八页，编辑于星期日：十三点 十六分。
1. P.67练习第3题；
2. (1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线
AB'与面ABCD所成的角为
度；
(2)在正方体ABCD-AB'C'D'
中，直线BD'与面ABCD所 D'
成的角的余弦是
. A'
C' B'
D
C
A
B
第九页，编辑于星期日：十三点 十六分。
例1 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求直线 A'B和平面A'B'CD所成的角.
新课标人教A版数学必修2全部课件：2.3.1直线和平面垂直
行或相交
2、在空间，下列命题 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行； （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行； （3）平行于同一平面的两条直线互相平行； （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。 正确的是（ ） A.(1)(3)(4) B.(1)(4) C.(1) D.四个命题都正确。
l
m
n
B
α α
例1、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条 长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面 上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上)C、D, 如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆 就和地面垂直，为什么？
A
C
B
D
解 : 如图 , 旗杆 PO 8 m , 两绳长 PA PB 10 m OA OB 6 m A , O , B 三点不共线 A , O , B 三点确定平面 OP OA , OP OB OA OB O OP
A
C
B
D
因此 , 旗杆 OP 与地面垂直 .
练习题
1 .如图 , 在三棱锥 V ABC 中, VA VC , AB BC 求证 VB AC
V
2 .过 ABC 所在平面 外一点 P , 作 PO , 垂足为 O , 连接 PA , PB PC .
A
C
B 0 1).若 PA PB PC , C 90 , 则 O 是 AB 边的 __ 点 .
E A
D
B
C
5、求证：平面外一点与这个平面内各点连结 而成的线段中，垂直于平面的线段最短
P
Q
R
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数 条直线都垂直，则直线 l和平面 α互相垂直
2、在空间，下列命题 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行； （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行； （3）平行于同一平面的两条直线互相平行； （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。 正确的是（ ） A.(1)(3)(4) B.(1)(4) C.(1) D.四个命题都正确。
l
m
n
B
α α
例1、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条 长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面 上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上)C、D, 如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆 就和地面垂直，为什么？
A
C
B
D
解 : 如图 , 旗杆 PO 8 m , 两绳长 PA PB 10 m OA OB 6 m A , O , B 三点不共线 A , O , B 三点确定平面 OP OA , OP OB OA OB O OP
A
C
B
D
因此 , 旗杆 OP 与地面垂直 .
练习题
1 .如图 , 在三棱锥 V ABC 中, VA VC , AB BC 求证 VB AC
V
2 .过 ABC 所在平面 外一点 P , 作 PO , 垂足为 O , 连接 PA , PB PC .
A
C
B 0 1).若 PA PB PC , C 90 , 则 O 是 AB 边的 __ 点 .
E A
D
B
C
5、求证：平面外一点与这个平面内各点连结 而成的线段中，垂直于平面的线段最短
P
Q
R
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数 条直线都垂直，则直线 l和平面 α互相垂直
新课标高中数学人教A版必修二全册课件2.3.1直线与平面垂直的判定(一)
2. 直线和平面垂直的判定
定理：一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，则这条直线与该平
面垂直.
l
mB n
第十四页，编辑于星期日：十三点 十六分。
2. 直线和平面垂直的判定
定理：一条直线与一个平面内的两
条相交直线都垂直，则这条直线与该平
面垂直.
符号语言:
l
mB n
第十五页，编辑于星期日：十三点 十六分。
哪些？ →提问：你觉得垂直的依据是什么？
第十一页，编辑于星期日：十三点 十六分。
举例：生活中直线与平面垂直的现象有
哪些？
→提问：你觉得垂直的依据是什么？
→思考：给定一条直线和一个平面，如
何判定它们是否垂直？
第十二页，编辑于星期日：十三点 十六分。
2. 直线和平面垂直的判定
l mB n
第十三页，编辑于星期日：十三点 十六分。
都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作
l⊥. l叫平面的垂线，叫直线l的垂面.
直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P
叫做垂足. l
(线线垂直→线面垂直)
P
第九页，编辑于星期日：十三点 十六分。
举例：生活中直线与平面垂直的现象有 哪些？
第十页，编辑于星期日：十三点 十六分。
举例：生活中直线与平面垂直的现象有
直线，则这条直线垂直于这个平面； C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于
这个平面的直线必定垂直于这条直线；
D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于 这条直线的另一直线必垂直于这个平面.
第十七页，编辑于星期日：十三点 十六分。
#39;D'中，
与平面B'C'CB垂直的直线有
2. 直线和平面垂直的判定
数学：《直线与平面垂直的判定定理》课件(人教a版必修2)
测量BD的长度，若长度为 6m，则AB BD， 否则不垂直。
再将绳子拉直与AB与BC，AB与CD都垂直，则旗杆 与地面垂直，否则不垂 直。
变式：有一根旗杆和一条比它长的绳子，请设计一个方案用
一把皮尺来判断旗杆是否与地面垂直，并说明理由。
A
D C B
m
P
l
n
?
例1．有一根旗杆 AB 高 8m ，它的顶端 A 挂一条长 10m 的绳子，请设计一个方案用一把皮尺来判断旗杆是否与地面垂直
，并说明理由。
A
C
B
D
解：设旗杆为 AB，与地面交点为 B
将绳子拉直与地面交与 C，连接BC， 测量BC的长度，若长度为 6m， 则AB BC，否则不垂直。
C
练习
2 、 已知：平面 =AB，PC ，PD ，垂足分 别是C、D。求证：CD AB。
D Q A B
P
C
小结
直接法
判定定理 如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。 如果一条直线垂于一个 平面内的任何一条直线
直线与平面 垂直的判定
间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面，那么 另一条也垂直 于同一个平面。
定义法
此直线垂直于这个平面
等离子切割机 / yrk910qox 等离子激光切割机 激光切割机怎样使用 等离子切割机供应商 她消失没多久，我渐渐记起了往事，终于明白为何她总是出现在我无声的梦境里。也明白，那并不是我第一次看见她笑。因为在两年前的一天， 我和她发生了同样的对话，那才是我第一次见她笑。 我也终于也离开了2046，可是我再也没有见过她。 我回到往日的生活里，除了她一切都没有变。她好像没有出现过一样，没有留下任何痕迹。 他们都告诉我，从来没有过那样一个女人，我以为我的记忆又出现了问题。 这时，有个人告诉我，去2046，那里可以找回失去的记忆和一切。而且在那里时间永远不会流逝。 于是，为了找到她和我失去的记忆，我又踏上2046，再也没有离开。
再将绳子拉直与AB与BC，AB与CD都垂直，则旗杆 与地面垂直，否则不垂 直。
变式：有一根旗杆和一条比它长的绳子，请设计一个方案用
一把皮尺来判断旗杆是否与地面垂直，并说明理由。
A
D C B
m
P
l
n
?
例1．有一根旗杆 AB 高 8m ，它的顶端 A 挂一条长 10m 的绳子，请设计一个方案用一把皮尺来判断旗杆是否与地面垂直
，并说明理由。
A
C
B
D
解：设旗杆为 AB，与地面交点为 B
将绳子拉直与地面交与 C，连接BC， 测量BC的长度，若长度为 6m， 则AB BC，否则不垂直。
C
练习
2 、 已知：平面 =AB，PC ，PD ，垂足分 别是C、D。求证：CD AB。
D Q A B
P
C
小结
直接法
判定定理 如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。 如果一条直线垂于一个 平面内的任何一条直线
直线与平面 垂直的判定
间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面，那么 另一条也垂直 于同一个平面。
定义法
此直线垂直于这个平面
等离子切割机 / yrk910qox 等离子激光切割机 激光切割机怎样使用 等离子切割机供应商 她消失没多久，我渐渐记起了往事，终于明白为何她总是出现在我无声的梦境里。也明白，那并不是我第一次看见她笑。因为在两年前的一天， 我和她发生了同样的对话，那才是我第一次见她笑。 我也终于也离开了2046，可是我再也没有见过她。 我回到往日的生活里，除了她一切都没有变。她好像没有出现过一样，没有留下任何痕迹。 他们都告诉我，从来没有过那样一个女人，我以为我的记忆又出现了问题。 这时，有个人告诉我，去2046，那里可以找回失去的记忆和一切。而且在那里时间永远不会流逝。 于是，为了找到她和我失去的记忆，我又踏上2046，再也没有离开。
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A1
B1Hale Waihona Puke D AMC
B
；
/ AG亚游集团
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家上坟啊！”李老乡夫妻听着这些真诚的话语，俩人的眼圈一阵阵发红。李妻对丈夫说：“我说也是，你就不要犹豫了。麻烦 弟弟妹妹们绕些路去给爹娘上上坟，说说话，不就了了你这做儿子的心愿了嘛！”看李老乡还在犹豫，耿正果断地说：“叔， 就这么定了，我们一定要去给爷爷奶奶上坟的！您告诉我们坟地的确切位置就行了，或者我们进了村子以后，请知道的人给带 个路也行！”李老乡感激地说：“那就有劳你们了！我父母的坟其实很好找的，就在村子西南的南北大路边上。我想一想，是 在大路的西边，距离大路两丈多远的样子。砖砌圆顶，挺气派的，老远就可以看到。我最后一次离开的时候，不知道回了多少 次头啊！唉，快五年了。走之前，我还在坟后的两侧各栽种了一棵三尺高的小松树呢，只是不知道是否成活了。在爹娘的坟前， 摆着一个用青石打造的供桌，坟头面向东南，为得是我们能够遥遥相望。墓碑我选的是少见的黑色花岗岩，左下侧有我的名字， 你们一看便知，不会错的。至于具体地址，你们知道的，就在县城正北二里远的李家庄。”耿正兄妹三人将李老乡说的话牢牢 地记在心里。耿英略想一想，轻轻地问：“叔，婶子，这祭祀的用品是按照咱们老家的习俗呢，还是按照这里的？”李老乡说： “老家和杭州，这祭祀用品差不太多的。你们准备哪天动身回家？”耿正说：“我们准备后儿个一早出发！”李老乡说：“这 样吧，我明儿个晚上还想去你们的住处一趟呢。咱们再唠一会儿嗑，顺便带去亲手为爹娘买的各种祭祀品！”耿正兄妹三人非 常理解李老乡的心情，都连连点头答应。李老乡又问：“这路途很遥远呢，你们可准备了车马？怎么带细软？”耿正说：“您 来看了便知。我们走之前不想声张了。上月的房租我已经交清，这几天的租金，麻烦您等我们走了之后再与房东按照半月价结 算吧，走之前我将租金留下就是了。”次日一早，耿正和耿直就去不远处的骡马车市上去了。在这个挺大的市场上，兄弟俩很 快就买到了一头高大健壮，纯白色皮毛的骡子和一挂尺寸很大，并且带有一个宽大车棚的平板车。为这头骡子配好马鞍龙头和 驾车辕套，并且备了一些草料，再买上一杆长鞭之后，兄弟二人就赶着骡车转到了寿器铺，在那里买了一口油漆好了的薄皮寿 棺、一面招魂幡，以及棺头彩绘和金纸、银纸什么的；另外，又买了一些香火、纸钱、点心、水果等祭祀用品。路过日用杂货 店时，耿正让弟弟牵骡子站定了，自己进去买了一把铁锹和两根又粗又长的捅火棍。兄弟俩赶着骡车回到租住小院儿门口时， 耿直牵住大白骡，耿正推开门，在门槛儿的里、外两边儿各垫了一个斜坡，然后小心地将骡车赶进了院子里。耿直扶住车辕， 耿正将骡子卸了，临时拴在南房里。俩人将平板车支平支稳了
P
C
O
B
课堂练习
1. 如图，长方体 ABCD A1 B1C1 D1中，AA1 1， D1C与面ABCD所成的角为 30，D1 A与BC所成 的角为45，则D1 B与面BCC1 B1所成的角的正弦 值为 . D1 C1
A1
B1
D A B
C
新课讲授
2. 如图，棱长为 1的正方体，若 M，N分别为 AB，C 1 D1的中点，求直线 MN 与底面ABCD所 成的角. N D1 C1
复习引入
1. 直线与平面垂直的定义 、性质、判定定理 . 2. 证明线线垂直的常用方 法.
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直线PA A，但PA不垂直于，则直 线PA叫做平面的斜线，斜线与 的交点A叫 做斜足.
P
A
O
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直线PA A，但PA不垂直于，则直 线PA叫做平面的斜线，斜线与 的交点A叫 做斜足. 过斜线上斜足以外的点 向平面引垂线 PO，即PO ，O为垂足.经过斜足A，垂足 O的直线AO叫做斜线在平面 上的射影.
P A D
C
B
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P ABC，PO 面ABC， 例 3.如图，三棱锥 O为垂足，O 面ABC . （1）若PA PB PC，则点O是△ ABC的 心.
（2）若P到各边距离相等，则点 O是△ ABC的 心. （3）若PA PB，PB PC， PC PA，则O是△ ABC的 A 心.
P A
O
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斜线与平面所成的角： 斜线及其在平面 上的射影所成的锐角 .
P
A
O
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斜线与平面所成的角： 斜线及其在平面 上的射影所成的锐角 . 特别地，直线与平面垂 直时，线面所成 的角是直角，直线与平 面平行或直线在平面 内，线面所成的角为 0 .
P
A
O
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斜线与平面所成的角： 斜线及其在平面 上的射影所成的锐角 . 特别地，直线与平面垂 直时，线面所成 的角是直角，直线与平 面平行或直线在平面 内，线面所成的角为 0 .
综上，直线和平面所成 的角的范围是 P [0， 90].
A
O
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1的正方体，求直线 AB1和平 例1. 如图，棱长为 面 ABC1 D1所成的角.
D1 A1 B1
C1
D A B
C
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例 2. 如图，四棱锥P ABCD底面为矩形，AB 2，BC 2，侧面PAB是等边三角形，且 BC PA.求侧棱PC与底面ABCD所成的角.