相似三角形的应用2 中心投影概述
相似三角形的中心定理与三角形内心
相似三角形的中心定理与三角形内心相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
在研究相似三角形时，三角形的中心定理和三角形的内心是非常重要的概念。
本文将探讨相似三角形的中心定理以及三角形内心的性质和应用。
一、相似三角形的中心定理相似三角形的中心定理是指若两个三角形的对应的角相等，则它们的对应边的比值相等。
可以进一步推导出以下定理：1. 内心定理：相似三角形的内心连线与三角形的观察顶点连线交点连接呈现一条直线。
这条直线被称为三角形内心。
2. 重心定理：相似三角形的重心连线与三角形的重心连线交点连接呈现一条直线。
这条直线被称为三角形重心。
3. 垂心定理：相似三角形的垂心连线与三角形的垂心连线交点连接呈现一条直线。
这条直线被称为三角形垂心。
4. 外心定理：相似三角形的外心连线与三角形的外心连线交点连接呈现一条直线。
这条直线被称为三角形外心。
这些中心定理在三角形的研究中起着重要的作用。
通过利用这些定理，我们可以更好地理解三角形的形状和性质。
二、三角形内心三角形内心是指三角形内部到三边距离之和最小的一个点。
三角形的内心具有以下性质和应用：1. 内心到三角形三边的距离相等，且等于内心到三边的垂直距离之和的一半。
2. 内心到三角形三边的垂直距离之和等于内心到三边的距离。
3. 内心是三角形的重心、外心和垂心的共轭点，意味着如果我们连接三角形的内心与重心、外心或垂心，所得的直线将从三角形的对应连线交点连接。
4. 三角形内心是三角形三条角平分线的交点，任意一条角平分线上的点到其他两条角平分线的距离相等，均等于三角形内心到对应边的距离。
5. 三角形内心可以通过三角形三边的三个垂直平分线的交点来确定，这三条垂直平分线分别连接了三角形三个顶点与对边中点。
三、相似三角形与内心的关系相似三角形的中心定理揭示了相似三角形与内心的密切关系。
通过利用相似三角形的中心定理，我们可以推导出一些有关内心的性质：1. 若两个三角形相似，则它们的内心与相似中心（三角形内角平分线的交点）重合。
投影定理与相似三角形
投影定理与相似三角形投影定理是解决三角形相似问题的重要工具之一。
它建立在两个相似三角形之间的一个关键比例上，即两个相似三角形的对应边的长度比等于它们对应边的投影的长度比。
本文将介绍投影定理的原理和应用，以及相似三角形之间的性质和例题分析。
一、投影定理的原理投影定理是几何学中的一条基本定理，它描述了相似三角形之间的对应边的投影与对应边的长度之间的关系。
具体而言，设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应边分别为AB和DE、AC和DF、BC 和EF。
则有以下投影定理成立：AB/DE = AC/DF = BC/EF其中，AB、AC和BC是三角形ABC的边长，DE、DF和EF是三角形DEF的边长。
二、投影定理的应用1. 求相似三角形的边长比例根据投影定理，我们可以利用已知条件求解相似三角形中的某个边长比例。
以已知三角形ABC和相似三角形DEF为例，已知AB/DE = x/y、AC/DF = m/n，要求求解BC/EF。
根据投影定理可知：BC/EF = (AB/DE) × (AC/DF) = (x/y) × (m/n) = (xm)/(yn)通过这个比例，我们可以知道两个相似三角形对应边的长度之间的倍数关系。
2. 求相似三角形的长度比例除了求解边长比例，投影定理还可以用来求解相似三角形边上的长度比例。
以已知三角形ABC和相似三角形DEF为例，已知AB/DE =x/y，求解AC/DF。
由于投影定理成立，我们可以得到：AC/DF = (AB/DE) × (EF/BC) = (x/y) × (EF/BC)通过这个比例，我们可以求得相似三角形边上长度之间的倍数关系。
三、相似三角形的性质与例题分析利用投影定理，我们可以得出相似三角形之间一些重要的性质。
例如，相似三角形的对应角相等；相似三角形的周长之比等于任意两条对应边的长度之比；相似三角形的面积之比等于任意两条对应边长的平方之比。
投影与相似三角形
投影与相似三角形投影是指从一个物体上某一点出发，逆着光线的传播方向，将物体上的点投射到位于另一平面上的相应点的过程。
而相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。
在几何学中，我们可以发现投影与相似三角形之间存在着一些有趣的关系。
本文将探讨投影与相似三角形的相关性，并展示它们在实际应用中的重要性。
一、投影的概念与原理投影是一种将三维物体映射到二维平面上的方法。
在投影的过程中，我们通常使用的是正交投影或透视投影。
正交投影是指投影线与投影面垂直的一种投影方式，透视投影则是以观察者为中心，向平面上投影的方式。
在三角形中，我们可以将一个三角形的某一顶点沿着一条与该平面垂直的线向另一平面投影，得到一个新的三角形。
这个新的三角形与原三角形具有相似的形状，并且对应边的比例是相同的。
二、相似三角形的特点相似三角形是几何学中一个重要的概念。
在两个或多个相似三角形中，对应角度是相等的，而对应边则成比例。
利用相似三角形的特点，我们可以进行各种几何推导和计算。
例如，在计算无法直接测量的高度时，可以利用相似三角形和已知长度的边来进行计算。
在实际应用中，相似三角形的概念也起到了重要的作用。
例如，在建筑设计中，我们可以利用相似三角形来计算建筑物的高度、宽度等关键尺寸；在地图制作中，利用相似三角形可以进行地图的测量和放大缩小。
三、投影与相似三角形的关系投影和相似三角形之间存在着一定的联系。
当一个三角形在投影过程中，我们可以发现，投影得到的三角形与原三角形具有相似的形状。
这意味着它们的对应边成比例，并且对应角度相等。
通过投影与相似三角形的关系，我们可以利用相似三角形的特点来计算投影三角形的边长、角度等重要参数。
这在实际应用中非常有用，例如在航空导航系统中，我们可以通过飞机的投影与相似三角形的特点，来计算飞机与地面的距离、高度等关键信息。
四、实际应用举例在建筑设计中，投影与相似三角形的原理可用于计算建筑物的高度。
通过测量建筑物的投影长度和测量点到建筑物的距离，利用相似三角形的特性，我们可以得到建筑物的真实高度。
相似三角形的应用(2)--中心投影概述
小明把手臂水平向前伸直，手持长为a的小尺竖
直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位
置，使站在点D处正好看到旗杆的顶部和底部
（如图）。如果小明的手臂长l =40cm，小尺长
B
DF G
变式练习
已知为了测量路灯CD的高度，把一根长1.5 m的 竹竿AB竖直立在水平地面上。测得竹竿的影子 长为1 m，然后拿竹竿向远离路灯的方向走了4 m。再把竹竿竖直立在地面上，竹竿的影长为1.8 m，求路灯的高度。
C A’ADBE B’E’
• 在同一时刻的阳光下,小明的影长比小强的 影子长,那么在同一路灯下( )
路灯、台灯、手电筒的光线可以看成 是从一个点发出的.
像这样，在点光源的照射下，物体所 产生的影称为中心投影.
1）在点光源的照射下，不同物体的物高与
影长成比例吗？ 不成比例
2）中心投影与平行投影比较
如图. 有一路灯杆AB，小明在灯光下看
到自己的影子DF，那么
（1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出.
a =20cm，点D到旗杆的距离AD=40m，求旗杆
的高度。
B
E a
lF
D
A
• 如图,工地上树立着两根电线杆AB、CD,它们相 距15m,分别自两杆上高出地面4m,6m的A、C处, 向两侧地面上的E和D,B和F处,用钢丝拉紧,以固 定电线杆,那么,钢丝绳AD与BC 的交点P离地面 的高度是多少米?
§6.7 相似三角形的性质及其应用(2)
夜晚，当人在路灯下行走时，会 看到一个有趣的现象：离开路灯越远， 影子就越长.
相似三角形的应用(二)
解决问题，增强用数学的意识，加深对判定三角形相似的条件和三角形相似的性质的理解。
路灯、台灯、手电筒的光线可以看成是从一个点发出的。
在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影。
二、新课讲解
例题1、如图. 有一路灯杆AB，小明在灯光下看到自己的影子
那么（1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出
例题2、有一路灯杆AB(底部
点D处测得自己的影长DF=3m,
的影长FG=4m,如果小明的身高为
三、练习、
1.在同一时刻的阳光下,小明的影长比小强的影子长
路灯下( )
A、小明的影子比小强的影子长
B、小明的影子比小强的影子短
C、小明的影子和小强的影子一样长
D、俩人的影长不确定
2.如图1，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，他沿
着树影BA由点B向点A走去，当走到点
(1) (2)
3. 如图2，身高1.6m的小华（CE）站在距路灯杆
测得她在灯光下的影长CD为2.5m，则路灯的高度
4.如图3，要测水池对岸两点A、B的距离，如果测得
BC
四、课堂小结、作业
授后小记。
6.7 相似三角形的应用(2)中心投影.
A、灯光下的中心投影
B、太阳光下的平行投影
C、两种投影都有可能
D、两种投影都没有可能
3、（06深圳）如图4，王华晚上由路灯A下的B处
走到Ｃ处时，测得影子CD的长为１米，继续往前走
３米到达Ｅ处时，测得影子EF的长为2米，已知王华
的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
Ａ．4.5米
Ｂ．6米
Ｃ．7.2米
练习3 如图是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的 光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意 图．已知桌面的直径是1.2m，桌面距离地面1m，若 灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积是0.81∏ ㎡
想一想
下面两幅图分别是两棵小树在同一时刻的影 子.你能判断出哪幅图是灯光下形成的，哪幅 图是太阳光下形成的吗？
思考：由上面的作图你想到了什么？
知识点2 等高的物体垂直地面放置时，在灯光 下离点光源越近，物体的影子越短；离点光源越远 物体影子越长。
中考链接
（2007 广东梅州）如图，晚上小亮在路灯
下散步，在小亮由Ａ处走到Ｂ处这一过程
中，他在地上的影子（ C ）
Ａ．逐渐变短
Ｂ．逐渐变长
A
B
Ｃ．先变短后变长
Ｄ．先变长后变短
练习2 利用所学投影知识，你能用作图的方法说明幻灯机 的工作原理吗？ 下图中点O为幻灯机的光源， AB是一张幻灯片，请你作 出AB在屏幕上的影子。
C A
O
B
D
改变AB与光源O的位置，影长会有怎样的变化？与同 伴交流。
知识点3 等长的物体平行于地面放置时，离点 光源越近，物体的影子越长；离点光源越远物体 影子越短，但不会比物体本身的长度还短。
中心投影与平行投影的区别与联系
相似三角形与投影平面的关系研究
相似三角形与投影平面的关系研究相似三角形是几何学中的重要概念之一，它在许多实际问题中都有广泛的应用。
而投影平面则是在几何学和工程学中经常遇到的一个概念。
本文将讨论相似三角形与投影平面之间的关系，并研究它们在实际问题中的应用。
1. 相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
给定两个相似三角形，我们可以得出以下几个性质：1.1 三角形内角对应相等在两个相似三角形中，对应的内角是相等的。
这是相似三角形的基本性质之一，它使我们能够推导出后面的性质和结论。
1.2 三角形边长成比例在两个相似三角形中，对应的边长之间成比例。
这是相似三角形的另一个重要性质，通过边长的比例，我们可以求解问题中的未知量，进行尺度的换算等。
1.3 高线成比例在两个相似三角形中，对应的高线成比例。
高线是指从一个顶点所引的垂直线段，通过高线成比例，我们可以解决关于面积的问题，计算体积等。
2. 投影平面的定义与性质投影平面是指一个物体在某个平面上的投影。
投影平面可以是垂直于物体的平面，也可以是与物体不垂直的平面。
我们可以得出以下几个关于投影平面的性质：2.1 平行投影平行投影是指物体在平行于投影平面的情况下，其投影保持物体原有的形状和大小。
这是投影平面的一种特殊情况，我们在实际生活中经常遇到这种投影。
2.2 垂直投影垂直投影是指物体在垂直于投影平面的情况下，其投影只保留物体的形状，大小会发生变化。
这也是一种常见的投影方式，例如我们在制作平面图时常常采用这种投影方法。
2.3 投影比例在相似三角形中，投影平面也是起到关键作用的一个因素。
在投影平面上，相似三角形的投影仍然是相似的，且对应边长之间依然成比例。
这使得我们可以利用投影平面进行尺度的换算，计算投影物体的面积等。
3. 相似三角形与投影平面的应用相似三角形与投影平面之间的关系在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个具体的例子：3.1 地图尺度的确定在制作地图时，为了使地图简洁明了，常常需要将真实的地理特征缩小投影到纸面上。
投影与相似三角形
投影与相似三角形投影和相似三角形是数学中的重要概念，在几何学和三角学中有广泛的应用。
本文将详细介绍投影和相似三角形的定义、性质以及它们之间的关系。
一、投影的定义和性质在几何学中，投影是指一个几何体在垂直于另一个几何体的平面上的影子。
投影通常用于描述物体在光线照射下在平面上形成的图像。
投影有以下几个重要的性质：1. 投影的长度与被投影对象的位置有关。
当一个物体距离平面较远时，它的投影长度较短；而当一个物体靠近平面时，它的投影长度较长。
2. 在平行投影中，平行线的投影仍然是平行的。
这意味着平行线在投影中保持相互平行的关系。
3. 投影可以改变物体的形状和大小，但是投影和被投影对象之间的比例关系是保持不变的。
二、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
相似三角形之间的对应边长比例是保持不变的，而对应角度也是相等的。
相似三角形有以下几个重要性质：1. 相似三角形的对应角相等。
如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
2. 相似三角形的对应边长比例相等。
对于两个相似三角形，它们的对应边长的比例是恒定的。
3. 相似三角形的面积比是对应边长比例的平方。
即如果两个三角形相似，它们的面积之比等于对应边长比例的平方。
三、投影与相似三角形的关系投影和相似三角形之间存在紧密的关系。
当两个物体相似且它们的一个图像为另一个图像的投影时，它们的投影仍然相似。
这是因为相似三角形的性质保证了对应边长比例和对应角度相等。
通过投影，我们可以在二维平面上观察和分析三维对象，从而简化问题的求解过程。
在实际应用中，投影和相似三角形有许多重要的应用。
例如在建筑设计中，可以使用投影来绘制建筑物的平面图。
在地理测量学中，可以使用相似三角形原理来测量远距离的物体高度或距离。
在影视制作中，可以使用投影来实现逼真的特效和虚拟场景。
综上所述，投影和相似三角形是数学中重要的概念，它们在几何学和三角学中有广泛的应用。
投影是物体在垂直平面上形成的影子，具有一些重要的性质。
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（2）如果已知BD=3m,DF=1m, 小明身高为
1.6m, 你能求得路灯杆的高吗？
A
C
F DΒιβλιοθήκη B? 有一路灯杆AB( 底部B不能直接到达),在灯光下, 小明在点D处测得自己的影长DF=3m,沿BD方 向到达点F处再测得自己的影长FG=4m,如果小 明的身高为1.6m,求路灯杆AB 的高度（.重要题型）
路灯、台灯、手电筒的光线可以看成 是从一个点发出的.
像这样，在点光源的照射下，物体所 产生的影称为中心投影.
1）在点光源的照射下，不同物体的物高与
影长成比例吗？ 不成比例
2）中心投影与平行投影比较
如图. 有一路灯杆AB，小明在灯光下看
到自己的影子DF，那么
（1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出.
a =20cm ，点D到旗杆的距离AD=40m ，求旗杆
的高度。
B
E a
lF
D
A
? 如图,工地上树立着两根电线杆AB 、CD,它们相 距15m,分别自两杆上高出地面4m,6m 的A、C处, 向两侧地面上的E和D,B和F处,用钢丝拉紧,以固 定电线杆,那么,钢丝绳AD与BC 的交点P离地面 的高度是多少米?
少？
C
D
AP
QB E
阳光问题
? 阳光通过窗口照到教室内， 竖直窗框在地面上留下2.1 m长的影子。已知窗框的影 子DE的E点到窗下墙脚距离 CE=3.9 m。窗口底边离地 面的距离BC=1.2 m 。试求 窗口的高度。（即AB 的值）
A B ED C
(2012徐州第26题)如图，为测量学校围墙外直立电线杆 AB 的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后
? A、小明的影子比小强的影子长 ? B、小明的影子比小强的影子短 ? C、小明的影子和小强的影子一样长 ? D、俩人的影长不确定
小明把手臂水平向前伸直，手持长为a的小尺竖
直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位
置，使站在点D处正好看到旗杆的顶部和底部
（如图）。如果小明的手臂长l =40cm ，小尺长
退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合； 小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处， 此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合。小亮的眼 睛离地面高度EF=1.5m，量得CE=2m，EC1=6m， C1E1=3m。
? （1）△FDM∽△_____ ，△F1D1N∽△ ______；
C
A
P
EB
H
DF
路灯问题
? 王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现 身后的影子顶部刚好触到AC的底部，当他向前再步行12 m到达 Q点时，发现身前的影子的顶端接触到路灯 BD 的底部。已知王 华身高为1.6 m，两个路灯的高度都是9.6 m。
? (1)求两个路灯之间的距离。 ? (1)当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多
§6.7 相似三角形的性质及其应用(2)
夜晚，当人在路灯下行走时，会 看到一个有趣的现象：离开路灯越远， 影子就越长.
你能说明理由吗？
当人在路灯下行走时，在每一时刻，路 灯发出的光线与人的身体、身影构成一个直 角三角形.
在这一组直角三角形中，由勾股定理知： 当人的身长一定时，从头顶到地面的光线的 长越长，则它的影长越长.
A
CE
B
DF G
变式练习
已知为了测量路灯CD的高度，把一根长1.5 m的 竹竿AB 竖直立在水平地面上。测得竹竿的影子 长为1 m，然后拿竹竿向远离路灯的方向走了4 m。再把竹竿竖直立在地面上，竹竿的影长为1.8 m，求路灯的高度。
C
A
A'
D
B
E B'
E'
? 在同一时刻的阳光下,小明的影长比小强的 影子长,那么在同一路灯下( )
? （2）求电线杆AB 的高度。
你今天努力了吗？
知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的
学科网
……