广东省佛山市2017～2018学年普通高中高一教学质量检测数学试卷及答案

2017～2018学年佛山市普通高中高一教学质量检测数 学本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}A =-和2{|}B x x x ==关系的韦恩（Venn ）图是（ ）1．答案：B解析：2{|}{0,1},B x x x B A ⊂≠===∴．2．下列函数既是奇函数，又是在区间(1,)+∞上是增函数的是（ ） A ．xxy e e -=- B．y =C ．sin y x = D ．ln ||y x =2．答案：A解析：选项A ，设()xxf x e e -=-，则其定义域为R ，关于原点对称，且()()xx f x ee f x --=-=-，所以()f x 为奇函数，因为x y e =是增函数，xy e -=是减函数，所以x xy e e -=-是增函数，符合题意；选项B，y =[0,)+∞，不关于原点对称，所以y =选项C ，sin y x =是奇函数，但在区间(1,)+∞上，有增区间也有减区间，不符合题意； 选项D ，ln ||y x =是偶函数．3．已知(1,0),(1,1)a b ==，且()a b a λ+⊥，则λ=（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．1-3．答案：D解析：(1,0)(1,1)(1,)a b λλλλ+=+=+，因为()a b a λ+⊥，所以()(1,)(1,0)10a b a λλλλ+⋅=+⋅=+=，解得1λ=-．2018年1月4．已知tan α=2παπ<<，则sin cos αα-=（ ）A ．2B ．12- C ．2- D ．12- 4．答案：A解析：因为tan α=2παπ<<，所以23πα=，所以1sin 22αα==-，所以sin cos 2αα-=． 5．函数2ln y x x =+的图象大致为（ ）5．答案：A解析：设2()ln f x x x =+，定义域为{|0}x x ≠，22()()ln ln ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称．且当0x >时，2()ln f x x x =+为单调递增函数．6．已知(cos15,sin15),(cos75,sin 75)OA OB =︒︒=︒︒，则AB =（ ）A ．2B CD ．16．答案：D解析：1OA OB ==，且60AOB ∠=︒，所以ABC △为正三角形，故1AB =．7．已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，则使得1(2)()2xf f >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞7．答案：C解析：11(2)()()22xf f f >-=，且()f x 在[0,)+∞单调递减，所以1122,12xx -<=∴<-． 8．如图所示，ABC △是顶角为120︒的等腰三角形，且1AB =，则AB BC ⋅=（ ）A．BC ．32-D ．328．答案：C解析：()2213cos120122AB BC AB AC ABAB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=⋅︒-=--=- 9．已知,αβ为锐角，且tan 7,sin()10ααβ=-=，则cos 2β=（ ） A ．35B ．35-C D9．答案：B解析：因为,αβ为锐角，所以,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，因为sin()10αβ-=，所以cos()10αβ-=1tan()3αβ-=，()17tan tan()3tan tan 271tan tan()13ααββααβααβ---=--===⎡⎤⎣⎦+-+， 所以22222222cos sin 1tan 143cos 2cos sin cos sin 1tan 145βββββββββ---=-====-+++． 10．若01a b <<<，则错误的是（ ） A ．32a b < B ．23a b<C ．23log log a b <D ．log 2log 3a b <10．答案：D解析：选项A ，因为01a b <<<，所以3222,a a a b <<，所以32a b <．选项B ，22,23a b b b<<，所以23a b<．选项C ，22log log a b <，因为lg 0b <，lg3lg 20>>，所以23lg lg log log lg 2lg 3b bb b =<=， 故23log log a b <．选项D ，由选项C 可知，23log log 0a b <<，所以2311log log a b>，即log 2log 3a b >，故选项D 错误．11．将函数()2sin 2f x x x =-的图象向右平移θ个单位后得到的图象关于直线6x π=对称，则θ的最小正值为（ ）A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 11．答案：C解析：1()2sin 222sin 22cos 2cos sin 2sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向右平移θ个单位后，得2cos 2()2cos 2266y x x ππθθ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，该函数关于直线6x π=对称，所以当6x π=时，222,62x k k Z ππθθπ++=+=∈，所以,24k k Z ππθ=-∈，故当1k =时，θ取得最小正值4π． 12．如图，直线AB 与单位圆相切于点O ，射线OP 从OA 出发，绕着点O 逆时针旋转，在旋转的过程中，记(0)AOP x x π∠=<<，OP 所经过的在单位圆O 内区域（阴影部分）的面积为S ，记()S f x =，则下列判断正确的是（ ）A ．当34x π=时，3142S π=- B ．对任意12,(0,)x x π∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-C ．对任意(0,)2x π∈，都有()()22f x f x πππ-++= D ．对任意(0,)2x π∈，都有()()22f x f x ππ+=+ 12．答案：C解析：选项A ，由图1可知，当34x π=时，3142S π=+； 选项B ，当(0,)x π∈时，随着x 的增加，()f x 也在增加，即函数()f x 为增函数，所以1212()()0f x f x x x ->-；选项C ，如图2，由对称性可知，()()22f x f x πππ-++=； 选项D ，如图3，当(0,)2x π∈时，()()2f x f x π+-的值为如图所示的半圆面积与直角三角形面积之和，所以()()22f x f x ππ+->．'PABP'x图1图2图3二、填空题:本大共4小题,每小题5分,满分20分．13．计算：2log32+=．13．答案：4解析：2log3233lg10314+=+=+=+=．14．在平行四边形ABCD中，E为AB上的中点，若DE与对角线AC相交于F，且AC AFλ=，则λ=．14．答案：3解析：连接BD，与AC交于点O，则F为ABD△的重心，所以23AF AO=，而12AO AC=，所以3AC AF=，即3AC AF=，所以3λ=．ABCDOFE15．已知函数()f x同时满足以下条件：①定义域为R；②值域为[0,1]；③()()0f x f x--=．试写出一个函数解析式()f x=．15．答案：()sinf x x=或()cosf x x=或cos1()2xf x+=或2,11,()0,11x xf xx x⎧-=⎨><-⎩或≤≤（不唯一）16．已知函数()sin(2)3f x xπ=+，x∈R，那么函数()y f x=的图象与函数lgy x=的图象的交点共有个．16．答案：8解析：作出两函数的图象，由图可知，两函数一共有8个交点．lg y x=sin y x=三、解答题:本大题共6小题,满分70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知cos 2πααπ=<<． （1）求sin2α的值； （2）求3cos()cos()42ππαα+⋅-的值．17．解析：（1）由题意得，sin α==，…………………………1分所以4sin 22sin cos 2555ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭．…………………………4分（2）因为cos()(cos sin )4225510πααα⎛+=-=--=- ⎝⎭，…………6分3cos cos sin 225ππααα⎛⎫⎛⎫-=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………………8分所以3cos()cos()425ππαα⎛⎛+⋅-=⨯= ⎝⎭⎝⎭．…………………………10分 18．(本小题满分12分)已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示． （1）求函数的解析式；（2）当[2,3]x ∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．18．解析：（1）由图可知，511244T =-=，则2T =，所以2Tπωπ==，…………………2分 当14x =时，32,,2,44x k k Z k k Z ππωϕϕππϕπ+=+=+∈∴=+∈，又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，………………………………………………………………5分 故3sin 4y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭． ……………………………6分 （2）因为函数3()sin 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期是2T =，所以求[2,3]x ∈时函数()f x 的最大值和最小值就是转化为求函数在区间[0,1]上的最大值和最小值． …………………………………8分由图象可知，当0x =时，函数取得最大值为3(0)sin 42f π==； 当34x π=时，函数取得最小值为333sin 1444f ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故函数()f x 在[2,3]x ∈上的最大值为2，最小值为1-． …………………………12分 注：本题也可以直接求函数3()sin 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[2,3]x ∈上的最大值和最小值，也可以补全函数在[2,3]x ∈上的图象求解，说明正确即可给分． 19．(本小题满分12分)如图，已知矩形ABCD ，2AB =，AD =P 为矩形内一点，且1AP =，设BAP α∠=．（1）当3πα=时，求PC PD ⋅的值；（2）求()PC PD AP +⋅的最大值．19．解析：（1）如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ．当3πα=时，1(2P ，则331(,),(22PC PD ==-，所以23133()(022244PC PD ⋅=⨯-+=-+=．…………………5分 （2）法1：由三角函数的定义可设(cos ,sin )P αα，………………………………6分则(2cos ,3sin ),(cos ,3sin ),(cos ,sin )PC PD AP αααααα=--=--=，……8分从而(22cos ,2sin )PC PD αα+=-，所以()222cos 2cos 2sin 4sin()26PC PD AP πααααα+⋅=-+-=+-…………10分因为02πα<<，故当3πα=时，()PC PD AP +⋅取得最大值2．…………………………12分法2：：由三角函数的定义可设(cos ,sin )P αα，则(cos ,sin )AP αα=，设线段DC 的中点为M ，则M ，所以22(1cos sin )PC PD PM αα+==-． 以下同方法1．20．(本小题满分12分)国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的究竟含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：时间（小时）该函数模型如下：0.344.21sin()0.21,02()354.2710.18,2x x x f x e x π-⎧+<⎪=⎨⎪⋅+⎩≤≥ 根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的究竟含量达到最大值？最大值是多少？ （2）试计算喝一瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算） （参考数据：ln9.82 2.28,ln10.18 2.32,ln54.27 3.99≈≈≈）20．解析：（1）由图可知，当函数()f x 取得最大值时，02x <<，……………………1分 此时()44.21sin()0.213f x x π=+，…………………………………………………………2分当32x ππ=，即32x =时，函数()f x 取得最大值为max 44.210.2144.42y =+=． 故喝一瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升．………………4分（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时2x >． 由0.354.2710.1820xe-⋅+<，得0.39.8254.27x e -<， …………………………………7分 两边取自然对数，得0.39.82ln ln54.27xe -< ……………………………8分 即0.3ln9.82ln54.27x -<-， 所以ln 9.82ln 54.27 2.28 3.995.730.3x -->==--， ……………………11分故喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车． ……………………12分 注：如果根据图象猜6个小时，可给结果分2分． 21．(本小题满分12分)已知函数()ln ,()62f x x g x x ==-，设()min{(),()}H x f x g x =（其中min{,}p q 表示,p q 中的较小者）．（1）在坐标系中画出函数()H x 的图象；（2）设函数()H x 的最大值为0()H x ，试判断0()H x 与1的大小关系，并说明理由． （参考数据：ln 2.50.92,ln 2.6250.97,ln 2.75 1.01≈≈≈） 21．解析：（1）画出函数()H x 的图象如下：………………4分（2）法1：由题意可知，0x 为函数()f x 与()g x 图象交点的横坐标，且00ln 62x x =-，所以000()()()H x f x g x ==．设()()()ln 26F x f x g x x x =-=+-，易知0x 即为函数()F x 的零点，因为(2.5)ln 2.510,()1(62)250F F e e e =-<=--=->，所以(2.5)()0F F e ⋅<，…8分又函数()F x 在(0,)+∞上单调递增，且为连续曲线，所以()F x 有唯一零点0(2.5,)x e ∈．因为函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以00()()(2.5)1H x g x g =<=，即0()1H x <．……………12分法2：由题意可知，0x 为函数()f x 与()g x 图象交点的横坐标，且00ln 62x x =-，所以000()()()H x f x g x ==．设()()()ln 26F x f x g x x x =-=+-，易知0x 即为函数()F x 的零点，为(2.5)ln 2.510,()1(62)250F F e e e =-<=--=->，所以(2.5)()0F F e ⋅<，又函数()F x 在(0,)+∞上单调递增，且为连续曲线，所以()F x 有唯一零点0(2.5,)x e ∈，因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而00()()()1H x f x f e =<=，即0()1H x <．…………………………12分注：判断0()1H x <，说明理由的方法比较开放，关键是界定0(2.5,)x e ∈，因为可利用(2.5)1g =或()1f e =，及()g x 或()f x 的单调性进行说明，即00()()(2.5)H x g x g =<或00()()()H x f x f e =<这两方面只需说明一方面即可，理由表述充分，即可给满分．法3：由题意可知，0x 为函数()f x 与()g x 图象交点的横坐标，且00ln 62x x =-，所以000()()()H x f x g x ==．设()()()ln 26F x f x g x x x =-=+-，易知0x 即为函数()F x 的零点，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增，且为连续曲线，且(2)ln 220,(3)ln30F F =-<=>，所以0(2,3)x ∈，又(2.5)ln 2.510F =-<，则0(2.5,3)x ∈，(2.75)ln 2.750.50F =->，则0(2.5,2.75)x ∈， (2.625)ln 2.6250.750F =->，则0(2.5,2.625)x ∈，所以00()ln ln 2.6251H x x =<<，即0()1H x <． …………………………12分 22．(本小题满分12分) 已知()(0)f x x x a a =->（1）当2a =时，求函数()f x 在[1,3]-上的最大值；（2）对任意的12,[1,1]x x ∈-，都有12()()4f x f x -≤成立，求实数a 的取值范围． 22．解析：（1）当2a =时，(2),2()2(2),2x x x f x x x x x x -⎧=-=⎨-<⎩≥，结合图象可知，函数()f x 在[1,1]-上是增函数，在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，又(1)1,(3)3f f ==，所以函数()f x 在[1,3]-上的最大值为3．………………………………4分（2）（2）(),()(0)(),x x a x a f x a x a x x a -⎧=>⎨-<⎩≥．由题意得，max min ()()4f x f x -≤成立． ①当12a ≥，即2a ≥时，函数()f x 在[1,1]-上是增函数， 所以max min ()(1)1,()()(1)f x f a f x f a a ==-=-=-+，从而(1)[(1)]24a a a ---+=≤，解得2a ≤，故2a =．…………6分 ②因为2()24a a f =，由2()4a x x a =-，得22440x ax a --=，解得12x a +=，或102x a =<（舍去）．当1122a a +<<，即1)2a <<，此时2max min ()(),()(1)(1)24a a f x f f x f a ===-=-+ 从而2221[(1)]1(2)4444a a a a a --+=++=+<成立，故1)2a <<．……………8分当112a +≥，即1)a ≤，此时max min ()(1)1,()(1)(1)f x f a f x f a ==-=-=-+，从而(1)[(1)]24a a ---+=<成立，故01)a <≤．………………………………10分 综上所述，02a <≤． ………………………………12分。