专题一 集合与常用逻辑用语

专题一 集合与常用逻辑用语考点01：集合及其相关运算(1-7题，13题，17,18题)；考点02：命题及其关系、充分条件与必要条件（8—11题，14,15题，19题）； 考点03：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（12题，16题，20-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合{}|1,A x x =<{}|31,x B x =<则( )A. {}|0A B x x ⋂=<B. A B R ⋃=C. {}|1A B x x ⋃=>D. A B ⋂=∅2.已知{}{}2320,20||,A x x x B x ax =-+==-=若A B B ⋂=,则实数a 的值为( )A.0或1或2B.1或2C.0D.0或13.已知集合()(){}(){},|,,|1A x y y f x B x y x ====,则A B ⋂中元素的个数为()A.必有1个B. 1个或2个C.至多1个D.可能2个以上4.已知集合{{},1,,A B m A B A ==⋃=,则m = ( )A. 0B. 0或3?C. 1D. 0或1或3?5.若{}2|,x x a a R ≤∈⋃∅=∅,则a 的取值范围是( )A. [)0,+∞B. ()0,+∞C. (],0-∞D. (),0-∞6.已知集合{{}|,|A x y B x x a ===≥,若A B A ⋂=,则实数a 的取值范围是( )A. (,3)-∞-B. (,3]-∞-C. (],0-∞D. [)3,+∞7.已知集合(){}22,|1M x y x y =+≤,若实数λ,μ满足:对任意的(,)x y M ∈,都有(),x y M λμ∈,则称(),λμ是集合M 的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是( )A.(){},|4λμλμ+= B.(){}22,|4λμλμ+= C.(){}2,|44λμλμ-= D. (){}22,|4λμλμ-= 8.命题“若a b >则55a b ->-”的逆否命题是( )A.若a b <则55a b -<-B.若55a b -<-则a b >C.若a b <则55a b -≤-D.若55a b -≤-则a b ≤9.设0a >且1a ≠,则“log 1a b >”是“b a >”的( )A.必要不充分条件B.充要条件C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件10.圆221x y +=与直线3y kx =-有公共点的充分不必要条件是( )A. k ≤-或k ≥B. k ≤-C. 2k ≥D. k ≤-或2k > 11.“()2?4x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为2π;命题:q 函数cos y x =的图像关于直线2x π=对称,则下列判断正确的是( )A.p 为真 B.q ⌝为假 C.p q ∧为假 D. p q ∨为真 二、填空题13.已知集合{}1,3,z A i = (其中i 为虚数单位), {}4,B A B A =⋃=,则复数z 等于__________.14.命题“若5x =,则28150x x -+=”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的命题个数是__________个15.已知:12P x ->,22:210q x x a -+-≥,()0a >,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是__________.16.若命题“()2,110x R x a x ∃∈+-+<”是假命题,则实数a 的取值范围是__________. 三、解答题17.设集合{|10A x x =+≤或40}x -≥,{}|22?B x a x a =≤≤+.1.若A B ⋂≠∅,求实数a 的取值范围;2.若A B B ⋂=,求实数a 的取值范围.18.集合{}|25A x x =-≤≤,{}|121B x m x m =+≤≤-.1.若A B B ⋂=,求实数m 的取值范围;2.当x Z ∈时,求A 的非空真子集的个数.19.设命题()2:431p x -≤;命题()()2:2110q x a x a a -+++≤,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.20.已知命题P :[1,2]x ∀∈,20x a -≥;命题 Q :0x R ∃∈,使得200(1)10x a x +-+<.若“P 或 Q ”为真,“P 且 Q ”为假,求实数a 的取值范围.21.已知m R ∈,设[]:1,1p x ∀∈-,2224820x x m m --+-≥成立;[]:1,2q x ∃∈,()212log 11x mx -+<-成立,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围.22.已知命题2:,20P x R x x a ∃∈+-=;命题Q :当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, 4x a x+>恒成立.若P Q ∨是真命题,且P Q ∧为假命题,求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1.答案：A解析：由 31x <可得033x <,则0x <,即{}|0B x x =<,所以{}{}{}|1|0|0A B x x x x x x ⋂=<⋂<=<,{}{}{}|1|0|1A B x x x x x x ⋃=<⋃<=<.2.答案：A解析：3.答案：C解析：4.答案：B解析：由A B A ⋃=,得B A ⊆,因为{}{}1,3,,1,,A B m ==所以3m =或m =3m =或0m =或1m =,验证知,1m =时不满足集合中元素的互异性,故0m =或3m =,故选B .5.答案：D解析：由题意{}2|,x x a a R ≤∈=∅,∴0a <,选D. 6.答案：B解析：7.答案：C解析：分析题意可知,所有满足题意的有序实数对(),λμ所构成的集合为(){},|11,11λμλμ-≤≤-≤≤,将其看作点的集合,为中心在原点,()1,1-,()1,1--,()1,1-,()1,1为顶点的正方形及其内部,A,B,D 选项分别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项C 为抛物线,有公共点()0,1-,故选C.8.答案：D解析：9.答案：C解析：10.答案：B解析：圆221x y +=与直线3y kx =-有公共点1k ⇔≤⇔≤-k ≥所以“k ≤-221x y +=与直线3y kx =-有公共点的充分不必要条件”,故选B.11.答案：A解析：12.答案：C解析：函数sin 2y x =的周期为22π,所以命题p 为假; 函数cos y x =的对称轴为,x k k Z π=∈,所以命题q 为假,所以p q ∧为假,选C.二、填空题13.答案：-4i解析：A B A ⋃=,说明B 是A 的子集,则元素4A ∈,所以必有zi=4z=4i ⇒-.14.答案：2解析：15.答案：(]0,2 解析：求解绝对值不等式12x ->可得{|3x x >或1}x <-,求解二次不等式22210x x a -+-≥可得{1x x a ≥+或1}x a ≤-,若p 是q 的充分不必要条件,则1311a a +≤⎧⎨-≥-⎩,求解关于a 的不等式组可得2a ≤, 结合0a >可得实数a 的取值范围是(]0,2.16.答案：13a -≤≤解析：命题“()2,110x R x a x ∃∈+-+<”的否定是“()2,110x R x a x ∀∈+-+≥”为真命题,即()2140a ∆=--≤,解得13a -≤≤.三、解答题 17.答案：1.∵A B ⋂≠∅,∴22,{24a a a ≤++≥或22,{21,a a a ≤+≤-∴2,{2a a ≤≥或2,{1.2a a ≤≤- ∴2a =或12a ≤-.故a 的取值范围为{|2a a =或1}2a ≤-. 2.∵A B B ⋂=,∴B A ⊆.有三种情况:①22,{21,a a a ≤++≤-得3a ≤-; ②22,{24,a a a ≤+≥得2a =; ③B =∅,即22a a >+,得2a >.综上所述, a 的取值范围是{|3a a ≤-或2}a ≥.解析：18.答案：1.∵A B B ⋂=,∴B A ⊆,当121m m +>-,即2m <时, B =∅,满足B A ⊆;当121m m +≤-,即2m ≥时,要使B A ⊆成立,需满足12{215m m +≥--≤,可得23m ≤≤;综上, 3m ≤时,有B A ⊆.2.当x Z ∈时, {}=21,0,1,2,3,4,5A --，,所有A 的非空真子集的个数为822254-=. 解析：19.答案：设(){}2|431A x x =-≤,()(){}2|2110B x x a x a a =-+++≤,易知1|12A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭,{}|1B x a x a =≤≤+由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,从而p 是q 的充分不必要条件,即A B ⊂,1{211a a ≤+≥且两等号不能同时取.故所求实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解析：20.答案：11a -≤≤或>a 3解析：由条件知, 2a x ≤对[1,2]x ∀∈成立,∴1a ≤;∵0x R ∃∈,使得200(1)10x a x +-+<成立.∴不等式200(1)10x a x +-+<有解,∴2(1)40a ∆=-->,解得>a 3或1a <-; ∵p 或q 为真, p 且q 为假,∴p 与q 一真一假.①p 真q 假时, 11a -≤≤;②p 假q 真时, >a 3.∴实数a 的取值范围是>a 3或11a -≤≤.21.答案：若p 为真:对[]221,1,4822x m m x x ∀∈--≤--恒成立,设()222f x x x =--,配方得()()213f x x =--, ∴()f x 在[]1,1-上的最小值为3-,∴2483m m -≤-,解得1322m ≤≤, ∴p 为真时: 1322m ≤≤; 若q 为真: []1,2x ∃≤,212x mx -+>成立, ∴21x m x-<成立. 设()211x g x x x x-==-, 易知()g x 在[]1,2上是增函数,∴()g x 的最大值为()322g =, ∴32m < ∴q 为真时, 32m <∵"p q ∨"为真,“p q ∧”为假, ∴p 与q 一真一假,当p 真q 假时1322{32m m ≤≤≥,∴32m =, 当p 假q 真时,∴12m <, 综上所述, m 的取值范围是12m <或32m =. 解析：22.答案：当P 为真命题时, 440a ∆=+≥,解得1a ≥-;当Q 为真命题时, ()4f x x x =+在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在区间[2,3]上单调递增, min44x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则4a <. 由于P Q ∨是真命题,且P Q ∧为假命题,则命题,?P Q 一真一假.(1)若P 真Q 假,则14a a ≥-≥⎧⎨⎩,解得4a ≥;(2)若P 假Q 真,则14a a <-<⎧⎨⎩,解得1a <-. 综上所述,实数a 的取值范围为()[),14,-∞-⋃+∞.解析：。