灰色预测模型及其应用
时序预测中的灰色模型介绍(六)
时序预测中的灰色模型介绍时序预测是一种对未来趋势进行预测的方法，它在许多领域都有着重要的应用。
而在时序预测中，灰色模型是一种比较常用的方法之一。
本文将介绍灰色模型的原理、应用和优缺点。
灰色模型是由中国科学家陈纳新教授于1982年提出的，它是一种用于处理少量、不完整或不规则数据的预测方法。
与其他传统的预测模型相比，灰色模型在数据缺乏和不完整的情况下有着较好的适用性。
灰色模型的基本原理是将原始数据集分为发展模型序列和残差序列，通过建立发展模型来对未来的趋势进行预测。
其中，发展模型可以是一次累加生成模型、二次累加生成模型、GM(1,1)模型等。
而残差序列则是通过对发展模型进行修正得到的，用于检验模型的精度和完备性。
在实际应用中，灰色模型常常用于对短期趋势进行预测，尤其在经济、环境、科技等领域有着广泛的应用。
例如，对于某一产品的销售量、某一城市的空气质量指数、某一技术指标的变化趋势等，都可以利用灰色模型进行预测。
与其他预测模型相比，灰色模型的优点在于对少量数据的适用性较强，同时不需要对数据进行平稳化处理和参数识别。
此外，灰色模型还能够较好地处理不规则的、非线性的数据，因此在实际应用中有着一定的优势。
然而，灰色模型也存在一些缺点。
首先，灰色模型对数据质量的要求较高，对于缺乏规律性的数据预测效果可能不理想。
其次，灰色模型在长期预测方面效果不如传统的时间序列模型，因此在某些情况下可能存在局限性。
总的来说，灰色模型是一种适用于少量、不完整或不规则数据的时序预测方法。
它在很多领域都有着广泛的应用，并且在一定的条件下有着较好的预测效果。
然而，使用灰色模型时也需要注意数据的质量和模型的局限性，以便得到更准确、可靠的预测结果。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的预测模型，综合考虑灰色模型的优缺点，以帮助我们更好地预测未来的趋势。
同时，我们也可以结合其他预测方法和技术，以提高预测的准确性和可靠性。
因此，灰色模型是时序预测中的一种重要方法，值得我们深入了解和研究。
灰色预测模型及其应用
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
4.2 灰色系统的模型
对数据累加
x(1) (1) x(0) (1) 6， x(1) (2) x(0) (1) x(0) (2) 6 3 9， x(1) (3) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) 6 3+8 17， x(1) (4) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) 6 3+8+10 27， x(1) (5) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) x(0) (5)
第四章 灰色预测模型及其应用
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是通过少量 的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的 一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决 实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题 的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测是 根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于 科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述 和分析，并形成科学的假设和判断.
（5）系统预测. 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰 色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
灰色预测模型在企业财务分析中的应用
灰色预测模型在企业财务分析中的应用现代企业财务分析中，灰色预测模型是一种常用的预测工具。
灰色预测模型能提供准确的财务预测和决策支持，帮助企业实现有效的财务管理和风险控制。
灰色预测模型的应用在企业财务分析中具有以下几个重要方面。
首先，灰色预测模型可以用来分析企业的财务状况。
在企业财务分析中，灰色预测模型可以通过对历史财务数据的分析，预测未来的财务指标，包括利润、销售额、现金流等。
通过灰色预测模型的应用，企业可以更好地了解其财务状况，及时调整经营策略，提升盈利能力。
其次，灰色预测模型可以用来评估企业的风险。
在企业财务分析中，灰色预测模型可以通过对历史财务数据的分析，预测未来的风险指标，包括财务杠杆比率、流动比率等。
通过灰色预测模型的应用，企业能够提前识别到潜在的风险，采取相应的风险控制措施，保护企业的利益和稳定经营。
再次，灰色预测模型可以用来优化企业的资金管理。
在企业财务分析中，灰色预测模型可以通过对历史财务数据的分析，预测未来的资金需求和资金流动情况。
通过灰色预测模型的应用，企业可以优化资金的使用，提高资金利用效率，降低资金成本，确保企业的资金充足，并实现良好的财务管理和资金运作。
此外，灰色预测模型还可以用来指导企业的投资决策。
在企业财务分析中，灰色预测模型可以通过对市场需求和竞争环境的分析，预测未来的市场趋势和竞争态势。
通过灰色预测模型的应用，企业可以制定合理的投资计划，提高投资收益率，降低投资风险，实现投资决策的科学化和精细化。
灰色预测模型在企业财务分析中的应用还具有一些优势。
首先，灰色预测模型相对于其他预测模型来说更加简单、易于理解和操作。
不同于传统的统计模型，灰色预测模型可以通过对数据的分析和处理，得出准确的预测结果，无需过多的数学推导和复杂计算。
其次，灰色预测模型在样本数据量较少或数据质量较差的情况下也能够给出可靠的预测结果。
灰色预测模型在处理非线性和非平稳时间序列数据时更有优势，这些是传统预测模型难以解决的问题。
灰色马尔科夫模型在我国肺结核发病率预测中的应用
灰色马尔科夫模型在我国肺结核发病率预测中的应用随着科技的不断进步，预测模型在医疗方面得到了广泛的运用。
其中，灰色马尔科夫模型（Gray Markov Model，简称GM(1,1)模型）是一种较为常用的模型，具有较高的预测精度和实时性。
在我国肺结核高发国家的现状下，研究肺结核发病率的变化规律和预测肺结核发病率的趋势，具有重要的现实意义。
一、灰色马尔科夫模型简介灰色马尔科夫模型是将灰色系统理论与马尔科夫转移概率矩阵相结合所形成的一种新型预测模型。
该模型适用于样本量较小的情况下，可以根据序列中的数据，对序列未来的趋势进行预测。
GM(1,1)模型是灰色马尔科夫模型家族中的一员，它以低强度的可预测性和对非线性、小样本和不稳定时间序列的适应性为其主要优势。
二、肺结核发病率变化趋势分析2005年，我国肺结核发病率为93/10万，在此之后随着我国经济发展和卫生保健制度改革的实施，肺结核发病率呈下降趋势。
2010-2018年，我国肺结核发病率分别为65/10万、62/10万、58/10万、55/10万、53/10万、50/10万、47/10万、42/10万、39/10万。
可以看出，我国肺结核发病率在逐年下降，但下降幅度有所减缓。
1、建模：采用GM(1,1)模型对我国肺结核发病率进行预测。
将我国2005-2018年的肺结核发病率数据作为灰色马尔科夫模型的输入变量，以2019-2023年为预测年份。
2、模型训练：用我国2005-2018年的肺结核发病率数据训练GM(1,1)模型，得到预测公式。
在本次研究中，采用GM(1,1)模型的基本步骤如下：①数据一次累加生成新数据序列：$B={b(1),b(2),...,b(n)}$：$b(k)=\sum\limits_{j=1}^{k}x(j)$。
②用新的序列得出数据的矩阵形式:$$ \overset{\sim}{X}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}(x(1)+x(2))&1 \\ -\frac{1}{2}(x(2)+x(3))&1 \\\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot&\cdot \\ -\frac{1}{2}(x(n-1)+x(n))&1 \\ \end{bmatrix} $$③建立一阶常系数非齐次线性微分方程：$$\frac{d\overline{x}}{dt}+a\overline{x}=u(t)$$式中，$a$为灰色作用量或灰色关联系数，$u(t)$为输入序列。
灰色预测模型理论及其应用
灰色预测模型理论及其应用灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测.灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。
一、灰色系统及灰色预测的概念1.1灰色系统灰色系统产生于控制理论的研究中。
若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。
若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。
灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。
区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。
特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。
1.2灰色预测灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。
生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。
灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类：(1) 灰色时间序列预测。
用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。
(2) 畸变预测（灾变预测）。
通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
(3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。
灰色预测模型及其应用
第七章 灰色预测模型及其应用
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是通过少量 的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的 一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决 实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题 的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测 是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助 于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描 述和分析，并形成科学的假设和判断.
或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中
7.2 灰色系统的模型
x(1) (5) x(1) (5) x(1) (4) 34 27 7， x(1) (4) x(1) (4) x(1) (3) 27 17 10， x(1) (3) x(1) (3) x(1) (2) 17 9 8， x(1) (2) x(1) (2) x(1) (1) 9 6 3， x(1) (1) x(1) (1) x(1) (0) 6 0 6. 归纳上面的式子得到如下结果：一次后减 x(1) (i) x(1) (i) x(1) (i 1) x(0) (i)
dx (1) + ax (1) = u dt
（7.1） （7.2） （7.3）
7.2 灰色系统的模型
其中是常数，称为发展灰数；称为内生控制灰数，是对
系统的常定输入.此方程满足初始条件
的解为
当t t0时x(1) x(1) (t0 )
(7.3)’
x(1) (t)
x(1)
(t0
)
u a
7.3 销售额预测
（2）建立矩阵：B, y
t
涉及到累加列 x(1)
灰色预测模型GM(1_1)及其应用
灰色预测模型GM(1,1)的应用一、问题背景：蠕变是材料在高温下的一个重要性能。
处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。
高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。
为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。
过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。
而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。
如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。
二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。
在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕变断裂时间见下表。
数 列 序 数 K1 2 3 4 5载荷应力（kg/mm 2） 37 36 35 34 33 断裂时间（)(100)0(K X ⨯小时）2.38 2.80 4.25 6.85 11.30 一次累加数列)()1(K X 2.38 5.18 9.43 16.28 27.581、建立GM （1,1）模型（1）数据处理：将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素。
即根据断裂时间数列)()0(k X 由∑==kn n X k X 1)0()1()()(得到 )()1(k X 。
（2）建立矩阵B,y:根据⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B 得到 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=19.2118.12130.7178.3B根据 T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( =，得到 T N Y ]3.11,85.6,25.4,80.2[=（3）求出逆矩阵1()T BB - （4）作最小二乘估计，求参数u a ,N T T Y B B B u a 1)(ˆ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=α 可得，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=97.05.0ˆα a = -0.5, u=0.97(5)建立时间响应函数，计算拟合值把a 和u 分别代入au e a u X t X at +-=+-))1(()1(ˆ)0()1(可得到解为2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+t e t X， 取t 为应力序数k 时，即得到时间响应方程为：2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+k e k X即可得到生成累加数列),2,1()1(ˆ)1( =+k k X 。
灰色预测模型的研究及应用
灰色预测模型的研究及应用
灰色预测模型是一种用于预测问题的数学模型，广泛应用于各个领域。
它在1982年由中国科学家GM灰所提出，因此得名为“灰色预测模型”。
灰色预测模型基于灰色系统理论，它假设事物的发展具有一定的规律性和趋势性，但也存在不确定性的因素。
它通过对已知数据的分析和处理，来预测未来的发展趋势。
灰色预测模型的核心思想是将已知数据序列分解为两个部分：灰色部分和白色部分。
灰色部分是由数据的数量级和函数形式决定的，因此可以用来预测未来的趋势。
白色部分则是由不确定的随机因素引起的，往往被视为噪声，不具备预测能力。
灰色预测模型有多种形式，其中最常用的是GM(1,1)模型。
该模型通过建立一阶线性微分方程来描述数据的变化趋势，然后利用指数累减生成灰色模型。
基于灰色模型，可以进一步进行累加、累减、累乘等操作，来实现更复杂的预测。
灰色预测模型在各个领域都有广泛的应用。
其中最典型的应用是经济预测领域，包括国民经济、金融市场等。
此外，它还可以应用于工业生产、环境保护、农业发展、医疗卫生等方面的预测。
灰色预测模型的优点是简单易懂、计算量小、适用范围广。
它可以对数据的趋势进行较为准确的预测，尤其适用于数据量较小或者不完整的情况下。
缺点是对数据的要求较高，数据的采
样点要均匀分布，并且在建立模型时需要进行一些参数的选择，可能存在主观性和不确定性。
总之，灰色预测模型是一种有效的预测方法，具有广泛的应用前景。
在实际应用中，需要对具体问题进行合理的建模和参数选择，以提高预测的准确性。
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于是得到一个新数据序列
x(1) {6, 9, 17, 27, 34}
7.2 灰色系统的模型
归纳上面的式子可写为 i x(（1) i） { x(0) ( j) i 1, 2L , N} j 1
称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生 成，简称为一次累加生成.显然有 x(1) (1) x(0) (1).
,
1
a
U
u
,
则(7.6)式的矩阵形式为
y BU
方程组(7.6)’的最小二乘估计为
(7.6)’
Uˆ
aˆ
uˆ
(BT
B)1 BT
y
(7.7)
7.2 灰色系统的模型
把估计值 aˆ与uˆ 代入（7.4）式得时间响应方程
xˆ(1) (k
1)
x
(1)
y (x(0) (2), x(0) (3), L , x(0) (N ))T.
(7.6)
这里，T表示转置.令
7.2 灰色系统的模型
1212[[xx(1()1() 3(2))xx(1()1()2(1))]]
M
1 2
[
x(1)
(
N
)
x(1) (N
1)]
1
1
其中
i 1, 2,..., N，x(0) (0) 0.
7.2 灰色系统的模型
2. 建模原理 给定观测数据列
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (N ) }
经一次累加得
x(1) {x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (N ) }
类似地有
x(1) (3) x(0) (3),..., x(1) (N ) x(0) (N ).
t
t
于是，由式（7.3）有
ìïïïïïïïíïïïïïïïî
x (0)(2) x (0)(3) ......... x (0)(N )
+ ax + ax ....... + ax
(1)(2) = u, (1)(3) = u, .............. (1)(N ) = u
7.1 灰色系统的定义和特点 7.2 灰色系统的模型 7.3 销售额预测 7.4 城市道路交通事故次数的灰色预测 7.5 城市火灾发生次数的灰色预测 7.6 灾变与异常值预测
7.1 灰色系统的定义和特点
7.1灰色系统的定义和特点
灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于 1982年提出并加以发展的。二十几年来，引起了不 少国内外学者的关注，得到了长足的发展。目前， 在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领 域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与 建模的重要方法之一。特别是它对时间序列短、统 计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独 特的功效，因此得到了广泛的应用.在这里我们将简 要地介绍灰色建模与预测的方法，更进一步的内容 可参考文献[23],[24],[25]。
7.3 销售额预测
【例7.2】 表7.2列出了某公司1999—2003年逐年的销 售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求 作精度检验。
表7.2 逐年销售额（百万元）
年份 序号
x(0)
1999 1
2.874
2000 2
3.278
2001 3
3.337
2002 4
3.390
2003 5
3.679
x(0) (2) x(0) (3)
M
1 2
[ x(1)
(2)
x(1)
(1)]
1 2
[
x(1)
(3)
x(1)
(2)]
M
x(
0)
(
N
)
1 2
[ x(1)
(N
)
x(1)
(N
1)]
1
1 1
a u
.
1
令
因x(1) (1) 留作初值用，故将 x(1) (2), x(1) (3),..., x(1) (N ) 分别代入方程(7.3),
用差分代替微分，又因等间隔取样，t (t 1) t 1, 故得
x(1) (2) x(1) (2) x(1) (2) x(1) (1) x(0) (2), t
.
7.2 灰色系统的模型
把ax(1) (i) 项移到右边，并写成向量的数量积形式
x(0) (2)
[
x(1)
(2),
1]
a u
x
(
0)
(3)
[
x(1)
(3),
1]
a u LL源自 x(0)(
N
)
[
x(1)
(
N
),
1]
a u
x
(1)
(t0 )
u a
ea(t t0 )
u a
.
对等间隔取样的离散值 (注意到 t0 1）则为
x(1) (k 1) [x(1) (1) u ]eak u .
a
a
(7.4)
灰色建模的途径是一次累加序列（7.2）通过最小二乘法来 估计常数a与u.
7.2 灰色系统的模型
7.3 销售额预测
灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、 预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统 所做的预测.目前常用的一些预测方法（如回归分 析等），需要较大的样本.若样本较小，常造成较 大误差，使预测目标失效.灰色预测模型所需建模 信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领 域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的 有效工具.
2. 灰色系统的特点
（1）用灰色数学处理不确定量，使之量化. （2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律. （3）灰色系统理论能处理贫信息系统.
7.1灰色系统的定义和特点
常用的灰色预测有五种：
（1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来 构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征 量的时间。
(1)
uˆ aˆ
e aˆk
uˆ aˆ
(7.8)
当k 1, 2,L , N 1时，由(7.8)式算得的 xˆ(1) (k 1) 是拟合值；
当k N时，xˆ(1) (k 1) 为预报值.这是相对于一次累加序列
x (1) 的拟合值，用后减运算还原，当k 1, 2,L , N 1时，
将上述例子中的 x(0)，x(1) 分别做成图7.1、图7.2.
可见图7.1上的曲线有明显的摆动，图7.2呈现逐渐 递增的形式，说明原始数据的起伏已显著弱化.可以 设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成 数列x (1) .
7.2 灰色系统的模型
图7.1
图7.2
为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算
7.1灰色系统的定义和特点
1. 灰色系统的定义
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信 息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端， 我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全 确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要 标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
7.1灰色系统的定义和特点
（2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时 刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生 在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。
（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定 值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模 型预测该定值所发生的时点。
Operational Research
第七章 灰色预测模型及其应用
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是通过少 量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测 的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解 决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问 题的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预 测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借 助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行 描述和分析，并形成科学的假设和判断.
(7.5)
由于x (1)
t
涉及到累加列 x (1)
的两个时刻的值，因此，x(1) (i)
取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将 x(i) (i) 替换为
7.2 灰色系统的模型
1 [x(i) (i) x(i) (i 1)], (i 2,3,..., N ). 2
将（7.5）写为矩阵表达式
或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中
7.2 灰色系统的模型
x(1) (5) x(1) (5) x(1) (4) 34 27 7， x(1) (4) x(1) (4) x(1) (3) 27 17 10， x(1) (3) x(1) (3) x(1) (2) 17 9 8， x(1) (2) x(1) (2) x(1) (1) 9 6 3， x(1) (1) x(1) (1) x(1) (0) 6 0 6. 归纳上面的式子得到如下结果：一次后减 x(1) (i) x(1) (i) x(1) (i 1) x(0) (i)
7.2 灰色系统的模型