2014人教A版数学必修一2.1《几类不同增长的函数模型》第1课时示范教案
高中数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案(新人教A版必修1)河北地区专用
5．教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析，探究幂函数 （ ＞0）、指数函数 （ ＞1）、对数函数 （ ＞1）在区间（0，+∞）上的增长差异，并从函数的性质上进行研究、论证，同学之间进行交流总结，形成结论性报告.教师对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示.（A）
教学
难点
选择合适的数学模型分析解决实际问题。
教学流程与教学内容
一、引入实例，创设情景.
教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.
二、互动交流，探求新知.
1.观察数据，体会模型.
教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.
2.作出图象，描述特点.
教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.
三、实例运用，巩固提高.
1.教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益.学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.
课题
§3.2.1几类不
目
标
知识与
能力
1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异性。（AB）
高中人教版数学必修一教材《几类不同增长的函数模型》教学设计
3.2.1 几类不同增长的函数模型教学目标知识目标 能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数 模型意义, 理解它们的增长差异性.能力目标 能通过审题，将实际问题转化为函数模型（直线上升、指数爆炸、对数增长等），通过比较，提高学生的分析 能力。
情感目标 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在 刻画现实问题中的作用.教学重点难点重 点： 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线 上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.难 点： 选择合适的数学模型分析解决实际问题.课堂教与学互动设计 [创设情景，引入新课](带领学生阅读课本P112例1)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案 的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报4.0元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问你会 选择哪种投资方案？ [师生互动，探究新知] 探究：1问：在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述．分析：根据已知的数量关系，写出相应的函数模型．解：设第ｘ天所得回报是ｙ元．则方案一可以用函数)(40*N x y ∈=进行描述；方案二可以用函数)(10*N x x y ∈=进行描述；方案三可以用函数)(24.0*1N x y x ∈⨯=-进行描述；２问：根据例1表格(见课本)中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？创设问题情境，以问题引入能激起学生的热情，使课堂里的有效思维增强．学会将实际问题转化为数学问题．让学生观察表格，获取信息，体会三种函数分析：由表格观察三个函数随时间ｘ的变化，回报资金的增长差异．解：方案一每天的回报不变；方案二、三每天的回报都在增加，且方案三随ｘ的增加每天的回报越来越大，比方案二要大得多．３问：你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？分析：根据函数，画出图象． 解：４问：根据以上分析，你认为该作出如何选择？ 分析：根据表格、图象所给的信息，作出判断．解：从每天所得的回报看：在第１～４天，方案一最多；在第５～８天， 方案二最多；第９天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第 ３０天，所得回报已超过２亿元．下面再看累计的回报数，通过计算器或计算机列表如下：因此，投资８天以下（不含８天），应选择第一种投资方案；投资８～１０天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种投资方案． 教师小结：在分析影响方案选择的因素时，要让学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益．例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：x y 25.0= 1l o g 7+=x y xy 002.1=．的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流． （最好由学生通过计算器或计算机来完成表格）利用图象从整体上把握不同的函数模型的增长，为方案选择提供依据.培养学生分析整理数据并根据其中的信息做出推理判断的能力．分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题问：其中哪个模型能符合公司的要求？ 探究：１问：本例涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？解：本例涉及了一次函数、对数函数、指数函数三类函数模型，实质是 比较三个函数的增长情况．２问：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？ 分析：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择．３问：通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答． 分析：只要画出三个函数的图象，通过比较就可回答问题．解：借助计算器或计算中心机作出函数,5=y ,25.0x y =1log 7+=x y ，x y 002.1=的图象（如下）：对于模型,25.0x y =它在区间]1000,10[上递增，当)1000,20(∈x 时，5>y ，因此该模型不符合要求；对于模型xy 002.1=，由函数图象，并利用计算器，可知在区间)806,805(内有一个点0x 满足5002.10=x，由于它在]1000,10[上递增，因此当0x x >时，5>y ，因此该模型也不符合要求；对于模型1log 7+=x y ，它在区间]1000,10[上递增，而且当1000=x 时，的实质就是比较三个函数的增长情况．进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异．分析数据特点与作用，判定每一个奖励模型是否符合要求．进一步认识三个函数模型的增长差异，对问题作出具体解答．555.411000log 7<≈+=y ，所以它符合奖金总数不超过５万元的要求．再计算按模型1log 7+=x y 奖励时，奖金是否不超过利润的0025，即当]1000,10[∈x 时，是否有25.01log 7≤+=xx x y 成立． 令]1000,10[,25.01log )(7∈-+=x x x x f ，利用计算器或计算机作出函数)(x f 的图象（图３.2-3），由图可知它是减函数,因此03167.0)10()(<-≈<f x f ．即x x 25.01log 7<+．所以，当]1000,10[∈x 时，x xx 25.01log 7<+．说明按模型 1log 7+=x y 奖励，奖金不会超过利润的0025．综上所述，模型1log 7+=x y 确实符合公司要求． 随堂练习：课本Ｐ116页练习的第１题． 探究：你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数)0(>=n x y n、指数函数)1(>=a a y x、对数函数)1(log >=a x y a 在区间),0(+∞上的增长差异？分析：引导学生仿照前面例题的探究方法，选用具体函数进行比较分析． 并进行交流总结．结论：一般地，对于指数函数)1(>=a a y x和幂函数)0(>=n x y n，通过通过学生对三类函数模型的研究、论证、交流总结，确实掌握这三类函数增长差异．探索可以发现，在区间),0(+∞上，无论ｎ比ａ大多少，尽管在ｘ的一定变化范围内，x a 会小于n x ，但由于x a 的增长快于nx 的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有nx x a >．同样地，对于对数函数)1(log >=a x y a 和幂函数)0(>=n x y n ，在区间),0(+∞上，随着ｘ的增大，x a log 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与ｘ轴平行一样．尽管在ｘ的一定变化范围内，x a log 可能会大于nx ，但由于x a log 的增长慢于nx 的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有na x x <log ．综上所述，在区间),0(+∞上，尽管)1(>=a a y x ，)1(log >=a x y a 和)0(>=n x y n 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个＂档次＂上，随着ｘ的增大，)1(>=a a y x 的增长速度越来越快，会超过并远远大于)0(>=n x y n 的增长速度．而)1(log >=a x y a 的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就有xn a a x x <<log ．随堂练习：教材P 119练习．[课时小结]通过实例和计算机作图、通过师生之间及学生之间的探讨与交流，体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，并能由此而解决相关的问题．课外同步训练[轻松过关]1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到的细胞个数y 为（ A ） A ．y=21+x B 。
人教A版必修1 几类不同增长的函数模型 教案
必修一第三章 3.2.1 几类不同增长的函数模型【教学目标】1.知识与技能：（1）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性；（2）体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；2.过程与方法：能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.3.情感态度价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.【重点难点】1.教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义；2.教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。
【教学策略与方法】1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．2.教具准备：多媒体【教学过程】前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？问题1：考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑什么?探究1：（1）本题中涉及哪些数量关系?如何利用函数描述这些数量关系?教师引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述．（2）为了直观表现各方案每天回报的变化情况可用什么方法表示上述三个函数？ 教师投影表格：x /天 方案一方案二方案三y /元 增加量/元 y /元 增加量/元y/元增加量/元1 40100.42 400 20 10 0.8 0.43 400 30 10 1.6 0.84 400 4010 3.2 1.6合作学习：问题解决学生回答问题。
学生根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案中每天回报数的函数解析式。
【新课标必修一】《3-2-1几类不同增长的函数模型(1)》教学案例
课题几类不同增长的函数模型（1）教学目标：1. 能够找出简单实际问题中的函数关系式，2. 初步体会应用函数模型解决实际问题.3. 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.4．进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.体会函数模型在数学和其他学科中的重要性.5.体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.教学重点难点：1．重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题..2．难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.教法与学法：1．教法选择：在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合2．学法指导：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.教学过程：一、设置情境，激发探索点作铺垫⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型.生分析问题的能力虑问题的思路.实验探索辨析研讨①总价等于单价与数量的积.②面积等于边长的平方.③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….④列表画出函数图象.⑤引导学生回忆学过的函数模型.⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性.⑦让学生自己比较并体会.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型.讨论结果：①y=x.②y=x2.③y=(1+5%)x,④如下表x 1 2 3 4 5 6y=x 1 2 3 4 5 6y=x2 1 4 9 16 25 36y=(1+5%)x 1.05 1.01 1.16 1.22 1.28 1.34它们的图象分别为图3-2-1-1，图3-2-1-2，图3-2-1-3.图3-2-1-1 图3-2-1-2 图3-2-1-3⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a≠0,抛物线型)，y=ka x+b(指数型).⑥从表格和图象得出它们都为增函数.⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=log a x+b,我们把它叫做对数型函数.引发学生思考，经历建立函数基本模型的过程倡导学生合作学习，让学生体验成功的快乐。
高中数学必修一(人教新课标A版)教学设计27 几类不同增长的函数模型
3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？
5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？
例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 （单位：万元）随销售利润 （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
．
问：其中哪个模型能符合公司的要求？
探究：
1）本例涉及了哪几类函数模型？
本例的实质是什么？
进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异．
2
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
2）通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答．
引导学生利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程．
难点
怎样选择数学模型分析解决实际问题
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
创设情景
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
数学：321《几类不同增长的函数模型》课件(新人教A版必修1)1
投资8天以下（不含8天），应选择 第一种投资方案；投资8~10天，应选择 第二种投资方案；投资11天（含11天） 以上，应选择第三种投资方案。
解决实际问题的步骤：
实际问题
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演推 算理
实际问题的解 还 原 说 明
数学问题的解
例2、某公司为了实现1000万元利润的
目标，准备制定一个激励销售部门的奖 励方案：在销售利润达到10万元时，按 销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万 元)随着销售利润x (单位：万元)的增加 而增加，但奖金数不超过5万元，同时 奖金不超过利润的25%。现有三个奖励 模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x， 其中哪个模型能符合公司的要求呢？
对数函数y loga x(a 1),指数函数y ax (a 1)与幂函数y xn (n 0)在区间(0,) 上都是增函数.
从上节课的两个例子中可以看到，这三类 函数的增长是有差异的，那么，这种差异 的具体情况到底怎么样呢？
在同一坐标系画出函数y 2x , y x2, y log2 x 的图象:
(1) 比较三种方案每天回报量 (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量
哪个方案在某段时间内的总回报量 最多，我们就在那段时间选择该方案。
我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模 型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提 供依据。
解：设第x天所得回报为y元，则
方案一：每天回报40元； y=40 (x∈N*)
y log7 x 1 0.25 成立。
x
x
令f(x)= log7x+1-0.25x， x∈ [10,1000].利用计 算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减 的，因此
高中数学必修一《几类不同增长的函数模型》教案设计
3.2.1 几类不同增长的函数模型[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.知识点一 三种函数模型的性质知识点二 三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上.(2)在区间(0，＋∞)上随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x .题型一 函数模型的增长差异例1 (1)当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A.y ＝10 000x B.y ＝log 2x C.y ＝x 1 000D.y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x(2)四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：答案 (1)D (2)y 2解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x增长速度最快.(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化.反思与感悟 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x . 跟踪训练1 下列函数中，随x 增大而增大速度最快的是( ) A.2 014ln x B.y ＝x 2 014 C.y ＝x2 014D.y ＝2 014·2x答案 D解析 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝2 014·2x 的增长速度最快.故选D.题型二 几种函数模型的比较例2 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y (单位：元/102kg)与上市时间x (单位：天)的数据如下表：(1)y 与上市时间x 的变化关系：y ＝ax ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ， y ＝a ·b x ，y ＝a log a x .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本. 解 (1)由表格中数据可知，种植成本不是常函数，∴a ≠0，而此时y ＝ax ＋b ，y ＝a ·b x ，y ＝a log a x 均为单调函数， 与表中数据不符，因此y ＝ax 2＋bx ＋c ， 将三组数据代入得⎩⎪⎨⎪⎧2 500a ＋50b ＋c ＝150，12 100a ＋110b ＋c ＝108，62 500a ＋250b ＋c ＝150，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.∴描述西红柿种植成本y 与上市时间x 的关系为 y ＝1200x 2－32x ＋4252. (2)当x ＝150时，y min ＝100(元/102kg).反思与感悟 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数.2.函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合.跟踪训练2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系？解 建立年产量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30). (1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ， 故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253·⎝⎛⎭⎫65x－42，故g (4)＝1253·⎝⎛⎭⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系.对几种函数的增长趋势把握不准致误例3 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1).有以下结论：①当x >1时，甲走在最前面； ②当x >1时，乙走在最前面；③当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲. 其中，正确结论的序号为________.解析 四个函数的图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确.答案 ③④⑤纠错心得 解决这类问题可以作出图象，根据图象特征使问题得解.跟踪训练3 下面对函数f (x )＝log 21x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝x 21-在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是( )A.f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越慢B.f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越快C.f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越慢D.f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越快 答案 C解析 函数f (x )＝log 21x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝x 21-在区间(0，＋∞)上的大致图象如图所示.观察图象，可知函数f (x )的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.函数h (x )的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度越来越慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢，故选C.1.当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( ) A.y ＝3x B.y ＝log 3x C.y ＝x 3 D.y ＝3x 答案 D解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D. 2.当a >1时，有下列结论：①指数函数y ＝a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ②指数函数y ＝a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快； ③对数函数y ＝log a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ④对数函数y ＝log a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快. 其中正确的结论是( )A.①③B.①④C.②③D.②④ 答案 B3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 设该林区的森林原有蓄积量为a ， 由题意，ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x (x ≥1)， ∴y ＝f (x )的图象大致为D 中图象.4.当2＜x ＜4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( ) A.2x ＞x 2＞log 2x B.x 2＞2x ＞log 2x C.2x ＞log 2x ＞x 2 D.x 2＞log 2x ＞2x答案 B解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x 在区间(2,4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2＞2x ＞log 2x .方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x ＝3，经检验易知选B.5.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为___________________. 答案 y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)解析 设解析式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧30＝k ×80＋b ，20＝k ×120＋b ，解得k ＝－14，b ＝50，∴y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200).三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型. (3)幂函数模型y ＝x n (n ＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n 值较小(n ≤1)时，增长较慢；n 值较大(n ＞1)时，增长较快.一、选择题1.下列函数中，增长速度最慢的是( ) A.y ＝6x B.y ＝log 6x C.y ＝x 6 D.y ＝6x 答案 B解析 对数函数增长的速度越来越慢，故选B.2.今年小王用7 200元买了一台笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，则三年后这种笔记本的价格是( )A.7 200×(13)3B.7 200×(23)3C.7 200×(13)2D.7 200×(23)2答案 B解析 由于小王用7 200元买了一台笔记本电脑，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，故一年后，这种笔记本电脑的价格为7 200－7 200×13＝7 200×23，两年后，价格为7 200×23×(1－13)＝7 200×(23)2，三年后这种笔记本电脑的价格为7 200×(23)3.3.如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A.指数函数：y ＝2tB.对数函数：y ＝log 2tC.幂函数：y ＝t 3D.二次函数：y ＝2t 2答案 A解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数.4.某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( ) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只答案 A解析 由已知第一年有100只，得a ＝100.将a ＝100，x ＝7代入y ＝a log 2(x ＋1)， 得y ＝300.5.向高为H 的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )答案 B解析 取OH 的中点(如图)E 作h 轴的垂线，由图知当水深h 达到容量一半时，体积V 大于一半.易知B 符合题意.6.若x ∈(1,2)，则下列结论正确的是( ) A.2x ＞x 21＞lg x B.2x ＞lg x ＞x 21 C.x 21＞2x ＞lg x D.x 21＞lg x ＞2x答案 A解析 ∵x ∈(1,2)，∴2x ＞2.∴x 21∈(1，2)，lg x ∈(0,1).∴2x ＞x 21＞lg x . 二、填空题7.三个变量y 1、y 2、y 3随变量x 的变化情况如表：x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 y 1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y 2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y 35.006.106.616.957.207.40其中x 呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________. 答案 y 3 y 2 y 1解析 根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y 2随着x 的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y 3随着x 的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y 1相对于y 2的变化要慢一些，呈幂函数型变化.8.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg 、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 答案 e 6－1解析 由题意得2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000. ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，从而Mm＝e 6－1. 9.若a >1，n >0，那么当x 足够大时，a x ，x n ，log a x 中最大的是________. 答案 a x解析 由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知a x >x n >log a x . 10.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y 与净化时间t (月)的近似函数关系：y ＝a t (t ≥0，a >0且a ≠1)的图象.有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于15；②每月减少的有害物质量都相等；③若残留量为12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中所有正确叙述的序号是________. 答案 ①③解析 根据题意，函数的图象经过点(2，49)，故函数为y ＝(23)t .易知①③正确.三、解答题11.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现v 与log 3Q100成正比，且当Q ＝900时，v ＝1.(1)求出v 关于Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数. 解 (1)设v ＝k ·log 3Q100，∵当Q ＝900时，v ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴v 关于Q 的函数解析式为v ＝12log 3Q100.(2)令v ＝1.5，则1.5＝12log 3Q100，∴Q ＝2 700，∴一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2 700个单位.12.现有某种细胞100个，每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，且每次只有占总数12的细胞分裂，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)解 现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数： 1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100(个)；2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100(个)；3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100(个)；4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100(个).可归纳出，细胞总数y (个)与时间x (小时)之间的函数关系为y ＝100×(32)x ，x ∈N *.由100×(32)x >1010，得(32)x >108，两边同时取以10为底的对数，得x lg 32>8，∴x >8lg 3－lg 2.∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45，∴x >45.45.故经过46小时，细胞总数超过1010个.13.我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1表示，它们满足以下公式：L 1＝10lg II 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W /m 2，耳语的强度是1×10－10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L 2＝10lg I 2I 0＝10lg 1＝0(分贝)； 耳语的强度水平为L 3＝10lg I 3I 0＝10lg 102＝20(分贝)； 恬静的无线电广播的强度水平为L 4＝10lg I 4I 0＝10lg 104＝40(分贝). (2)由题意知0≤L 1＜50，即0≤10lg I I 0＜50， 所以1≤I I 0＜105， 即1×10－12≤I ＜1×10－7.所以新建的安静小区的声音强度I 的范围为[1×10－12，1×10－7).。
河南省2014年高中数学优质课：几类不同增长的函数模型 说课课件1
第二十四页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
说设计
归纳体会 类比运用
1、今天你学到了什么？ 2、针对新课引入中的两个实验，建立相
关的数学模型，并分析它的增长特点.
第二十五页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
第二十六页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
说设计
归纳体会 类比运用
1、今天你学到了什 么？
第十七页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
说设计
整个探究过程既有 数据分析又有模型整 合，既有独立思考又 有合作交流，学生真 正成为学习的践行者， 课堂的主人 .另外，通 过小组内部的合作， 使学生学会交流和分 享自己的成果，这种 合作意识，也是现代 人所必须具备的基本 素质.
第十八页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
第二十八页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
板书设计
几类不同增长的函数模型 数学建模的基本环节
实际问题
数学问题
学生演板区
探究数学模型
构建数学模型
第二十九页，编辑于星期日：十四点 五十八分。
说评价
自评与互 评并重
过程与
结果并重
建立学生 的成长档
案 教
学
在评价学生课堂活动中评的表现时，不苛求数学建 模过程的严密、结果的准确价,要重过程，重参与,应关注：
实数际学建情模境的问题应是
多样的、开放的，同
提的时知出，识问解、决题技问能题、所方涉法及、修改
思想应与高中数学课 程紧密相关.
数学模型
学生可以根据自己的生活
经验发数现学并提结出果问题，对
同样的问题，要发挥自否己
说
的角度特、长和层次个探性索，解从决不不的同合途的乎实际
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3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
整体设计
教学分析
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描
述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线
上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函
数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，
数学在现实生活中是有用的.
三维目标
1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差
异.
2.恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题.
3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣.
重点难点
教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数
爆炸与对数增长的不同.
教学难点:应用函数模型解决简单问题.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时 几类不同增长的函数模型
导入新课
思路1.(事例导入)
一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n
次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度.你的直觉与结果一
致吗？
解：纸对折n次的厚度:f(n)=0.01·2n(cm),n块砖的厚度:g(n)=10n(cm),f(20)≈105
m,g(20)=2 m.
也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解.
思路2.(直接导入)
请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的增
长差异.
推进新课
新知探究
提出问题
①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.
②正方形的边长为x，面积为y,把y表示为x的函数.
③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过x年
后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.
④分别用表格、图象表示上述函数.
⑤指出它们属于哪种函数模型.
⑥讨论它们的单调性.
⑦比较它们的增长差异.
⑧另外还有哪种函数模型.
活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回
答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
①总价等于单价与数量的积.
②面积等于边长的平方.
③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、„.
④列表画出函数图象.
⑤引导学生回忆学过的函数模型.
⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性.
⑦让学生自己比较并体会.
⑧另外还有与对数函数有关的函数模型.
讨论结果：
①y=x.
②y=x2.
③y=(1+5%)x,
④如下表
x 1 2 3 4 5 6
y=x 1 2 3 4 5 6
y=x2 1 4 9 16 25 36
y=(1+5%)x 1.05 1.01 1.16 1.22 1.28 1.34
它们的图象分别为图3-2-1-1，图3-2-1-2，图3-2-1-3.
图3-2-1-1 图3-2-1-2 图3-2-1-3
⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a≠0,抛物线型)，y=kax+b(指数型).
⑥从表格和图象得出它们都为增函数.
⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另
外两个函数.
⑧另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=logax+b,我们把它叫做对数型函数.
应用示例
思路1
例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投
资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.
解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述；方案二可以用
函数y=10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.三个模型中，
第一个是常函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况
进行分析.我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.
x/天
方案一 方案二 方案三
y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元
1 40 10 0.4
2 40 0 20 10 0.8 0.4
3 40 0 30 10 1.6 0.8
4 40 0 40 10 3.2 1.6
5 40 0 50 10 6.4 3.2
6 40 0 60 10 12.8 6.4
7 40 0 70 10 25.6 12.8
8 40 0 80 10 51.2 25.6
9 40 0 90 10 102.4 51.2
10 40 0 100 10 204.8 102.4
30 40 0 300 10
214748364.8 107374182.
4
再作出三个函数的图象(3-2-1-4).
图3-2-1-4
由表和图(3214)可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方
案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回
报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，
其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长
速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4
天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天方案二最多;第9天开始，方案三比
其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.
下面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二 10 30 60 100 150 210 180 360 450 550 660
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102
204.4 409.2 818.
8
因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，
应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三.
针对上例可以思考下面问题：