控制数学模型
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第二章 控制系统的数学模型
2—1 数字模型
在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。
自动控制系统： 相同的数学模型进行描述，研究自动控制系统
其内在共性运动规律。
系统的数学模型，是描述系统内部各物理量之间动态关系的数学表达式。
常用的数学模型有：
数学模型
的建立方法
一般应尽可能采用线性定常数学模型描述控制系统。
4)消去中间变量，将方程整理成标准形式，即将与输出有关的项列在等号左边，而将与输入有关的项列在等号右边，且各阶导数按降幂排列。
列写微分方程的关键是元件或系统所属学科领域的有关规律而不是数学本身。但求解微分方程需要数学工具。
下面分别以电路系统和机械系统为例，说明如何列写系统或元件的微分方程式。
2－2－1电路系统
,
消去中间变量i得系统的微分方程为：
（２－１）
令T1＝LC，T2＝RC，同时将 与 代人可得
（２－２）
这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的系统也称为二阶线性定常系统。
例2—2如图2-3所示为由两个ＲＣ电路串联而成的滤波网络，试建立输入电压ui和输出电压u。之间动态关系的微分方程。
解设回路电流i1，和i2为中间变量。
系统的传递函数可以定义为：在所有初始条件均为零时，系统输出的拉氏变换与系统输入的拉氏变换之比： 。 （２－８）
设有一线性定常系统，其微分方程表达式为2-7式。假定初始条件均为零，前式的拉氏变换可写为：
根据基尔霍夫电压定律对前一回路、
后一回路有：
由上三式消去中间变量i1，和i2，整理即得ui和u0之间动态关系的微分方程：
（２－３）
由上例明显看出，系统中后一部分对前一部分的负载效应,反映在流过前一回路电容C１的电流上，没有后一回路时为i1，而当串联上后一回路则为i1-i2。从能量的角度看，负载效应就是后一回路带走了前一回路的一部分能量。从信息传递的角度看，负载效应就是系统的两个部分之间所存在的信息的内部直接反馈作用。
2－2－2机械系统
机械系统指的是存在机械运动的装置，常用的基本要素是质量、弹簧和阻尼器。它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动(相应的位移称为线位移)和转动(相应的位移称为角位移)两种。
做直线运动的物体要遵循的基本力学定律是牛顿第二定律
式中F为物体所受到的力，m为物体质量，y是线位移，t是时间。
如果描述系统的数学模型是线性微分方程，则称该系统为线性系统，若方程中的系数是常数，则称其为线性定常系统。线性系统的最重要特性是可以应用叠加原理，在动态研究中，如果系统在多个输入作用下的输出等于各输入单独作用下的输出和(可加性)，而且当输入增大倍数时，输出相应增大同样倍数(均匀性)，就满足叠加原理，因而系统可以看成线性系统。如果描述系统的数学模型是非线性微分方程，则相应系统称为非线性系统，其特性是不能应用叠加原理。
建立系统微分方程的一般步骤或方法是：
1)根据研究问题的需要，确定系统的输入和输出。
2)对实际系统进行适当的简化，如将分布参数集中化、将非线性因素线性化等。
3)根据系统、输入和输出三者之间动态关系的原理或定律，列写系统的微分方程。若系统比较复杂，则需分段列写微分方程，在这种情况下，必须注意各分段之间的负载效应问题。
电路系统的基本要素是电阻、电容和电感，而建立数学模型的基本定律是基尔霍夫电流定律∑i= 0,以及基尔霍夫电压定律∑u=0 。
元件与电压电流的关系
电阻： 电感： 电容：
以下举例说明电路系统方程的建立。
例2—1如图2—2所示为一个RLC串联电路，试求其数学模型。
解设输入信号
输出信号 。
按照基尔霍夫电压定律得
由以上描述的数学模型可以看出，系统的数学模型由其结构、参量及基本定律决定。
还有如机电系统、热工系统、化工系统，都可以通过其物理、化学机理找到其数学模型。
2-2-3线性系统微分方程的通用形式
在一般线性系统，描述系统动态方程的标准形式为
（２－７）
式中： 为系统输入信号； 为系统输出信号；ai(i＝0，1，2，…，n)、bj(j＝0，1，2，…，rn)为系数，n为输出信号的最高求导次数；m为输入信号的最高求导次数。
转动的物体要遵循如下的牛顿转动定律
式中T为物体所受到的来自百度文库矩，J为物体的转动惯量，θ为角位移。
例2－３如图2—4所示为一个，求其数学模型。
解设输入量为 ，位移输出量为 。由牛顿定律得：
代人力平衡方程式后得 （２－４）
令 , 并将 代入上式
得该机械运动系统的数学模型： （２－５）
该系统是二阶线性定常系统。
微分方程与传递函数：连续系统
利用传递函数还可研究系统参数变化或结构变化对动态过程的影响，因而使分析系统的问题大为简化。另外，还可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使综合设计的问题易于实现。
2－3－1 传递函数的概念
传递函数是描述线性定常系统输入－输出关系的一种最常用的表达式。
引入微分算子： ,则 。
例２－4图2－５所示为一机械旋转系统。转动惯量为Ｊ的圆柱体，在转矩Ｔ的作用下产生角位移θ，求该系统的输入—输出描述。
解假定圆柱体的质量分布均匀，质心位于旋转轴上，而且惯性主轴和旋转主轴线相重合，则其运动方程可写成：
式中f──粘性摩擦系数，常数
ω──角速度
ｋ──弹性扭转变形系数，常数
就得到输入与输出关系的微分方程： （２－６）
若ai和bj均为常数时，上式为常系数线性微分方程，所描述的系统为定常线性系统。
2－3 线性系统的传递函数
微分方程：时间域；微分积分求解；环节增减分析不便，阶数高求解繁难
不同的初始条件，输出响应不同
传递函数：复数域；代数运算求解；环节增减分析方便，阶数高求解因式分解
初始条件必须为零，研究动态特性，经典控制理论最基本数学方法
建立系统数学模型的主要目的，是为了分析系统的性能。由数学模型求取系统性能指标的主要途径如图2—1所示。由图可见，傅里叶变换和拉普拉斯变换是分析和设计线性定常连续控制系统的主要数学工具。
2－2运用微分方程建立数学模型
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间的函数。很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输人量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。
2—1 数字模型
在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。
自动控制系统： 相同的数学模型进行描述，研究自动控制系统
其内在共性运动规律。
系统的数学模型，是描述系统内部各物理量之间动态关系的数学表达式。
常用的数学模型有：
数学模型
的建立方法
一般应尽可能采用线性定常数学模型描述控制系统。
4)消去中间变量，将方程整理成标准形式，即将与输出有关的项列在等号左边，而将与输入有关的项列在等号右边，且各阶导数按降幂排列。
列写微分方程的关键是元件或系统所属学科领域的有关规律而不是数学本身。但求解微分方程需要数学工具。
下面分别以电路系统和机械系统为例，说明如何列写系统或元件的微分方程式。
2－2－1电路系统
,
消去中间变量i得系统的微分方程为：
（２－１）
令T1＝LC，T2＝RC，同时将 与 代人可得
（２－２）
这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的系统也称为二阶线性定常系统。
例2—2如图2-3所示为由两个ＲＣ电路串联而成的滤波网络，试建立输入电压ui和输出电压u。之间动态关系的微分方程。
解设回路电流i1，和i2为中间变量。
系统的传递函数可以定义为：在所有初始条件均为零时，系统输出的拉氏变换与系统输入的拉氏变换之比： 。 （２－８）
设有一线性定常系统，其微分方程表达式为2-7式。假定初始条件均为零，前式的拉氏变换可写为：
根据基尔霍夫电压定律对前一回路、
后一回路有：
由上三式消去中间变量i1，和i2，整理即得ui和u0之间动态关系的微分方程：
（２－３）
由上例明显看出，系统中后一部分对前一部分的负载效应,反映在流过前一回路电容C１的电流上，没有后一回路时为i1，而当串联上后一回路则为i1-i2。从能量的角度看，负载效应就是后一回路带走了前一回路的一部分能量。从信息传递的角度看，负载效应就是系统的两个部分之间所存在的信息的内部直接反馈作用。
2－2－2机械系统
机械系统指的是存在机械运动的装置，常用的基本要素是质量、弹簧和阻尼器。它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动(相应的位移称为线位移)和转动(相应的位移称为角位移)两种。
做直线运动的物体要遵循的基本力学定律是牛顿第二定律
式中F为物体所受到的力，m为物体质量，y是线位移，t是时间。
如果描述系统的数学模型是线性微分方程，则称该系统为线性系统，若方程中的系数是常数，则称其为线性定常系统。线性系统的最重要特性是可以应用叠加原理，在动态研究中，如果系统在多个输入作用下的输出等于各输入单独作用下的输出和(可加性)，而且当输入增大倍数时，输出相应增大同样倍数(均匀性)，就满足叠加原理，因而系统可以看成线性系统。如果描述系统的数学模型是非线性微分方程，则相应系统称为非线性系统，其特性是不能应用叠加原理。
建立系统微分方程的一般步骤或方法是：
1)根据研究问题的需要，确定系统的输入和输出。
2)对实际系统进行适当的简化，如将分布参数集中化、将非线性因素线性化等。
3)根据系统、输入和输出三者之间动态关系的原理或定律，列写系统的微分方程。若系统比较复杂，则需分段列写微分方程，在这种情况下，必须注意各分段之间的负载效应问题。
电路系统的基本要素是电阻、电容和电感，而建立数学模型的基本定律是基尔霍夫电流定律∑i= 0,以及基尔霍夫电压定律∑u=0 。
元件与电压电流的关系
电阻： 电感： 电容：
以下举例说明电路系统方程的建立。
例2—1如图2—2所示为一个RLC串联电路，试求其数学模型。
解设输入信号
输出信号 。
按照基尔霍夫电压定律得
由以上描述的数学模型可以看出，系统的数学模型由其结构、参量及基本定律决定。
还有如机电系统、热工系统、化工系统，都可以通过其物理、化学机理找到其数学模型。
2-2-3线性系统微分方程的通用形式
在一般线性系统，描述系统动态方程的标准形式为
（２－７）
式中： 为系统输入信号； 为系统输出信号；ai(i＝0，1，2，…，n)、bj(j＝0，1，2，…，rn)为系数，n为输出信号的最高求导次数；m为输入信号的最高求导次数。
转动的物体要遵循如下的牛顿转动定律
式中T为物体所受到的来自百度文库矩，J为物体的转动惯量，θ为角位移。
例2－３如图2—4所示为一个，求其数学模型。
解设输入量为 ，位移输出量为 。由牛顿定律得：
代人力平衡方程式后得 （２－４）
令 , 并将 代入上式
得该机械运动系统的数学模型： （２－５）
该系统是二阶线性定常系统。
微分方程与传递函数：连续系统
利用传递函数还可研究系统参数变化或结构变化对动态过程的影响，因而使分析系统的问题大为简化。另外，还可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使综合设计的问题易于实现。
2－3－1 传递函数的概念
传递函数是描述线性定常系统输入－输出关系的一种最常用的表达式。
引入微分算子： ,则 。
例２－4图2－５所示为一机械旋转系统。转动惯量为Ｊ的圆柱体，在转矩Ｔ的作用下产生角位移θ，求该系统的输入—输出描述。
解假定圆柱体的质量分布均匀，质心位于旋转轴上，而且惯性主轴和旋转主轴线相重合，则其运动方程可写成：
式中f──粘性摩擦系数，常数
ω──角速度
ｋ──弹性扭转变形系数，常数
就得到输入与输出关系的微分方程： （２－６）
若ai和bj均为常数时，上式为常系数线性微分方程，所描述的系统为定常线性系统。
2－3 线性系统的传递函数
微分方程：时间域；微分积分求解；环节增减分析不便，阶数高求解繁难
不同的初始条件，输出响应不同
传递函数：复数域；代数运算求解；环节增减分析方便，阶数高求解因式分解
初始条件必须为零，研究动态特性，经典控制理论最基本数学方法
建立系统数学模型的主要目的，是为了分析系统的性能。由数学模型求取系统性能指标的主要途径如图2—1所示。由图可见，傅里叶变换和拉普拉斯变换是分析和设计线性定常连续控制系统的主要数学工具。
2－2运用微分方程建立数学模型
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间的函数。很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输人量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。