一元函数微分学教案
10第三章一元函数微分学(中值定理及罗必塔法则)
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) A （或） xa() g( x) xa() g( x) xa() g( x)
5o
若函数是Βιβλιοθήκη 0,型可采用代数变形，化成
0 0
或
型；若是 1
,00
,0
型可采用对数或指数变形，化成
0 0
或
型.
例 3 求lim x 1 ． x1 x 1 ln x
f (0) (x3 x2 ) x0 0
∴ f (x) 满足罗尔定理的条件。由定理可得：
f ( ) 3 2 2 0
解得： 1
2 3
,
2 0
∵2 0 不在（-1，0）内，舍去；
∴
2 3
2.拉格朗日（Lagrange）中值定理： 如果函数 f(x)满足：
在(a, b)内至少存
10 在[a, b]上连续， 20 在(a, b)内可导；
解 这是 未定型，通过“通分”将其化为
0 未定型．
0
lim x1
x
x
1
1 ln x
lim
x1
x
ln (x
x (x 1) 1) ln x
lim
x1
x1 x ln
ln x 1 x x 1
1
x
lim x1 1
ln x 1 ln x
x
lim
x 1
1 x2
x
1 x
1 2
.
例4．求下列极限
定理： f (x) 和 g (x) 满足条件：
lim f (x) 0 (或）
xa
1o lim g(x) 0 (或）； xa
2o 在点 a 的某个邻域内可导，且 g(x) 0 ；
一元函数微分学
一元函数微分学一元函数微分学教案引言：微分学是高等数学的重要分支，它研究的是函数的变化规律和局部性质。
一元函数微分学是微分学的基础，是学习微分学的第一步。
本教案将从函数的极限、导数的定义和性质、微分中值定理以及应用等方面进行论述，帮助学生全面理解一元函数微分学的基本概念和方法。
一、函数的极限1. 函数的极限的概念函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋近于某个常数。
通过引入极限的概念，可以研究函数在某一点的趋势和变化规律。
2. 函数极限的性质函数极限具有唯一性、局部性和保号性等性质。
唯一性指函数极限只有一个确定的值；局部性指函数在某一点的极限与该点附近的函数值有关；保号性指函数在某一点的左右极限可以确定函数在该点的取值范围。
二、导数的定义和性质1. 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的定义是极限的一种特殊形式，通过求函数在某一点的极限可以得到函数在该点的导数。
2. 导数的性质导数具有线性性、乘积法则、商法则和复合函数法则等性质。
线性性指导数具有加法和乘法的线性性质；乘积法则指导数的乘积等于函数的导数与函数的乘积之和；商法则指导数的商等于函数的导数与函数的商之差；复合函数法则指导数的复合函数等于函数的导数与外函数的导数的乘积。
三、微分中值定理1. 罗尔定理罗尔定理是微分中值定理的一种特殊形式，它表明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且在两个端点处的函数值相等，那么在开区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于零。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的一般形式，它表明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于函数在两个端点处的斜率。
四、应用1. 函数的单调性和极值通过导数的正负可以判断函数的单调性和极值。
当导数大于零时，函数单调递增；当导数小于零时，函数单调递减；当导数等于零时，函数可能存在极值。
高等数学讲义-- 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
一元函数微分学
第二章一元函数微分学一．先回顾导数的定义：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为．注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义：1．=；2．；要特别关注处的导数有特殊形式：（更特别地，要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。
函数在处可导的充要条件是对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知=A，试求下列极限的值（1）（2）。
例2．研究函数在处的可导性.解：因为同理，可求得.由于，所以在处不可导。
（记住这个结论）练习：设在处可导，求的值.解：（一）因为在处可导，从而在处也连续.所以，即（二）由得.例3．已知，试求在处的导数.解：因为，所以，由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值.如把函数在一点处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。
这里的每一条都是根据导数的定义推出来的，请大家在下面自己试着也推推.如：，求.二．导数的几何意义关于导数的几何意义，主要考察的题型有两种。
一种题型是选择题或判断题。
比如：若函数在处可导，则曲线在处必有切线；（√）；反之，若曲线在处有切线，则在处必可导，则（×）.另一种题型是根据几何意义找切线.例4．求曲线与直线垂直的切线.解：设切点.切线斜率由题意，即故切线方程为下面举一个复杂点的，把前面的知识点窜起来.例5．设为连续函数，且求曲线在点处的切线方程。
（08年研究生考试题）解：由于，且故（前面已讲过理由）而，所以，切线方程为三．导数的四则运算四则求导法则非常简单，但不注意的话，容易犯错误。
下面举几个小例子.例6．求的导数.注意：部分同学可能会犯下面的错误：.例7．设求此题应先化简再求导：注意：个别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混.例8．求的导数.解：.四．反函数求导法则若函数，其反函数为.若在的某邻域内连续、严格单调且，则在点可导，且.例9．求的导数.解：设原函数，则其反函数为.根据反函数求导法则.有.五．复合求导法则大家可能还有印象，复合函数的导数是.（与直接套用基本导数表相比，这个2从何而来？）如果记，则，故此题恰好满足等式：（*）这是否是巧合的？我们说不是.事实上，（*）式正揭示出了复合函数的求导法则.定理:若函数在可导，而函数在对应的处也可导，则复合函数在处也可导，且或（或.注意：复合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形，如：对函数，如记，则各变量间的关系是：有上式可通过连续使用两次链式法则得到。
第二章 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学一．与导数的定义有关的考点 先回顾导数的定义： 设函数()x f y =在()x U内有定义，如果极限()()x x x f x f x x 000lim--→存在，则称()x f y =在x 0处可导，x 0称为函数()x f 的可导点，且称上述极限值为函数()x f 在x 0处的导数，记为：|0x dx dy x =或|0x dx dfx =；或简记为()x f 0'． 注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义： 1．()x f 0'=()()xf x f x x x ∆-∆+→∆000lim；2．()()()00lim.x fh f f x hx xx →+-'=；要特别关注0x =处的导数有特殊形式：()()()00lim.x f x f f x→-'=（更特别地，()()()()()000lim.00x f x f f f x→-'==如。
要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。
函数()x f y =在x 0处可导的充要条件是()()//00.f x f x -+=对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知()x f 0'=A ，试求下列极限的值 （1）()());(lim000A xf x f x x x -=∆-∆-→∆（2）。
()());4(3lim000A xx f x f x x x =∆∆--∆+→∆例2．研究函数()||x x f =在0=x 处的可导性. 解：因为()()()/000lim lim 1000x x f x f x f x x---→→---===-- 同理，可求得()10/=+f .由于()()00//f f +-≠，所以()||x x f =在0=x 处不可导。
（记住这个结论）练习：设()()2,0,1,0.axe xf x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩在0x =处可导，求,a b 的值. 解：（一）因为()f x 在0x =处可导，从而()f x 在0x =处也连续.所以，()()0lim lim ,x x f x f x -+→→=即 1.b = （二）()()()/00010limlim ;0ax x x f x f e fa x x---→→--===- ()()()()22/001120limlim lim 2.0x x x f x f x x xfx xx+--+→→→----====-- 由()()//00f f -+=，得2a =-.例3． 已知()x x f 2=，试求()x f 在2=x 处的导数.解：因为2224lim lim(2)42x x x x x →→-=+=-，所以，()2 4.f '=由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个0型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值. 如把函数在一点x 0处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。
高等数学讲义--一元函数微分学
第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则0000()()()l i m x x f x f x f x x x →-'=- 我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
高等数学课件第4章 一元函数微分学
要
熟
(1)1cs xcco xtd x csx cC ;
记
(12)
1 dxarcsinxC;
1 x2
(13)
2020/3/22
11x2dx微积分a--r不c定t积a分n 概念x 与性 质 C.
12
例1 求积分 (3x22x1)dx
3x2dx 2xdx 1dx
x3x2xC 注:最后结果
x
2
dx
21a(a1xa1x)dx
21a(d(aaxx)d(aaxx))
1(lnaxlnax)C 1 ln a x C公式!
或
2a1 x2
a2
dx
1 ln 2a
xa xa
2a C
ax
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
29
例6
1
dx
116x x2
1 d(x3)
20(x3)2
arcsin(x3)C 20
1 a)(x
dx b)
提示：拆项
[注 : 1 1( 1 1)] (xa)(xb) baxa xb
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
23
作业：
P164： 4-1 (2)(3)(7)(8) 4-3
预习4.2 换元积分法
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
24
复习: F(x)dx F d(xF)(xC) F(x)C
如果函数 f ( x)在区间 I 内连续， 那 么 在 区 间 I内 存 在 可 导 函 数 F (x )， 使 x I ， 都 有 F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？
一元函数微分学教案
第二章 一元函数微分学一、 导数（一）、导数概念一、导数的概念：设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有概念，当自变量在点0x 处取得改变量x ∆时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -∆+=∆，若是当0→∆x 时，xy ∆∆的极限存在，即x y x ∆∆→∆0limx x f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0)(x x dxx df = 二、依照概念求导数的步骤（即三步曲）①求改变量)()(x f x x f y -∆+=∆ ②算比值x y ∆∆xx f x x f ∆-∆+=)()( ③取极限x y x f y x ∆∆='='→∆0lim )(x x f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim 0 例1：依照概念求2x y =在点3=x 处的导数。
解：223)3(-∆+=∆x y 2)(6x x ∆+∆= x xy ∆+=∆∆6 6)6(lim lim 00=∆+=∆∆→∆→∆x x y x x 3、导数概念的几种不同表达形式 ①x x x xx f x x f x f x ∆+=⇓∆-∆+='→∆00000)()(lim)(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时＝当0)()(lim)(0000x xx f x f x f x ⇓∆-='→∆ ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的概念：若是当)0(0-+→∆→∆x x 时，xy ∆∆的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左导数），记为)(0x f +'［)(0x f -'］000000)()(lim )()(lim )(x x x f x f x x f x x f x f x x --=∆-∆+='--→∆→∆- 0000000)()(lim )()(lim )(x x x f x f x x f x x f x f x x --=∆-∆+='++→∆→∆+ 五、函数)(x f 在点0x 处可导的充要条件：)(x f 在点0x 的左、右导数都存在且相等即)(0x f '存在)(0x f +'⇔＝)(0x f -' 【或x y x ∆∆→∆0lim 存在xy x y x x ∆∆=∆∆⇔+-→∆→∆00lim lim 】 六、函数的可导性与持续性的关系：若是函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处必持续，反之不必然成立。
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第二章 一元函数微分学一、 导数（一）、导数概念1、导数的定义：设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ∆时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果当0→∆x 时，xy∆∆的极限存在，即x yx ∆∆→∆0limxx f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|x x y ='或|0x x dx dy =或|0)(x x dx x df =2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -∆+=∆②算比值x y ∆∆xx f x x f ∆-∆+=)()( ③取极限x y x f y x ∆∆='='→∆0lim )(xx f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim0 例1：根据定义求2x y =在点3=x 处的导数。
解：223)3(-∆+=∆x y 2)(6x x ∆+∆=x xy∆+=∆∆6 6)6(lim lim 00=∆+=∆∆→∆→∆x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式①xx x xx f x x f x f x ∆+=⇓∆-∆+='→∆00000)()(lim)(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→时＝当0)()(lim)(0000x xx f x f x f x ⇓∆-='→∆ ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→4、左右导数的定义：如果当)0(0-+→∆→∆x x 时，xy∆∆的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左导数），记为)(0x f +'［)(0x f -'］000000)()(lim )()(lim )(x x x f x f x x f x x f x f x x --=∆-∆+='--→∆→∆-0000000)()(lim )()(lim )(x x x f x f x x f x x f x f x x --=∆-∆+='++→∆→∆+5、函数)(x f 在点0x 处可导的充要条件：)(x f 在点0x 的左、右导数都存在且相等即)(0x f '存在)(0x f +'⇔＝)(0x f -'【或x y x ∆∆→∆0lim 存在xyx y x x ∆∆=∆∆⇔+-→∆→∆00lim lim 】 6、函数的可导性与连续性的关系：如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处必连续，反之不一定成立。
即连续可导→例如：||x y =在0=x 处连续，但不可导。
解：⎩⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x y0lim lim 0=∆=∆→∆→∆x y x x 连续又10lim )()(lim )(0000-=--=-='--→∆→∆-x x x x f x f x f x x10lim )()(lim )(0000=-=-='++→→+xx x x f x f x f x x)0(+'f )0(-'≠f )0(f ∴不存在7、导数)(0x f '与导函数)(x f '之间的区别，联系是什么？①区别：)(0x f '是数值，)(),,(00是取定的x b a x ∈；)(x f '是函数x b a x (),,(∈是任意一点）； ②联系：)()(0|x f x f x x '='=注：导函数)(x f '简称导数8、导数的物理意义和几何意义？ ① 物理意义：瞬时变化率因变量相对自变量的瞬时变化率②几何意义：曲线)(x f y =在点))((0,0x f x 处切线的斜率。
此时曲线)(x f y =过点))((0,0x f x 处的切线方程：))(()(000x x x f x f y -'=-法线方程：)()(1)(000x x x f x f y -'=- )0)((0≠'x f 例2、根据定义求x y =的导数解：x x x y -∆+=∆x x x x x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆00lim lim)(lim 0x x x x x x x x +∆+∆-∆+=→∆x x x x +∆+=→∆1lim 0x 21= 因此xx 21)(=' 或xdx x d 21)(=同理可推导：n x y = 1-='n nxy例3、根据定义求x y sin =的导数xx x x x y y x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆sin )sin(lim lim00xxx x x ∆∆∆+-=→∆2sin )2cos(2lim0 x xxx x x cos 22sin)2cos(lim0=∆∆∆+-=→∆ 因此x x cos )(sin ='同理可推导x x sin )(cos -=' 例4、根据定义求x y ln =的导数 xx x x x y y x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆ln )ln(lim lim00xx x x ∆∆+=→∆)1ln(lim0x x x x ∆→∆∆+=10)1ln(limx e x x x x x x x 1ln ])1[ln(lim 110==∆+=∆→∆ 例5、求正弦曲线x y sin =在3π=x 时的切线方程和法线方程。
解：x y cos =' 213cos |3=='==ππx y k当3π=x 时，233sin==πy 切线方程：)3(2123π-=-x y 即03363=+--πy x法线方程：)3(223π--=-x y 即：1203346=--+πy x小结如何验证)(x f y =在0x 处的可导性：⑴、用定义的三种表达形式之一；⑵、也可以用左导数，右导数是否存在并且相等； ⑶、下列三种情况之一，函数在0x 处肯定不可导： ①、函数在0x 处不连续；②、函数在0x 处左导数和右导数至少有一个不存在； ③、函数在0x 处左、右导数都存在，但不相等。
（二）、导数的基本公式与运算法则1、导数的四则运算 ⑴、v u v u '±'='±)( 例5、x x x y ln sin 4-+= 解：xx x y 1cos 43-+='⑵、v u v u uv '+'=')( 当C u =时，u c cu '=')(w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(例6、x x y cos 7=解：x x y cos )(7'=')(cos 7'+x x x x cos 76=x x sin 7-例7、axx y a ln ln log ==解：ax x a y ln .1)(ln ln 1='=' 即：ax x a ln .1)(log ='⑶、2)(v v u v u v u '-'=' )0(≠v 例8、x y tan =解：x x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ('-'='='x x x 222cos sin cos -=x x22sec cos 1== 即：x x 2sec )(tan ='同理可推得x x 2csc )(cot -=' 例9、x y sec =解：x x x y 2cos )(cos )cos 1('-='='xx2cos sin =x x tan .sec = 类似可得：x x x cot .csc )(csc -='2、导数的基本公式1、0)(='C2、1)(-='αααx x3、)1,0(ln )(≠>='a a a a a x x4、x x e e =')(5、)1,0(ln 1)(log ≠>='a a ax x a 6、xx 1)(ln =' 7、x x cos )(sin =' 8、x x sin )(cos -='9、x x 2sec )(tan =' 10、x x 2csc )(cot -='11、x x x tan sec )(sec =' 12、x x x cot csc )(csc -=' 13、211)(arcsin xx -=' 14、211)(arccos xx --='15、211)(arctan x x +=' 16、211)cot (x x arc +-='（三）、求导方法1、 复合函数求法设函数)(u f y =、)(x u ϕ=且)(x ϕ在点x 处可导，)(u f 在对应点u 处可导，则复合函数)]([x f y ϕ=在点x 处可导，且)()(x u f dxdyϕ''= 或写成dx du du dy dx dy .=或写成dxdu du df dx df .=例10、x y 3cot =解：函数的复合形式3u y =、x u cot =)(cot )(3''='x u y )csc (322x u -=x x 22csc cot 3-=例11、3sin ln x y =解：函数的复合形式w y ln =、u w sin =、3x u =322332cot .33.cos .sin 13.cos 1x x x x xx u w y ===' 2、分段函数的求导法 设分段函数⎩⎨⎧≥<=00),(),()(x x x v x x x u x f求其导数)(x f '的步骤①按导数公式分别求)(x u '、)(x v '②判定)(x f 在分段点0x 处的连续性，若在分段点)(x f 不连续，则)(x f 在点0x 不可导，如果)(x f 在点0x 处连续，则继续讨论。
③求分段点的左（右）导数)(lim 0x u x x '-→、)(lim 0x v x x '+→，如果)(lim 0x u x x '-→)(lim 0x v x x '=+→，则)(x f 在点0x 处可导。