【理数】上海市建平中学2009—2010学年度高三第一学期一月月考

第11题图A 上海市建平中学2009—2010学年度高三第一学期一月月考数学试题（理科）（ 2010年1月7日 15：00 — 17：00 ）一、填空题（本大题满分56分） 本大题共有14题，将结果直接填写在答题纸相应的空格内1．已知集合{}{}|(3)0,|2P x x x Q x x =-<=<，则P Q = ．2．行列式230367145-的第2行第3列元素的余子式23M 的值为．3．函数()f x =的定义域是 ．4．若122,34z a i z i =+=+，且12z z 为纯虚数，则实数a 为 ． 5．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_______. 6．函数1()2x f x b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的反函数的图像过点(3,1)-，则b = ． 7．若函数cos 2y x =与sin()y x ϕ=+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性相同，则ϕ的一个值 为 ．8．若()322,*n n x x ax bx cx d n N +=+++++∈，且:10c d =，则:a b 的值为 ．9．有2本不同的数学书和3本不同的英语书分给五位同学，每人一本，则甲、乙两位同学恰有一位分到数学书的概率 ．10．正项无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim1n n n S S →∞+=，则其公比q 的取值范围是____________． 11．如图，半圆直径AB 为6，点C 为半圆弧上任意一点，图中阴影部分绕直线AB 旋转一周所得旋转体的体积的最小值是 ．12．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动。

若OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是 ．13．观察如图类似杨辉三角的数表，则此表最后一个数是 ．14．设01b a <<+，若关于x 的不等式22()()x b ax ->的解集中的整数恰有3个，则a 的取值范围是________________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，在答题纸上将代表正确答案的小方格涂黑15．已知直线l 、m 、n 及平面α，下列命题中的假命题是（ ）A ．若//,//l m m n ，则//l nB ．若,//l n αα⊥，则l n ⊥C ．若,//l m n m ⊥，则l n ⊥D ．若//,//l n αα，则//l n16．设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝618.0215≈-，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形.黄金矩形常应用于工艺品设计中.下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（ ） A . 甲批次的总体平均数与标准值更接近B . 乙批次的总体平均数与标准值更接近C . 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D . 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定17．如图，在半径为3的球面上有C B A 、、三点，ABC ∠=90°，BC BA =球心O 到平面ABC 的距离是223，则C B 、两点的球面距离是（ ） A . 3π B . π C . π34 D .2π 18．定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差．已知向量列{}n a 是以()11,3a =为首项，公差()1,0d =的等差向量列．若向量n a 与非零向量()1( , ) *n n n b x x n N +=∈ 垂直，则101x x =（ ） A ．44800729 B ．4480243 C ． 44800729- D ．4480243-三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤19．（本小题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）若tan tan 16αβ=，求证：a //b .第20题图P D CB A 20．（本小题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分，如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，2AD =，2PA =，PD =60PAB =∠．（1）求三棱锥P ABD -的体积；（2）求二面角P BD A --的大小．21．（本小题满分16分）理科第1小题满分7分，第2小题满分9分， 两城市A 和B 相距20km ，现计划在两城市外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（2）判断弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由.已知12,x x 是关于x 的方程：20x k x t -+=（,k t R ∈）的两个根，且120,0x x >>，记()121211()()f t x x x x =--． （1）求出k 与t 之间的关系；（2）若()f t 在其定义域内是单调函数，试求k 的取值范围；（3）解不等式：()4f t ≤．已知数列{}()*n a n N ∈的前n 项和为n S .（1）当数列{}n a 是各项为正数且公差为d的等差数列时，求数列是等差数列的充要条件； （2）若n S 满足()()21212141n n n S n S n +-=++-，是否存在1a ，使数列{}n a 为等差数列？若存在，求出1a 的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列{}n a 均以1为首项的等差数列．令12nn n n b a a +=⋅，试构造一个函数()f x ，使得对于任意正整数n ，有()()()()12311234n n T b f b f b f b f n =++++<，且对于任意的1( 0, )4m ∈，均存在0*n N ∈，使得0n n ≥时，n T m >．参考答案一、填空题（本大题满分56分） 本大题共有14题，将结果直接填写在答题纸相应的空格内1．()0,2； 2．11； 3．(]0,2； 4．83-； 5．127； 6．1； 7．2π等； 8．3； 9．35； 10．(]0,1； 11．18π；12．2； 13．981012⨯； 14．()1,3； 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，在答题纸上将代表正确答案的小方格涂黑15．D ； 16．A ； 17．B ； 18．D ；三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤19．解：（1）∵a ⊥()2b c -，∴()20a b c ⋅-=∴()()4cos sin 2cos sin 4cos 8cos 0αββαββ-++=∴tan()2αβ+=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分(2) tan tan 16αβ=⇔16cos cos sin sin αβαβ=即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=⇔a //b ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈14分20．解：（1）∵2AD =，2PA =，PD =∴90PAD ∠=，∴AD PA ⊥，∴AD PAB ⊥平面∴1123sin 60232P ABD D ABP V V --⎛⎫==⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭7分 （2）解：过点P 作PH AB ⊥于H ，过点H 作HE BD ⊥于E ，连结PE ．因为AD ⊥平面PAB ，PH ⊂平面PAB ，所以AD PH ⊥．又A D A B A =，因而PH ⊥平面ABCD ，所以PH BD ⊥，HE BD ⊥，由此得BD PHE ⊥平面，故PE BD ⊥．从而PEH ∠是二面角P BD A --的平面角．┈┈┈┈┈┈┈┈10分 由题设可得，sin 603PH PA ==cos601AH PA ==，2BH AB AH =-=，BD =13ADHE BH BD ==． 于是在Rt PHE △中，tanPH PEH HE == 所以二面角P BD A --的大小为arctan ．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈14分 21．解：（1）由题意得224400k y x x =+-，又∵当x =0.065y =，∴9k = ∴()()22490,20400y x x x =+∈-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分 （2）22242495(320)400400x y x x x x+=+=--+，令()2320320,720t x =+∈， 则5123040016()1040y t t=≥-++，当且仅当480t x ==即时，等号成立. ┈14分 ∴弧AB 上存在一点，该点到城A 的距离为时，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小为0.0625. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈16分22．解：（1）由题意得221212400040k t k x x k t x x t ⎧-≥⎪+=>⇒<≤⎨⎪⋅=>⎩ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 （2）()f t 的定义域为2|0,04k t t k ⎧⎫<≤>⎨⎬⎩⎭，()121211()()f t x x x x =--=2(1)2k t t -++ 当函数()f t 在定义域上单调递增时，1k ≥；当函数()f t在定义域上单调递减时，0k <≤∴当()f t 在其定义域内是单调函数时，k的取值范围为[)0,1,⋃+∞．┈┈10分 （3）∵212124000k t x x k x x t ⎧-≥⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩∴()121211()()f t x x x x =--=2(1)24k t t -++≤ ∴[][]2221(1)(1)0t t k t k t k -+-=---+≤11k t k ⇒-≤≤+，又20,04k t k <≤>，┈12分 ①当02k <<-+t ∈∅；┈13分②②当21k -+≤<时，214k k t -≤≤┈14分③当12k ≤<+204k t <≤；┈15分④当2k ≥+01t k <≤+┈┈16分 23．解：（1）数列是等差数列的充要条件是：120d a =>┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 （2）∵()()21212141n n n S n S n +-=++-，∴1 1 (*)2121n n S S n N n n +-=∈+- ∴21n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以11S a =为首项，1为公比的等差数列， ∴2111(1)(21)2(23)(1)n S a n n n a n a =+--=+-+-， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分当1n =时，11S a =， 当2n ≥时，11425n n n a S S n a -=-=+-，∵数列{}n a 为等差数列，∴21114341a a a a -=⇒+=⇒=．∴存在11a =，使数列{}n a 为等差数列．. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分（无过程得8分）（3）21n a n =-，∴1122112(21)(21)2121n n n n n n b a a n n n n -+⎛⎫===- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭┈12分 构造①：令22(21)(21)()2x x x f x +-+=，则21()2n n b f n +=，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈14分 211(1)11111182(1)1816242412n n n n T +-=+++==-<- 若n T m >，∵140m ->，则12log (14)n m >-，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈17分∴令012log (14)1n m ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，使得0n n ≥时，n T m >．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈18分 11111111111111()()()(1)4133521214214n T n n n ⎡⎤=-+-++-=-<⎢⎥-++⎣⎦ 若n T m >，∵140m ->，则214m n m>-， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈17分 ∴令02114m n m ⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦，使得0n n ≥时，n T m >．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈18分。