同底数幂的乘法
第1讲 同底数幂的乘法
寒假第1讲 同底数幂的乘法一、寒假新知探索1．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即n m n m a a a +=⋅ (m ，n 都是正整数)．注意：① 三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质．如：p n m p n m a a a a ++=⋅⋅ (m ，n ，p 都是正整数)．② 此性质可以逆用：n m n m a a a ⋅=+说明：在幂的运算中，经常会用到以下的一些变形：（－a ）n＝⎪⎩⎪⎨⎧-);(),(为奇数为偶数n a n a n n （b －a ）n ＝⎪⎩⎪⎨⎧---).()(),()(为奇数为偶数n b a n b a n n 二、典例剖析1、顺用公式：例1、计算：（1）35aa a （2）35x x - (3) 231m m b b +⋅（4）m n p aa a ⋅⋅ （5）()()7633-⨯- （6）()()57a a a ---变形练习：（1）234aaa a （2）()()48x x x ---2、常用等式： ()()b a a b -=-- ()()22b a a b -=- ()()33b a a b -=--()()44b a a b -=- ()()2121n n b a a b ++-=-- ()()22n n b a a b -=- 例2、（1）()()()38b a b a b a --- （2）()()()21221222n n n x y y x x y +----（3）()()()48x y y x y x --- （4）()()()37x y y x y x ---3、逆用公式：例3、已知：64,65m n == ，求：6m n +的值。
变形练习：（1）已知：7,6m n aa == ，求：m n a +的值。
（2）已知：2129,5m m a a ++==，求：33m a +的值。
4、利用指数相等解题：例4、（1） 已知：2111m a a +=，求：m 的值；（2） 已知1239m n x x x +-=，求2m n +的值。
同底数幂的乘法公式
同底数幂的乘法公式首先，我们先明确一些基本概念和符号：- 底数（base）：指数运算中的下标数字，表示要进行乘方运算的数字。
- 幂（exponent）：指数运算中的上标数字，表示底数要进行的乘方运算的次数。
- 乘法（multiplication）：基本数学运算，两个数相乘得到的结果。
a^m*a^n=a^(m+n)其中，a表示底数，m和n表示指数。
这个公式表明，如果两个数的底数相同，那么它们的乘积可以表示为同一个底数的幂，其指数等于两个数的指数之和。
这个公式可以通过以下步骤来证明：假设有两个数a^m和a^n，它们的底数相同，我们可以将它们相乘：a^m*a^n=(a*a*...*a)*(a*a*...*a)其中，a*a*...*a表示连乘m次a，有m个a相乘。
通过乘法的交换律，我们可以重新排列乘积的顺序：a^m*a^n=(a*a*...*a)*(a*a*...*a)=(a*a*...*a*a*a*...*a)两个连乘可以合并成一个连乘，得到：a^m*a^n=a^(m+n)这个证明说明了同底数幂的乘法公式的成立。
举一个例子来说明这个公式的应用：假设有一个数2^3*2^5，根据同底数幂的乘法公式，我们可以将它们相乘并将指数相加：2^3*2^5=2^(3+5)=2^8因此，2^3*2^5=2^8利用同底数幂的乘法公式，我们可以将乘法运算简化为指数运算，从而更容易计算和处理。
-`(a^m)^n=a^(m*n)`：指数的指数等于底数的指数的乘积。
-`a^(-m)=1/(a^m)`：负指数等于底数的倒数的正指数。
-`a^0=1`：任何数的零次方等于1这些性质和公式可以进一步扩展和应用，帮助我们处理更加复杂的指数运算和代数表达式。
总结起来，同底数幂的乘法公式是一个非常有用的数学工具，它可以将乘法运算简化为指数运算，并且可以帮助我们处理复杂的指数表达式。
同底数幂的乘法公式是指当两个数的底数相同时，它们的乘积可以表示为同一个底数的幂，其指数等于两个数的指数之和。
同底数幂的乘除法
同底数幂的乘除法同底数幂的乘除法是初中数学中的不可避免的话题。
在解题过程中，我们需要理解同底数幂乘、除的基本规律，并能够将其应用于实际问题。
接下来，我将分步骤阐述同底数幂的乘除法。
一、同底数幂的乘法同底数幂的乘法规律很简单：用相同的底数，将指数相加。
例如，2^3 X 2^2 = 2^(3+2) = 2^5 = 32。
这样的计算方法在解决大量的数学问题中非常方便，例如计算复合的指数函数。
二、同底数幂的除法同底数幂的除法规律同样很简单，只需要用相同的底数，将指数相减即可。
例如，4^5/4^2 = 4^(5-2) = 4^3 = 64。
同样的，这个规律也可以应用于计算复合的指数函数。
三、同底数幂乘除法混合运算如果题目中混合了同底数幂的乘除法，我们先按照乘除法的顺序进行计算，然后再将结果利用同底数幂的乘除法规律进行简化即可。
例如，2^6/2^2 X 2^3 = 2^(6-2+3) = 2^7 = 128。
四、注意事项需要注意的是，同底数幂的乘除法只适用于指数相同的情况。
当指数不同时，我们不能简单地使用这个规律进行计算。
如果指数不同，我们需要将其化成同底数幂，例如，3^4 X 5^2 = (3^2)^2 X 5^2 =9^2 X 5^2 = 81 X 25。
同时，我们需要注意指数为0和1的情况。
当指数为0时，任何数字的0次方均为1。
当指数为1时，任何数字的1次方均为其本身。
综上所述，同底数幂的乘除法规律是初中数学中必备的知识点。
在理解和掌握这个规律后，我们可以将其应用于解决各种数学问题。
同时，我们也需要注意指数的特殊情况。
同底数幂相乘的法则
同底数幂相乘的法则
同底数幂是数学术语，它指的是当两个数字的幂都以同一个基数建立时，它们会相乘而不是相加。
这个法则早就被发现，它不仅有助于学生对数学基本概念的理解，同时也有助于开发出有效的解算方法。
这个法则很容易理解，它可以用计算机中的幂表示为：x x m = (x * m)。
样，这个法则也可以用加减乘除的形式表达：x／ m = (x/m) 。
同底数的幂乘法的最重要的优势在于它可以节省计算时间。
如果对两个数进行加减乘除的算术运算，那么就需要一系列步骤，而同底数的幂乘法只需要一步即可完成。
此外，同底数的幂乘法还可以用于看上去很复杂的问题，但只要运用这个法则，就能够很容易和简单地解决它们。
推广开来，同底数的幂乘法也可以用于解决复杂的数学问题，如解决方程，寻找函数的极值，求解多项式的值等等，甚至可以用于实际的工程问题。
由于同底数的幂乘法的优势，它已经被广泛用于科学计算，现代计算机也都采用了这种法则。
它还被应用于金融市场，用来计算未来投资行为的预期回报，通过它可以预测风险和投资收益，也可以用来分析未来股市走势。
同底数的幂乘法应用广泛，它不仅可以用于学校里学生的学习，也可以用于实际工程问题的求解。
它能够节省计算时间和成本，极大地提高计算效率，是一个很重要的数学工具。
综上所述，同底数的幂乘法是一个十分重要的数学工具，可以节
省计算时间和成本，从而极大的提高计算效率。
它可以用来解决学校里的学习问题，也可以用于实际工程等领域问题的解算，是一种值得赞赏的数学工具。
同底数幂的乘法法则
a
m
b
n
a
34
∵四种方案算出的面积相等
∴( a + m )( b + n ) = a ( b + n ) + m ( b + n ) =a b + a n + b m +b n
或( a + m )( b + n ) = b ( a + m ) + n ( a+m) =ab+bm+an+mn
观察上述式子,你能的得到(x-3)(x-6)的结果吗? ( x – 3 )( y – 6 ) = x ( y – 6 ) – 3 ( y – 6 ) = x y – 6x – 3y + 18
√ ③2a3b4(-ab2c)2=-2a5b8c2 ④(-7x) ·4 x2y=-
4x3y中，正确的有（ B ）个。
7
A、1 B、2 C、3 D、4
1
4么、这如两果个单单项项式式-3的x积4a-b是y2（与D）3x3ya+b是同类项，那 A、x6y4 B、-x3y2 C 、x3y2 D、 -x6y4
②按照单项式的乘法法则运算。
1四.③计点再算把注时所意,得要：的注积意相符加号.问题,多项式中每一项都
包括它前面的符号,单项式分别与多项式的每一 项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负。 2.不要出现漏乘现象。 3.运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减。 4.对于混合运算，注意最后应合并同类项。
a
29
本节课我们学习了那些内 单项容式？与多项式相乘 法则:
单项式与多项式相乘，就
是用单项式去乘多项式的每一 项，再把所得的积相加。
a
28
同底数幂的乘法 讲义
3、同底数幂的乘法一：知识点1：同底数幂的乘法法则及运用法则：a m·a n=a m+n（m、n都是正整数）即：同底数的幂相乘，底数，指数如：103×105= =注：进行同底数幂的乘法时，一定要注意以下几点：（1）底数必须相同（2）相乘后底数不变（3）指数相加的和等于幂的指数（4）如果是三个或三个以上的同底数幂相乘，同样适用例：（1）、（p-q）5·（q-p）2 （2）、x m·x m+1·x m+2（m为正整数）解：（1）、（p-q）5·（q-p）2=（p-q）5·（p-q）2=（p-q）5+2=（p-q）7（2）、x m·x m+1·x m+2=x m+m+1+m+2=x3m+3思路点拨：做同底数幂的乘法时先观察底数是否相同，若底数相同直接代入公式计算，若底数不同，则应先化为同底数然后再进行计算练习：计算（1）、a2·a4（2）、（-x）6·x8·（-x）5二、知识点2：同底数幂乘法法则的逆运用例：已知a x=2，a y=3（x、y均为正整数）求a x+y的值解：a x+y=a x·a y=2×3=6练习：1、3m+2=27×3n，当m=4时，n=2、若a m=3，a m+n=24，则a n=4、幂的乘方与积的乘方一、知识点1：幂的乘方和积的乘方的法则及运用1、幂的乘方：（a m）n=a mn（m、n都是正整数）即：幂的乘方，底数，指数如：（103）2=103×2=1062、积的乘方：（a·b）m=a m·b m（m是正整数）即：积的乘方等于把积的每一个因式分别，再把所得的积。
区分：幂的乘方是指几个相同的幂相乘；积的乘方指底数是乘积形式的乘方。
例：计算：（1）、（x2）5·x （2）、（-2ab3c4）3解：（1）、（x2）5·x=x10·x=x11（2）、（-2ab3c4）3=（-2）3a3（b3）3（c4）3=-8a3b9c12思路点拨：（1）先用幂的乘方,再用同底数的幂相乘（2）先用积的乘方，再用幂的乘方练习：计算：（1）、（a m）3·a n（2）、（-3a2）2（3）、【（a+b）2】3·【（a+b）4】22、知识点二：幂的乘方，积的乘方与同底数的幂相乘的综合运用例：（1）、（-0.25）11×411（2）、（-0.125）200×8201解：（1）、（-0.25）11×411=（-0.25×4）11=（-1）11=-1（2）、（-0.125）200×8201=（-0.125）200×8200×8=（-0.125×8）200×8=（-1）200×8= 1×8=8思路点拨：幂的乘方和积的乘方法则的你运算同样成立练习：1、（16n）2=48，则n的值为2、2n=a，3n=b，则b n=3、计算：24×44×0.12545、同底数幂的除法一、知识点1：同底数幂除法法则及运用法则：a m÷a n=a m-n（m、n都是正整数）即：同底数幂相除，底数，指数如：108÷105=108-5=103计算：（1）、（ab）10÷（ab）3（2）、（x+y）8÷（x+y）3（3）、42m÷22m-1解：（ab）10÷（ab）3=（ab）10-3=（ab）7=a7b7（2）、（x+y）8÷（x+y）3=（x+y）8-3=（x+y）5（3）、42m÷22m-1=（22）2m÷22m-1=24m÷22m-1=24m-（2m-1）=22m+1思路点拨：把底数不同的幂转化为底数相同的幂，再按同底数幂的运算法则进行运算练习：计算：（1）、（-x）2m+2÷x m（2）、（-x4）3÷x7二、知识点2：零指数幂和负指数幂公式：a0=1，a-p=注：零指数幂和负指数幂运用的前提是底数a不能为0例：（1）、20100（2）、2010-10练习：计算（-3）2-∣-1∣+（2）-1小测验1、计算：（-3ab2c3）4（-x）·（-x2）·（-x3）·（-x4）2、已知：2x+2=m ，则2x= （用含m的式子表示）3、2×8n×16n=222，则n=4、求式子（x+y）·（x+y）3·（x+y）4的值，其中x=2 ，y=-3课后作业：1、下列运算正确的是（）A、x·x2=x2B、（xy）2=xy2C、（x2）3=x6D、x2+x2=x42、计算：（a3）2·a3的结果是3、计算：（ab3）2=y·y2·y3=4、先化简再求值：x3·（-y3）2+（-3xy2）3，其中x=-2，，y=45、已知：2x=3 ，2y=5， 2z=15 ，试证明：x+y=z。
同底数幂相乘的法则
同底数幂相乘的法则
同底数幂相乘的法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
首先，从法则来看，关键是确定底数是否相同，相同的话，就可以直接进行指数相加。
因此在做同底数幂的乘法时，分析底数是我们必须要做的工作。
底数分析一般有两种情况：第一种情况都是乘法方的形式，底数互为相反数。
在这种情况下，我们需要借助“-1的n次方，对n的奇偶性的判定”来确定整体的一个正负，从而把运算转化成同底数幂的乘法，再借助法则完成计算；第二种情况是底数有乘方关系或者都是某个数的乘方时，我们先把不是乘方形式的数转化成乘方，再判断是不是同底数，最后按照法则进行计算。
无论底数是哪一种情况，我们都需要把能化成同底数的数给化简出来，再进行计算。
其次，法则的逆用。
我们通过同底数幂的乘法法则知道同底数幂的结果的指数是通过求和得来的，那么反过来，我们就可以去求另一个因数的指数。
知道了这些以后，为我们以后解题又提供了一种解题方法。
同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法
例1 计算 （1）82004×0.1252004； （2）（－8）2005×0.1252004．
随堂练习
0.2520×240-32003·( )2002＋
类型四积的乘方在生活中的应用
例1地球可以近似的看做是球体，如果用V、r分别代表球的体积和半径，那么V＝ πr3。地球的半径约为 千米，它的体积大约是多少立方千米？
知识点一
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘
am·an=(m、n都是正整数)
当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，用公式表示为
am·an·ap= am+n+p（m、n、p都是正整数）
知识点精讲
1．同底数幂相乘法则要注重理解“同底、相乘、不变、相加”这八个字．
2．解题时要注意a的指数是1．
3．解题时，是什么运算就应用什么法则．同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项，不能混淆．
4．-a2的底数a，不是-a．计算-a2·a2的结果是-(a2·a2)=-a4，而不是(-a)2+2=a4．
5．若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算
4、拓展：
（1）已知n为正整数，且x2n＝4．求（3x3n）2－13（x2）2n的值．
（2）已知xn＝5，yn＝3，求（xy）2n的值
（3）若m为正整数，且x2m＝3，求（3x3m）2－13（x2）2m的值．
知识点四
同底数幂相除， 底数，指数．
即：am÷an=（ ，m，n都是正整数，并且m>n）
规定：a0=1（a≠0）即：任何非0的数的0次幂都等于1
典型例题讲解
例一、填一填
⒈ =；
⒉ =；
⒊ ；
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拓展与延伸
(1)计算:x·2·3·4 · x100 x x x · ·
(2)已知:2×8n×16n=222, 求n的值
(3)如果x m-n · 2n+1=x 11, 且y m-1· 4-n=y 7, x y 求m,n的值
同底数幂相乘， 知识
我学到了 什么？ 方法 底数不变，指数 相加. am · n = am+n a
× × （1）b5 · 5= 2b5 （ ） （2）b5 + b5 = b10（ ） b 5 · 5= b10 b5 + b5 = 2b5 b b （3）x5 ·5 = x25 ( × ) x x5 · 5 = x10 x （5）c · 3 = c3 c ( ×) c · 3 = c4 c （4）y5 · 5 = 2y10 ( × ) y y5 · 5 =y10 y
y
( 2 m1)
练一练
1.计算 (1)4×2n×2 n-1 (2)(x+y-z)3(-x-y+z)2 (3)(-a)5×a 2n-3-a 2n×(-a)2 (4)(x+y)3(-x-y)4(-x-y)5 (5)100×10 m-1 ×10m-20×102m
(6)-a2×a×a5+a3×a2×a3
（4）y4·3·2· y y y
解： （1）x10 · = x10+1= x11 x
（2）10×102×104 =101+2+4 =107
（3）x5 · ·3 = x5+1+3 = x9 x x
（4）y4 ·3 ·2 · y4+3+2+1= y10 y y y=
思考题
1.计算: (1) x n · n+1 x 解: (2)
数) (m、n正整
“特殊→一般→特 殊”
例子
公式
应用
a a a
m n
m n （m，n都是正整数）．
即同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 ．
练习 计算：（抢答）
（1） 105×106
（2）
(1011 )
(
a7
·3 a
a10 )
（3） x5 ·5 x （4） b5 · b
（ x10 ）
（ b6 ）
发现当三个或三个以上同底数幂相乘时， 也具有这一性质, 用公式表示为: 如: am·n·p a a
10
同底数幂的乘法
你能算出 1014 103 的结果吗？
你的依据是什么？
1010 10 101010（根据乘方的意义。
10
17
(根据乘法结合律。) （根据乘方的意义。）
根据乘方的意义填空，看看计算结果有什么规律：
７ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 ( 3 2 ) （2） a a a５
15.1.1 同底数幂的乘法
一、整式的有关概念
1.单项式: 由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式. 单独的一个数字或字母也叫单项式. 2.单项式的系数: 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 3.单项式的次数: 一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项 式的次数． 4.多项式： 几个单项式的和叫作多项式；
2
5
1 2 1 5 ( 2) ( ) ( ) 7 7
解: ⑴ ( 2)
6
(4) y y
8
m1
y
m1
( 2)
( 6 8 ) 14
⑵
( 2) ( 2)
1 2 1 5 ( ) ( ) 7 7 1 25 1 7 ( ) ( ) 7 7
例2:计算
(1)(2) (2)
2
3
9
8
(4)3 3 3 3
2 3
234
(5) x x
m
3m1
x
m3m1
x
4 m1
[练习] P142
计算： （1）b5 · b （3）-a2 ·6 a
（2）10×102×103 （4）y2n·n+1 y
解： （1）b5 · = b5+1= b6 b
（2）10×102×103 =101+2+3 =106
（1） 2
5 2
a
（3） 5
m
5
n
5
( m n )
（m，n都是正整数）．
你发现了什么？ 计算前后底数和指数发生了什么样的变化？ 请用语言描述.
猜想:
a a
m
n (其中m,n为正整数)
a
m
m n
(乘方的意义)
m n
即a a a
n
(m, n为正整数）
一般地，我们有 ［同底数幂的乘法法则］
;
x n · n+1 = xn+(n+1) = x2n+1 x (x+y)3 · (x+y)4 .
公式中的a可代表 一个数、字母、式 子等.
am · an = am+n
解:
(x+y)3 · (x+y)4 = (x+y)3+4 =(x+y)7
例2:计算
(1)(2) (2)
6
8
(3)(a b) (a b)
an 表示的意义是什么？ 其中a、n、an分别叫做什么?
思考
底数
n a
幂
指数
an = a × a × a ×… a n个a
一种电子计算机每秒可进行 1014 次运算，它 工作 103 秒可进行多少次运算？ 问题 它工作 103 秒可进行的运算次数是 10
14
10 ，
3
3
观察这个算式，它的两个因式有何异同？ 我们观察 1014 103可以 发现， 14 和 10 这两个因数底数相同，是同底的幂的形式 所以我们把 1014 103这种运算叫做
2.填空：
（1） 8 = 2x，则 x = 3 23 （2） 8× 4 = 2x，则 x = ；
5
；
23× 22 = 25 （3） 3×27×9 = 3x，则 x = 6 3 ×33 × 32 = 36
.
3. 计算： （1）x10 · x （2）10×102×104
（3） x5 · ·3 x x
一.整式的有关概念
5.多项式的次数： 多项式里次数最高的项的次数叫作这个多项 式的次数． 特别注意: 多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和！ 6.整式：单项式与多项式统称整式。 （分母含有字母的式子不是整式） 7.同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项 8.合并同类项： 把同类项的系数相加，所得的结果作为系数， 字母和字母的指数保持不变。
（3）-a2 ·6 = -a2+6 = -a8 a （4）y2n·n+1 = y2n+n+1= y3n+1 y
变式训练
填空： （1）x5 · x3 ）= （ a5 ）= （2）a · （ （3）x
3（ x3）= · x
x8 a6 x7
（4）xm
ｘ2m ）＝ｘ3m · （
练习
1.下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
=
（m、n、p都是正整数）
am+n+ p
公式中 的a可代 表一个 数、式 子等.
例１计算： ⑴
x x
2
2
54⑵来自aa6m⑶ 2 2 2
4
3
(4)3 3 3
3
(5) x x
5 25
3m1
解：⑴ x x x
2
x .
7
⑵aa
6
4
a
3
4
1 6
a .
7
1 4 3
⑶ 2 2 2 2
6
8
(3)(a b) (a b)
2
5
1 2 1 5 ( 2) ( ) ( ) 7 7
(4) y y
5
m1
y
m1
( a b) ( a b) ⑶
2
( a b) ( a b)
( 25 ) 7
⑷
y y y
m1
y
m1
[1( m1)( m1)]