第六讲 一元函数微分学
大学数学基础教程：一元函数微积分
大学数学基础教程：一元函数微积分一、函数微积分的主要课题在于研究变量的变化形态。
这个说法很抽象。
说的直白一点，就是研究一个量的变化过程。
这个量可以是速度，可以是加速度，可以是生产率等等。
这些是变化的，我们称之为变量。
中学时，已经学过，描述变量的数学模型是函数。
因此从函数开始说起。
函数是中学数学的主要内容，概念这里就不重复了。
对函数概念的的理解需要重点把握定义域和对应法则，有了定义域和对应法则就确定一个函数，换句话说，确定两个函数是否相同，定义域和对应法则缺一不可。
这里有一些考题，容易因为忽视了定义域而出现错误。
函数的表示形式有多种，运用数形结合的思想，在坐标系中画函数图像，可以探索函数的性质（如单调性、周期性、奇偶性）。
研究函数的性质，有时可以在积分运算过程中简化运算。
掌握了研究方法后，复合函数、反函数和初等函数都可以自己来研究。
二、无穷小量极限方法的本质就是无穷小量的分析。
因此首先学习无穷小量。
定义设有数列{εn},如果对于任意给定的正数η>0，都能取到正整数N，使得当n>N时成立|εn|<η,则称n→∞时，{εn}是无穷小量，记作εn=ο（1）,n→∞.由定义可以看出，无穷小量的本质是可以任意小的变量。
这个需要好好理解。
掌握了该定义后，无穷小量的运算和无穷大量的定义都可以自己给出。
无穷小量之间的关系有高阶、低阶、同阶、等价。
这些概念要熟记。
三、极限极限是刻画变量变化趋势的重要工具。
好多教材中数列的极限、函数的极限、单侧极限的概念是分别给出的。
对比这些概念，给出的方法都相同，即ε-δ（N）语言。
通用模型是这样的：对于任意ε，存在δ，使得当****时成立，|f（x）-A|<ε,则称f（x）在x→**时以A为极限，记作或称f（x）收敛于A。
数列是定义域为整数集的特殊函数，函数极限的概念也可以用数列极限的形式来表述。
这里有许多题型，主要题型是：证明这类题目的一般解法是解不等式，用ε表示δ。
一元函数微分学
一元函数微分学微积分是数学中一个非常重要的分支，它研究连续与变化。
微分学是微积分中的一部分，它研究一元函数的变化率和切线问题。
在工科、理工科及金融等领域，微分学都是必修的一门学科。
一、导数一个函数的导函数即为该函数的导数。
导数表示函数在某点处的变化率，也可以理解为以该点处斜率为切线的直线方程。
导数的定义如下：$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，f(x)表示函数在x点处的取值，h表示x的变化量。
导数是对变化量和量的一个测量，它也可以被解释为函数的瞬时变化率。
在求导数时，我们需要注意函数是否连续，导数是否存在，同时还需考虑到函数在自变量为非自然数时的导数。
二、微分微分是在导数的基础上增加了一些附加的概念，它是由函数在一个点处的导数以及该点处的自变量与函数值所组成的。
微分的定义不是很直接，但是我们可以从定义出发进行理解：设函数y=f(x)，在x点的微分dy=dx*f'(x)。
其中，dx表示x的增量，dy表示y的增量，f'(x)表示在x处的导数。
可以看出，微分有一个重要的作用，就是可以得到函数在某个点处的极小增量。
即在当前的点位置，函数的变化量以及对应的变量量。
微分还可以解决一些求和问题和变量替换问题的计算。
三、函数图像的切线函数图像的切线是函数图像在某个点的斜率。
在此前提下，我们可以通过导数求出函数图像在任意一个点上的斜率。
通过直线方程就可以求出函数图像在该点的切线。
求解函数图像的切线需要确定该点的横坐标和纵坐标，然后求出导数，最后代入方程即可。
四、一元函数微分学应用微分学的应用非常广泛。
在物理学中，微分学可以用于描述物体的运动，地球的形变和能源泄露等问题。
在金融学中，微分学可以用于计算股市的波动和证券价格的变化等问题。
在自然科学中，微分学可以用于解决生物学的遗传学和数学物理学中的加速和速度问题等。
总之，一元函数微分学是微积分中最基础的内容。
(优选)一元函数微分学ppt讲解
x0 x
1
(二)导数的运算 • 基本初等函数的导数公式
导数的四则运算法则
设u=u(x),v=v(x)都可导，则
反函数的求导法则
复合函数的求导法则
隐函数求导法则
设y=f(x)由方程F(x,y)=0确定，求y′,只需直接由方 程F(x,y)=0关于x求导，将y当做中间变量，依复 合函数链式法则求之。
★ f (x)在开区间(a,b)内的导函数为f '(x)
f '(a ) lim f '(x) xa
f '(b ) lim f '(x) xb
称为导函数的右极限 称为导函数的左极限
★ 设f (x)在闭区间[a,b]连续， 开区间(a,b)内的可导，记导函数为f '(x) 若f '(a 0)存在，则f (x)在a点右可导， 若f '(b 0)存在，则f (x)在b点左可导
记为y
，dy xx0 dx
或 df (x)
x x0
Hale Waihona Puke dxx x0关于导数的说明：
★ 导数是因变量在点x0处的变化率，它反映了 因变量随自变量的变化而变化的快慢程度. ★ 如果函数 y f (x)在开区间I内的每点
处都可导，就称函数f (x)在开区间I内可导.
★ 对于任一x I ,都对应着f (x)的一个确定的
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点 x0处可导 左导数 f( x0 )和右导数 f( x0 )都存在且相等.
一元函数微分学的基本原理与应用
一元函数微分学的基本原理与应用微分学是数学中的一个分支，主要研究函数的变化率、极值和曲线的切线等问题。
在微分学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。
本文将介绍一元函数微分学的基本原理和其应用。
一、微分的定义和基本原理微分学的基本概念之一是微分的定义。
对于一元函数 f(x)，在某一点 x0 处的微分表示为 df(x0) 或简写为 dy，可以定义为 dx 的一个无穷小变化量，即：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0) 表示在 x0 处的导数，表示函数在该点的斜率或变化率，dx 表示自变量 x 的无穷小变化量。
微分学的基本原理包括导数和微分的性质。
导数的定义如下：f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)] / Δx (当Δx 趋近于 0 时)导数可以用来描述函数的斜率，即切线的倾斜程度。
在微分学中，常用的导数表示方式有函数的导函数、差商和极限等形式。
微分的基本性质包括线性性质、乘积法则、商法则和链式法则等。
根据这些性质，可以对各种类型的函数进行微分运算，进而得到函数的导数和微分。
二、应用举例：极值问题和曲线的切线微分学的应用非常广泛，以下是两个常见的应用例子：极值问题和曲线的切线。
1. 极值问题：求解一个函数的最大值和最小值。
通过对函数的微分，可以得到导数为零的点或导数不存在的点，并进行求解。
对于一元函数 f(x)，当导数 f'(x) 的值为零或不存在时，函数在该点可能取得极值。
举例来说，若给定函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以求解 f'(x) = 2x - 4，令导数等于零得到 2x - 4 = 0，解得 x = 2。
然后，通过二阶导数的符号判断该点是否是极值点。
若 f''(x) > 0，则 x = 2 是函数的极小值点；若 f''(x) < 0，则 x = 2 是函数的极大值点。
一元函数微分学
一元函数微分学一元函数微分学教案引言：微分学是高等数学的重要分支，它研究的是函数的变化规律和局部性质。
一元函数微分学是微分学的基础，是学习微分学的第一步。
本教案将从函数的极限、导数的定义和性质、微分中值定理以及应用等方面进行论述，帮助学生全面理解一元函数微分学的基本概念和方法。
一、函数的极限1. 函数的极限的概念函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋近于某个常数。
通过引入极限的概念，可以研究函数在某一点的趋势和变化规律。
2. 函数极限的性质函数极限具有唯一性、局部性和保号性等性质。
唯一性指函数极限只有一个确定的值；局部性指函数在某一点的极限与该点附近的函数值有关；保号性指函数在某一点的左右极限可以确定函数在该点的取值范围。
二、导数的定义和性质1. 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的定义是极限的一种特殊形式，通过求函数在某一点的极限可以得到函数在该点的导数。
2. 导数的性质导数具有线性性、乘积法则、商法则和复合函数法则等性质。
线性性指导数具有加法和乘法的线性性质；乘积法则指导数的乘积等于函数的导数与函数的乘积之和；商法则指导数的商等于函数的导数与函数的商之差；复合函数法则指导数的复合函数等于函数的导数与外函数的导数的乘积。
三、微分中值定理1. 罗尔定理罗尔定理是微分中值定理的一种特殊形式，它表明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且在两个端点处的函数值相等，那么在开区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于零。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的一般形式，它表明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于函数在两个端点处的斜率。
四、应用1. 函数的单调性和极值通过导数的正负可以判断函数的单调性和极值。
当导数大于零时，函数单调递增；当导数小于零时，函数单调递减；当导数等于零时，函数可能存在极值。
高等数学讲义-- 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
一元函数微分学1.3 初等函数(三角函数)
25
由于 x 是第四象限的角， 因此sin x cos x 0 ，
所以sin x cos x 7. 5
余切函数是奇函数.
余切函数是无界函数.
（5）正割函数
称余弦函数 y cos x的倒数叫正割函数， 记为 y sec x .
即sec x 1 . cos x
y
sec
x
的定义域为
x
x
k
,k
2
Z ，
值域为 y R.
y sec x 是周期函数，其周期为T 2 .
y sec x 是偶函数. y sec x 是无界函数.
2
2
正弦函数是奇函数，
正弦函数的最大值为 1，最小值为 1，正弦函数是有界函数.
（2）余弦函数
余弦函数 y cos x的定义域为(,)，值域为[1,1]
y cos x是周期函数，其周期T 2 .
y cos x的图像如下：
3
22
0
2
余弦函数在(2k 1) ,2k 上递增，在2k ,(2k 1) 上递减（其中k Z ）.
正切函数是无界函数.
（4）余切函数
称正切函数 y tan x的倒数叫余切函数， 记为 y cot x.
即cot x 1 . tan x
y cot x 的定义域为x x k , k Z，值域为(,) .
y cot x是周期函数，其周期为T .
y cot x的图像如下：
2
o
2
余切函数在k , (k 1) 内递减（其中 k Z ）.
例 1 设 x 是第二象限的角， cos x 4 ，求 x 的其它三角函数值. 5
一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学是微积分的重要内容之一，主要研究函数的变化率、斜率、极值、凹凸性等性质。
以下是一元函数微分学的内容概要总结：
1. 导数与微分，导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率，常用符号表示为f'(x)或者dy/dx。
微分是函数在某一点附近的线性近似，常用符号表示为dy。
2. 函数的求导，通过求导可以得到函数在某一点的导数，可以通过极限的定义或者导数的运算法则进行求导。
3. 导数的应用，导数可以用来求函数的极值，判断函数的增减性和凹凸性，求曲线的渐近线，解决最优化问题等。
4. 微分方程，微分方程是关于未知函数及其导数的方程，是自然科学和工程技术中描述变化规律的重要数学工具。
5. 泰勒公式，泰勒公式是函数在某点附近的多项式逼近公式，可以用来近似计算函数的值。
6. 函数的高阶导数，除了一阶导数外，函数还可以有二阶导数、三阶导数等高阶导数，可以描述函数的曲率、加速度等性质。
7. 微分学与积分学的关系，微分学和积分学是微积分的两大分支，它们之间通过微积分基本定理建立了联系，即导数与原函数的
关系。
以上是一元函数微分学的内容概要总结，涵盖了导数与微分、
函数的求导、导数的应用、微分方程、泰勒公式、高阶导数以及微
分学与积分学的关系等内容。
希望能对你有所帮助。
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第六讲 一元函数微分学１．导数与微分的定义――可导与可微等价（１）导数的定义例１设(),0f x x x → ，(),()f x g x 在0x =连续，证明：()()f x g x 在0x =处可导，且导数为(0)g 。
证明； 因为(),0f x x x → ，即()(),0f x x o x x =+→，于是由(),()f x g x 在0x =连续有(0)0f =以及000()()(0)(0)()()()l i ml i m l i m l i m ()(0)0x x x x f x g x f g fx g x f x g x g x x x→→→→-==⋅=-。
□（２）左、右导数与可导例２设函数()f x 在0x =可导，且当x δ<时()||f x x ≥。
证明：(0)0f >。
证明：显然(0)0f ≥。
若不然，(0)0f =。
由()||f x x ≥有()(0)()10f x f f x x x -=>-， 当0x >；()(0)()10f x f f x x x-=<--， 当0x <。
在以上不等式中分别令00x →+和00x →-，则有'(0)1f +≥，'(0)1f -≤-，这矛盾于()f x 在0x =可导。
因此必然有(0)0f >。
□ （３）可导与可微例３设()f x 在0x x =可微，0n n x αβ<<，n ∀。
若0lim lim n n n n x αβ→∞→∞==，证明：0()()lim'()n n n n nf f f x βαβα→∞-=-。
证明：由假设有0000()()'()()()f x f x f x x x o x x =+-+-， 0x x →。
因此0,0εδ∀>∃>，当0x x δ-<时有00000()()'()()x x f x f x f x x x x x εε--<---<-。
（１） 由0lim lim n n n n x αβ→∞→∞==，存在N ∈N ，当n N >时000n n x x δαβδ-<-<<-<。
因此把,n n αβ代替（１）中x 得到 ()()00000()()'()()n n n n x f f x f x x x εαααεα-<---<-， n N >，()()00000()()'()()n n n n x f f x f x x x εβββεβ-<---<-。
n N >，两式相减得()()()0()()'()n n n n n n n n f f f x εβαβαβαεβα--<---<-，n N >， 即0()()'()n n n nf f f x βαεβα--<-， n N >。
因此0()()lim'()n n n n nf f f x βαβα→∞-=-。
□ ２．求导法则——四则运算、复合函数求导及反函数求导例４设函数()f t 二阶可导，''()0f t ≠。
证明：由参数方程 '()x f t =，'()()y tf t f t =-可确定一个二阶可导的函数()y y x =，并求其二阶导数。
证明：由''()0f t ≠和反函数存在定理，由'()x f t =可确定反函数()t t x =，从而代入'()()y tf t f t =-得到函数()()'(())(())y y x t x f t x f t x ==-。
由参数方程定义函数的求导法则有 d '()"()'()'()'()d '()"()y y t tf t f t f t y x t x x t f t +-====。
用'()y x t =代替参数方程中的第二个式子，重复前面的讨论容易知道，'()y x 仍为x 的可微函数，且有d'()d 1d "()'()d d "()d y x t y x y x x x f t t===。
□注意：不能套公式3'()"()"()'()"()['()]x t y t x t y t y x x t -=， 因"(),"()x t y t 都可能不存在。
例5设()y y x =二阶可导且'()0y x ≠，证明：若()y x 满足方程[]3"()'()0y x y x +=，则反函数()x x y =满足"()1x y =。
进一步，若()y y x =在[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内二阶可导，(0)1,(2)2y y ==，求()y x 。
证明：由假设和反函数存在定理，反函数()x x y =存在，且有1'()'(())x y y x y =。
因此利用复合函数求导法则有 [][]23d 1''()''()"()'()1d '(())'()'()y x y x x y x y y y x y y x y x ⎛⎫==-⋅=-= ⎪⎝⎭。
由"()1x y =知21121'()2x y y C x y C y C =+⇒=++，其中12,C C 是待定常数。
由(0)1,(2)2y y ==得120C C ==。
因此22y x y =⇒=(2)0y >，舍去负解）。
□ ３．高阶导数与高阶微分，Leibniz 公式（1）直接利用公式(),()0,k n k n k n A x k n x k n -⎧≤=⎨>⎩， ()()()ln n n x x a a a =，()1(1)(1)!log ln n n a nn x a x ---=⋅， ()()(sin )sin ,(cos )cos 22n n n n x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，等等。
（2）分拆法例6 求下列函数的n 阶导数 （1）2212x y x x +=--， （2）sin sin 2y x x =。
（3）归纳法 例7 设sin(ln ||),0,()0,0.n x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩2n ≥。
证明：当1k n ≤-时， []()sin(ln ||)cos(ln ||),0,()0,0,n k k k k x a x b x x fx x -⎧+≠=⎨=⎩其中,k k a b 为常数；()f x 除了0x =外存在n 阶导数。
证明：采用归纳法。
1）当0x ≠时[]111'()sin(ln ||)cos(ln ||)sin(ln ||)cos(ln ||)n n n f x nx x x x x n x x x--=+⋅=+， 而100()(0)'(0)limlim sin(ln ||)00n x x f x f f x x x -→→-===-。
因此1k =时结论成立，且11,1a n b ==。
2）设2k l n =≤-时结论成立，即[]()sin(ln ||)cos(ln ||),0,()0,0,n k l l l x a x b x x f x x -⎧+≠=⎨=⎩则当0x ≠时有 [](1)1()()sin(ln ||)cos(ln ||)l n l l l fx n l x a x b x +--=-+[]1cos(ln ||)sin(ln ||)n ll l x a x b x x-+-⋅[]111sin(ln ||)cos(ln ||)n l l l xa xb x --++=+，其中11(),()l l l l l l a n l a b b a n l b ++=--=+-。
又由2l n ≤-， ()()(1)0()(0)(0)lim 0l l l x f x f fx +→-=-1lim [sin(ln ||)cos(ln ||)]0n l l l x xa xb x --→=+=。
即结论对1k l =+也成立。
因此结论对11k n ≤≤-成立。
当0x ≠时，()f x 有n 阶导数。
但极限[](1)(1)1100()(0)limlim sin(ln ||)cos(ln ||)0n n n n x x f x f a x b x x ----→→-=+- 不存在，因此()(0)n f不存在。
□（4）利用递推关系证明高阶导数的关系例8 设()2arcsin y x =，证明2(2)(1)2()(1)(21)0n n n x y n xy n y ++--+-=。
并由此求()(0)n y 。
证明：因为 22'(1)'4y x y y =⇒-=，再求导有2(1)'''20x y xy ---=。
上式求n 阶导数就得到2(2)(1)2()(1)(21)0n n n x y n xy n y ++--+-=。
令0x =，则有(2)2()(0)(0)n n y n y +=。
由于(0)'(0)0,"(0)1y y y ===，利用归纳法可得(2)212(21)(0)2((1)!),(0)0k k k y k y --=-=，1,2,k = 。
□ ４．微分中值定理及其应用——L’Hospital 法则等。
在证明中值定理题目时注意微分方程的应用，主要是用于构造辅助函数。
（1）Rolle 中值定理与零点问题——通常可用Fermat 引理来证明例9 设()f x 在(,)a b 内可微，,a b 为有限数或无穷；又0lim ()lim ()x a x b f x f x A →+→-==为有限数或±∞。
证明：(,)a b ξ∃∈，使得'()0f ξ=。
证明：若()f x A ≡，则'()0f x ≡，结论显然。
若()f x 不是常函数，则0(,)x a b ∃∈，使得0()f x A ≠，不妨设0()f x A >。
设sup{():(,)}B f x x a b =∈，则0()B f x A ≥>。
令02B Aε-=>。
由00lim ()lim ()x a x b f x f x A →+→-==，分别存在,a b 的半邻域12(,),(,)a x x b ，使得12x x <且对任意12(,)(,)x a x x b ∈ ，有 ()()2A Bf x A f x A εε+-<⇒<+=。