全国高中数学联赛模拟卷二试

ABC P Q ID O 1I 1I 2A B CPQ ID O 1 I 1 I 22014年全国高中数学联赛模拟卷(1)加试(考试时间：150分钟 满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分） 在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，记12,,I I I 分别是△ADC , △BCD ,△ABC 的内心，I 在AB 边上的射影为1O ，,CAB ABC ∠∠的角平分线分别交,BC AC 于,P Q ，且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正方形．二、（本题满分40分）给定正数a , b , c , d, 证明：b a d b a d a dc ad c d c b d c b c b a c b a +++++++++++++++++++333333333333.2222d c b a +++≥三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2)1(221+++=+n n nA A kn n ， ,2,1=n证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(m od 21或≡n 四、（本题满分50分）试求最小的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.一．证明：不妨设BC ≥AC ，由~ADC CDB ∆∆且12,I I 分别是其内心，得12I DAC BC I D= 且0121902I DI ADB ACB ∠=∠==∠，所以 12~DI I CAB ∆∆ 则21I I D CAB ∠=∠ ① 设,ADC BCD ∆∆的内切圆半径分别为12,r r ，Rt ABC ∆的三边长为,,a b c ，12,I I 在AB 边上的射影为,E F ，并且,,AD x BD y CD z === ，则121,,222x z b y z a b c ar r AO +-+-+-===， 所以 1121222b c a y z a x z bDO AO AD x r r +-+-+-=-=-=-=-，1122111()I E r r r r DF DO O F ==--=-=， 112122()EO r r r r I F =+-==，因此1112I EO FO I ∆=∆．1112O I O I ⇒=且112112112212I O I I O E I O F O I F I O F πππ∠=-∠-∠=-∠-∠=，②则121,,,D O I I 四点共圆 2121I O F I I D CAB ⇒∠=∠=∠（由①知）所以12//O I AC ， 同理 11//O I BC ，∴11111()21()2b c a AI AO b c aI P BO c a b c a b +-+-===+-+-，又由角平分线性质得CQ BC CQ BC ab CQ QA BA QA CQ BA BC a c =⇒=⇒=+++ 同理ab CQ b c =+，另一方面2222221sin 21sin 2CQO CPO CQ CO ACDS QO b c bO P S a c aCP CO BCD ∆∆⋅∠+===+⋅∠， 又122112()//()AI QO b c a b b c O I CA I P O P c a b a a c +-+⇔=⇔=+-+， 而()()()()a a c b c a b b c c a b ++--++- 2222()()a ab ac a cb c ac b bc ba b c ac bc =+-++--+-++- 22()()0a ab b b ba a =+-+=，所以21//O I CA ， 同理22//O I BC ，所以四边形1122I O I O 为平行四边形，由②知四边形1122I O I O 为正方形．二．解：由于问题的对称性, 只要证明对于任何正数下式成立因为如果上式成立, 则原式的左边不小于不失一般性, 可以在的假设下证明上述不等式. 如果, 只要将不等式两边同除, 令于是问题转化成下列被修改的问题：给定满足条件的正数证明此不等式证明如下：三．证明：注意到k n n n nA A n 21)1(2)2(+=-++ kn n n A n A n 212)1()1(=--+-得1212112)1(2)1()1)(2(++-+++=--++k k n n n n nA n A n n 反复运用上式，得)1()(2+=n n n S A n ，其中tt t n n S +++= 21)(，12+=k t得∑∑==+-+++-=n i t t ni tti i n i i n n S 1])1[(])[()(2，从而可知)(2|)1(n S n n +，因此)1(≥n A n 是整数.（1）当)4(m od 21或≡n 时，由)(n S 有奇数个奇数项知)(n S 为奇数，所以n A 为奇数. （2）当)4(mod 0≡n 时，)4(mod 0)2(≡tn ，故)4(mod 0)2(])[()(2≡-+-=∑=t n i tt n i i n n S ，所以n A 为偶数 （3）当)4(mod 3≡n 时，)4(mod 0)21(≡+tn ，故)4(mod 0)21(])1[()(211≡+-+-+=∑+=tn i t tn i i n n S ，所以n A 为偶数 综上所述，命题成立，证毕.四．解：首先，我们可以指出12个连续正整数，例如994，995，…，999，1000，1001，…，1005，其中任一数的各位数字之和都不是7的倍数，因此，13n ≥.再证，任何连续13个正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.对每个非负整数a ，称如下10个数所构成的集合:{10,101,109}a A a a a =++为一个“基本段”，13个连续正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。

当13个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中必有连续的7个数，属于同一个基本段；当13个连续数属于三个基本段11,,a a a A A A -+时，其中必有连续10个数同属于a A .现在设110k k a a a a - 11011(1),(6)k k k k a a a a a a a a --++是属于同一个基本段的7个数，它们的各位数字之和分别是,1,,6,kk kiii i i i a a a ===++∑∑∑显然，这7个和数被7除的余数互不相同，其中必有一个是7的倍数.因此，所求的最小值为13.n =2014全国高中数学联赛模拟题(2)加试（二试）9：40~12：10共150分钟 满分180分平面几何、代数、数论、组合1、（本题40分）在△ABC 中，AB ＞BC ，K 、M 分别是边AB 和AC 的中点，O 是△ABC 的内心。

设P 点是直线KM 和CO 的交点，而Q 点使得QP⊥KM 且QM∥BO，证明：QO⊥AC。

2、（本题40分）已知无穷数列{}n a 满足,,10y a x a ==() ,2,11111=++=--+n a a a a a n n n n n .（1）对于怎样的实数x ，y ，总存在正整数0n ,使当0n n ≥时，n a 恒为常数？ （2）求数列{}n a 的通项公式.3、（本题50分）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.（1953年美国普特南数学竞赛题）由此，证明有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目. (第6届国际数学奥林匹克试题)4、（本题50分）设*211,1,3N n a a a a n n n ∈-+==+，证明：（1）对所有)4(m od 3,≡n a n ；（2）当m m ≠时，1),(=n m a a （即n m a a ,互质）1、证：作OR ⊥AC 于R ，过P 作MK 的垂线，交直线OR 于Q 点（如图）。

这样只需证Q’M ∥O ，因为这时Q 和Q’重合。

因为K ，M 分别为AB 和AC 的中点，所以KM ∥BC ，于是∠MPC ＝∠BCP ＝21∠ACB ＝∠MCP 。

因此MP ＝MC ＝MA ，这样一来，P 点在以AC 为直径的圆周上，且∠APC ＝90°。

在四边形APOR 中，∠APO ＝∠ARO ＝90°，所以APOR 内接于圆，∠RPO ＝∠RAO ＝21×∠BAC 。

在四形边MPQ’R 中，∠MPQ’＝∠MRQ’＝90°，所以MPQ’R 内接于圆，于是∠Q’MR ＝∠Q’PR ＝∠Q’PO＋∠OPR ＝（90°－∠OPM ）＋21∠BAC ＝（90°－21∠ACB ）＋21∠BAC 。

设BO 交AC 于D ，在△BDC 中，∠BDC ＝180°－∠ACB －21∠ABC ＝90°＋21∠BAC －21∠ACB ＝∠Q’MR ，因此MQ’∥BO ，于是本题得证。

2、解：由递归方程()x xx x f =+=212，得不动点1±=x .由不动点方法111111111111+++-++=+-----++n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a 111111----+++--+=n n n n n n n n a a a a a a a a ()()()()111111++--=--n n n n a a a a 111111+-⋅+-=--n n n n a a a a .令11+-=n n n a a b ，则()+-+∈=N n b b b n n n 11.易知110+-=x x b ，111+-=y y b . 注意到()23221-----==n n n n n n b b b b b b 21012433322--====----n n FFn n n n b b b b b b ，其中，11-++=n n n F F F ，110==F F ，{}n F 为斐波那契数列.于是，11+-=n nn a a b 2101--=n n F F b b 211111--⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n F F x x y y .故11+-n na a ()2111121≥⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=--n x x y y n n F F .（1）要使总存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a 恒为常数，还需分情况讨论. （i ）若10=n ，当0n n ≥时，n a 恒为常数.由y a =1，101021a a a a a ++=y y x xy =++=1，y yy a =+=2123，……有1=y ，且x y -≠. 此时，n a 恒为常数1或1-. （ii ）若20≥n ，当0n n ≥时，n a 恒为常数.首先，当()01n n a n ≥-=时，如果30≥n ，由10-=n a ，110-=+n a 及=+10n a 1100001--++n n n n a a a a ，有110≠-n a .注意到110-≠-n a .又由=0n a 212100001----++n n n n a a a a ，有120-=-n a .于是，由=-10n a 323200001----++n n n n a a a a ，有110-=-n a ，矛盾.此时，只能是20=n ，即()21≥-=n a n ，所以，101021a a a a a ++=11-=++=yx xy ，12122121311a a a a a a a a a ++=++=1111-=+-+⋅-=y y ，……于是，11-=++yx xy ，且1≠y 01=+++⇒y x xy ，且x y -≠，1≠y 1-=⇒x 或1-=y ，且x y -≠，1≠y .因此，当1-=x 或1-=y ，且x y -≠时，取20=n .当2≥n 时，n a 恒为常数1-.其次，当n a 在()200≥≥n n n 时不恒为1-，但当0n n ≥时，使n a 恒为常数，故1-≠n a ()2,00≥≥n n n .则11+-n n a a 211111--⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n F F x x y y 在0n n ≥时恒为常数.显然，111≠+-x x ，111≠+-y y . 若111-=+-x x 且111-=+-y y ，则0==y x ，有101021a a a a a ++=的分母为0，矛盾.所以，只能011=+-x x 或011=+-y y ，即1=x 或1=y ，且x y -≠时，当()200≥≥n n n 时，n a 恒为常数1. 综上，当1=x 且x y -≠或1=y 且y x -≠时，总存在正整数0n ，使当0n n ≥时n a 恒为常数1或1-.（2）注意到11+-n na a ()2111121≥⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=--n x x y y n n F F .则111111221-⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=--n n F F n x x y y a ()()()()()()11111112212121----++++=------n n n n n n F F F F FFx y x y x y . 故()()()()()()()()()21111111121212121≥---++--+++=--------n x y x y x y x y a n n n n n n n n F F FF FFFF n ，x a =0，y a =1. 3、证明 设A 、B 、C 、D 、E 、F 是所给六点.考虑以A 为端点的线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF ，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是AB 、AC 、AD ，且它们都染成红色.再来看△BCD 的三边，如其中有一条边例如BC 是红色的，则同色三角形已出现（红色△ABC ）；如△BCD 三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形.证明 用平面上无三点共线的17个点A 1,A 2,…，A 17分别表示17位科学家.设他们讨论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x 连红线,讨论y 连蓝线,讨论z 连黄线.于是只须证明以这17个点为顶点的三角形中有一同色三角形.考虑以A 1为端点的线段A 1A 2,A 1A 3,…，A 1A 17，由抽屉原则这16条线段中至少有6条同色，不妨设A 1A 2，A 1A 3，…，A 1A 7为红色.现考查连结六点A 2，A 3，…，A 7的15条线段，如其中至少有一条红色线段，则同色（红色）三角形已出现；如没有红色线段，则这15条线段只有蓝色和黄色，由例5知一定存在以这15条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证. （属图论中的接姆赛问题.）4、证明：（1）由递推关系得11(1)n n n a a a ++=+当1n =时，133(mod 4)a =≡，33(mod 4)n a =≡即43n a k =+，那么1(1)14(43)(1)13(mod 4)n n n a a a k k +=+-=+--≡∴对所有n ，3(mod 4)n a ≡（2）由递推关系得112114n n n n a a a a a +--+=不妨设m n <，得|1m n a a -，令1,n m a qa q N +=∈则,()(,1)(,1)1m n m m m m a a a qa a a =-=-=2014年全国高中数学联赛加 试1. （40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．2. （40分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m fr 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．3. （50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a 满足1,1,2,,k a k n ≤=，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++==．求证：1112n nk k k k n a A ==--<∑∑． 4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解 答1. 用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO r KOr =-+-，同理()()22222QK Q O rK O r=-+-，所以2222PO PK QO QK -=-，故OK ⊥PQ ． 由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQ BD EA QN ⋅⋅=，②1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MC BD CD =， 所以ND MD BD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆.注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅，⑤⑤-④，得 2P K P E P C A K K E =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）．注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．2. 记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m fr 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数．假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++．于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v v v v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++12k '=+， ① 这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++.显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明．3. 由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有110,0kniii i k ak an k ==+<≤<≤-∑∑．FE QPONMK DCBA注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有11111k n n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑11111max ,nk i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎫<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑111m a x (),n k k n k n ⎧⎫⎛⎫≤--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭1k n =-，故111n nnk kn k k k k a AnA A ===-=-∑∑∑ ()1111n n nk n k k k AA A A --===-≤-∑∑111n k k n -=⎛⎫<-⎪⎝⎭∑12n -=． 4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A 上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍．设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j -⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2inC 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22j n i C -种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2i n C 22jn iC -种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑． ①这里我们约定001C =．当n 为奇数时，20n i ->，此时22221202n i jn i n ij C-⎡⎤⎢⎥⎣⎦---==∑． ②代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦----====⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ 022(1)(21)(21)nnkn kk n kk n n nn k k C C --===+-=++-∑∑31n =+． 当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2ni =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦--=⎛⎫ ⎪⨯+ ⎪⎪⎝⎭∑()2221024233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦--==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n+种；当n 为偶数时有33n +种．2015全国高中数学联赛模拟试题06加试一（本题满分40分）如图，在△ABC 中，AB AC <，O 是△ABC 的外接圆，过点A 作O 的切线交BC 延长线于点D ，过点,B C 作BC 的两条垂线分别与,AB AC 的中垂线交于点,E F . 求证：,,D E F 三点共线二、（本题满分40分）已知无穷正数数列{}n a 满足：（1）存在m R ∈，使得()1,2,i a m i ≤=；（2）对任意正整数(),i j i j ≠均有1i j a a i j-≥+， 求证：1m ≥三、（本题满分50分）设,,,a b c d N ∈满足：1bc ad -=，集合{}{}1,2,3,,1,A a c B ia i N =+-=∈，如果k A B ∈-，求证：b d k k a c ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）四、（本题满分50分）求所有的自然数n ，使得存在()1,2,,n 的一个置换()12,,,n p p p 满足：集合{}1i p i i n +≤≤和{}1ip i i n -≤≤均为mod n 的完全剩余系2015年全国高中数学联赛模拟试题10加试参考解答（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）如图，四边形ABCD 内接于圆，,AB DC 延长线交于E ，,AD BC 延长线交于F ，P 为圆上任一点，,PE PF 分别交圆于,R S ，若对角线,AC BD 交于T ，求证：,,R S T 三点共线二、（本小题满分40分）给定实数()0,1r ∈，n 个复数12,,,n z z z 满足()11,2,,k z r k n -≤=证明：()2212121111nnz z z n r z z z ++++++≥-三、（本题满分50分）求具有下述性质的所有整数k ：存在无穷多个正整数n 使得n k +不整除2nn C法二：所求整数为除1以外的所有整数.四、（本题满分50分）给定整数5n ≥，求最小的整数m ，使得存在两个由整数构成的集合,A B ，同时满足以下条件：（1）,A n B m ==，且A B ⊆；（2）对B 中任意两个不同元素,x y 有：x y B +∈当且仅当,x y A ∈解：最小的整数m 为33n -，我们首先给出一个例子2015年全国高中数学联赛模拟试题11加试参考解答（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）设n 是给定的正整数，且3n ≥.对于n 个实数12,,,n x x x ，记()1i j x x i j n -≤<≤的最小值为m .若222121n x x x +++=，试求m 的最大值二、（本小题满分40分）三、（本题满分50分）试确定所有同时满足()()22223mod ,3mod n n n n n n pq q p ++++≡≡的三元数组(),,p q n ，其中,p q 为奇素数，n为大于1的整数四、（本题满分50分）2012年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A 三点共线。