高数考研基础班 第三章中值定理及导数的应用
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3.3第三章：中值定理及导数的应用
上连续；
2.按左、右导数的定义不难求出
f
/ 1
f
/ 1 1, 从而
f x 在 0,2 内
可导，且
f
/ x
x,0 x 1,
1 x2 ,1 x
2.
因此， f x 在 0,2上满足拉氏定理的条件.
（二）由拉氏定理的结论： 0,2 ，使
f
/
f
2
2
f 0
0
1 2
.不难算得：
1 或 2
2 0,2.
x 2x
lim x
x 1 21
2 x x
.
对于不直接表现为 0 型或 型的不定型，要首先合理转化，使其成为 0
四．洛必达法则 我们在第一章曾注意到，考试时考察得最多的求极限问题要么是 0 型，要么是 0
。对付这种问题，我们根据具体情形曾给出了因式分解约零因子、根式有理 化约零因子、等价无穷小替换、凑重要极限等方法。现在有一个著名的法则—
—洛必达法则，可用一招统一解决大部分的 0 或 的极限问题。 0
例 6．设 f x x 1x 2x 3x 4 ，证明方程 f x 0 有三个实根，并
且它们分别位于区间 1, 2, 2,3, 3, 4. （见书第 105 页）
例 7．证明方程 x5 x 1 0 只有一个正根.(反证).
拉氏定理有两个重要的的推论，也要会记会用.
推论 1：若对任意 x I , f / x 0 ，则 f x C,x I.
x
x.
.
( .
1,1
x
)
例 3.证明：对 x 0,ex 1 x. .
例 4．证明：对 x 0, ln 1 x x. .
大家自己证明，这两个结论要记住. 三．利用中值定理证明等式成立（或方程有无根）
高等数学第三章中值定理与导数的应用
1 0. 当 x 0 时 0 , 因此由上式得 cos
0? 问是否可由此得出 lim cos 1 x
x0
不能 !
因为 ( x) 是依赖于 x 的一个特殊的函数.
x 0 表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .
备用题 1. 设 f ( x) 在 [0,1] 连续， (0 ,1) 可导，且 f (1) 0 ,
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f ( x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
假设另有
但
矛盾, 故假设不真!
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y f ( x)
使
f ( x) sin ln x ,
F ( x) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, f (e) f (1) f ( ) , (1, e ) 因此 F (e) F (1) F ( ) 1 cos ln 即
1
分析:
例5. 试证至少存在一点 法2 令 f ( x) sin ln x sin1 ln x
使
则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件, 因此存在 使
1 1 f ( x) cos ln x sin1 x x
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
3 15 4 . _____
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 上.
中值定理与导数的应用(高等数学)
(2) 函数的极值及其求法
定义 设函数f ( x )在区间(a , b0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极大值; 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极小值.
(
1 1 x
2
) 0.
f (1) f (1) 2 arcsin x arccos x (1 x 1). 2 又
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即C . 2
f ( x) C, x (1,1)
极值的第二判别法 设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导数, 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 '' f (1)当 ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值; '' (2)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极小值.
' f 即 ( ) 0
(1)
(2) 拉格朗日中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a , b]上连续,在开区间(a , b ) 内可导, 那末在
(a , b ) 内至少有一点(a b ) ，使等式
( 2)
(1)
f (b ) f (a ) f ' ( )( b a ) 成立.
极值点可以是不可导点。
第三章中值定理与导数的应用课件
那么在(a,b)内至少有一点 使等式
f (b) f (a) f ' ( ) 成立 F (b) F (a) F ' ( )
例1：验证罗尔定理对函数y ln sin x在区间
[
6
,
5
6
]的正确性
解：y ln sin x在[ , 5 ]上连续
66
y ln sin x在( , 5 )上可导
66
lim 2 cos3x 3 1 x0 3 cos2x 2
例6：求
lim
x
xn ex
(n 0, 0)
解：lim xn lim n xn1 lim n (n 1) xn2
e e x x x
x x
2 ex
lim n! 0
x n ex
例7：求 lim x sin x
且f ( ) ln 1 f (5 )
6
2
6
又
y'
c os x
ctgx
令
0
x
(
, 5 )sin x源自2 662罗尔定理正确
例2：证明arctgx arcctgx
2
证 : (arctgx arcctgx)' 1 1 0 1 x2 1 x2
arctgx arcctgx c
取x 1 c c
若f (x)是一般的函数，且它存在直到n 1 阶的导数，那么
n
f (x)
f (k) (a) (xa)k ?
k 0 k!
泰勒（Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有 x0 的某个开区间(a, b)内具有直到(n 1)阶的导数,则
当 x在(a, b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个
f (b) f (a) f ' ( ) 成立 F (b) F (a) F ' ( )
例1：验证罗尔定理对函数y ln sin x在区间
[
6
,
5
6
]的正确性
解：y ln sin x在[ , 5 ]上连续
66
y ln sin x在( , 5 )上可导
66
lim 2 cos3x 3 1 x0 3 cos2x 2
例6：求
lim
x
xn ex
(n 0, 0)
解：lim xn lim n xn1 lim n (n 1) xn2
e e x x x
x x
2 ex
lim n! 0
x n ex
例7：求 lim x sin x
且f ( ) ln 1 f (5 )
6
2
6
又
y'
c os x
ctgx
令
0
x
(
, 5 )sin x源自2 662罗尔定理正确
例2：证明arctgx arcctgx
2
证 : (arctgx arcctgx)' 1 1 0 1 x2 1 x2
arctgx arcctgx c
取x 1 c c
若f (x)是一般的函数，且它存在直到n 1 阶的导数，那么
n
f (x)
f (k) (a) (xa)k ?
k 0 k!
泰勒（Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有 x0 的某个开区间(a, b)内具有直到(n 1)阶的导数,则
当 x在(a, b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个
(整理)第三章中值定理与导数的应用学习指导
第三章 中值定理与导数的应用一、知识脉络理定值中分微 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧)(21麦克劳林公式泰勒公式柯西定理推论推论拉格朗日定理罗尔定理⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩∞∞求方程的近似解渐屈与渐伸线曲率和曲率半径弧微分其它应用函数作图求凹凸区间与拐点凹凸性判别定义凹凸性与拐点求单调区间单调性判定定义单调性函数性态题最大值与最小值应用问极值的应用极值点的判定件函数取得极值的必要条定义概念函数极值型导数应用:二、重点与难点1．重点：拉格朗日中值定理，函数增调区间、函数的凹凸区间，求函数的极值，求具体问题的最大最小值。
2．难点：柯西定理、泰勒展式、不等式证明、函数作图。
三、问题与分析1．学习洛尔定理、拉格朗日定理与柯西定理应注意的问题：①洛尔定理是一个函数满足3条，拉格朗日定理一个函数满足2条，柯西定理是两个函数满足2条，才有相应结论； ②定理的条件是充分的，但不是必要的；③三个定理都是存在性定理，只肯定了有ξ存在，而未指出如何确定该点。
2．学习罗必塔法则应注意问题： ①罗必塔法则仅仅用于00型和∞∞型未定式； ②如果()()x g x f ''lim 不存在（不包括∞），不能断言()()x g x f lim 不存在，只能说明罗必塔法则在此失效，应采用其它方法求极限； ③∞⋅0，∞-∞，00，∞1，0∞也叫未定型，必须转化为00型或∞∞型之后，方可用罗必塔法则求极限；思路“：∞⋅0型转化为∞⋅∞1或010⋅型； ∞-∞可通分转化为00型或∞∞型；00型转化为0ln 00ln 0⋅=e e ，其中指数是∞⋅0型； ∞1型转化为1ln 1ln ⋅∞=∞e e ，其中数是0⋅∞； 0∞型转化为∞∞=ln 0ln 0e e ，其中指数是∞⋅0型。
④罗必塔法则求极限与其它方法求极限在同一题中可交替使用； ⑤有时要连续用几次洛必塔法则，每一次都要验证是否是00型或∞∞型。
微分中值定理与导数应用
F( x) 单调增．再由 F(0) 0 即知，x 0时 F( x) 0 ， 从而 F ( x) 单调减； x 0时， F ( x) 单调增． F(0) 0 是
F ( x) 的最小值． F( x) 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 5 设 lim f ( x) 1，且 f ( x) 0 ．试证： f ( x) x ． x0 x
4 (b a)2
|{ f (b) [ f (b)
f (b)( a b 2
b)
1 2
f
(1
)(
a
2
b
b)2 ]}
{ f (a) [ f (a)
f (a)( a b 2
a)
1 2
f
(
2
)(
a
2
b
a)2 ]} |
4 (b a)2
|
1 2
{
f
(1
)
f
(
2
)}(
b
2
a
)2
0 ，根据极限的保号性即知,
在 x a 的右邻近，有 f ( x) f (a) 0 ，故有 f ( x) f (a) . xa
f (a) 不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值． 同理，由 f(b)
0 可知， f (b) 也不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值．
F ( x) F( x) F(0) F( x)x (其中 (0,1) )
{F( x) F(0)}x {F(1 x) x}x (其中1 (0,1) ) F (1 x) x2 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 6 设 f ( x) 在[a,b] 上存在， f (a) f (b) 0 ．试证：
F ( x) 的最小值． F( x) 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 5 设 lim f ( x) 1，且 f ( x) 0 ．试证： f ( x) x ． x0 x
4 (b a)2
|{ f (b) [ f (b)
f (b)( a b 2
b)
1 2
f
(1
)(
a
2
b
b)2 ]}
{ f (a) [ f (a)
f (a)( a b 2
a)
1 2
f
(
2
)(
a
2
b
a)2 ]} |
4 (b a)2
|
1 2
{
f
(1
)
f
(
2
)}(
b
2
a
)2
0 ，根据极限的保号性即知,
在 x a 的右邻近，有 f ( x) f (a) 0 ，故有 f ( x) f (a) . xa
f (a) 不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值． 同理，由 f(b)
0 可知， f (b) 也不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值．
F ( x) F( x) F(0) F( x)x (其中 (0,1) )
{F( x) F(0)}x {F(1 x) x}x (其中1 (0,1) ) F (1 x) x2 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 6 设 f ( x) 在[a,b] 上存在， f (a) f (b) 0 ．试证：
第三章中值定理与导数的应用
lim
x
正确做法：
x sin x sin x lim lim(1 ) 1 x x x x
三、其它不定型 0 1 0
0 0
例8： lim x ln x
n x 0
( x 0)
0 型
1 ln x n x 解： lim ln x lim lim x x 0 x 0 1 x 0 n x xn lim 0 x 0 n
几何意义：在 (a, b)内存在平行于 x轴的切线
y
a
f ( x)
o
a
x
b
注：三个条件缺一个时，定理不一定成立
x 0 x 1 例：f ( x) x 1 0
在(0,1)可导，在x 1处不连续
y
f (0) 0 f (1)
f ' ( x) 1 0 x (0,1)
例 10：求 lim (sin x)
x 0
x
0型
解：y (sin x)
x
ln y x ln(sin x)
ln sin x lim ln y lim x ln sin x lim x 0 x 0 x 0 1 x cos x
x sin x lim lim ( ) x cos x 0 x 0 1 x0 sin x 2 x
例1：验证罗尔定理对函数y ln sin x在区间
5 [ , 的正确性 6 6 ] 5 解： y ln sin x在[ , ]上连续 6 6
y ln sin x在(
5
6 , 6
)上可导
1 5 且f ( ) ln f ( ) 6 2 6
中值定理及导数应用笔记
中值定理及导数应用笔记中值定理是数学中的一个重要定理，它是求函数在某一区间内的最大值或最小值的一种方法。
中值定理：设f(x)在[a, b]内可导，且f’(x)在(a,b)内存在，则存在c∈(a, b)，使得f’(c)=0。
中值定理的应用：1.求函数在某一区间内的极值：由中值定理可知，如果函数f(x)在[a, b]内可导，且f’(x)在(a, b)内存在，则存在c∈(a,b)使得f’(c)=0。
因此，我们可以通过求解f’(x)=0的方程来求出函数在[a, b]内的极值。
2.求函数的泰勒公式：利用中值定理可以得出泰勒公式，即对于函数f(x)在x0处的泰勒展开式：f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+O((x-x0)^2)。
导数是数学中的一个概念，它表示函数在某一点处的斜率。
导数的应用：1.求函数的单调性：如果函数f(x)在点x处的导数大于0，则函数在点x处单调递增；如果函数f(x)在点x处的导数小于0，则函数在点x处单调递减。
2.求函数的极值：如果函数f(x)在点x处的导数等于0，则函数可能在点x处取得极值。
通过对函数的二阶导数进行分析，可以判断函数在点x处的极值是最大值还是最小值。
1.求函数在某一点的切线：切线是函数在某一点的切线的图像。
切线的斜率等于函数在这个点的导数。
因此，我们可以通过求解函数在某一点的导数来求出函数在这个点的切线。
2.求函数在某一区间内的最小值和最大值：当函数在某一区间内单调递增或单调递减时，可以通过求解函数在区间端点处的导数来求出函数在该区间内的最小值和最大值。
以上是中值定理和导数的应用笔记。
通过对中值定理和导数的学习，可以帮助我们更好地理解函数的性质，并运用到数学和其他领域中。
需要注意的是，中值定理和导数的应用是有一定条件的，在使用这些工具时要注意满足这些条件。
此外，中值定理和导数是高等数学中的基础概念，在深入学习数学和其他科学领域之前，要先扎实地掌握这些概念。
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15
定理 2 (第一充分条件，极值第一判别法)
设函数 f ( x ) 在 x0 的某邻域内连续 ,且在去心邻域 内有导数, 当 x由小到大通过 x0 时 ,
(1) f ( x ) ―左正右负” ,则 f ( x ) 在 x0 取极大值 . (2) f ( x ) ―左负右正” , 则 f ( x ) 在 x0 取极小值 ; y
结论仍然成立. (2)单调区间应首先为连续区间. (3)求 f ( x )单调区间(判断单调性)的步骤: ①求 f ( x )的连续区间， 化为积商， ②求 f ( x )，
③求导数等于零的点和不可导点， ④用以上的点分割定义区间，列表判断.
13
2.利用导数求函数的极值. 内有定义， 定义: 设 (1) f ( x ) f ( x0 ), 则称 x0为 的极大点 , 称 f ( x0 ) 为函数的极大值 ; (2) f ( x ) f ( x0 ), 则称 x 0为 的极小点 , 称 f ( x0 )为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 . 问：极值点是连续点吗？ 注意： y . ①极值与最值的区别： 最值： 是对整个区间而言， 是整体的、 绝对的、 。 唯一的. 极值： 是对某个点的邻域而言、 是局部的、相对的、 o x0 极大值不一定都大于极小值. x 可以不是唯一的. ②最值可在区间端点处取得,而极值只能在区间的内点处取得.
12
1.利用导数的符号判断函数的单调性，求单调区间.
在 I 上单调递增 定理: 定理：设函数f ( x )在[a , b]上连续，在 (a , b)内可导 . （1） 如果在(a , b)内f ( x ) 0，则y 在 x )在[a , b]上单调增加； f ( I 上单调递减 说明： (2) 如果在 (a , b)内 f ( x ) 0，则y f ( x )在[a , b] 上单调减少. (1)定理中的区间换成其它有限或无限区间，
(2) 若恒有
o
y
x1
x1 x2 2
x2 x
则称f ( x )的图形是凸的；
说明：曲线：凹（凸）弧
o
I ：凹凸区间.
x1
x1 x2 2
x2 x
凸弧: 切线上的纵坐标 凸函数的函数值 弦上的纵坐标.
19
2)凹凸性的判定定理： +
f ( x ) ( , x a b]上连续，在 ( ) , b I 上向上凹 定理：设f 0x )在[I , 曲线 y f ( xa在)内具有一阶和二阶导数 . – f如果在( , b)内 ( 曲线 y 在 a 上向上凸 （1）( x ) 0a ,x If x ) 0，则f ( x )在[I , b]上的图形是凹的；
x 2) 在 x0 点连续但不可导，0也可能是极值点.
y o
y 如： x , x 0 连续不可导， 却是极小值点.
也不是极值点. 如:y x , 在 x 0 处连续不可导，
1 3
x
3)极值点的可疑点：在定义域内部的）驻点,不可导点. （ ｛驻点，不可导点｝ 即：｛极值点｝ 问：如何能快速的说明一个函数没有极值？
2
x2 1 1 lim lim . 2 x 0 cos x ( 3 x ) x 0 9 cos x 9
7
3)对数列极限的未定式,若想用洛必达法则,应先用以下定理:
x
lim f ( x ) A(或 ) lim f ( n) lim f ( x )
n x
1 [ ] 2
ln(1 x ) e x 1 1 练习： 年数1,10分) 求极限 lim[ (11 ] . [ ] x 0 x e
1
11
三、导数应用---研究曲线的性态
1. 研究函数的性态: 单调性 ,极值 , 凹凸性 , 拐点 , 渐近线 , 曲率. 2. 解决最值问题
• 目标函数的建立与简化， • 最值的判别问题. 3. 其他应用 : 几何应用 ; 证明不等式 ; 研究方程实根等.
4)想用洛必达法则之前应先
0 (1)检查极限的类型是否为 型、 型 0
(2)结合以前的方法化简函数，如等价无穷小代换、四 则法则、变量代换等. 注意： 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求 极限方法结合使用，效果更好. 常用的有等价无穷小代换、 重要极限、变量代换，极限的运算法则等.
1 e 2 x e x e x 1. lim x x lim 事实上： 2 x x 1 e x e e
有时会越用越复杂，这时不必用罗比达法则.
2 se c x 1 tan x lim 如： lim 2 x 0 cos x sin 3 x x 0 cos x sin2 3 x
x cos x 1 sin x (C ) lim lim 不存在 x x x 1
x 1 ( D ) lim lim lim x 0 x 0 ln x x 0 1 x0 x
10
1 2sin x x 1 练习： 年数3,10分) 求极限 lim (11 . x 0 x ln(1 x )
9
练习：下列各式正确运用洛必达法则求极限的是（
B ）
1 1 2 ln n 2 (ln n) n lim 2 ln n 2 lim n 0 ( A) lim lim n n n n 1 n 1 n
x sin x 1 cos x ( B ) lim lim x 0 x sin x x 0 1 cos x
注意3:拐点的横坐标是连续区间内的点,不可能是区间的端 点. f 注意4:拐点的横坐标的可疑点： ( x) 0, f ( x)不存在的点.
20
(2)求拐点方法: 方法1: 设函数 f ( x )在 x0 的邻域内二阶可导， f ( x0 ) 0 ， 且 或在 x0 处二阶不可导. 则点 若 f (x ) 在 x 0 的两侧异号， ( x0 , f ( x0 ) )为拐点.
f (a ), f (b)
f (a ), f (b)
★特别: •求
•当
• 如果在区间 I 内可导且只有一个极值点,则这个极 大(小)值就是最大(小)值.
18
4.利用导数的符号判断函数的凹凸性，求拐点. 1)定义： 设函数f ( x )在区间I 上连续，
y
(1) 若恒有
则称f ( x )的图形是凹的；
sin x lim (1 ) 1 x x
2)对有些极限失效
f ( x ) ( )不存在时失效. 对数列极限失效. 对 lim g ( x )
6
有时出现循环，这时罗比达法则失效.
e x e x e x e x e x e x 如： lim x lim x x lim x x x x e e x e e x e e
第三章 中值定理及导数的应用
一、微分中值定理及其应用 二、洛比达法则及其应用 三、导数应用---研究曲线的性态
1
二、洛比达法则及其应用
定理 1.
f ( x ) 存在 (或为 ) 3) lim x a F ( x ) f ( x) f ( x ) lim lim (洛必达法则) x a F ( x ) x a F ( x ) x , x a , 推论1. 定理 1 中 x a 换为
f ( x) f ( x ) lim lim xa F ( x ) x a F ( x )
(洛必达法则)
说明: 定理中 x a换为
xa , x ,
xa ,
x ,
x
3
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
洛必达法则适用于：
0 ,1 , 型
例2. 计算 lim x
x 1 x
0
1 ln x x
lim n n 1
解: l i m x
x
1 x
lim e
x
e
ln x lim x x
e
1 x x lim
e 1.
0
5
注意： 洛必达法则的使用条件. 1)条件充分但不必要. f ( x) f ( x ) f ( x ) lim . 若 lim 不存在 ( )时 , lim F ( x) F ( x ) F ( x ) x sin x 1 cos x 例如, lim lim x x 1 x 极限不存在也不 是无穷大
0 0
令y f
g
型
f g
1 g 1 g
1 f 1 f
ye 0 型 0 0 型 型 f g f 1 g
g ln f
4
sin x x cos x 例1. 计算 lim x 0 sin 3 x
sin x x cos x , 解: 原式 lim 用罗比达法则 3 x 0 x cos x cos x x sin x (sin x x cos x ) lim = lim 3 x0 x 0 3 x2 ( x ) x2 1 lim 2 . x 0 3 x 3
8
例3. 求 lim n ( n n 1).
n
0型
1 2 1 x
法1: 用洛必达法则 分析: 为用洛必达法则 , 必须改求 lim x ( x 1).
x
但对本题用此法计算很繁 ! 法2: 原式 lim n ( n 1) lim
n
n
1 2 1 n
e
注意：函数的凹凸区间应首先为它的连续区间. (2) 如果在 (a, b)内 f ( x ) 0，则f ( x )在[a , b] 上的图形是凸的. 3)曲线的拐点及其求法： (1)定义: 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注意1:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
定理 2 (第一充分条件，极值第一判别法)
设函数 f ( x ) 在 x0 的某邻域内连续 ,且在去心邻域 内有导数, 当 x由小到大通过 x0 时 ,
(1) f ( x ) ―左正右负” ,则 f ( x ) 在 x0 取极大值 . (2) f ( x ) ―左负右正” , 则 f ( x ) 在 x0 取极小值 ; y
结论仍然成立. (2)单调区间应首先为连续区间. (3)求 f ( x )单调区间(判断单调性)的步骤: ①求 f ( x )的连续区间， 化为积商， ②求 f ( x )，
③求导数等于零的点和不可导点， ④用以上的点分割定义区间，列表判断.
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2.利用导数求函数的极值. 内有定义， 定义: 设 (1) f ( x ) f ( x0 ), 则称 x0为 的极大点 , 称 f ( x0 ) 为函数的极大值 ; (2) f ( x ) f ( x0 ), 则称 x 0为 的极小点 , 称 f ( x0 )为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 . 问：极值点是连续点吗？ 注意： y . ①极值与最值的区别： 最值： 是对整个区间而言， 是整体的、 绝对的、 。 唯一的. 极值： 是对某个点的邻域而言、 是局部的、相对的、 o x0 极大值不一定都大于极小值. x 可以不是唯一的. ②最值可在区间端点处取得,而极值只能在区间的内点处取得.
12
1.利用导数的符号判断函数的单调性，求单调区间.
在 I 上单调递增 定理: 定理：设函数f ( x )在[a , b]上连续，在 (a , b)内可导 . （1） 如果在(a , b)内f ( x ) 0，则y 在 x )在[a , b]上单调增加； f ( I 上单调递减 说明： (2) 如果在 (a , b)内 f ( x ) 0，则y f ( x )在[a , b] 上单调减少. (1)定理中的区间换成其它有限或无限区间，
(2) 若恒有
o
y
x1
x1 x2 2
x2 x
则称f ( x )的图形是凸的；
说明：曲线：凹（凸）弧
o
I ：凹凸区间.
x1
x1 x2 2
x2 x
凸弧: 切线上的纵坐标 凸函数的函数值 弦上的纵坐标.
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2)凹凸性的判定定理： +
f ( x ) ( , x a b]上连续，在 ( ) , b I 上向上凹 定理：设f 0x )在[I , 曲线 y f ( xa在)内具有一阶和二阶导数 . – f如果在( , b)内 ( 曲线 y 在 a 上向上凸 （1）( x ) 0a ,x If x ) 0，则f ( x )在[I , b]上的图形是凹的；
x 2) 在 x0 点连续但不可导，0也可能是极值点.
y o
y 如： x , x 0 连续不可导， 却是极小值点.
也不是极值点. 如:y x , 在 x 0 处连续不可导，
1 3
x
3)极值点的可疑点：在定义域内部的）驻点,不可导点. （ ｛驻点，不可导点｝ 即：｛极值点｝ 问：如何能快速的说明一个函数没有极值？
2
x2 1 1 lim lim . 2 x 0 cos x ( 3 x ) x 0 9 cos x 9
7
3)对数列极限的未定式,若想用洛必达法则,应先用以下定理:
x
lim f ( x ) A(或 ) lim f ( n) lim f ( x )
n x
1 [ ] 2
ln(1 x ) e x 1 1 练习： 年数1,10分) 求极限 lim[ (11 ] . [ ] x 0 x e
1
11
三、导数应用---研究曲线的性态
1. 研究函数的性态: 单调性 ,极值 , 凹凸性 , 拐点 , 渐近线 , 曲率. 2. 解决最值问题
• 目标函数的建立与简化， • 最值的判别问题. 3. 其他应用 : 几何应用 ; 证明不等式 ; 研究方程实根等.
4)想用洛必达法则之前应先
0 (1)检查极限的类型是否为 型、 型 0
(2)结合以前的方法化简函数，如等价无穷小代换、四 则法则、变量代换等. 注意： 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求 极限方法结合使用，效果更好. 常用的有等价无穷小代换、 重要极限、变量代换，极限的运算法则等.
1 e 2 x e x e x 1. lim x x lim 事实上： 2 x x 1 e x e e
有时会越用越复杂，这时不必用罗比达法则.
2 se c x 1 tan x lim 如： lim 2 x 0 cos x sin 3 x x 0 cos x sin2 3 x
x cos x 1 sin x (C ) lim lim 不存在 x x x 1
x 1 ( D ) lim lim lim x 0 x 0 ln x x 0 1 x0 x
10
1 2sin x x 1 练习： 年数3,10分) 求极限 lim (11 . x 0 x ln(1 x )
9
练习：下列各式正确运用洛必达法则求极限的是（
B ）
1 1 2 ln n 2 (ln n) n lim 2 ln n 2 lim n 0 ( A) lim lim n n n n 1 n 1 n
x sin x 1 cos x ( B ) lim lim x 0 x sin x x 0 1 cos x
注意3:拐点的横坐标是连续区间内的点,不可能是区间的端 点. f 注意4:拐点的横坐标的可疑点： ( x) 0, f ( x)不存在的点.
20
(2)求拐点方法: 方法1: 设函数 f ( x )在 x0 的邻域内二阶可导， f ( x0 ) 0 ， 且 或在 x0 处二阶不可导. 则点 若 f (x ) 在 x 0 的两侧异号， ( x0 , f ( x0 ) )为拐点.
f (a ), f (b)
f (a ), f (b)
★特别: •求
•当
• 如果在区间 I 内可导且只有一个极值点,则这个极 大(小)值就是最大(小)值.
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4.利用导数的符号判断函数的凹凸性，求拐点. 1)定义： 设函数f ( x )在区间I 上连续，
y
(1) 若恒有
则称f ( x )的图形是凹的；
sin x lim (1 ) 1 x x
2)对有些极限失效
f ( x ) ( )不存在时失效. 对数列极限失效. 对 lim g ( x )
6
有时出现循环，这时罗比达法则失效.
e x e x e x e x e x e x 如： lim x lim x x lim x x x x e e x e e x e e
第三章 中值定理及导数的应用
一、微分中值定理及其应用 二、洛比达法则及其应用 三、导数应用---研究曲线的性态
1
二、洛比达法则及其应用
定理 1.
f ( x ) 存在 (或为 ) 3) lim x a F ( x ) f ( x) f ( x ) lim lim (洛必达法则) x a F ( x ) x a F ( x ) x , x a , 推论1. 定理 1 中 x a 换为
f ( x) f ( x ) lim lim xa F ( x ) x a F ( x )
(洛必达法则)
说明: 定理中 x a换为
xa , x ,
xa ,
x ,
x
3
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
洛必达法则适用于：
0 ,1 , 型
例2. 计算 lim x
x 1 x
0
1 ln x x
lim n n 1
解: l i m x
x
1 x
lim e
x
e
ln x lim x x
e
1 x x lim
e 1.
0
5
注意： 洛必达法则的使用条件. 1)条件充分但不必要. f ( x) f ( x ) f ( x ) lim . 若 lim 不存在 ( )时 , lim F ( x) F ( x ) F ( x ) x sin x 1 cos x 例如, lim lim x x 1 x 极限不存在也不 是无穷大
0 0
令y f
g
型
f g
1 g 1 g
1 f 1 f
ye 0 型 0 0 型 型 f g f 1 g
g ln f
4
sin x x cos x 例1. 计算 lim x 0 sin 3 x
sin x x cos x , 解: 原式 lim 用罗比达法则 3 x 0 x cos x cos x x sin x (sin x x cos x ) lim = lim 3 x0 x 0 3 x2 ( x ) x2 1 lim 2 . x 0 3 x 3
8
例3. 求 lim n ( n n 1).
n
0型
1 2 1 x
法1: 用洛必达法则 分析: 为用洛必达法则 , 必须改求 lim x ( x 1).
x
但对本题用此法计算很繁 ! 法2: 原式 lim n ( n 1) lim
n
n
1 2 1 n
e
注意：函数的凹凸区间应首先为它的连续区间. (2) 如果在 (a, b)内 f ( x ) 0，则f ( x )在[a , b] 上的图形是凸的. 3)曲线的拐点及其求法： (1)定义: 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注意1:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.