避免分类讨论的几点策略
避免分类讨论“八法”
２０２３年４月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀避免分类讨论 八法◉威海市文登区教育教学研究培训中心㊀张秀妮㊀㊀摘要:分类讨论是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用,分类讨论法是解决比较复杂或者带有不确定性问题的一种有效方法;但是这种方法的弊端也很明显．所以,我们要在重视分类讨论思想应用的基础上,防止见参数就讨论的盲目做法,能整体解决的问题尽量避免分类讨论．关键词:消参法;整体换元法;变换主元法;间接法;设而不求法;１避免分类讨论的策略分析分类讨论法既是一种重要的数学思想方法,也是一种重要的解题策略,它具有 化整体为局部,化复杂为单一,归类整理,便于各个击破 等优点;但是,它也有 叙述繁琐,过程冗长,易以偏概全,易偏颇失误 等明显弊端;所以在熟悉和掌握分类思想的同时,要注意克服思维定式,处理好 分 与 合 ㊁ 局部 与 整体 之间的辩证统一关系,充分挖掘问题中潜在的特殊性与简单性,尽可能地避免分类讨论[１]．避免分类讨论的策略有:①直接回避法．例如,运用反证法㊁分离参数法等方法避开繁琐的讨论．②换元法．例如,采用整体换元㊁参数置换㊁变换主元等方法避开讨论．③合理运算法．例如,利用函数的奇偶性㊁变量的对称变换以及在消参过程中合理选用公式等方法避开讨论[２]．④数形结合法．利用函数图象㊁几何图形的直观性和对称性等特点,有时也可简化或避开讨论．在具体的解题过程中,可以尝试以下八种方法．２避免分类讨论的具体方法２．１消参法参数法的关键是选择好适当的参数后,要能够顺利地消去参数．在消参的过程中,经常需要选用一些重要的公式,这就需要结合题目的具体情况来确定消参策略．例１㊀设０＜x＜１,a＞０,且aʂ１,试比较l o g a(１－x)与l o g a(１＋x)的大小．解:因为０＜x＜１,所以０＜１－x＜１．又因为１－x２＜１,所以１＜１＋x＜１１－x．于是,有l o g a(１－x)l o g a(１＋x)＝l o g(１＋x)(１－x)＝－l o g(１＋x)(１－x)＝l o g(１＋x)１１－x＞l o g(１＋x)(１＋x)＝１．所以l o g a(１－x)＞l o g a(１＋x)．策略与方法:本题如果按照常规方法考虑去绝对值符号,就要分０＜a＜１与a＞１两种情况进行分类讨论;为了避免讨论,可以根据两对数同底的特点,采用作商比较法,用换底公式消去参数a．２．２整体换元法整体换元的实质是以 元 换 式 ,就是把一个单项式或多项式看成一个整体,并分别用其他未知数(变量)代替,从而使问题简化．运用整体换元法,可以避免分类讨论,即使要分类讨论,也能使问题变得简单明了,便于处理．例２㊀解关于x的不等式:a(a－x)＞a－２x (a＜０)．解:令a(a－x)＝t(tȡ０),则x＝a２－t２a(a＜０)．原不等式可转化为２t２－a t－a２＞０．解之得t＜a,或t＞－１２a．由a＜０,tȡ０,可知t＞－１２a,则a(a－x)＞１４a２,解得x＞３４a．故原不等式的解集为{x|x＞３４a,a＜０}．策略与方法:如果按照常规解题方法,本题要分a－２xȡ０与a－２x＜０两种情况来分类讨论．为了避开繁琐的讨论,可用整体换元法将a(a－x)替换为另一未知数t,将原不等式变为含有t的一个一元二次不等式,最后通过解该不等式消去参数t．７４Copyright©博看网. All Rights Reserved.解题研究２０２３年４月上半月㊀㊀㊀２．３变换主元法在解方程的过程中,许多学生习惯把未知数x 当作主元,把另一个变量a 看成参数,往往会出现需要对参数a 进行分类讨论等繁琐的运算过程．这时,不妨把变量a 看作主元,把未知数x 看成参数,则可避开讨论,简化运算步骤与过程．例３㊀已知方程a x ２－２(a －３)x ＋a －２＝０中的a 为负整数,试求使方程至少有一个整数解时a 的值．解:把方程中的参数a 看作主元,原方程变形为(x ２－２x ＋１)a ＋６x －２＝０,即(x －１)２a ＝２－６x ．显然x ʂ１,解得㊀㊀㊀㊀㊀㊀a ＝２－６x (x －１)２．①因为a 为负整数,所以a ɤ－１．由２－６x(x －１)２ɤ－１,即x ２－８x ＋３ɤ０,得４－１３ɤx ɤ４＋１３．因此x 的整数值只能为２,３,４,５,６,７．将它们逐个代入①中可知,当x ＝２时,a ＝－１０;当x ＝３时,a ＝－４．故当a 为－４和－１０时,方程至少有一个整数解．策略与方法:本题如果把x 视为主元,运用公式法解这个一元二次方程,在得出x ＝(a －３)ʃ９－４aa 后,要对a 进行分类讨论,会很麻烦;如果换个角度,把方程中的参数a 看作主元,将其转化为含有未知数a 的方程,解得a 值后再转化为含有x 的一元二次不等式,这样不但避开了讨论,而且大大简化了求解过程．２．４间接法当遇到含有 至多 至少 型的排列㊁组合类问题时,为了避免分类讨论,可以采用间接法．这种方法适用于反面情况明朗化且容易计算的题型．例４㊀从５名男医生㊁４名女医生中选３名医生组成一个医疗小组,要求其中男㊁女医生都有,请问不同的组队方案共有多少种?解:根据题意,要从９人中选３人,一共有C ３９＝８４种选法;当选择的３人均为男医生或均为女医生时,共有C ３５＋C ３４＝１４种选法．因此,男㊁女医生都有的选法有C ３９－(C ３５＋C ３４)＝８４－１４＝７０种．策略与方法:本题中要求选出的医生男㊁女都有,为了避免分类讨论,可以用间接法求解,即从９人中选３人的选法种数中,减去３人均为男医生或均为女医生的选法种数．２．５补集分析法补集分析法是一种逆向思维法,就是先从全集中去掉那些不符合题设的解集,然后再求出此集合在确定的全集中的补集,这也是一种 正难则反 的解题策略．例５㊀如果二次函数y ＝m x ２＋(m －３)x ＋１的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,求实数m 的取值范围．解:先考虑二次函数图象与x 轴的两个交点都在原点左侧的情况,即一元二次方程m x ２＋(m －３)x ＋１＝０有两个负根,则Δ＝(m －３)２－４m ȡ０,－m －３m ＜０,１m＞０．ìîíïïïïïï解得m ɤ１,或m ȡ９,m ＜０,或m ＞３,m ＞０,ìîíïïïï即m ȡ９．所以当m ȡ９时,两个交点都在原点的左侧．上述解集的补集为{m |m ＜９},但Δȡ０与m ʂ０是必要条件,故二次函数的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧的条件为m ɤ１且m ʂ０．故实数m 的取值范围为{m |m ɤ１,且m ʂ０}．策略与方法:本题就是属于从正面入手较复杂,需要分情况讨论,而从反面求解较容易的题型．先从图象与x 轴的交点均在左侧入手,将其转化为一元二次方程,然后紧扣 Δȡ０ 与 m ʂ０ 这两个前提条件逆向排除求解．２．６设而不求法在求解某个量的过程中,有时可能要借助其他的量,对于这些辅助量,只需要表示出而不必求出,所以叫 设而不求法 ,通过这种方法也可以避开可能出现的讨论．例６㊀若A ,B ,C 是曲线x y ＝１上的三点,证明:әA B C 的垂心H 必在此双曲线上．图１证明:如图１,设A ,B ,C 三点的坐标顺次为(x １,１x １),(x ２,１x ２),(x ３,１x ３),则k B C ＝１x ３－１x ２x ３－x ２＝８４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年４月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀－１x ２x ３,k A H ＝－１k B C＝x ２x ３．于是,AH 的方程为y －１x １＝x ２x ３(x －x １)．同理,B H 的方程为y －１x ２＝x ３x １(x －x ２)．所以点H 的坐标(x H ,y H )同时满足上面两个方程,即㊀㊀㊀㊀y H －１x １＝x ２x ３(x H －x １),②㊀㊀㊀㊀y H －１x ２＝x ３x １(x H －x ２)．③由②与③两边交叉相乘,得(y H －１x １)x ３x １(x H －x ２)＝(y H －１x ２)x ２x ３(x H －x １)．化简,得x H y H (x １－x ２)＝x １－x ２．因为x １ʂx ２,所以x H y H ＝１．故әA B C 的垂心H 必在双曲线x y ＝１上．策略与方法:本题虽然涉及的量较多,但通过巧用代换和转化,紧扣最终目标,避免了不必要的讨论和冗长的计算．其中,根据点A ,B ,C 在x y ＝１上,只设横坐标x i ,而将纵坐标表示为１x i (i ＝１,２,３),这是一种出奇制胜的策略和方法．２．７数形结合法数形结合法具有 以形助数,以数助形 的优点,特别是在解决与数量有关的问题时,可以根据数量的结构特征构造出相应的几何图形,从而用几何方法简捷地解决代数问题．例７㊀已知关于x 的方程(x －２k )２＝a x 在区间(２k －１,２k ＋１](k ɪN )上有两个不相等实根,求a 的取值范围．解:在同一直角坐标系中,作出抛物线弧y ＝(x －２k )２,x ɪ(２k －１,２k ＋１],以及直线l :y ＝a x ．图２原方程在(２k －１,２k ＋１]上有两个不相等实根的充要条件是直线y ＝a x 与抛物线弧有两个不同的交点,如图２所示．当直线l 介于射线O x 与O B(含O B )之间时,有两个交点,易求斜率k O B ＝１２k ＋１,于是０＜a ɤ１２k ＋１．策略与方法:本题如果用判别式或求根公式,则要讨论参数k ;如果采用数形结合法,利用y ＝a x ,借助图形,将a 赋予直线斜率的几何意义,就可避免分类讨论．２．８列表法在解高次不等式时,经常要将其转化为熟悉的一元二次不等式或不等式组来求解,也需要对解集进行讨论．为了简化繁琐的讨论,可以采用列表法．例８㊀解不等式:(x ＋２)(x ２－x －１２)＞０．解:将原不等式化为(x ＋２)(x ＋３)(x －４)＞０．令(x ＋２)(x ＋３)(x －４)＝０,得x ＝－２或－３或４．各因式的符号如表１所示．表１x x ＜－３－３＜x ＜－２－２＜x ＜４x ＞４x ＋３－＋＋＋x ＋２－－＋＋x －４－－－＋(x ＋２)(x ＋３) (x －４)－＋－＋㊀㊀由表１可知,原不等式的解集为{x |x ＞４,或－３＜x ＜－２}．策略与方法:本题展示了用列表法解不等式的优点．列表法能清晰地表示变量间的数量关系,不必通过计算和分类讨论就知道当自变量取某些值时函数的对应值．３结论综上所述,对分类讨论题型,不要急于直接进行分类讨论．首先要认真审查题目的特点,考虑是否可以拟用合适的公式㊁法则,能否进行某种变形,可否改变常规的思维方式和解题策略,即能否尝试运用上述八种方法避免或避开分类讨论．若能,则尽可能地避免繁杂的分类讨论;若不能,可否先作某些等价变形或简化,然后再遵循分类讨论的原则去攻克它．参考文献:[１]刘永春．避免分类讨论的解题方法[J ]．中学语数外:高中版,２００３(０１):２５Ｇ２６．[２]姜丽辉．浅谈几种避免分类讨论的方法[J ]．中学生数学,２０１６(５):１７．Z ９４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
教你如何避免分类讨论
【 ２ 函数厂 ） 例 】 定义在 ［ ， 上是偶 函数 ， ．２ ２］ 【， 为减函数， （一 ＜ ， ）求 ｍ的取值范围． ０２ ］ 若厂１ ） （ ，
【 解析】 本题因为函数单调区间有两个，对 １ ～ｍ、 可 以分三个 区域讨论． 以利用偶 函数性 ｍ 也可
个正根 、 …个 负根两种情况讨论， 即下面的解法：
一 荔 ≯ 叠
Ｉ Ｊ ｔ ｜
谤 数 讣 学 司 高 考 数 学
要对其 中参数进行分类讨 论． 分类讨论思想是高中
数学重要思想方法， 是高考考查的重要 内容之一． 事 实一 ， ｈ 并不是一遇 到含参数 的问题就要进行 分类 讨 论． 认为， 笔者 当我们遇到含参数 问题时， 可采取以下 Leabharlann 二、 抓住绝对值避免分类讨论
【 １ 函数 ， ＝ （２ ３ 例 】 ）ｍ ＋ ，— ｈ一３ ≠ ） 图 ， （ Ｏ的
象 与 轴的交点至少有一个在原点 的右侧， 求实数
ｍ 的取 值 范 围． 【 析 】 看 到 该题 最 容 易 使 同学 们 想 到 的是 解 对 方 程 ， ＋ 一 ）一３ Ｏ ≠０分 有 两 个 正 根 和 一 珊 ３ｘ ＝ （ ）
措 施 ： 要 看所 含 参 数 是 否妨 碍 了要 解 决 的 问题 ， 首先 如 果不 妨碍 就 没 有 必 要讨 论 ； 次， 看 是 否 能避 免 其 要
避 免分 类 讨 论 的解 法 ： 而 实 际 上方 程 聊 一 江－ ＝ （ ３ ３ Ｏｍ．Ｏ的两 个 ）
根是 确定的： 一 ， ÷ ． １ 可见两根之中已 ＝ ｘ ＝ 有一根
当 ｍ≠Ｏ时 ， 意 得 ： 由题
≥Ｏ
一
质，得／ ）八 ｌ ） ＝ Ｉ，原式等价于＿ Ｉ 一 ） ｘ 厂 ｍ Ｉ＜ （１ 厂 Ｉ ）此时， 一 、 ＞０［２为减函 （ ｍ Ｉ， ｆ ｍＩ ｌ Ｉ ，， １ ｍ ０】 数， 得到 ｌ 一 ＞ Ｉ ． ｍ Ｉ １利用平方法， １ ｍ 及函数的
避免分类讨论的几种策略
避免分类讨论的几种策略一些看似需要分类讨论的数学问题，虽然表现形式可能较为复杂，但其本质常存有简单的一面。
所以，如果能用简单的观点、简化的方法对问题的各种情形实施综合、排除、转化等策略，则往往能找到解决问题的简易途径。
例1 解关于x 的不等式|2x ||3x 2||3x x |22-+--<--。
解：因为x ≥3，所以3x x 2->且2x 2>。
所以原不等式化为2x |3x 2|3x x 22-+--<--。
即|3x 2|3x 2--<-- 所以03x 2<--。
解得x>7。
所以原不等式的解集为}7x |x {>。
例2 已知实数x 满足不等式0)4x 3x (log 2)3x (<---。
求x 的取值范围。
解：因为04x 3x 2>--所以x>4或x<－1。
又因为13x 03x ≠->-且所以x>4，此时13x >-所以原不等式可化为14x 3x 2<-- 解得2293x 2293+<<- 所以2293x 4+<<，所以原不等式的解集为}2293x 4|x {+<< 例3 已知△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，135C sin =，求cosA 的值。
解：因为21135C sin <=， 所以π<<ππ<<C 656C 0或。
又因为角A 、B 、C 成等差数列，所以3B π=。
这样π<<πC 65是不可能的，所以6C 0π<<。
所以1312C cos =。
所以26123513523131221C sin B sin C cos B cos )C B cos(A cos -=⋅+⋅-=+-=+-=二、将各种情形给予综合考虑，对问题实行整体处理例4 设函数|x lg |)x (f =。
若0<a<b ，且)b (f )a (f >。
高考数学：名师讲义第2期 分类有方、回避有技-----分类讨论问题解决策略
3.巧用性质、回避讨论 例 4. 2, 2 上的偶函数 f x 在 0, 2 为减函数， 若 f 1 m f m ， 求 m 的取值范围。 分析： 本题因为函数单调区间有 2 个，对于1 m, m 可分为 3 个区域讨论。也可以 利用偶函数的性质得： f x f x ，即 f 1 m f m
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高考数学
高考数学：名师讲义——助你冲刺数学 130+
第 2 期 回避有方、分类有法-----分类讨论问题解决策略
分类讨论思想是中学数学最重要的思想方法之一， 也是每年高考必考的重点， 如何有效 地解决分类讨论问题呢？可采用“回避有方、分类有法”策略。 对于看似复杂的 “分类讨论” 问题， 若能回避讨论， 则可用一定的方法回避讨论， 即 “回 避有方” 。对于不能回避的讨论问题，要选择一个适当的角度分类讨论，应用分类讨论思想 解决问题必须保证分类科学， 标准统一， 做到不重复， 不遗漏， 并力求最简， 即 “分类有法” 。 一. 回避讨论的技术 1.整体思维、回避讨论 例 1. （理） （2014 上海理）如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正 四棱柱，AB 是一条侧棱， Pi (i 1,2,...,8) 是上底面上其余的八个点，则
1 1 m ，注意函数的定义域得： m 1, 。 2
，因 f x 在 0, 2 为减函数，得
4.变量分离，回避讨论 例 5、 设函数 f x ax 2 2 x 2 对于满足 1 x 4 的一切 x 值， 都有 f x 0, 求实数 a 的取值范围。 分析：看到本题后多数同学自然想到对二次项系数 a 分 a 0, a 0, a 0 三种情况讨论， 工作量太大， 其实再仔细分析一下，发现以上解法把简单问题复杂化了，求参数 a 的取值范围，自然 应该想到分离参数 a ，则可完全避免讨论。
14避免分类讨论的几种策略
上海中学数学・２００８年第６期避免“分类讨论＂的几种策略５４２７００广西富川县民族中学何莲萍分类讨论既是一种重要的数学思想方法，又是一种重要的解题策略，在数学解题中有着广泛的应用．但分类讨论时，一般过程都较为冗长、繁琐，且极易在完备性上造成失误．因此，在分类之前应有意识地调整思维策略，尽量地避免分类讨论，以简化或优化解题过程，达到简捷解题的目的．本文介绍几种避免分类讨论的解题策略．一、运用最值思想，避免分类讨论例１奇函数厂（ｚ）是Ｒ上的减函数，若对任意的ｚ∈（０，１］，不等式，（如）＋厂（一ｚ２＋ｚ一２）＞０恒成立。
求实数ｋ的取值范围．解：。
．‘厂（ｚ）＋厂（一一十ｚ一２）＞０，且厂（ｚ）是Ｒ上的奇函数，减函数，．‘．，（垃）＞ｆ（ｘ２一ｚ＋２）得到垃＜Ｘ２一工＋２（１）‘．．ｚ∈（ｏ，１］，可得ｋ＜ｚ＋三一１，问题转化为只要ｋ小于Ｘ＋三一１的最小值即可．令ｈ（ｚ）一ｚ十兰，因为＾（ｚ）在（０，√２）上是减函数，故当ｚ∈（ｏ，１３时，显然有＾（工）。
ｉ。
一．．．是的取值范围为（一。
ｏ，２）．点评：按照常规思路，由（１）式转化为ｚ２一（忌＋１）ｚ＋２＞０在ｚ∈（ｏ，１３上恒成立问题，可令ｇ（工）一≯一（是＋１）ｚ＋２，然后根据二次函数性质及对称轴位置的变化，进行分类讨论，得剑：｛蒿纠三鬲剥１ｆｇｋ盎＋，ｌ三＞ｉ，解得ｋ＜一１或一１≤ｋ＜１或１≤ｋ＜２，从而求得ｋ的取值范围为（一ｏ。
，２）．这样解就显得比较烦琐，因为有些不等式在区间上的“恒成立”问题，一般通过分离变量，转化为函数的最值问题求解．就可以避免分类讨论，使得解题过程简明快捷，少走弯路．二、妙用换底公式。
避免分类讨论例２设０＜上＜１，口＞０且ａ≠１，比较Ｉｌｏｇ。
（１一ｚ）Ｉ与Ｉｌｏｇ。
（１＋ｚ）ｌ的大小．分析：本例通常应分ａ＞１与０＜ａ＜１两种情况讨论，但运用换底公式消去ａ，就可避免分类讨论，从而达到简化解题过程的目的．解：运用作商比较法，’．。
避免函数含参问题中分类讨论的几种策略
Ｎｏ ． ０ ３． ２ ０１ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ Ｗａ ｉ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
２ ０ １ ３年第 ３期
避 免 函数 含 参 问题 中分 类 讨 论 的几 种 策 略
周亚莉
（ 襄 阳四 中， 湖北
襄阳 ４ ４ １ ０ ２ １ ）
摘 要： 分类讨论是一种重要的数学思想方法和解题策略， 纵观历年全国各地高考试题 ， 几乎都有函数含参 问题的分类讨论。如 果我们注意克服思维定势， 处理好“ 分” 与“ 合” 、 “ 局部” 与“ 整体” 之 间的辨证统一关系， 充分挖掘求解问题 中潜在 的特殊性与简单性， 加大“ 想” 的力度， 简化“ 算” 的过程 ， 主动适应高考命题的趋向， 就能够简化或避免分类讨论。这也是分类讨论 的思想方法中数学思维 品质 的 最高层 次。 以下举例 谈 谈如 何避 免 分类讨 论 的策略 ， 供 大 家借 鉴 。 关键词 ： 函数 ； 分类讨 论 ； 含 参 问题
二
从 而 函数 ） ， ｅ［ ｍ， ／ ７ ， ］ 是 增 函数 ，
・ ．
二 １ ２ 解 得 ｛ ｍ
－ － －
＿ ＿
￣ ａ０
： ２时取 等号 ） ， 所 以Ｏ ＜ 口 ≤ １
又’ ． ’ ｍ ＜ｎ ． ‘ ． ｍ ＝ 一２ ， ／ ｔ － ＝０
川 ＋ 南≥ ２
解： 一方面 ） ＝一 ÷（ 一 １ ） ＋１ 在（ 一 ， ＋ ） 上的最 ＋ａ ｏ ） 内有解 ，
大 值是 １ ； 另 一方 面 ， 若存 在 ， 则， （ ） 在［ ｍ， ｎ ］ 上的最 大值是 ２
＿
潦
数
毒 卜
．
．
２ ｎ ≤１ 即ｎ ≤÷ ≤１ ， ． 。 ． ［ ｍ， ， １ ］ 霉 （ 一 ， １ ］
避免分类讨论的策略
避免分类讨论的策略分类讨论是一种重要的数学思想方法和解题策略，在求解函数、方程、不等式、排列组合，几何等数学问题中有广泛的应用。
含有分类因素的题目是不是拿到手就分类讨论呢?不然，有时候分类讨论是解决问题的必须，但它并非都是解决问题的上策或良策，要注意克服动辄加以讨论的思维定势，应结合题目认真而细致地分析，充分挖掘题目中所给的条件，避免不必要的分类讨论，使解题过程简捷明快，现举例说明。
1. 分离参数在含参数的方程或不等式中，若能通过适当的变形，使方程或不等式的一端只含有参数的解析式，另一端是无参数的主变元函数，从而分离参数，反客为主，往往可以避免繁琐的讨论。
例1. 设函数y = log2(mx2-2x+2)的定义域为A，集合B =[12，2](1)若A = R，求m的取值范围。
(2)若A∩B≠，求m的取值范围。
(3)若log2(mx2-2x+2) > 2在B上恒成立，求m的取值范围。
分析：(2)由于mx2-2x+2>0中m的符号不确定，用一元二次方程的根的分布去讨论明显比较繁琐，若将m分离出来，转变成求函数最值，问题就会变得简单了。
(3)去掉对数符号后其做法同(2)，转变成求函数最值问题。
解：(1)略。
(2)mx2-2x+2>0在集合 B =[12，2]上有解，等价于-m2 - 4。
(3)mx2-2x-2>0在集合B = [12，2]上恒成立，等价于m2>1x2+1x在集合B =(12，2)上恒成立，于是m2>1x2+1x max，即m>12。
2. 消除参数有些问题表面上看起来含有参数，但是通过适当的变形，可以将参数消除，这样就回避了对参数的讨论。
例2.设正数a、b、c、d满足(a-1)(b-1)1，所以|log da|>|log db|3. 数形结合一些问题中涉及到的函数图象比较熟悉，可以作出它们的图象，研究数形之间的关系，挖掘隐含条件，从而避免讨论，达到化繁为简的作用。
探讨数学解题中避免分类讨论的几种策略
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探讨数学解题中避免分类讨论的几种策略
作者：姜兴黄晓健张桉周洋
来源：《读写算》2011年第23期
一些看似需要分类讨论的数学问题，虽然表现形式可能较为复杂，但其本质常存在简单的一面。
因此，如果能用简单的观点、简化的方法对问题的各种情形实施综合、排除、转化等策略，则往往能找到解决问题的简易途径。
一、充分利用隐含条件，缩小参数的取值范围
二、将各种情形给予综合考虑，对问题进行整体处理
三、一些对称性问题，由于参数的地位均等，可以只考虑一种情形
四、跳出常规思维，转变考虑问题的角度
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
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轴 为 ＝ 与 ａ ， 则 可 分 别 钉（ ＼ 一 丢 厶 ） ／ ＝ ， ， （ ２ ） ＝ １ ， （ ＼ 二 Ⅱ ） ＝
１ ， 分 别 求 出 。 的 值 再 检 验 ， 易 知 ｎ ： 丢 或 。 一 — ３ ＋ ２ Ｖ ＇ ２ － ．
三、 利 用 等 价 转 化 的 思 想 避 免 分 类 讨 论 在解答有些题 目时 ，若对题设条件进行 合理变形和
又当 ≥０ 时， ｇ （ ） 为减 函数 ， 得 到
『 ｆ １ 一 ｍｌ ≤２ ，
解： 由题设ｌ 厂 （ 。 ） （ ｂ ） 得ｌ ｌ ｇ ｎ ｌ ＞ ｌ ｌ ｇ ｂ ｌ ， 两边平方得
｛ ｌ ｒ 凡 ｛ ≤２ ，
㈠ １ 一 ｍ｛ ＞ ｌ ｍ１ ．
Ｉ 一 ÷， ２ １ 上的 最大值为１ ， 求实数。 的 值．
分析 ： 按常规 思维 ， 需要 对ａ 的正负进行讨论 ， 且在每
一
研究函数厂 （ ） 的图像与 轴的交点的个数确定原方程的
解 的个 数 ， 但需对口 进行 比较复 杂 的讨 论 ； 如果将 方程变
形为 一 １
一
方法 ， 在平 时的训 练中一定要注意优选运算方法 ， 当运算
过程 过于烦琐 时 ， 切莫 盲 目蛮算 ， 要善于 转变思 路 ， 多想
力， 正如卡曾斯所说 ： 把时间用在思考 上是最 能节省时间
的事情． 运算 能力 的提高 ， 虽然 不是一朝一夕能立竿 见影
的， 但 只要 能不 断地总结 经验 ， 掌握上 面所述优化运算过 程 的基本 策略 ， 持 之以恒 地练好基本 功 ， 就能使 自己的运 算 功底达 到理想 的境界．■
类 中 又 要 根 据 抛 物 线 的 对 称 轴 与 区 间 ｆ 一 ３ ， ２ ｆ 的 相 对
１： 。 ， 谢
。
（ ） ： 一 １ 一 １ 一 （ ＞ ０ ）则 可 以通
，
Ｘ
ｘ‘
ｘ
‘
位 置 关 系 讨 论 函 （ ） 在 区 间 ｆ 一 ３ ， ２ ｆ 上 的 单 调 性 ， 进
一Байду номын сангаас
解 ， 即 ｎ 的 取 值 范 围 是 （ ～ ｏ 。 ， ｏ ３ ｕ ｛ ｊ ・
点 评 ：本 解 法 从 确 定 的 函数 图像 与 动 直 线 的 交 点 入
握分类讨论思 想的同时 ， 要注意如何避免讨论 ， 本 文从几
个 方面论述 ， 避 免讨 论的对策．
一
手． 避 免 了复 杂 的讨 论 。 比较 ｘ 间 － ｚ － 捷．
二 ，
且 当 — — ’ １ ） 时， ， （ ） 一一 ｏ 。 ， 当 一＋ 。 。 时， ｌ 厂 （ ） — ， 作 出ｌ 厂 （ ） 图 像 的草图（ 见 图１ ） ， 从图像看 出， 当０ ＝ 或。 ≤０ 时方 程有唯
查 ，很多试题需要根据不 同的具 体条件灵活采用不 同的
而知道何时取最 大值 ， 这样共需分六类情 况． 若从结 果考
虑， 逆 向分 析 ， 可避 免分类讨论 ， 使问题解决．
过研究函数厂 （ ） 的图像与直线ｙ ＝ ａ 的交点的个数解决．
解： 当ｘ ＞ Ｏ Ｉ ｔ ￣， 方 程 即 一
一
＝ 。 ， 设厂 （ ） ＝ １ 一 １ 一 １
２ ０ １ ３年 ９月
解 法 探 究
学 谋
避 免分 类讨 论 的几点策 略
⑧ 江 苏 省 沭 阳 如 东 中学 袁 媛
分 类讨论是一种重要 的数学思想 方法 ， 但 是因为分
类讨论 论述较长 ， 而且容易讨论不完 整造成 解题失误 ， 因 此分类讨 论并 非最好 的解题方法 ， 我们提倡在熟悉 和掌
等价转化 ， 有 时可 以避开分类讨论．
在（ ０ ， ３ ） 上厂 （ ） ＞ ０ ， ， （ ） 是增函数 ； 在（ ３ ， ＋ 。 。 ） 上厂 （ ）
＜ ０ ， ＿ 厂 （ ） 是减 函数・ ５ Ｌ ｆ （ ３ ） ＞ ０ ， ｌ 厂 （ ） 一 ＜ ０ ， ＞ ３ ， ，（ ） ＞ ０ ，
分析： 由题设厂 （ ｎ ） （ ６ ） 得Ｉ ｌ ｇ ｏ ｌ ＞ ｌ ｌ ｇ ｂ Ｉ ， 常规方法为
解： 因为函数ｇ （ ） 在［ 一 ２ ， ２ ］ 上是偶函数， 则ｇ （ １ － ｍ） ＜ ｇ （ ｍ） 有， 可得ｇ （ １ １ － ｍＩ ） ＜ ｇ （ １ ｍＩ ） ．
２ ５ …
解 ： 由 于 抛 物 线 ｌ 厂 （ ） 在 区 间 ｆ 一 ３ ， ２ ７ 上 的 最 大 值 只
＝ 丁 Ｘ ２ － Ｘ － １ 贝 （ ） ＝ 一 ＋ ＋
，
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可 能在 区间端点或对称 轴处取 得 ， 而抛 物线厂 （ ） 的对 称
想上 面所述 的几种策略 ， 寻找新的方法 ， 使运算更具合理
性、 简洁性 和准确性 ， 要 知道 ： 找 到好 的方 法既省 时又省
高 中 版中。 擞’ ？０ ｊ
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一
围， 避免烦琐 的讨论．
２ ０１ ３年 ９月
成ｇ （ Ｉ ｌ — ｍ１ ） ＜ ｇ （ １ ｍ１ ） ， 然后由单调性求解出／ Ｔ ｔ 的取值范
二、 利 用 逆 向思 维 避 免 分 类 讨 论 当问题直接求解需要很复杂 的分类讨论时 ，我们 可 以从 结果考虑 ， 通过逆 向分析 、 研究 ， 使问题得到解决．
、
利 用 数 形 结 合避 免 分 类 讨 论
概＋ １ ＝ ０ 在（ ０ ， ＋ ∞） 上有
例１ 已知 关于 的方程
且仅有一个实数解 ， 求 实数ａ 的取值 范围．
分 析： 当ｎ ≠０ 时， 这是 一个关于 的一元三次 方程 ， 我
例２ 已知函数厂 （ ） ＝ 似 ＋ （ ２ 一 １ 一 ３ （ ａ ≠０ ） 在区问
们无法直接 求解． 如果设 厂 （ ） ＝ 似。 帆＋ ｌ ， 则就 可 以通过