可倒摆等值摆长与质心坐标的关系

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可倒摆等值摆长与质心坐标的关系

ｗｏｒｋ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｅｖｅｒｓｉｂｌｅｐｅｎｄｕｌｕｍ；ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｌｅｎｇｈ；ｔｃｏｎｊｕｇａｔｅｐｏｉｎｔ
Ｏ引言
测重力加速度的实验有单摆、复摆、可倒摆，可倒摆是复摆的一种．为提高测量的精度，历史上在
ＣｅｎｔｒｏｉｄＣｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｆｏｒＰｅｎｄｕｌＢｉｎ
ＰＡＮＸｕｅ — ｌｉｎｇ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｉｃｓ，ＬｉａｏｎｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ１１００３６，Ｃｈｉｎａ）
为所有构件的总质心到０距离．
我们就可以对（１）式中的Ｊ总分别设计程序进行计算．
因为
５
ｍＸ总Ｘｉｃ＝∑ ｆＸｉｊ
（１）式等值摆长中的
（Ｌ一２）
１３２
：
辽宁大学学报
自然科学版
２０１５正
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅａｃｃｕｒａｔｅｅｘｐｅｉｒｍｅｎｔｆｏｒｔｈｅａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎｏｆｇｒａｖｉｔｙｇｉｓｐｅｎｄｕｌｕｍｂｅｉｎｇｕｓｅｄｆｏｒ
其中ｉ＝１为以Ｏ。为悬挂点的的摆动，称为正挂；２为以Ｏ为悬挂点的的摆动，称为倒挂，Ｊ：（Ａ，Ｂ，ａ，ｂ，Ｌ）指可倒摆的各个构件，重大锤Ａ，轻大锤Ｂ，轻游锤ｂ，重游锤ａ，摆杆Ｌ＿为避免引起混淆和误会，我们用＝（１，２，３，４，５）代替（ａ，ｂ，Ａ，Ｂ，Ｌ）．Ｍ＝

质心位置不变定理

质心位置不变定理质心位置不变定理是力学中一个重要的定理，它告诉我们在一个封闭系统中，质心的位置在没有外力作用下是恒定的。

这个定理的证明非常简单，我们可以通过几何方法来理解。

我们需要明确质心的定义。

在一个封闭系统中，如果有n个质点，分别质量为m1、m2、...、mn，它们的位置分别为(r1, r2, ..., rn)，那么这个系统的质心位置可以用以下公式表示：R = (m1r1 + m2r2 + ... + mnrn) / (m1 + m2 + ... + mn)其中，R表示质心的位置。

根据质心位置不变定理，我们可以得出结论：如果一个封闭系统受到的外力为零，那么无论这个系统中的质点如何运动，质心的位置都不会发生改变。

为了更好地理解这个定理，我们可以通过一个简单的例子来说明。

假设我们有一个由两个质点组成的封闭系统，它们的质量分别为m1和m2，位置分别为(r1, r2)。

如果没有外力作用在这个系统上，根据质心位置不变定理，我们可以得出以下结论：R = (m1r1 + m2r2) / (m1 + m2)对于这个系统来说，质心的位置只与质点的质量和位置有关，而与质点的运动状态无关。

也就是说，无论质点如何运动，质心的位置这个定理的证明非常简单，我们可以通过几何方法来理解。

假设我们有一个由n个质点组成的封闭系统，它们的质量分别为m1、m2、...、mn，位置分别为(r1, r2, ..., rn)。

我们可以将这个封闭系统看作一个整体，它的质心位置可以看作是这个整体的中心。

当没有外力作用在这个系统上时，这个整体将保持静止，质心的位置也会保持不变。

为了更好地理解这个定理，我们可以通过一个简单的例子来说明。

假设我们有一个由两个质点组成的封闭系统，它们的质量分别为m1和m2，位置分别为(r1, r2)。

质心公式的推导

质心公式的推导摘要：1.质心公式的概念2.质心公式的推导过程3.质心公式的应用正文：1.质心公式的概念质心公式，又称质心坐标公式，是用来计算物体质心位置的一种数学公式。

质心是物体各部分组成的一个点，这个点在物体受到外力作用时，其运动规律与物体各部分受到的力成正比。

质心公式广泛应用于物理、工程等领域，对于研究和分析物体的平衡、运动、受力等具有重要意义。

2.质心公式的推导过程质心公式的推导过程相对简单。

首先，我们需要了解一个重要的概念：物体的质量分布。

物体的质量分布指的是物体内部质量在空间上的分布情况。

对于均匀分布的物体，其质心位于物体的几何中心；对于非均匀分布的物体，其质心位于物体质量分布的平衡点。

在推导质心公式时，我们通常假设物体由n 个质点组成，每个质点具有一定的质量m_i 和坐标x_i。

假设物体受到一个外力F，我们需要计算物体的质心位置。

根据牛顿第二定律，物体受到的合力等于物体的质量乘以加速度，即：ΣF = Σ(m_i * a)由于质心是物体各部分组成的一个点，我们可以用质心坐标表示物体各部分的位置。

设物体质心的坐标为(x, y, z)，则物体各部分的坐标可以表示为：x = (x_1 + x_2 +...+ x_n) / ny = (y_1 + y_2 +...+ y_n) / nz = (z_1 + z_2 +...+ z_n) / n根据物体的质心位置和受到的外力，我们可以计算物体在质心处的受力情况。

将物体各部分受到的力按照质心坐标展开，可以得到：ΣF = (ΣF_x) * (x / n) + (ΣF_y) * (y / n) + (ΣF_z) * (z / n)将物体受到的合力与牛顿第二定律相等，我们可以得到质心公式：ΣF = m * a = (ΣF_x) * (x / n) + (ΣF_y) * (y / n) + (ΣF_z) * (z / n)其中，m 表示物体的总质量，a 表示物体的加速度。

倒立摆建模与控制

2倒立摆系统的模型建立2.1 倒立摆特性●非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似线性模型，线性化处理后再进行控制。

也可以利用非线性控制理论对其进行控制。

●不确定性模型误差以及机械传动间隙，各种阻力带来实际系统的不确定性。

实际控制中一般通过减少各种误差降低不确定性，如施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定性因素。

●耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。

●开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定平衡点，垂直向下为稳定平横点。

●约束限制由于机构的限制，如运动模块的行程限制，电机力矩限制等。

为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机的功率尽量要求最小。

行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车撞边现象[22]。

2.2 一阶倒立摆数学模型倒立摆系统是典型的运动的刚性系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。

下面分别采用牛顿力学方法和拉格朗日方法建立直线型一级，二级倒立摆系统的数学模型。

2.2.1 一级倒立摆物理模型在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线型一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2.1所示：皮带轮图2.1 单级倒立摆系统物理模型2.2.2 一级倒立摆数学模型各符号代表的意义及相关的数值：表2.1 一级倒立摆参数表参数参数意义参数值 M 小车质量 1.096Kg m 摆杆质量 0.13Kg b 小车摩擦系数0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m I 摆杆转动惯量 0.0034Kg*m*mf 加到小车上的力 x小车位置φ摆杆与竖直向上方向的夹角通过对系统中小车和摆杆进行受力分析，分别可得到以下运动方程：2()cos sin F M m x bx ml ml θθθθ=++-+ (2.1) 22()sin cos 2sin (sin cos )I ml mgl mlx ml θθθθθθθθ+-=++ (2.2)22222cos sin cos 2sin sin 2sin cos M m ml x F bx ml ml ml I ml mgl ml θθθθθθθθθθ+-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2.3) 2.3 二阶倒立摆数学模型2.3.1 二级倒立摆物理模型如图2.3所示为直线型二级倒立摆物理模型皮带轮图2.3二级倒立摆系统的物理模型倒立摆装置主要由沿导轨运动的小车和固定到小车上的两个摆体组成。

质心公式的推导

质心公式的推导摘要：1.质心定义及作用2.质心公式推导过程3.质心公式应用实例4.质心在实际生活中的重要性正文：质心，又称重心，是一个物体在空间中的平衡点。

它在物理学、力学等领域具有重要的理论价值和实践意义。

本文将介绍质心公式的推导过程，并举例说明其在实际生活中的应用。

一、质心定义及作用质心是一个物体所有部分的质量均匀分布时，物体内部各个部分所受重力的合力作用点。

在二维平面内，质心位于物体形心的位置。

质心在物体平衡、稳定以及运动过程中的作用至关重要。

它可以帮助我们分析物体在各种受力情况下的运动状态，为工程设计、建筑结构等领域提供理论依据。

二、质心公式推导过程质心公式是根据物体的质量分布和形状来计算质心位置的。

设物体质量为m，物体形状为S，物体上的任意一点到质心的距离为r。

根据物体质量分布的均匀性，可以得到以下公式：质心位置（x，y）= （Σmr / Σm）/ S其中，Σmr表示物体各部分质量与质心距离的乘积之和，Σm表示物体各部分质量之和。

通过数学运算，我们可以得到质心的坐标。

三、质心公式应用实例1.简单几何体：对于简单的几何体，如长方体、圆柱体等，可以通过测量各部分的尺寸和质量，直接计算出质心位置。

2.复杂物体：对于复杂的物体，如飞机、汽车等，需要先将物体分解为简单的几何体，然后分别计算各部分的质心，最后通过一定的算法求得整个物体的质心。

3.建筑结构：在建筑结构设计中，了解结构的质心位置有助于分析结构的稳定性和抗风能力。

通过计算质心，可以合理布局建筑物的重量分布，提高建筑物的抗风性能。

四、质心在实际生活中的重要性1.平衡控制：在运动控制、机器人等领域，掌握质心位置对于保持物体平衡具有重要意义。

例如，在无人驾驶汽车中，通过实时监测质心位置，可以有效避免因质心偏移导致的失控现象。

2.优化设计：在产品设计和工程设计中，合理调整质心位置可以提高产品的性能和稳定性。

例如，在飞机设计中，通过改变机翼形状和位置，可以调整质心与飞行速度的关系，实现更高效的飞行。

质心知识点总结归纳

质心知识点总结归纳质心（Center of Mass）是物体集中质量的平均位置。

在物理学中，质心是描述物体运动的重要概念，对于研究物体的运动、碰撞、转动等现象都有重要的意义。

同时，质心在工程、航天航空等领域也有着广泛的应用。

质心的计算方法有多种，可以通过物体的密度分布、几何形状和其他条件来进行计算。

而质心的运动规律也可以通过牛顿定律和动量定律来描述。

本文将从质心的概念、计算方法、运动规律以及工程应用等方面对质心的知识点进行总结和归纳。

一、质心的概念1. 定义质心是物体所有质点的集中位置，也可以看作是物体的平衡点。

在质心系中，物体的总动量和总角动量相对于质心系均为零。

2. 特点（1）质心不一定位于物体内部，可以位于物体的外部；（2）质心的运动不一定与物体的其他点相同；（3）质心的位置与物体的形状和质量分布有关；（4）质心具有跟随物体运动的特点。

二、质心的计算方法1. 特殊形状物体的质心计算（1）均匀杆对于一根均匀杆，质心位于杆的中点处。

（2）均匀圆环对于一个均匀圆环，质心位于环的中心处。

2. 连续体的质心计算对于连续分布的质量分布，可以通过积分的方法来计算质心。

一般来说可以使用以下公式来计算：\[ x_{cm} = \frac{1}{M} \int x\;dm \]\[ y_{cm} = \frac{1}{M} \int y\;dm \]\[ z_{cm} = \frac{1}{M} \int z\;dm \]其中，\( x_{cm} \)、\( y_{cm} \)、\( z_{cm} \) 分别表示质心在 x、y、z 方向上的位置，M 表示物体的总质量。

三、质心的运动规律1. 质心的运动状态质心的运动状态可以通过牛顿定律和动量定律描述。

在外力作用下，质心会产生加速度，并且质心的加速度与物体的质量成反比。

2. 刚体的平动运动对于刚体的平动运动，可以通过质心的运动来描述整个刚体的运动状态。

刚体的平动运动可以看作是质心的平动运动。

两个物体不相等的质心法

两个物体不相等的质心法摘要：1.质心法的基本概念2.质心法的计算方法3.质心法的应用实例4.两个物体不相等的质心法正文：1.质心法的基本概念质心法是一种计算物体质心位置的方法。

质心是指物体在空间中的质量中心，即物体各部分质量的平均位置。

对于形状规则、质量分布均匀的物体，其质心位于物体的几何中心。

然而，对于形状不规则或质量分布不均匀的物体，质心法可以更精确地计算质心位置。

2.质心法的计算方法计算物体质心的方法通常有两种：一种是解析法，另一种是数值法。

解析法：对于形状规则、质量分布均匀的物体，可以通过物体的几何中心计算质心位置。

例如，对于矩形或圆形等规则形状的物体，质心位于物体的几何中心。

数值法：对于形状不规则或质量分布不均匀的物体，可以通过数值方法计算质心位置。

常见的数值方法有：牛顿法、梯度法等。

这些方法通常需要迭代计算，直到达到一定的精度要求。

3.质心法的应用实例质心法在实际工程中有广泛的应用，例如：（1）在机械设计中，需要计算物体的质心位置以确保设计满足稳定性要求；（2）在结构分析中，质心法可以用于计算结构的惯性矩，进而分析结构的稳定性和强度；（3）在运动学和动力学分析中，质心法可以用于计算物体的质心加速度、质心速度等物理量。

4.两个物体不相等的质心法当两个物体的质量分布不同时，它们的质心位置也不相同。

在这种情况下，需要计算两个物体的相对质心位置。

计算方法如下：（1）对于形状规则、质量分布均匀的物体，可以分别计算两个物体的质心位置，然后计算它们的相对位置；（2）对于形状不规则或质量分布不均匀的物体，可以通过数值方法计算两个物体的质心位置，然后计算它们的相对位置。

需要注意的是，在计算两个物体的相对质心位置时，要考虑物体之间的相互作用力。

质心坐标公式数学二

质心坐标公式数学二质心坐标是在数学二中经常应用的一个重要概念。

它不仅在几何形状的定位和描述上有着重要的作用，而且在力学、物理学等领域也有广泛的应用。

本文将详细介绍什么是质心坐标，它的计算公式以及如何应用于实际问题中。

首先，让我们来了解一下什么是质心坐标。

在一个给定的几何形状中，每个点都有一个相应的质量。

质心坐标是这个几何形状中所有质点质量的平均位置。

以一维情况为例，对于一根杆上有不同质量的物体，质心坐标就是这根杆上所有物体质量乘以其距离的和，再除以总质量。

对于二维和三维情况，质心坐标的计算方法类似，只是要考虑坐标的维度增加。

质心坐标的计算公式如下：对于一个二维形状，其质心坐标的x 分量是每个质点的质量乘以其x坐标的和，再除以总质量。

同样，y分量的计算公式是每个质点的质量乘以其y坐标的和，再除以总质量。

对于三维情况，类似地可以计算出x、y和z三个分量的质心坐标。

对于实际问题，质心坐标可以用于定位物体的重心，或者是描述几个物体的整体位置关系。

例如，在物理学中，质心坐标可以用来计算刚体的转动惯量，从而研究其旋转的性质。

在建筑工程中，质心坐标可以帮助定位和平衡建筑物的重心，确保其结构的稳定性。

此外，质心坐标还可以用于计算流体力学中的浮力和阻力，以及计算电磁学中的电场和磁场等。

无论是在数学学习中还是在实际应用中，掌握质心坐标的计算方法对于我们理解和解决问题都具有重要意义。

它不仅可以帮助我们定位几何形状的重心，还可以应用于各种学科的计算和分析中。

因此，我们应当充分理解质心坐标的概念和计算公式，并且在实际问题中灵活运用，以达到更好的理论和实践效果。

总结起来，本文介绍了质心坐标的概念、计算公式及其在实际问题中的应用。

通过深入了解质心坐标的理论和实践，我们可以更好地掌握和应用这一重要概念，为实际问题的解决和学科的进展做出贡献。

希望读者在数学学习和实践中加强对质心坐标的理解和应用，让我们共同深入探索数学的奥秘，挖掘其无尽的潜力。

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辽宁大学学报
自然科学版第４２卷第２期２０１５年
ＪｏＵＲＮＡＬｏＦＵＡｏＮＩＮＧＵＮｌｖＥＲｓＩＴＹ
№ ｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓＥｔｉｏｎ
Ｖｏ１．４２Ｎｏ．２２０坐标的关系
ＣｅｎｔｒｏｉｄＣｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｆｏｒＰｅｎｄｕｌＢｉｎ
ＰＡＮＸｕｅ — ｌｉｎｇ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｉｃｓ，ＬｉａｏｎｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ１１００３６，Ｃｈｉｎａ）
与文献的结论是互相吻合，互相验证．关键词：可倒摆；等值摆长；共轭点
中图分类号：ｏ３１４文献标志码：Ａ文章编号：１０００－５８４６（２０１５）０２－０１３０－０６
ＴｈｅＲｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐＢｅｔｗｅｅｎＥｑｕｉｖａｌｅｎｔＬｅｎｇｔｈａｎｄ
对称结构的物理摆的摆杆上，加两个形体相同而密度不同的两个摆锤，将两个摆锤对称地放置．于是质心Ｃ点随即被改变，将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）．将可倒摆实验移植到大学物理实验之后，各高校的的可倒摆在结构上稍有不同，就是在摆杆上
ｓａｍｅｓｙｎｈｅｔｓｉｚｉｎｇｈｅｔｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ．Ｔｈｅｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇｆｏｒｃｏｎｊｕｇａｔｅｐｏｉｎｔｄｅｐｅｎｄｅｄｏｎｓｈｉｆｔｉｎｇ
ｃｏｌｌｅｇｅｓａｎｄｕｎｉｖｅｒｓｉｔｉｅｓ．Ｔｈｅｐｅｎｄｕｌｕｍｓｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｓｄｉｆｆｅｒｅｎｔｂｅｃａｕｓｅｏｆｈｅｔｐｅｎｄｕｌｕｍｓｃａｎｈｏｌｄｉｎｇｏｎｅ，ｔｗｏｏｒｔｈｒｅｅｅｖｅｎｆｏｕｒｓｈｉｆｔｉｎｇｐｅｎｄｕｌｕｍｓ．Ｂｕｔｈｅｔｐｅｎｄｕｌｕｍｓａｐｐｌｉｅｄｐｉｎｒｃｉｐｌｅｉｓ
图3s074cmr2017cm时的正挂摆动周期与倒挂摆动周期一2381318刀背到小锤外侧距离f单位rm图4s078c屯015cm时的正挂摆动周期与倒挂摆动周期现在我们可以得到结论就是无论大锤与刀刃距离如何选取正挂周期与倒挂周期图形有无交点只要在实验中描绘出一段正挂周期与倒挂周期图形和图2进行比较然后采用上述方法画出正挂周期与倒挂周期图形的趋势线利用趋势线的交点也可以测出g
加了一个、两个、三个或者四个摆锤．但是无论摆锤有几个，可倒摆实验所应用的原理是一样的，就是在实验中依靠移动摆锤，来移动可倒摆的质心位置，从而确定可倒摆的共轭点．
对可倒摆的分析，可以从刚体动力学角度出发，利用计算机构建两个游锤的可倒摆的目标函
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅａｃｃｕｒａｔｅｅｘｐｅｉｒｍｅｎｔｆｏｒｔｈｅａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎｏｆｇｒａｖｉｔｙｇｉｓｐｅｎｄｕｌｕｍｂｅｉｎｇｕｓｅｄｆｏｒ
ｗｏｒｋ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｅｖｅｒｓｉｂｌｅｐｅｎｄｕｌｕｍ；ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｌｅｎｇｈ；ｔｃｏｎｊｕｇａｔｅｐｏｉｎｔ
Ｏ引言
测重力加速度的实验有单摆、复摆、可倒摆，可倒摆是复摆的一种．为提高测量的精度，历史上在
数 …．利用该目标函数，还可以得出可倒摆的质心与等值摆长的关系．将该结论与前人的工作做对比，可以看出本结论与文献的结论的互相吻合，互相验证．由于实验条件有限，本文的计算所用的模
潘学玲
（辽宁大学物理学院，辽宁沈阳１１００３６）
摘
要：可倒摆实验是各高校精确测量重力加速度的实验．综合文献，可以看出，各高校的可倒摆在结构上，
稍有不同，就是在摆杆上加了一个、两个、三个或者四个摆锤．但是无论摆锤有几个，可倒摆实验所应用的原理是一样的，就是在实验中依靠移动摆锤，来移动可倒摆的质心位置，从而确定可倒摆的共轭点．对可倒摆的质心坐标与等值摆长的关系做了详细的讨论，并将所得的结论与前人的工作做了对比，可以看出本论文结论
收稿日期：２０１５—０１一ｏ７作者简介：潘学玲（１９６５一），女，四川成都人，辽宁大学物理学院副教授，硕士，主要从事普通物理的理论与实验教学，近代物理实验教学工作．
第２期
潘学玲：可倒摆等值摆长与质心坐标的关系
ｌ３１
ｐｅｎｄｕｌｕｍｔｈｕｓｃｈａｎｇｉｎｇｃｅｎｔｒｏｉｄｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ．Ｗｅｏｂｔｍｎｅｄｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｃｏｉｎｃｉｄｉｎｇｗｉｈｔｐｒｅｖｉｏｕｓ