西北工业大学-《827信号与系统》-基础提高-第25-26讲

专业课基础提高课程
第25讲
第九章系统的状态变量分析法（一）
第九章系统的状态变量分析法
9-0、引言
1、经典的线性系统理论已经发展成熟:
(1) 基本模型：微（差）分方程和系统函数（传递函数、转移函数）；
(2) 分析过程：着重运用频率响应特性的概念；
(3) 有效性：系统即可观测又可控制；
(4) 局限性：未能完全揭示系统的内部特性，不能有效处理多输入多输出系统。

2、航天技术发展，诞生了现代控制理论，完成了从经典到现代的转变；
3、现代系统与控制理论特点：
（1）利用描述系统内部特性的状态变量取代描述系统外部特性的系统函数；
（2）便捷的运用到多输入多输出系统；
（3）可以分析系统的“可观测性”和“可控制性”；
（4）可以描述非线性系统和时变系统；
（5）便于计算机求解（一阶微分方程、差分方程）。

4、分析方法：状态变量法
以系统内部的状态变量x(t)为分析对象；建立f(t)与x(t)以及f(t)、x(t)与y(t)的关系。

9-1 连续系统状态空间方程建立
一、引例
二、几个常用术语：
1、状态：在已知系统激励条件下求解系统所必需具备的最少信息。

状态变量在某一时刻的取值，如：uc(0+)、iL(0+)等。

2、状态变量：随时间变化的一组独立完备变量。

即能够表示系统状态的变量（个数=系统阶数），状态变量之间不能线性求解；与激励一起
可以线性表示系统的所有响应；
给定电路，通常选独立电容电压和独立电感电流，给定模拟图，选积分器（单位延时器）的输出；
3、状态方程：描述系统状态变量、激励与状态变量一阶导数关系的微分（一阶差分）方程组。

4、输出方程：描述系统状态变量、激励与输出响应关系的代数方程组。

5、状态向量：由状态变量做分量所构成的向量。

（n维）
6、状态空间：状态变量所有取值的集合。

即状态向量所在的空间。

7、状态轨迹：在状态空间中状态向量端点随时间变化所形成的轨迹。

三、状态空间方程的标准形式：
状态方程矩阵形式：
输出方程矩阵形式：
()1()c du t i t dt C
= ()()R
u t Ri t =
()()()()L c s u t Ri t u t u t =--+ []()()00()()()11R s c L i t u t R u t u t u t R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
对有m 个输入，q 个输出的n 阶系统：
状态空间方程的标准形式
四、状态空间方程的建立
1、已知系统的电路图（纯正网络）（直接列写法）
1) 选状态变量：独立、完备（个数=系统阶数）
一般可选独立电容电压和独立电感电流；
2) 初始方程列写：
写出独立电容所在节点KCL方程；最好只含一个电容；
写出独立电感所在回路KVL方程；最好只含一个电感；
3) 消去非状态变量、整理化简方程为标准型方程：
4) 列写输出方程，并整理为标准型方程：
2、已知系统模型列写（间接列写法）
1) 已知系统微分方程列写状态空间方程。

（不含激励导数）
9-2 离散系统状态空间方程建立
一、离散系统状态方程和输出方程的标准形式
1、状态方程的标准形式
2、输出方程的标准形式
二、离散系统状态空间方程建立
1、选状态变量：独立、完备（个数=系统阶数）
一般可选信号流图中延迟器的输出；
2、列写初始方程，消去非状态变量、整理化简方程为标准型方程：X(k1)AX(k)Bf(k)
+=+
3、列写输出方程，并整理为标准型方程：
Y(k)CX(k)Df(k)
=+
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第26讲
第九章系统的状态变量分析法（二）
9-3 因果系统状态空间方程变域求解
一、连续因果系统状态空间方程s域求解
1、状态方程s域求解
2、输出方程s域求解
3、系统函数矩阵与单位冲激响应矩阵
11112112212222q 12m Y (s)()()()F (s)Y (s)()()()F (s)Y (s)()()()F (s)m m q q qm H s H s H s H s H s H s H s H s H s ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1）系统函数矩阵
2）单位冲激响应矩阵：
3）系统自然频率：
二、 离散因果系统状态空间方程z 域求解
1、状态方程z 域求解（单边z 变换）
2、输出方程z 域求解 =+y(k)Cx(k)Df(k)
3、系统函数矩阵与单位序列响应矩阵
1）系统函数矩阵
1()()z z z -=+H C φB D 111212122212()()()()()()()()()()m m q q qm H z H z H z H z H z H z z H z H z H z ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
H
()()()i ij j Y z H z F z =
意义：第j 个激励单独作用时与所产生的第i 个响应之间的关系。

2）系统单位序列响应：
111
{()}{()}Z z Z z z ---==+h(k)H C φB D
3）系统自然频率：0zI -=A 的根
9-4 因果系统状态空间方程时域求解
一、预备知识
1、矩阵指数函数（A 为n n 的方阵）
1）定义：
23011()2!3!k k k t t t n n k!∞==I ++++=⨯∑ At 231e A A A A t
2）性质：（1）d dt ==At e
At At e A Ae （2）=I A t -A t e e （I 为单位矩阵）
（3）1[]-=At -At e e 与互逆At -At
e e
（4）若A 为对角阵，如： 1
2
3000
000λλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A
则123000
000λt
λt t λt e e e e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A
123000000k k k k λλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 2、矩阵卷积：
111211212221()()()()()()f t f t g t f t f t g t ⎡⎤⎡⎤*=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111122121112221()()()()()()()()f t g t f t g t f t g t f t g t *+*⎡⎤⎢⎥*+*⎣⎦ 3、单位冲激对角阵 ()000000()m m t t t δδ⨯⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦δ ()
4、单位冲激对角阵与任意函数矩阵卷积 ()()t)t t (*=δf f m m ⨯ 1m ⨯ 1m ⨯
二、 连续因果系统状态空间方程时域求解
1、一阶微分方程t 域求解
2、状态方程t 域求解
3、状态转移矩阵的计算：
4、输出方程时域解：
三、离散系统状态空间方程时域求解
1、状态方程时域求解
2、状态转移矩阵的计算：
3、输出方程时域解：。