灰色模型应用举例
灰色马尔科夫模型在我国肺结核发病率预测中的应用
灰色马尔科夫模型在我国肺结核发病率预测中的应用随着科技的不断进步，预测模型在医疗方面得到了广泛的运用。
其中，灰色马尔科夫模型（Gray Markov Model，简称GM(1,1)模型）是一种较为常用的模型，具有较高的预测精度和实时性。
在我国肺结核高发国家的现状下，研究肺结核发病率的变化规律和预测肺结核发病率的趋势，具有重要的现实意义。
一、灰色马尔科夫模型简介灰色马尔科夫模型是将灰色系统理论与马尔科夫转移概率矩阵相结合所形成的一种新型预测模型。
该模型适用于样本量较小的情况下，可以根据序列中的数据，对序列未来的趋势进行预测。
GM(1,1)模型是灰色马尔科夫模型家族中的一员，它以低强度的可预测性和对非线性、小样本和不稳定时间序列的适应性为其主要优势。
二、肺结核发病率变化趋势分析2005年，我国肺结核发病率为93/10万，在此之后随着我国经济发展和卫生保健制度改革的实施，肺结核发病率呈下降趋势。
2010-2018年，我国肺结核发病率分别为65/10万、62/10万、58/10万、55/10万、53/10万、50/10万、47/10万、42/10万、39/10万。
可以看出，我国肺结核发病率在逐年下降，但下降幅度有所减缓。
1、建模：采用GM(1,1)模型对我国肺结核发病率进行预测。
将我国2005-2018年的肺结核发病率数据作为灰色马尔科夫模型的输入变量，以2019-2023年为预测年份。
2、模型训练：用我国2005-2018年的肺结核发病率数据训练GM(1,1)模型，得到预测公式。
在本次研究中，采用GM(1,1)模型的基本步骤如下：①数据一次累加生成新数据序列：$B={b(1),b(2),...,b(n)}$：$b(k)=\sum\limits_{j=1}^{k}x(j)$。
②用新的序列得出数据的矩阵形式:$$ \overset{\sim}{X}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}(x(1)+x(2))&1 \\ -\frac{1}{2}(x(2)+x(3))&1 \\\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot&\cdot \\ -\frac{1}{2}(x(n-1)+x(n))&1 \\ \end{bmatrix} $$③建立一阶常系数非齐次线性微分方程：$$\frac{d\overline{x}}{dt}+a\overline{x}=u(t)$$式中，$a$为灰色作用量或灰色关联系数，$u(t)$为输入序列。
灰色预测模型GM(1_1)及其应用
灰色预测模型GM(1,1)的应用一、问题背景：蠕变是材料在高温下的一个重要性能。
处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。
高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。
为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。
过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。
而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。
如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。
二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。
在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕变断裂时间见下表。
数 列 序 数 K1 2 3 4 5载荷应力（kg/mm 2） 37 36 35 34 33 断裂时间（)(100)0(K X ⨯小时）2.38 2.80 4.25 6.85 11.30 一次累加数列)()1(K X 2.38 5.18 9.43 16.28 27.581、建立GM （1,1）模型（1）数据处理：将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素。
即根据断裂时间数列)()0(k X 由∑==kn n X k X 1)0()1()()(得到 )()1(k X 。
（2）建立矩阵B,y:根据⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B 得到 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=19.2118.12130.7178.3B根据 T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( =，得到 T N Y ]3.11,85.6,25.4,80.2[=（3）求出逆矩阵1()T BB - （4）作最小二乘估计，求参数u a ,N T T Y B B B u a 1)(ˆ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=α 可得，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=97.05.0ˆα a = -0.5, u=0.97(5)建立时间响应函数，计算拟合值把a 和u 分别代入au e a u X t X at +-=+-))1(()1(ˆ)0()1(可得到解为2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+t e t X， 取t 为应力序数k 时，即得到时间响应方程为：2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+k e k X即可得到生成累加数列),2,1()1(ˆ)1( =+k k X 。
灰色预测模型原理
灰色预测模型原理灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种基于灰色系统理论和数学建模方法的预测模型。
灰色系统理论是我国学者黄金云教授于1982年提出的一种系统理论，它是研究非确定性和不完备信息系统的一种新方法，可用于研究多变量、小样本和非线性系统。
灰色预测模型主要基于灰色数学建模方法，通过对已知的部分序列数据进行建模和预测，来推测未知的序列数据趋势。
它适用于研究数据量小、信息不完备、非线性关系复杂的系统。
下面将简要介绍灰色预测模型的原理、模型建立过程以及一些应用案例。
1. 灰色预测模型的原理灰色预测模型的核心思想是通过对已知数据进行灰色关联度的度量，从而建立出合适的数学模型，进行未来数据的预测。
其基本原理可以概括为以下五个步骤：（1）建立灰色微分方程：根据原始数据的特点，确定合适的灰色微分方程，通常使用一阶或高阶灰色微分方程。
（2）求解灰色微分方程：根据所选择的灰色微分方程，求解其参数，得到模型的特征参数。
（3）模型检验：检验所建立的灰色预测模型的拟合程度和误差是否符合要求。
（4）进行灰色关联度分析：根据已知数据的变化规律，计算各个因素的灰色关联度，确定相关因素的重要性。
（5）进行预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测和分析，得出预测值。
2. 模型建立过程灰色预测模型的建立过程中，通常包括以下几个步骤：（1）数据的建立与处理：对原始数据进行筛选、预处理和归一化处理，以满足模型的要求。
（2）建立灰色微分方程：从已知数据中提取主要特征，并根据数据的特点选择合适的灰色微分方程。
（3）求解灰色微分方程：根据所选的灰色微分方程，通过累加生成序列、求解参数等方法，得到模型的特征参数。
（4）模型的检验：根据已知数据的拟合程度和误差范围，评估所建立的灰色预测模型的准确性和可靠性。
（5）模型的应用与预测：利用已建立的模型进行未来数据的预测和分析，得出预测结果。
3. 应用案例灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用范围，以下是一些常见的应用案例：（1）经济领域：用于对经济指标、市场需求、价格变动等进行预测，为经济决策提供参考。
灰色模型建模例题
灰色模型建模例题灰色模型是一种基于时间序列数据的预测方法，通过对序列数据的灰度化和建模，可以对未来的趋势进行预测和分析。
下面是一个灰色模型建模的例题：假设有一家服装公司，过去3年的销售额数据如下：年份销售额2018 100万2019 120万2020 135万现在需要利用灰色模型对2021年的销售额进行预测。
解答步骤如下：1. 灰度化处理：将原始数据进行一次累加得到累加数据：100, 220, 355。
可以发现累加数据的增长幅度不稳定，不适合直接进行建模，因此需要进行灰度化处理。
利用紧邻平均法进行灰度化处理，得到灰度数据：100, (100+220)/2 = 160, (220+355)/2 = 287.5。
2. 建立灰色模型：根据得到的灰度数据，可以建立灰色模型进行预测。
常用的灰色模型有GM(1,1)模型和GM(0,1)模型。
假设选取GM(1,1)模型，根据灰度数据建立差分方程：x(k+1) + a * x(k) = b，其中x(k)为累加数据，a为发展系数，b为灰色作用量。
代入灰度数据可得：160 + a * 100 = b，287.5 + a * 160 = b。
解上述方程组可以得到a ≈ 0.5754，b ≈ 100.0128。
进一步求取预测模型：x(k+1) = (x(0) - b/a) * exp(-a * k) + b/a。
代入x(0) = 355，k = 3，a ≈ 0.5754，b ≈ 100.0128可得：x(4) = (355 - 100.0128 / 0.5754) * exp(-0.5754 * 3) + 100.0128 / 0.5754 ≈ 140.36。
3. 预测销售额：根据建立的灰色模型，将k取为4进行预测，可以得到2021年的销售额预测值为140.36万。
通过灰色模型建模分析，得出2021年的销售额预测为140.36万。
数学建模——灰色预测模型
数学建模——灰色预测模型灰色预测模型（Grey Forecasting Model）是一种用于预测不确定性数据的数学模型。
它适用于那些缺乏充分历史数据、不具备明显的规律性趋势或周期性的情况。
灰色预测模型基于灰色系统理论，通过分析数据的变化趋势和规律，来进行预测。
该模型在处理少量数据、缺乏趋势规律的情况下，具有一定的优势。
灰色预测模型的基本思想：灰色预测模型基于“白化（Whitening）”和“黑化（Blackening）”的思想，将不确定性数据分为“白色”和“黑色”两部分。
其中，“白色”代表已知数据，具有规律性和趋势，可以进行预测；而“黑色”代表未知数据，缺乏规律，需要进行预测。
通过建立数学模型，将“白色”和“黑色”数据进行融合，得出预测结果。
灰色预测模型的基本步骤：1.建立灰色数列：将原始数据分成“白色”和“黑色”两部分，构建灰色数列。
2.建立灰色微分方程：对“白色”数列进行微分，得到一阶或高阶微分方程。
3.求解微分方程：求解微分方程，得到预测模型的参数。
4.进行预测：利用已知的模型参数，对“黑色”数据进行预测，得出未来的趋势。
示例：用灰色预测模型预测销售量假设你是一家新开设的小型餐厅的经营者，你希望预测未来三个月的月销售量。
然而，你的餐厅刚刚开业不久，历史销售数据有限，且不具备明显的趋势。
这种情况下，你可以考虑使用灰色预测模型来预测销售量。
步骤：1.建立灰色数列：将已知的销售数据分为“白色”（已知数据）和“黑色”（未知数据）两部分。
2.建立灰色微分方程：对“白色”销售数据进行一阶微分，得到灰色微分方程。
3.求解微分方程：根据灰色微分方程的形式，求解微分方程，得到模型的参数。
4.进行预测：利用求解得到的模型参数，对“黑色”销售数据进行预测，得到未来三个月的销售量趋势。
这个例子中，灰色预测模型可以帮助你基于有限的历史销售数据，预测未来的销售趋势。
虽然该模型的精确度可能不如其他更复杂的方法，但在缺乏充足数据时，它可以提供一种有用的预测工具。
时序预测中的灰色模型介绍(十)
时序预测中的灰色模型介绍时序预测是一种应用广泛的数据分析方法，它可以帮助我们预测未来一段时间内的数据趋势。
而在时序预测中，灰色模型是一种常用的模型之一。
本文将介绍灰色模型的基本原理、应用范围和优缺点。
一、灰色模型的基本原理灰色系统理论最早由中国科学家陈裕昌教授提出，它是一种用于处理少量数据和缺乏信息的系统分析方法。
灰色模型的基本原理是通过对数据进行灰色关联分析、灰色预测等处理，来实现对未来时序数据的预测。
灰色模型的关键在于建立数据的灰色关联度，通过对数据进行加权处理，将不规则的数据变为规则的规整数据，进而实现对未来数据的预测。
这种方法不仅可以用于单变量时序数据的预测，还可以用于多变量时序数据的预测，具有一定的灵活性和适用范围。
二、灰色模型的应用范围灰色模型在实际应用中具有广泛的应用范围，主要包括以下几个方面：1. 经济领域：灰色模型可以用于对经济指标的预测，如国内生产总值、消费指数、失业率等。
通过对这些指标的预测，可以帮助政府和企业制定发展战略和政策。
2. 工业领域：灰色模型可以用于对工业生产数据的预测，如原材料价格、产量、需求量等。
这对于企业的生产计划和库存管理具有重要意义。
3. 环境领域：灰色模型可以用于对环境数据的预测，如空气质量、水质数据等。
通过对这些数据的预测，可以帮助政府和环保部门采取相应的措施来改善环境。
4. 医疗领域：灰色模型可以用于对医疗数据的预测，如疾病发病率、病人数量、医疗资源需求等。
这对于医院和卫生部门的资源配置和医疗服务规划具有重要意义。
三、灰色模型的优缺点灰色模型作为一种时序预测方法，具有以下优点：1. 适用范围广：灰色模型可以处理各种类型的时序数据，包括线性和非线性数据，适用范围广泛。
2. 数据要求低：灰色模型对数据的要求相对较低，对于缺乏信息或者数据量较少的情况也可以进行预测。
3. 预测精度高：灰色模型在一定范围内可以取得较高的预测精度，对于短期和中期的预测效果较好。
灰色模型介绍及应用
灰色理论基本知识概言有关名词概念建模机理灰色理论模型应用（1，1）模型的应用——污染物浓度问题GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目第十章灰色模型介绍及应用灰色理论基本知识概言客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。
对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。
本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。
灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。
信息不完全是“灰”的基本含义。
灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。
通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。
但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。
尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。
事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。
目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。
灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。
有关名词概念灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。
灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。
灰色理论模型
y (k)
y(0) (k 1) X
y(0) (k)
(k 2,3,, n)
18
2. 建立模型GM(1,1)
按前面的方法建立模型GM(1,1)，则可以得到预测值：
xˆ (1) (k 1) x(0) (1) b eak b (k 1,2,, n 1)
a
a
而且：
xˆ (0) (k 1) xˆ (1) (k 1) xˆ (1) (k) (k 1,2,, n 1)
则称 x(1) (k) 为数列 x (0) 的１- 次累加生成，数列
x(1) x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n) 称为数列 x (0) 的１- 次累加生成数列
k
类似地有 x(r) (k) x(r1) (i) (k 1,2,, n, r 1) 称之为 x (0) 的 i 1
22
表1：商品的零售额（单位：亿元）
年代
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
83.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9 101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.0 123.5 92.2 114.0 93.3 101.0 103.5 105.2 109.5 109.2 109.6 111.2 121.7 131.3 105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 118.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9 139.3 129.5 122.5 124.5 135.7 130.8 138.7 133.7 136.8 138.9 129.6 133.7 137.5 135.3 133.0 133.4 142.8 141.6 142.9 147.3 159.6 162.1 153.5 155.9 163.2 159.7 158.4 145.2 124 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 176.5
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灰色系统模型的应用灰色系统理论对中国50年人口发展预测一、中国人口发展概况中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多、底子薄、耕地少、人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。
新中国成立60年，我国人口发展经历了前30年高速增长和后20多年低速增长两大阶段：从建国初期到上世纪70年代初，中国人口由旧中国的高出生、高死亡率进入高出生、低死亡率的人口高增长时期，1950-1975年人口出生率始终保持在30‰以上, 最高达到37‰（表3.2.1）。
70年代以后，人口过快增长的势头得到迅速扭转，人口出生率、自然增长率、妇女总和生育率有了明显下降，人口出生率由70年代初的33‰大幅度下降到80年代的21‰, 妇女总和生育率也由6下降到2.3左右。
90年代以来，随着我国经济高速发展，人民文化和健康水平逐步提高，计划生育工作不断深入，在20-29岁生育旺盛人数年均超过1亿的情况下, 人口出生率依然呈现大幅下降的趋势，到2000年底人口出生率从1990年的21.06‰下降到14.03‰，自然增长率由1990年的14.39‰下降到7.58‰, 妇女总和生育率也下降到2以下。
进入90年代末期, 我国人口实现了低出生、低死亡、低增长的历史性转变。
到2000年底全国总人口为12.6743亿, 成功实现了“九五”计划将人口控制在13亿的奋斗目标。
中国政府自1980年在全国城乡实行计划生育以来成果卓著，据国家计生委“计划生育投入与效益研究”课题组的研究成果，20年共少生2.5亿个孩子，有效地控制了人口的快速增长，为中国现代化建设、全面实现小康打下了坚实的基础, 同时也为世界人口的增长和控制做出了杰出贡献。
但是由于中国人口基数大，人口增长问题依然十分严峻，1990-1999年每年平均净增人口约1300万，这仍然对我国社会和经济产生巨大的压力。
因此，准确预测未来50年人口数量及其增长，为中国经济和社会发展决策提供科学依据，对于加速推进我国现代化建设的宏伟大业有着极为重要的现实意义。
表3 中国人口发展情况统计表─────────────────────────────────────年份总人口（万）出生率（‰）死亡率（‰）自然增长率（‰）净增人口（万）─────────────────────────────────────1957 64653 34.03 10.80 23.23 --- 1965 72538 37.88 9.50 28.38 --- 1970 82992 33.43 7.60 25.83 --- 1975 92420 23.01 7.32 15.69 --- 1978 96259 18.25 6.25 12.00 --- 1979 97542 17.82 6.21 11.61 1283 198****0518.216.3411.871163 1981 100072 20.91 6.36 14.55 1367 1982 101654 22.28 6.60 15.68 1582 1983 103008 20.19 6.90 13.29 1354 1984 104357 19.90 6.82 13.08 1349 1985 105851 21.04 6.78 14.26 1494 1986 107507 22.43 6.86 15.57 1656 1987 109300 23.33 6.72 16.61 1793 1988 111026 22.37 6.64 15.73 1726 1989 112704 21.58 6.54 15.04 1678 1990 114333 21.06 6.67 14.39 1629 1991 115823 19.68 6.70 12.98 1490 1992 117171 18.24 6.64 11.60 1348 1993 118517 18.09 6.64 11.45 1346 1994 119850 17.70 6.49 11.21 1333 1995 121121 17.12 6.57 10.55 1271 1996 122389 16.98 6.56 10.42 1268 1997 123626 16.57 6.51 10.06 1237 1998 124761 15.64 6.50 9.14 1135 1999 125786 14.64 6.46 8.18 1025 2000 126743 14.03 6.45 7.58 957 2001 127627 13.38 6.43 6.95 884 2002 128453 12.86 6.41 6.45 826这反映人口系统具有明显的灰色性，适宜采用灰色模型去发掘和认识其原始时间序列综合灰色量所包涵的内在规律。
二、 灰色系统建模方法设(0)(0)(0)(0)[(1),(2),,()]X x x x n =⋅⋅⋅为系统输出的非负原始数据序列，为揭示系统的客观规律，在建模前灰色系统理论采用了独特的数据预处理方式，对序列)0(X 进行一阶累加，得生成序列)1(X ，即(1)(0)1()()(1,2)k i x k x i k n ===⋅⋅⋅∑GM(1,1)预测模型：(0)(1)()()(1,2)x k az k b k n +==⋅⋅⋅。
其中，)()1(k z 为)()1(k x 的背景值，(1)(1)(1)1()(()(1))2z k x k x k =+-，则方程(0)(1)()()x k az k b +=的白化方程形式为 b ax dtdx =+)1()1(，a ,b 为待定系数，应用最小二乘法可求得：1ˆ()T T a B B B Y b α-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦其中 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(2)/21(2)(3)/21(1)()/21x x x x B x n x n ⎡⎤⎡⎤-+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎡⎤-+⎣⎦=⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦⎣⎦(0)(0)(0)(2)(3)()x x Y x n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦ 时间响应函数为 (1)(0)(1)(1)(1)ˆ(1)((1))ˆˆˆ(1)(1)()ak b b x k x e a a xk x k x k -⎧+=-+⎪⎨⎪+=+-⎩三、 灰色模型检验为确保所建灰色模型有较高的精度应用于预测，需要按下述步骤进行检验：(1) 求出)()0(k x 与)(ˆ)0(k x之残差()k ε、相对误差k ∆和平均相对误差∆： (0)(0)ˆ()()()k x k x k ε=-， (0)()100%()k k x k ε∆=⨯， ∑=∆=∆n k k n 11 (2) 求出原始数据平均值x ，残差平均值ε：(0)11()n k x x k n ==∑，(0)21()1n k k n εε==-∑ (3) 求出原始数据方差21s 与残差方差22s 的均方差比值C 和小误差概率P ：2(0)2111[()]n k s x k x n ==-∑ 2(0)2221[()]1n k s e k e n ==--∑ 21s C s =， {}(0)1()0.6745p P e k e s =-< 通常()k ε、k ∆、C 值越小，p 值越大，则模型精度越好。
若∆< 0.01且k ∆<0.01，C<0.35，p >0.95, 则模型精度为一级。
根据灰色系统理论，当发展系数a ∈(-2,2)且a 3.0-≥时，则所建GM(1,1)模型可用于中长期预测。
四、 中国人口预测与实证分析1．2001年与2002年中国人口检验性预测实际灰色建模中，系统的原始序列数据不一定全部用来建模，不同维数(或长度)序列建模，所得参数a ，b 的值是不一样的，因而模型的预测值也不同，它们构成一个预测灰区间。
为提高预测精度，必须筛选适当维数的灰色模型, 由此反复类推则可建立GM(1,1)模型群从预测实效出发，不直接由表3中总人口序列建模，而是先求出各年净增人口序列，然后应用净增人口序列建模计算净增人口预测值，再加上上年总人口值，即得所预测年份总人口值。
为筛选合适的模型，分别选取5~9维年净增人口短序列，建立灰色动态GM(1,1)模型和新陈代谢GM(1,1)模型，对2001和2002年我国实际总人口数进行检验性预测，其结果见表4和表5。
表4 灰色GM(1,1)模型检验性预测(1) 长序列预测的误差通常大于短序列，并且预测的时间越远，误差越大，而预测的时间越近，误差就越小。
预测一年的相对误差均在0.07%以下，预测两年的误差5~7维短序列模型都在0.081%以下。
这表明采用年净增人口序列建模预测，实际上是对原始总人口数据序列作一阶累减生成处理，弱化了干扰因素，更加突出系统运行的内在规律，因而具有更高的预测精度。
(2) 在表4、表5中，6维灰色预测模型与实际值最为接近，并且均方差比值C = 0.0703<0.35，小误差概率p = 1，发展系数a ∈(-2,2)且a 3.0-≥。
在考虑中长期预测的实际情况下，故而选用6维模型为最优预测模型。
2．中国50年人口发展动态预测通过表4、表5的比较，选用1997~2002年净增人口建立6维灰色动态预测模型并以此为基础建立新陈代谢模型群。
所建6维GM(1,1)基础模型如下：(1)0.079266ˆ(1)147445415981.54k x k e -+=-+。
经检验，C=0.0615,p =1,平均拟合精度q =99.95%，此模型符合一级精度要求，可用于对中国未来总人口进行中长期预测，预测结果见表6。
表6 2003-2050年中国人口预测（GM(1,1)动态预测模型）五、灰色系统理论对中国50年人口预测的结论与讨论2003年7月24日，新华社播发了由国家发展和改革委员会会同科技部、外交部、教育部、民政部等有关部门制定的《中国21世纪初可持续发展行动纲要》（以下简称纲要）指出，到2010年全国人口数量控制在14亿以内，年平均自然增长率控制在9‰以内。
这个目标应该说只是最低要求，因为通过上述对中国未来总人口预测和实证分析，我们可以得到如下结论：（1）“八五”期间中国人口年平均自然增长率为11.60‰，“九五”期间已降为9.11‰，“十五”期间则可能降至5.93‰，到2010年中国人口自然增长率将下降到3.3‰左右。
（2）2003-2010年，中国每年净增人口数将由750万逐步下降到430万左右；到2030年，年净增人口数为70-90万；而到2050年，年净增人口数将不足20万。
到那时，中国人口将基本实现零增长。
（3）到2010年底，中国人口将达到13.31亿，《纲要》的目标也是完全可以实现的；到2020年底将达到13.60亿；到2030年将达到13.73亿左右；而到2050年最多达13.90亿。