专题三 数列

专题三 数列主备人：补习学校数学组 执笔人：张新华 张德华 审核人：刘吉超李方增[考情分析]1.数列在历年高考中都占有较较重要的地位,一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题,分值占整个试卷的10%左右,客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目。

2．有关数列问题的命题趋势⑴数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点。

⑵数列推理题是新出现的命题热点，以往高考常使用立体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了逻辑推理能力的考查⑶在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是对运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力的要求更为突出，一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视，因此，在平时要加强对能力的培养。

考点精要一、等差数列1．等差数列的定义数列|{a n }满足a n+1—a n =d(其中n ∈N*，d 为常数)⇔ {a n }是等差数列。

2．等差数列的通项公式若等差数列的首项为a 1，公差为d,a n =a 1+(n-1)d=a m +(n-m)d(n,m ∈N*).3.等差中项若x,A,y 成等差数列，则A=2yx +其中A 为 x,y 的等差中项。

4．等差数列的前n 项和公式若等差数列首项为a 1,公差为d,则其前n 项和Sn=2)(1n a a n +=na 1+2)1(d n n -.二、等比数列 1．等比数列的定义数列{a n }满足nn a a 1+=q(其中a n ≠0，q 是不为零的常数，（n ∈N*）⇔ {a n }为等比数列。

2．等比数列的通项公式等比数列的首项为a 1,公比为q,a n =a 1q n-1=a m q n-m（n,m ∈N*）. 3.等比中项若x,G,y 成等比数列，则G 2=xy,其中G 为x.y 的等比中项。

4．等比数列的前n 项和设等比数列的首项为a 1，公比为q,则⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n推导等比数列前n 项和公式的方法是错位相减法。

三、基本运算1．等差（比）数列，a n ,S n ,中五个量知三求二，公式的选择、数列性质的熟练应用能很大程度上减少运算量。

等差数列{a n }，则①a n =a m +(n-m)d,(m 、n n ∈N* ②若m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q .(m 、n 、p 、q ∈N*) ③S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等差数列，公差为n 2d. ④S 2n-1=(2n-1)〃an 〃2.已知a n ,S n 的等量关系，根据目标，把该关系统一到通项或和上，求通项或研究S n 的性质。

3．派生数列如a n+1=κ〃a n +b,a n+1=κa n +f(n),nn a a 1+=f(n)等，可通过待定系数法、累差法、累商法等，化归为等差（比）数列求通项。

4．求和先研究数列的通项，根据通项选择方法，化归为基本数列求和。

①若c n =a n 〃b n ,{a n }等差{b n }等比，则用错位相减法。

②若c n = a n +b n ,则用分组求和，其中分组的方法比较灵活。

③裂项相减法适用于通项形如a n =)12)(12(1+-n n 等④倒序相加法。

1.09全国14题，设差数列{an}前n项和为Sn若S9=72,则a2+a4+a9=2.07江西，已知数列{an}对任意Pq∈N*,有GP+Gq=Gp+q,若a1=91则a36=3.09辽宁已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若36SS＝3则69SS＝A.2B.37C.38D.34.09广东已知比数列{an}满足an>0且a5〃a2n-5=22n(n≥3)则当n≥3时,log2a1+log2a3+log2a5+…+ log2a2n-1=A.(n-1)2B.n2C.(n+1)2D. n(2n-1)5.(09年山东20题)等比数列{an}的前n项和为Sn,对于任意的n,∈N*点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0,且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值 (2)当b=2时,记bn=2(log2an+1), n,∈N*证明:对任意的n,∈N*,不等式11bb+*21b+……nb1+>1+n成立一. 数列内部的综合问题例1已知f(x)=10g x(a>0且a≠1)设f(a1)、f(a2)、…、f(a n) （n*N∈）是首项为4，公差为2的等差数例。

(1)设a为常数，求证(a n)成等比数例；(2)若b n=a n f(a n) {b n}的前n项和是S n,当a=2时，求S n;(3)令C n=a n lga n,问是否存在a，使得{C n}中每一项恒小于它后面的项，若存在，求出a的范围，若不存在，说明理由。

变式练习（2009年高考全国卷）在数列{a n}中，a1=,a n+1=(1+nnnan21)1++(1)设b n=;){的通项公式求数列nn bna(2)求数列{a n}的前n项和S n.二、数列与函数、方程、不等式的综合问题例2．已知函数f(x)=223++xx,(1)若数列{a n},{b n}满足a1=)1(11),(,211≥+==+nabafannnn求数列{b n} 通项公式；(2)记S n =b 1+b 2+…+b n ,若≤nS 1m 恒成立，求m 的最小值 变式练习2 已知数列{a n }的前n 项和S n =-a n -（21）n-1+2（n 为正整数）。

（1） 令b n =2n a n ,求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2) 令c n =++=+21,1c c T a n n n n …+c n ，试比较T n 与125+n n的大小，并予以证明。

三、数列与向量、解析几何的综合问题例3 过点Ｐ（1，0）作曲线C ：y=x k (x ∈(0,+∞)，k ∈N *,k>1)的切线，切点为Q 1 ,设点为Q 1,设Q 1点在x 轴上的投影是点P 1,又过点P 1作曲线C 的切线,切点为Q 2,设Q 2在x 轴上的投影是点P 2,依次下去,得到一系列点Q 1,Q 2,…,Qn,…设点Qn 的横坐标为a n .(1)求证:a n =(1-k k )n, n N ∈*(2)求证:a n ≥1+1-k n(3)求证：∑=n i i a i 1<k 2-k(注:∑=ni i a 1＝a 1+a 2+…a n )变式练习3在直角坐标平面上，点列P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2),…,p n （x n ,y n ）,…对每个正整数n,点P n 都在函数y=3x+413的图象上，且P n 的横坐标构成以-25为首项，-1为公差的等差数列{x n }. (1) 求点P n 的坐标；(2) 设抛物线列C 1，C 2，C 3，…C n ,…中的每一条的对称轴垂直于x 轴，第n 条抛物线C n 的顶点为P n ,且过点D n (0,n 2+1),记过点D n ,且与抛物线C n 相切的直线的斜率为k,求证：++322111k k k k …+10111<+n n k k四、数列中的应用问题例4某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此，历年所交纳的储备金数目a 1,a 2,…是一个公差为d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r(r>0),那么，在第n 年末，第一年所交纳的储金就变为a 1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a 2(1+r)n-2,…以T n 表示到第n 年末所累计的储备金总额， （1）写出T n 与T n-1(n ≥2)的递推关系；（2）求证：T n =A n +B n ,其中{A n }是一个等比数列{B n }是一个等差数列。

变式练习4某城市2009年末汽车拥有量为30万辆，预计此后每年将上一年末汽车拥有量的6%报废，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车拥有量不超过60万辆，从2009年末起，n 年后年末汽车拥有量为b n+1万辆，若每年末的拥有量不同。

（1）求证：{b n+1-b n }为等比数列； （2）每年新增汽车数量不应超过多少辆？优 化 练 习一、选择题 1．首项为b,公比为a 的等比数列{b n }的前n 项和为S n ,对任意的n *N ∈,点（S n ,S n+1）在（ ）A ．直线y=ax+b 上B ．直线y=bx+a 上C ．直线y= bx-a 上D ．直线 y=ax-b 上 2．已知a n =402401--n n (n *N ∈),则在数列{ a n }的前50项中，最大项与最小项分别是（ ）A ．a 1,a 50B ．a 50,a 1C ．a 21,a 20D ．a 20,a 213.设f 1(x)=等于则且201011,2)0(1)0())(()(,12a f f a x f f x f x n n n n n +-==++( )A.2008)21(B. 2009)21(-C.2010)21(D. 2011)21(-4.椭圆个不同的点上有n y x 13422=+P 1，P 2，…P n ,椭圆的右焦点为F ，且数列{|P n F|}是公差大于的最大值为则的等差数列n ,10051（ ） A ．2007 B ．2008 C ．2009 D ．20105．定义：若数列{a n }对任意 正整数n, 都有|a n+1|+a n |=d(d 为常数)，则称{a n }为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列”{a n }中，a 1=2, 绝对公和为3，则其前2009项的和S 2009的最小值为（ ） A ．-2009 B ．-3010 C ．-3014 D ．3028 二、填空题6．函数y=2)2(1+-x 图象上至少存在不同的三点到原点的距离构成等比数例，则公比的取值范围是7．对于正整数n ，设曲线y=x n (1-x)在x=2处的切线斜率为--a ，则数列{a n }的前n项和S n = 8．设{a n }是公比为q 的等比数例，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1,a 99a 100—1>0,01110099<--a a .给出下列结论:①0<q<1;②T 198<1;③a 99a 101<1;④使T n 〈1成立的最小自然数n 等于199。