微积分(刘迎东编)思维导图
微积分答案(上册)(刘迎东版)第七章答案合集
（4） y ln x ， y 轴与直线 y ln a, y ln b b a 0 解： S
ln a
e y dy b a.
2
（5） y 1 x ， y
2 x； 3
y 1 x2 , 1 10 2 2 10 1 10 2 2 10 解：根据 得交点为 , , , ，所以 2 3 9 3 9 y x 3
（2） y
1 与直线 y x 及 x 2. x
2 1
解： S
1 3 x dx ln 2. x 2
（3） y e x , y e x 与直线 x 1 。 解： S
e
0
ln b
1
x
1 e x dx e 2. e
（7） y x , y x 2 , y 0 ； 解：根据
2 1 2 2 2 y x , 得交点为 1,1 ，所以 S x 2 dx x 2 dx . 2 0 1 3 y x 2
2
2
（8） y x 2 , y x, y 2 x ； 解：根据
p , p 处的法线所围成的图形的面积。 2
解： 2 yy ' 2 p ，所以点
3 p , p 处切线斜率为 1, 所以法线斜率为 1, 法线为 x y p ， 2 2
p 3 y2 16 2 9 ，所以 p, 3 p S y p p. dy 3 p 2 2p 3 2
12.求由抛物线 y 2 4ax 与过焦点的弦所围成的面积的最小值。 解：焦点为 a, 0 ，过此点的直线为 y k x a ，不妨取 k 0, 。由
考研高等数学知识点整理(附思维导图)
考研高等数学知识点整理（附思维导图）被考研高数折磨过的小伙伴一定都知道那种痛苦：泰勒展开、麦克劳林展开、夹逼定理、定积分不定积分、微分多元微分......作为成功登陆的一员，我觉得有义务帮对岸的朋友考研一把。
下面这张考研高数知识图我之前用过，希望能给你带来好运。
我不多说了。
一、函数先明确一些基本概念，比如函数的定义，函数的性质，什么是复合函数，反函数，隐函数。
理解概念很重要！理解概念很重要！理解概念很重要！重要的事情说三遍~很多问题我们不会做。
其实不是我们解决问题的能力不好，而是我们连基本概念都没搞清楚，自然无从下手，或者说解决问题的方向是偏了！这是我十几年应试的血泪教训！熟悉基本初等函数，包括幂函数、指数函数、对称函数、三角函数、反三角函数，要把公式和参数适用范围记住；常用的函数有绝对值函数、符号函数、整数函数、狄利克雷函数、极大值函数、可变积分上限函数(我认为是最变态的)和双曲函数。
二、极限同样的，先厘清极限的定义了解数列极限的基本性质：极限的唯一性，收敛数列的有界性和保号性，收敛数列与子数列间的关系了解函数极限（区别于数列极限）的基本性质：极限的唯一性，局部有界性和局部保号性（这是和数列极限很大的不同）无穷小量和无穷大量极限的四则运算极限存在的判别方法：单调有界定律和夹迫定律（也有叫夹逼定理的，说的都是一个意思），这两个定律很常见，注意熟练使用三、函数的连续性四、导数与微分基本初等函数的导数公式都得背下来五、中值定理这部分很难(可能只是对我来说，我是个坏学生)，也是常规考试的重点。
六、函数单调性与凹凸性这部分也是重点。
七、渐近线与曲率八、不定积分和微分一样，基本积分公式也得去记九、定积分重点理解定积分的定义和性质（再次强调）然后去记重要的定理、公式和关系十、无穷级数功能扩展很烦人，但是很重要。
大家可能都看过这些表情包。
十一、常微分方程与差分方程要记公式十二、空间解析几何与向量代数理解向量运算，后面的平面方程也就很容易理解了十三、多元函数微分学条件极值经常考十四、重积分这部分主要注意一点：从里层到外层展开的过程要细心，不然展开到最后发现错了又得重新开始十五、曲线积分与曲面积分我当年没考这个，没什么发言权。
交大刘迎东微积分九习题答案
解：
（16） 其中 由 和 围成。
解：
（17） 其中 由 和 围成。
解：
（18）
解：
（19） 其中 由 围成。
解：
（20）
解：
（21） 其中 由 围成。
解：
（22）
解：
（23）
解：
（24）
解：
（25）
解：做变换 则
(26)
解：做变换 则
3.设函数 连续且恒大于零，
其中
(1)讨论 在区间 内的单调性；
解：
7.计算 ，其中 为由平面 以及抛物柱面 所围成的闭区域。
解：因为积分区域关于 平面对称，被积函数关于 是奇函数，所以
8.计算 其中 为由锥面 与平面 所围成的闭区域。
解：
9.利用球面坐标计算下列三重积分：
（1） 其中 为由球面 所围成的闭区域；
解：
(2) 其中闭区域 由不等式 所确定；
解：
10.选用适当的坐标计算下列三重积分：
解：由 得 所以
（2） ，其中 为由球面 所围成的闭区域。
解：由于 关于 面对称，被积函数关于 为奇函数，所以
（3） ，其中 为由 平面上曲线 绕 轴旋转而成的曲面与平面 所围成的闭区域。
解：旋转面方程为 。易得 在 面上的投影区域 ，所以
（4） ，其中 为 所围。
解：
(5) ，其中 为由 所围成的闭区域。
解：
（6） ，其中 为由 所围成的闭区域。
解：
(7) ，其中 为 所围成的闭区域。
解：
(8) ，其中 为 所围成的闭区域。
解：
(9) ，其中 为由 所围成的闭区域 为常数）。
解：由轮换对称性，
第一讲PPT微积分 (6)
P x2
x1
x, y1, z1
dx
Q y2
y1
x2 , y, z1
dy
R z2
z1
x2 , y2 , z
dz
3.Pdx Qdy Rdz是全微分,即存在一个三元函数u( x, y, z),
使 u P, u Q, u R, 且u x, y,z Pdx Qdy Rdz C .
设S在oxy平面上投影域D的边界曲线为l,
其方向与C的方向一致. l的参数方程为
x x(t)
x y
x(t) y( t )
, C的参数方程为
z
y y(t)
g x(t), y(t
)
,
O
始点t , 终点t .
x
S C
y
D l
~第二型曲线曲面积分~
斯托克斯公式
Pdx
P x(t),
x
y
z
x0 , y0 ,z0
4.R Q , P R , P Q y z z x y x
~第二型曲线曲面积分~
空间曲线积分与路径无关
例.证明2 x yz dx 4 y xz dy xydz是全微分,
并求其原函数.
解：设P 2x yz, Q 4 y xz, R xy
R Q , P R , P Q y z z x y x
故上式为全微分，其原函数
u( x, y, z)
x, y,z
2x
yz dx
4y
xz dy
xydz
C
0,0,0
x
y
z
0 2xdx 0 4 ydy 0 xydz C
u( x, y, z) x2 2 y2 xyz C
看完这10张初中数学思维导图,孩子成绩轻松提高20分!
数学，作为一门对于逻辑思维和思维严密性要求较强的学科，无论是在哪一个阶段的学习中都是拉分挺大的一个学科，尤其是对于初中阶段的学生来说。
数学这一门学科在学习的过程中抽象性增强、概括性提高，部分知识枯燥、较难理解。
所以很多孩子在初中的时候数学成绩还不错，后面高中，就逐渐出现知识的落后。
数学也是一门非常注重学习方法的学科，好的学习方法是提升孩子学习效率和兴趣的关键。
对于零零散散的知识点要善于总结归类，在归纳的同时进一步加深对知识点的记忆，还方面后面的复习。
最近在微信上和我交流的孩子和家长，最为关心的问题就是，希望能从我这里学到提高成绩的方法。
鉴于孩子们在数学问题上烦恼，下面就分享给大家初中数学的思维导图。
都是考试汇总常考的内容，家长们可以收藏打印，有空拿给孩子们看看，相信经过孩子们的学习与整理多积累，一定会对后面的学习有很大的帮助。
一、初中数学知识树
二、代数式
三、一次函数与反比例函数
四、二次函数与一次二次方程
五、图形认识、相交线、平行线
六、三角形
七、四边形与圆
八、图形的全等变换
九、全等三角形与相似三角形
十、统计与概率。
交大刘迎东微积分第十一章习题11.4答案
11.4 函数展开成幂级数 习题11.41. 求函数()co s f x x =的泰勒级数，并验证它在整个数轴上收敛于此函数。
解：因为()()co s co s 2n n x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()()00000co s 2co s co s co s 2!nn x fx x x x x x x x n ππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=++-++-+ ⎪⎝⎭ 。
又因为()()()1co s 01!n n R x x x n ξ+=-→+，所以在整个数轴上()()()00000co s 2co s co s co s 2!nn x fx x x x x x x x n ππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==++-++-+ ⎪⎝⎭ 。
2. 将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间： （1）;2xxe esh x --=解：()()()21!!,,.2221!nn x xn n n n x xe exn n sh x x n ∞∞-+∞===---===∈-∞+∞+∑∑∑（2）()()ln 0;a x a +>解：()()(]111ln ln ln 1ln ,,.n nnn x a x a a x x a a a n a-∞=-⎛⎫+=++=+∈- ⎪⎝⎭∑（3）2sin ;x 解：()()()21221co s 212sin 1,,.222!n nnn xxx x n -∞=-==--∈-∞+∞∑（4）()()1ln 1;x x ++解：()()()()()()(]112111ln 11,1,1.1n nnnn n x x x x x x x nn n -∞∞==--++=+=+∈--∑∑（5()()()()()()[]2211121!!21!!111,1,1.2!!2!!n nn nn nn nx x x x xn n∞∞+==⎛⎫--=+-=+-∈-⎪⎪⎝⎭∑∑3.将下列函数展开成()1x-的幂级数，并求展开式成立的区间：（1解：()()()()()()()()[]3222333113222111112!1325!!3111,0,2.22!nnnnnnnx x xnnx x xn∞=∞=⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-=+-+---=+-+-∈∑∑（3）lg x；解：()()()()(]11ln111lg1,0,2.ln10ln10nnnxx x xn-∞=+--==-∈∑4.将函数()co sf x x=展开成3xπ⎛⎫+⎪⎝⎭的幂级数。
交大刘迎东微积分习题答案
交⼤刘迎东微积分习题答案8.6 多元函数微分学的⼏何应⽤习题8.61. 求曲线sin ,1cos ,4sin 2t x t t y t z =-=-=在02t π=相应的点处的切线及法平⾯⽅程。
解：点为1,1,2π?-，切向量为{21cos ,sin ,2cos .2t t t t π=??-=所以切线为112x y π??--=-=法平⾯⽅程为1102x y z π??--+-+-=，即4.2x y π+=+2. 求曲线21,,1t tx y z t t t+===+在对应于01t =的点处的切线及法平⾯⽅程。
解：点为1,2,12?? ???，切向量为()22 1111,,2,1,2.41t t t t =-=-+????所以切线为1212.1124--==-法平⾯⽅程为()()11221042x y z ??---+-= ，即2816 1.x y z -+=3. 求曲线222,y mx z m x ==-在点()000,,x y z 处的切线及法平⾯⽅程。
解：22,2,ydy mdx zdz dx =??=-?，在点()000,,x y z 处，0022,2,y dy mdx z dz dx =??=-?所以切向量为0 011,,.2m y z ??-所以切线为00000.112x x y y z z m y z ---==-法平⾯⽅程为()()()00000102m x x y y z z y z -+---=。
4. 求曲线22230,23540x y z x x y z ?++-=?-+-=?在点()1,1,1处的切线及法平⾯⽅程。
解：22230,2350,xdx ydy zdz dx dx dy dz ++-=??-+=?，在点()1,1,1处，22230,2350,dx dy dz dx dx dy dz ++-=??-+=?所以切向量为{}16,9,1.-所以切线为111.1691x y z ---==-法平⾯⽅程为()()()1619110x y z -+---=。
高中数学知识点思维导图--21张图梳理高中数学知识结构
高中数学知识点思维导图
----21张图理清高中数学知识结构
目录
一、集合与简易逻辑 (1)
二、函数与基本初等函数 (2)
三、导数及其应用 (3)
四、三角函数 (4)
五、解三角形与平面向量 (5)
六、数列 (6)
七、不等式 (7)
八、三视图与空间位置关系 (8)
九、立体几何 (9)
十、空间向量与立体几何 (10)
十一、直线的方程 (11)
十二、圆的方程 (12)
十三、直线系、圆系、直线与圆锥曲线关系 (13)
十四、圆锥曲线 (14)
十五、椭圆的定义与几何性质 (15)
十六、双曲线的定义与几何性质 (16)
十七、抛物线的定义与几何性质 (17)
十八、计数原理、二项式定理、推理与证明 (18)
十九、概率与统计 (20)
二十、复数 (21)
二十一、算法 (22)
一、集合与简易逻辑
二、函数与基本初等函数
三、导数及其应用
四、三角函数
五、解三角形与平面向量
六、数列
七、不等式
八、三视图与空间位置关系
九、立体几何
十、空间向量与立体几何
十一、直线的方程
十二、圆的方程
十三、直线系、圆系、直线与圆锥曲线关系
十四、圆锥曲线
十五、椭圆的定义与几何性质
十八、计数原理、二项式定理、推理与证明
十九、概率与统计
二十、复数
二十一、算法。