北师大八年级上勾股定理题型总结
勾股定理 知识归纳与题型突破(十一类题型清单) 解析版—24-25学年八年级数学上册单元(北师大版)
勾股定理 知识归纳与题型突破（十一类题型清单）一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理a b 、c 222a b c +=01 思维导图02 知识速记 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系： 若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若时，△ABC 是锐角三角形； 若时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t 为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.四、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．题型一 用勾股定理解三角形例题1．若一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边长是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．10【答案】D a b c 、、222a b c +=c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜222x y z +=x y z 、、a b c 、、at bt ct 、、a b c 、、a b c <<2a b c =+272903 题型归纳2．在直角ABC V 中，90B Ð=°，3AB =，4AC =，则BC 的长为（ ）A ．5B C ．5D ．53．如图，在Rt ABC △中，90A Ð=°，2BC =，则222AC AB BC ++的值为（ ）A ．8B ．2C ．4D ．【答案】A 【分析】利用勾股定理进行求解即可．【解析】解：∵90A Ð=°，2BC =，∴222228A BC C AB BC BC ++=+=；故选A ．【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键．4．如图所示，已知ABC V 中，6AB =，9AC =，AD BC ^于D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于 ．【答案】45【分析】在Rt △ABD 和Rt ADC V 中，分别表示出2BD 和2CD ，在Rt BDM V 和Rt CDM △中，表示出2MB 和2MC ，代入求解即可；【解析】解：∵AD BC ^于D ，∴90ADB ADC Ð=Ð=°，在Rt △ABD 和Rt ADC V 中，222BD AB AD =-，222CD AC AD =-，在Rt BDM V 和Rt CDM △中，222222MB BD MD AB AD MD =+=-+222222MC CD MD AC AD MD =+=-+，()()22222222MC MB AC AD MD AB AD MD \-=-+--+，22AC AB =-，45=．故答案为：45．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析计算是解题的关键．题型二 勾股定理逆定理 勾股数例题5．下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（ ）A ．5，12，14B ．6，8，9C ．7，24，25D ．8，13，15【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理逐项验证即可得到答案．【解析】A 、22245121+¹，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B 、222689+¹，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C 、22272425+=，能构成直角三角形，故此选项符合题意；D 、22281315+¹，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理计算三角形两边的平方和是否等于第三边的平方是解决问题的关键．巩固训练6．由下列条件不能判定ABC V 为直角三角形的是（ ）A ．A C BÐ+Ð=ÐB ．13a =，14b =，15c =C ．()()2b a b a c+-=D ．5:::3:2A B C ÐÐÐ=7．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）A ．0.3，0.4，0.5B ．3，4，5C ．2，8，10D ．1【答案】B【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．【解析】解：A ．0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意；8．下列各组数中，是勾股数的是（ ）．A ．1，2，3B C D ．9，12，15例题9．（1）如图，在ABC V 中，AD BC ^，求证：2222AB AC BD CD -=-；（2）在ABC V 中，8AB =，5AC =，BC 边上的高4AD =，求边BC 的值．10．如图，已知等腰ABC V 的底边25cm BC =，D 是腰AB 上一点，连接CD ，且24cm 7cm CD BD ==，．(1)求证：BDC V 是直角三角形；(2)求AB 的长．11．如图，已知在ABC V 中，CD AB ^于点D ，20AC =，15BC =，9DB =，(1)求DC 、AB 的长；(2)求证：ABC V 是直角三角形．12．已知在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，9AC =，15AB =，5BD =，过点D 作DH AB ^于点H ．(1)求CD 的长；(2)求DH 的长．题型四 勾股定理逆定理拓展性质例题13．下列由三条线段a 、b 、c 构成的三角形：①2a mn =，22b m n =-，()220c m n m n =+>>，②21a n =+，2221b n n =++，()2220c n n n =+>，③3a k =，4b k =，()50c k k =>，④2=，其中能构成直角三角形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．以下四组代数式作为ABC V 的三边：①345n n n ，，（n 为正整数）；②12n n n ++，，（n 为正整数）；③22121n n n +-，，（2n ³，n 为正整数）；④22222m n mn m n -+，，（m n >，m ，n 为正整数）．其中能使ABC V 为直角三角形的有（ ）A ．0组B ．1组C ．2组D ．3组【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行计算判断即可．【解析】解：①中222234255n n n n +==（）（）（），能构成直角三角形，故符合要求；②中，222221222144n n n n n n n =+++¹++=++（）（），不能构成直角三角形，故不符合要求；③中222422212211n n n n n ++-=+=+（）（）（），能构成直角三角形，故符合要求；④中2222422422222m n mn m m n n m n +=++=+-（）（）（），能构成直角三角形，故符合要求．∴能使ABC V 为直角三角形的有3组，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式．解题的关键在于正确的运算．15．下列命题①如果a b c 、、为一组勾股数，那么444a b c 、、仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、7，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边a b c 、、，（ab c >=），那么222::2:1:1a b c =，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④题型五 勾股定理与数轴上的实数例题16．如图，在数轴上点A 表示的实数是（ ）A B C D ∵3,1OC BC ==∴223110OA OB ==+=，17．如图，OA OB =，(1)写出数轴上点A 表示的数；(2)比较点A 表示的数与 1.5-的大小；(3)由勾股定理得：2222=+=+OC OH CH以O为圆心，OC长为半径画弧，交x轴的正半轴于点18．如图，在数轴上以1个单位长度画一个正方形，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点为B，且点B表示的是一个无理数，因此我们得出一个结论．(1)点B表示的数为_________；得出的结论是：_________与数轴上的点是一一对应的．(2)若将图中数轴上标的A ，C ，D 3和p -对应起来，则点A 表示的实数为_________，点C 表示的实数为_________，点D 表示的实数为_________．例题19．如图，ABC V 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ^于点D ，则BD 的长为（ ）A B 5C 5D ．45【答案】C【分析】根据图形和三角形的面积公式求出ABC V 的面积，根据勾股定理求出AC ，根据三角形的面积公式计算即可．【解析】解：如图，ABCV的面积12BC =´由勾股定理得，AC=则1522BD´´=，20．如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（ ）A．B．C．D．故选A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a b c ，，满足222+=a b c ，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．21．如图所示，在44´的正方形网格中，ABC V 的顶点都在格点上，下列结论错误的是（ ）A ．60CBA Ð=°B ．5AB =C ．90ACB Ð=°D ．BC =例题22．如图，图中的三角形为直角三角形，已知正方形A 和正方形B 的面积分别为25和9，则正方形C 的面积为 ．【答案】34【分析】根据题意，得出90EDF Ð=°，再根据勾股定理，得出222DE DF EF +=，再结合正方形的面积，得出22234EF DE DF =+=，进而即可得出正方形C 的面积．【解析】解：如图，由题意得90EDF Ð=°，∴222DE DF EF +=，∵四边形都是正方形，∴2A S DE =正边形，2B S DF =正边形，2C S EF =正边形，∵正方形A 、B 的面积分别为25和9，∴225DE =，29DF =，∴22234EF DE DF =+=，∴正方形C 的面积为：34．故答案为：34．【点睛】本题考查了勾股定理的几何应用，熟知勾股定理是解题的关键．巩固训练23．如图，1S 、2S 、3S 分别是以Rt ABC △的三边为直径所画半圆的面积，其中110S p =，26S p =，则3S = ．24．如图，五个正方形放在直线MN 上，正方形A 、C 、E 的面积依次为3、5、4，则正方形B 、D 的面积之和为（ ）A ．11B ．14C ．17D ．20【答案】C 【分析】如图：由题意可得90ABC ACE CDE Ð=Ð=Ð=°,2223,5,A C B S AB S DE S AC =====,AC CE =，再根据全等三角形和勾股定理可得538B C A S S S =+=+=，同理可得549D C E S S S =+=+=，最后求正方形B 、D 的面积之和即可．【解析】解：如图：由题意可得：90ABC ACE CDE Ð=Ð=Ð=°,2223,5,A C B S AB S DE S AC =====,AC CE=∴90,90,BAC ACB DCE ACB Ð+Ð=°Ð+Ð=°∴BAC DCE Ð=Ð，∴ABC CDE @V V ,∴DE BC =,∵90ABC Ð=°，∴222AC BC AB =+，∴222AC DE AB =+,即538B C A S S S =+=+=,同理：549D C E S S S =+=+=;∴8917D B S S +=+=．故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，发现各正方形之间的面积关系是解答本题的关键．25．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E 的面积是（ ）A ．11B ．47C ．26D ．35【答案】D 【分析】如图，根据勾股定理分别求出F 、G 的面积，再根据勾股定理计算出E 的面积即可．【解析】解：如图，由勾股定理得，正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积22=+=，3425同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积221310=+=，=+=，∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积251035故选：D．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么222a b c．+=26．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形②和D¢，…，依次类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（）A．2B．4C．8D．16例题27．已知a ，b ，c 是ABC V 中A Ð，B Ð，C Ð的对边，下列说法正确的有（ ）个①若90C Ð=°，则2a +22b c =；②若90B Ð=°，则222a c b +=；③若90A Ð=°，则2b +22c a =；④总有2a +22b c =．A ．1B ．2C ．3D ．428．在Rt ABC △中，斜边2BC =，则222AB AC BC ++的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．无法计算【答案】C【分析】根据勾股定理可知222BC AB AC =+，进而可知22222A C B C C B A B BC +=++．【解析】解：∵在Rt ABC △中，斜边为BC ，∴222BC AB AC =+，∵2BC =，∴224AB AC =+，∴22222448B AB AC BC BC C +=+=++=，故选C ．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．29．如图，ABC V 中，90BAC Ð=°，点A 向上平移后到A ¢，得到A BC ¢V ．下面说法错误的是（ ）A ．ABC V 的内角和仍为180°B ．BAC BAC ¢Ð<ÐC ．222AB AC BC +=D ．222A B A C BC ¢¢+<30．如图，在ABC V 中，AB AC >，AH BC ^于H ，M 为AH 上异于A 的一点，比较AB AC -与MB MC -的大小，则AB AC -（ ）MB MC -．A．大于B．等于C．小于D．大小关系不确定【答案】C【分析】由题意得，AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，则AB2−AC2＝BH2−HC2，同理有MB2−MC2＝BH2−HC2，则AB2−AC2＝MB2−MC2．再根据平方差公式即可求解．【解析】解：∵AH⊥BC，有AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，∴AB2−AC2＝BH2−HC2，又∵MH⊥BC，同理有MB2−MC2＝BH2−HC2，∴AB2−AC2＝MB2−MC2，即（AB＋AC）（AB−AC）＝（MB＋MC）（MB−MC），又∵M点在△ABC内，∵AB＋AC＞MB＋MC，则AB−AC＜MB−MC．故选C．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理及平方差公式的应用．题型九 勾股定理的证明方法例题31．我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【答案】D32．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是（）A．函数思想B．数形结合思想C．分类思想D．方程思想【答案】B【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．【解析】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．33．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（）A ．B ．C ．D ．34．如图，在四边形ABDE 中，AB DE ∥，AB BD ^，点C 是边BD 上一点，BC DE a ==，CD AB b ==，AC CE c ==．下列结论：①ABC CDE ≌△△；②A C C E ^；③四边形ABDE 的面积是222121b ab a ++；④()2221112222a b c ab +-=´；⑤222+=a b c ．其中正确的结论个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5例题35．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，断落的木杆与地面形成45°角，则木杆原来的长度是（ ）A．8米B．(8+米C．16米D．24米^，一架云梯AB长为25米，顶端A靠在墙AC上，此时云梯底端B与墙角C距离为7 36．如图，AC BC米，云梯滑动后停在DE的位置上，测得AE长为4米，则云梯底端B在水平方向滑动的距离BD为（）A．4米B．6米C．8米D．10米37．如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度x （罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（ ）A ．1213x ≤≤B ．1215x ££C ．512x ££D ．513x ££【答案】A 【分析】由题意得当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a 的长度x 为最小，即为12，当吸管与底面圆的一端重合时，吸管在罐内部分a 的长度x 为最大，根据勾股定理可进行求解．【解析】解：由题意得：当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a 的长度x 为最小，即为12，38．如图所示，ABCD 是长方形地面，长20AB =，宽10AD =，中间整有一堵砖墙高2MN =，一只蚂蚁从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）A ．20B ．24C ．25D ．26【点睛】本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平面展开图．39．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元．40．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距^，如图，为了安全起见，爆破点C周围离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA CB250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．∴在Rt ABC △中，400AB =∵1122AB CD BC AC ×=×，41．某条道路限速80km /h ，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30m 的C 处，过了2s ，小汽车到达B 处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m ．(1)求BC 的长；(2)这辆小汽车超速了吗？【答案】(1)40m(2)没有超速．【分析】（1）Rt ABC △中，有斜边AB 的长，有直角边AC 的长，那么根据勾股定理即可求出BC 的长；例题42．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边9cm AC =，12cm BC =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合．(1)求EB 的长；(2)求CD 的长．43．如图，在长方形ABCD 中，将长方形沿EF 折叠，使点C 的对应点与点A 重合，点D 的对应点为点G ．(1)求证：AE AF =；(2)若48AB BC ==，，求ABE V 的面积．【答案】(1)见解析(2)ABE V 的面积为6．【分析】（1）根据平行线的性质以及折叠的性质证明AFE AEF Ð=Ð，再根据等角对等边即可证明AE AF =；（2）由折叠的性质得AE CE =，设AE CE x ==，在Rt ABE △中，建立方程，进一步计算即可求解．【解析】（1）证明：∵长方形ABCD 中，∴AD BC ∥，∴Ð=ÐAFE CEF ，由折叠的性质得AEF CEF Ð=Ð，∴AFE AEF Ð=Ð，44．如图，在ABC V 中，9068ACB AC BC Ð=°==，，．(1)如图（1），把ABC V 沿直线DE 折叠，使点A 与点B 重合，求BE 的长；(2)如图（2），把ABC V 沿直线AF 折叠，使点C 落在AB 边上G 点处，请直接写出BF 的长．45．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点P 在矩形的边CD 上由点D 向点C 运动.沿直线AP 翻折ADP D ，形成如下四种情形，设DP x =，ADP D 和矩形重叠部分（阴影）的面积为y .（1）如图4，当点P 运动到与点C 重合时，求重叠部分的面积y ；（2）如图2，当点P 运动到何处时，翻折ADP D 后，点D 恰好落在BC 边上？这时重叠部分的面积y 等于多少？【答案】（1）32.8y =；（2）当5DP =时，点D 恰好落在BC 边上,这时25y =.【分析】（1）根据折叠或者轴对称的性质,找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答;（2）同样根据轴对称的性质, 找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答;【解析】解：（1）由题意可得,DAC D AC ACE¢Ð=Ð=Ð∴AE CE =46．如图，在ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，点D 为线段BC 延长线上一点，以AD 为腰作等腰直角DAF △，使90DAF Ð=°，连接CF ．(1)请判断CF 与BC 的位置关系，并说明理由；(2)若8BC =，4CD BC =，求线段AD 的长；(3)如图2，在（2）的条件下，将DAF △沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE ，求线段CE 的长．【答案】(1)CF BC ^，理由见解析∵FAO AFO AOF Ð+Ð+Ð∴90FAO DCO Ð=Ð=°，∵ABC V 是等腰直角三角形，∴12BH CH AH BC ===∴6DH =，由勾股定理得，AD =∴90AMD DNE Ð=°=Ð，同理（2）可知，4AM =，MD ∵90ADM EDN EDN Ð+Ð=°=Ð∴ADM DEN Ð=Ð，∵90AMD DNE Ð=°=Ð，ADM Ð。
北师大版八年级数学上册第1章勾股定理本章归纳总结
作等腰直角三角形ABD,使∠ABD=90°,连接CD,则线段
CD的长为
。5或 13
例3 一张直角三角形纸片,两直角边 AC=6cm,BC=8cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合, 折痕是DE（如图所示）,求CD的长.
分析：设CD为 x,∵AD=BD,∴AD=8-x. ∴在△ACD中,根据勾股定理列出 关于x的方程即可求解.
分析：∵点P的坐标为(- 2.3), O P （- 2）2 32 13. ∵点A ，P均在以点O 为圆心，O P为半径的圆上， O A O P 13. ∵9＜13＜16，3＜ 13小于4. 又∵点A 在x轴负半轴上， 点A 的横坐标介于- 4和- 3之间，故选A .
例2 在△ABC中,AB=2 ,BC=1,∠ABC=45°以AB为一边
3.曲面两点间的距离问题 在解决曲面中两点间的距离时,往往是要将曲面问题转 化为同一平面内两点之间的距离,这是解决问题的关键.
典例精析,复习新知
例1：如图所示,在平面直角会标系中,点P的坐标为(-2,3),以点 O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的 横坐标介于( )
A.-4和-3之间 B.3和4之间 C.-5和-4之间 D.4和5之,在底部A处有一只壁虎,C′处 有一只蚊子,壁虎急于捕捉到蚊子充饥. （1）试确定壁虎所走的最短路线； （2）若立方体礼盒的棱长为20cm,则壁虎如果想在半分钟内 捕捉到蚊子,每分钟至少要爬行多少厘米？（保留整数）
分析：求几何表面的最短距离时, 通常可以将几何体表面展开,把立 体图形转化为平面图形.
本章归纳总结
知识结构
释疑解惑,加深理解
1.勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法有多种,一般是采用剪拼的方法,它 把“数与形”巧妙地联起来,是几何体与代数沟通的桥梁,同 时也为后面的四边形、圆、图形交换,三角函数等的互化的学 习提供了方法和依据。
北师版八年级上册《勾股定理》知识总结与练习题(免费)
勾股定理 1. 知识总结1. 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 2．勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+, 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++， 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证3．勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直 角三角形。
4．勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =ba =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5．勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
6. 勾股数常见：3 4 5； 5 12 13； 6 8 10； 7 24 25； 8 15 17； 9 12 15；9 40 41； 10 24 26；11 60 61； 12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39； 16 30 34； 16 63 65； 18 24 30； 18 80 82； 20 21 29； 25 60 65cbaHG F EDCB Abacbac cabcab a bc cbaED CBA7. 勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．8. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 9. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CBA ADB CCB DA10.互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
北师版八年级上册《勾股定理》知识总结与练习题
勾股定理1. 知识总结1. 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=2．勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+, 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++， 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 3．勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直 角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
4．勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5．勾股定理的逆定理 内容：如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较:若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角c ba HG FED C B A b ac b a cc a b c a b a b c c b a E D CB A形是直角三角形6. 勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）7. 勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．8. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．9. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A10.互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
八年级数学上册第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习新版北师大版2
第1章 勾股定理一．知识归纳 1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 7．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． 8．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：AB C30°D CB A ADB CCBDA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC 题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴4AC =， 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD 答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c == ∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=，90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=一、 选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是 ( ) A、2ab<c 2B 、2ab ≥c 2C 、2ab>c 2D 、2ab ≤c22、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A 、5B 、25C 、7D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、8个4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c ），那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。
北师大版八年级数学上册 第一章：勾股定理考点与常考题型
第1讲 勾股定理及其逆定理知识点一、勾股定理及其逆定理的基本应用考点一、求线段的长【方法点拨】①勾股定理常用来求直角边或斜边；②勾股定理是求线段长度的最主要方法，若缺少直角条件，可以通过作垂线的方法构造直角三角形；③若不能直接用勾股定理求出直角三角形的边，一般设未知数，建立方程求解。
例1、等腰三角形的底边长为12，底边上的中线长为8，它的腰长为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12例2、Rt △ABC 中，斜边BC ＝3，则AB 2+AC 2+BC 2的值为（ ） A ．16B ．18C ．8D ．无法计算例3、如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2+y 2＝49，②x ﹣y ＝2，③2xy +4＝49，④x +y ＝9．其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④例4、若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（ ） A ．5B ．10C ．125D ．245例5、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为 ． 例6、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 ．例7、如图，在△ABC 中，CE 是AB 边上的中线，CD ⊥AB 于D ，且AB ＝5，BC ＝4，AC ＝6，求DE 的长．考点二求面积【方法点拨】①勾股定理间接反映了三个图形面积之间的关系，可利用勾股定理求三角形、四边形、扇形、弓形的面积；②用勾股定理求直角三角形面积时，可将ab看作一个整体，而不必求出ba，的值，利用222cba=+，再结合()()2222babaab+-+=等类似完全平方式的变形等式解决实际问题。
例1、如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（）A．12B．13C．144D．194例2、勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90B．100C．110D．121例3、如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．64例4、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．例5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，正方形A的面积为9cm2，则正方形A，B，C，D面积之和为cm2．例6、如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．知识点二、勾股定理的实际问题考点一树折断问题【方法点拨】注意树折断前后的长度是固定的。
北师大版八年级数学上册第1章 勾股定理小结与复习
(n>1)， 那么它的斜边长D是（ ）
A. 2n
B. n + 1 C. n2 - 1 D. n2 + 1
4. 已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 a + b = 14 cm，c =
10 cm，则 Rt△ABC 的面积是（ A ）
A. 24 cm2 B. 36 cm2 C. 48 cm2 D. 60 cm2
2.2米
1.5 米
1.5 米
1.5 米
Cx B
x2 = 1.52 + 1.52 = 4.5 AB2 = 2.22 + x2 = 9.34 AB ≈ 3.1 米
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
能放入电梯内的竹竿的最大长度大约 3.1 米，因为
竹竿放不进去，所以小明买的竹竿至少是 3.1 米.
见教材章末复习题
B. 14
C. 7
D. 7 或 25
2. 下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是直角
三角形的是（ A ） A. a = 1.5，b = 2，c = 3 C. a = 6，b = 8，c = 10
B. a = 7，b = 24，c = 25 D. a = 3，b = 4，c = 5
3. 如果直角三角形的两直角边长分别为 n2 - 1，2n
第一章 勾股定理
小结与复习
直角三角形
勾股定理
勾股定理 的逆定理
验证方法
已知两边 求第三边 判定直角三角形
判定勾股数
判定垂直
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c， 那么
a2 + b2 = c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理的应用条件：
北师版八年级上第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习-（北师大版数学）
北师版八年级上第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习-（北师大版数学）北师版八年级数学第1章勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法cbaHG F EDCB Abacbac cabcab a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?，则c，b =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用８.．勾股定理逆定理的应用９.勾股定理及其逆定理的应用AB C30°D CB A ADB C CB DA二、常见考题分析题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ?中，90C ∠=?．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ?中，90ACB ∠=?，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC ?中，90C ∠=?，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来例4.如图Rt ABC ?，90C ∠=?3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m ABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m 题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ?是否为Rt ?① 1.5a =，2b =，2.5c = ②54a =，1b =，23c = 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ?中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明： D CBA三、巩固训练：选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2abc 2 D 、2ab ≤c 22、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（） A 、5 B 、25 C 、7 D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c ），那么a 2∶b2∶c 2=2∶1∶1。
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《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5?）(5，12，13?) (?6，8，10?)?(?7，24，25?)?(?8，15，17?)(9，12，15?)?4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S14、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
5、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_________考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边长为．2．已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，求斜边上的高．4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A． 2倍B． 4倍C． 6倍D． 8倍5、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
6、如果直角三角形的两直角边长分别为1n2-，2n（n>1），那么它的斜边长是（）A、2nB、n+1C、n2－1D、1n2+7、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）A. 222c b a+= D.以上都有可能+= C. 222+= B. 222a b ca c b8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、242c m D、602c mc m C、482c m B、36 29、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、15考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A. 4，5，6B. 2，3，4C. 11，12，13D. 8，15，172、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶73、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4、22，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形5、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A．钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形7、若△ABC的三边长a,b,c满足222+++=++，试判断△ABC的形状。
a b c20012a16b20c8、△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。
例3：求（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。
（2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为。
考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图3所示，其中AB=5,BC=3米，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为??????? ．考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地ACB面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？2、一架长m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑m ，那么梯子底端将向左滑动 米3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑2米，那么，梯子底端的滑动距离 米.4、在一棵树10 m 高的B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处；另外一只爬到树顶D 处后直接跃到A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 .6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．7、如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A 处登陆后，往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往西走3km ，再折向北方走到5km 处往东一拐，仅1km •就找到了宝藏，问：登陆点（A 处）到宝藏埋藏点（B 处）的直线距离是多少？ 60120 140 B60 AC第5题图7 8米 2米8米 第6题图C AD B考点七：折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于（ ） A.425 B. 322 C. 47 D. 35 2、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC •于M ，交AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，求AB 的长．3、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM ,求CF 和EC 。
4、如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE把△ADE 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积 5、如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少？6、如图，在长方形ABCD 中，将∆ABC 沿AC 对折至∆AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。
（1）试说明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长7、如图2所示，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 正好落在BC 边上F 点处，已知CE=3cm ，AB=8cm ，则图中阴影部分面积为_______．8、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD 的面积为________．AB CE F D9、如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC 于F，边AB折叠后与BC边交于点G。
如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。
10、如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（）A． B．3.75 C． D．11、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.12、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
13、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为2、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．考点九、图形问题1、如图1，求该四边形的面积2、如图2，已知，在△ABC中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC的长为．3、某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为ｍ,宽为ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由.4、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围。