东城区初三数学期末试题及答案
2022-2023学年北京东城区初三第一学期数学期末试卷及答案
2022-2023学年北京东城区初三第一学期数学期末试卷及答案一、选择题（每题2分，共16分）1. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为( ) x 220x x m -+=0m A. 2 B. 1C. 0D.1-【答案】C 【解析】【分析】将代入方程，即可求解．0x =220x x m -+=【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， x 220x x m -+=0∴， 0m =故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程是解题的关键． 0x =2. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 等边三角形C. 直角三角形D. 正五边形 【答案】A 【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A 、是中心对称图形，本选项正确； B 、不是中心对称图形，本选项错误； C 、不是中心对称图形，本选项错误； D 、不是中心对称图形，本选项错误． 故选A ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转180度后与原图形重合．3. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） 22(4)6y x =-+A. 有最大值4 B. 有最小值4C. 有最大值6D. 有最小值6 【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数的解析式，得到a 的值为2，图象开口向上，函数22(4)6y x =-+有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6）， 22(4)6y x =-+∴函数有最小值为6． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a 的符号和根据顶点坐标求出最值．4. 一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是确定事件的为（ ） A. 至少有1个球是黑球 B. 至少有1个球是白球 C. 至少有2个球是黑球 D. 至少有2个球是白球【答案】A 【解析】【分析】列出摸出的三个球的颜色的所有可能情况即可．【详解】根据题意可得，摸出的三个球的颜色可能为：两个白球，一个黑球；一个白球，两个黑球；三个黑球，则可知摸出的三个球中，至少有一个黑球， 故必然事件是至少有一个黑球， 故选：A ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A. 180（1﹣x）2=461B. 180（1+x ）2=461C. 368（1﹣x）2=442D. 368（1+x ）2=442【答案】B 【解析】【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x ，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程：180（1+x ）2=461， 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．6. 如图，在中，是直径，弦的长为5，点D 在圆上，且， 则O AB AC 30ADC ∠=︒O 的半径为（ ）A. B. 5C. D.2.57.510【答案】B 【解析】【分析】连接,由题意易得，在中解三角形求解． BC 30ABC ADC ∠=∠=︒Rt ACB 【详解】连接,BC30ABC ADC ∴∠=∠=︒在中，是直径， O AB ，90ACB ∴∠=︒在中，Rt ACB ，，90ACB ∠=︒30ABC ∠=︒5AC =210AB AC ==5OA =故选：B ．【点睛】本题主要考查圆周角定理及含直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理及含30︒直角三角形的性质是解题的关键．30︒7. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC ，BD 分别与⊙O 切于点C ，D ，延长AC ，BD 交于点P ．若，⊙O 的半径为6cm ，则图中的120P ∠=︒ CD长为（ ）A. π cmB. 2π cmC. 3π cmD. 4π cm【答案】B 【解析】【分析】连接OC 、OD ，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和90OCP ODP ∠=∠=︒求得，再利用弧长公式求得答案． 60COD ∠=︒【详解】连接OC 、OD ，分别与相切于点C ，D ，,AC BD Q O ∴，90OCP ODP ∠=∠=︒，120360P OCP ODP P COD ∠=︒∠+∠+∠+∠=︒， ∴，60COD ∠=︒的长， CD∴6062(cm)180ππ⨯==故选：B【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．8. 如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为ABCD O 20cm cm x ，阴影部分的面积为．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，cm y 2cm S 则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A. 一次函数关系，一次函数关系B. 一次函数关系，二次函数关系 C .二次函数关系，二次函数关系D. 二次函数关系，一次函数关系【答案】B 【解析】【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据152y x π=-+得到，由此即可得到答案．S S S =-阴影正方形圆2215254S x x πππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边ABCD O 20cm cm x 长为， cm y ∴， 4220y x π+=∴， 152y x π=-+∵，S S S =-阴影正方形圆∴，22222211552524S y x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系， 故选B ．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键． 二、填空题 (每题2分，共16分）9. 在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为xOy 245y x x =-+_________． 【答案】 (0,5)【解析】【分析】令，代入抛物线，得到点C 的纵坐标，即可得解． 0x =245y x x =-+【详解】解：依题意，令，得到，0x =5y =故抛物线与y 轴交于点C 的坐标为， 245y x x =-+(0,5)故答案为 ：(0,5)【点睛】本题考查了二次函数与y 轴交点问题，令，即可得到抛物线与y 轴交点的纵0x =坐标． 10. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线2112y x =+的解析式为_______． 【答案】 21(1)22y x =+-【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】解：抛物线， 2112y x =+向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， 得到 ()211132y x =++-即 ()21122y x =+-故答案为：． ()21122y x =+-【点睛】本题主要考查函数图像的平移；熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．11. 请写出一个常数c 的值，使得关于x 的方程有两个不相等的实数根，则220x x c ++=c 的值可以是____________．【答案】0，（答案不唯一，即可）． 1c <【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c 的取值范围即可得到答案． 【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根， 220x x c ++=所以 2Δ240c =->解得1c <故答案为：0，（答案不唯一，即可）1c <【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．12. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数（棵）100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵）87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1）【答案】0.9【解析】【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，故答案为：0.9．【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．13. 以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．【答案】（2，﹣1）【解析】【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．【详解】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），∴点C的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．14. 如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D ，连接CD ．若∠B=50°，则∠OCD 的度数等于___________．【答案】20°##20度 【解析】【分析】连接OA ，如图，根据切线的性质得到∠OAB=90°，则利用互余可计算出∠AOB=40°，再利用圆周角定理得到∠ADC=20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD 的度数．【详解】解：连接OA ，如图，∵AB 切⊙O 于点A ， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB=90°， ∵∠B=50°，∴∠AOB=90°-50°=40°， ∴∠ADC=∠AOB=20°， 12∵AD∥OB，∴∠OCD=∠ADC=20°． 故答案为：20°．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所12=围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为______ 米120︒．）21.73≈【答案】 8.92【解析】【分析】由题意可知于D ，交圆弧于C ，由题意得米，解得OC AB ⊥4AO =120AOB ∠=︒米，再求出，最后由勾股定理得到，由垂径定理求出即可得122OD OA ==CD AD AB 出结果．【详解】解：如图，由题意可知，，，（米），120AOB ∠=︒AB CD ⊥4OA OB ==， 30,90DAO ADO ∴∠=︒∠=︒12AD BD AB ==（米）122OD OA ∴==（米）422CD OC OD ∴=-=-=AD ∴===（米）2AB AD ∴==弧田面积 ∴()212AB CD CD =⨯+()21222=⨯+2=+（平方米）8.92≈故答案为：8.92【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用；熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．16. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，中心为O ，在矩形外有一点P ，，,4,2ABCD AB AD ==3OP =当矩形绕着点O 旋转时，则点P 到矩形的距离d 的取值范围为__________．【答案】 32d ≤≤【解析】【分析】根据题意分别求出当过的中点E 时，此时点P 与矩形上所有点的OP AB ABCD 连线中，；当过顶点A 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，；d PE =OP ABCD d PA =当过顶点边中点F 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，，即OP AD ABCD d PF =可求解．【详解】解：如图，当过的中点E 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，OP AB ABCD ，， d PE =112OE AD ==∴；2d PE OP OE ==-=如图，当过顶点A 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，，OP ABCD d PA =矩形，中心为O ，,4,2ABCD AB AD ==∴，2,90BC AD B ==∠=︒∴， AC ==∴ 12OA AC ==∴；3d AP OP OA ==-=-如图，当过顶点边中点F 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，OP AD ABCD ，， d PF =122OF AB ==∴；1d PF OP OF ==-=综上所述，点P 到矩形的距离d 的取值范围为．32d ≤≤故答案为：32d ≤≤【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出临界点时点d 的值是解题的关键．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17. 下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A 在上．O 求作：的切线．O AB作法： ①作射线；OA ②以点A 为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C 和点D ；OA ③分别以点C ，D 为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B ； 12CD ④作直线．AB 则直线即为所求作的的切线.AB O 根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接，．BC BD 由作图可知，， ．AC AD =BC =∴ ．BA OA ∵ 点A 在上，O ∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ．AB O 【答案】（1）见解析；（2）；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．BD ⊥【解析】【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可；（2）结合作图，完成证明过程即可．【小问1详解】补全图形如图所示，【小问2详解】证明：连接，．BC BD由作图可知，，．AC AD =BC BD =∴，BA OA ⊥∵ 点A 在上，O ∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，AB O 故答案为：；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线BD ⊥【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键．18. 如图，是的直径，弦于点E ，，若，求的AB O CD AB ⊥2CD OE =4AB =CD 长.【答案】.CD =【解析】【分析】由垂径定理得到，推出，在中，利用勾股定理即CE DE =CE OE =Rt COE △可求解.【详解】解：如图，连接． OC∵是的直径，弦于点E ，AB O CD AB ⊥∴．CE DE =又∵，2CD OE =∴．CE OE =∵，4AB =∴．2OC =在中，，Rt COE △222CE OE OC +=∴CE =∴．CD =【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．19. 下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，2240x x p --=()0p >解答下面的问题．2240x x p --=解：移项，得：．①224x x p -=二次项系数化为1，得：．② 222p x x -=配方，得．③ 2212p x x -+=即. 2(1)2p x -=∵，0p >∴ 1x -=∴ 11x =+11x =（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．【答案】（1）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等（2）不正确，解答从第③步开始出错， 1x =2x =【解析】【分析】（1）根据等式的性质2即可写出依据；（2）根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解． 【小问1详解】等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；【小问2详解】不正确，解答从第③步开始出错，正确的步骤为：配方，得．③ 22112p x x -+=+即 22(1)2p x +-=∵，0p >∴．④ 1x -=∴．⑤ 1x =2x =此方程的解为． 1x =2x =【点睛】本题考查等式的性质和解一元二次方程，解题的关键是读懂材料，明确每一步的做题依据．20. 如图，已知抛物线L ：y ＝x 2+bx+c 经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．（1）求b ，c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．求点M 的坐标；【答案】（1），；（2）交点M 的坐标为（2，-3）．4b =-5c =-【解析】【分析】（1）将点A 、点B 坐标代入函数解析式，求解方程组即可；（2）设直线AB 的解析式为：，将点A 、点B 坐标代入函数解析式求解确()0y kx b k =+≠定解析式，然后根据（1）中确定二次函数解析式，求出其对称轴，求两条之间交点即可确定点M 的坐标．【详解】解：（1）将点A 、点B 坐标代入函数解析式可得：， 50255c b c -=⎧⎨=++⎩解得：， 45b c =-⎧⎨=-⎩∴，；4b =-5c =-（2）设直线AB 的解析式为：，()0y kx b k =+≠将点A 、点B 坐标代入函数解析式可得：， 505b k b-=⎧⎨=+⎩解得：， 15k b =⎧⎨=-⎩∴一次函数解析式为：，5y x =-由（1）得二次函数解析式为：，245y x x =--对称轴为：， 22b x a=-=直线与的交点为M ，5y x =-2x =∴当时，，2x ==3y -∴交点M 的坐标为（2，-3）．【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定二次函数与一次函数解析式，两条直线的交点问题，二次函数的基本性质，理解题意，熟练运用待定系数法确定解析式是解题关键．21. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点(每A B O 个小正方形的顶点叫做格点)．（1）作点关于点的对称点；A O 1A （2）连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点为，1AB 1A B 1A 90︒11A B B 1B 画出旋转后的线段；11A B （3）连接，，求出的面积（直接写出结果即可）．1AB 1BB 1ABB 【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）8【解析】【分析】（1）根据网格的特点作出点关于点的对称点；A O 1A（2）根据题意，画出旋转后的线段，即可求解；11A B （3）根据网格的特点，以及三角形面积公式求得面积即可求解．【小问1详解】解：如图所示，点即为所求；1A 【小问2详解】解：如图所示，线段即为所求；11A B 【小问3详解】解：如图所示，． 118282ABB S =⨯⨯= 【点睛】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，网格中求三角形面积，数形结合是解题的关键．22. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A ，B ，C ，用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率． 【答案】 13【解析】【分析】先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出小明和小亮选择相同模块的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画树状图如下：由图可知，所有等可能的结果共有9种，其中，小明和小亮选择相同模块的结果有3种． 则小明和小亮选择相同模块的概率为， 3193P ==答：小明和小亮选择相同模块的概率为． 13【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．23. 已知关于x 的一元二次方程． ()22120x m x m +++-=（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m 的值，并求出此时方程的解．【答案】（1）见解析 （2），m =122,1x x =-=【解析】【分析】（1）判断判别式的符号，即可得证；（2）求出判别式的值最小时的m 的值，再解一元二次方程即可．【小问1详解】证明：∵，22(21)4(2)49m m m ∆=+-⨯-=+∵，20m ≥∴．2Δ490m =+>∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：由题意可知，当时，的值最小．0m =249m ∆=+将代入，得0m =2(21)20x m x m +++-=220x x +-=解得：．122,1x x =-=【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程．熟练掌握判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程的方法，是解题的关键．24. 掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度(单位：y m)与水平距离(单位：m)近似满足函数关系．某位同学进行了两x 2()y a x h k =-+(0)a <次投掷．（1）第一次投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：x y 水平距离x/m 0 2 4 6 8 10竖直距离y/m 1.67 2.632.95 2.63 1.670.07根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；2()y a x h k =-+(0)a <（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y 与水平距离近似满足函数关系x ．记实心球第一次着地点到原点的距离为，第二次着地点到原点20.09( 3.8) 2.97y x =--+1d 的距离为，则_____ (填“＞”“＝”或“＜”)．2d 1d 2d 【答案】（1），2.9520.08(4) 2.95y x =--+（2）＞【解析】【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值，并利用待定系数法得到抛物线解析式；（2）设着陆点的纵坐标为0，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标即为 和，然后进行比较即可．1d 2d 【小问1详解】解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为， (42.95)，所以实心球竖直高度的最大值为，2.95设抛物线的解析式为：，2(4) 2.95y a x =-+将点代入，得， (01.67)，1.67162.95a =+解得，0.08a =-∴抛物线的解析式为：；20.08(4) 2.95y x =--+【小问2详解】解：第一次抛物线解析式为，20.08(4) 2.95y x =--+令，得到（负值舍去）， 0y =4x =+第二次抛物线的解析式为，20.09( 3.8) 2.97y x =--+令，得到（负值舍去）0y = 3.8x =+， 4 3.8+>+ ，12d d ∴>故答案为：>【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．25. 如图，点在以为直径的上，平分交于点D ，交于点E ，C AB O CD ACB ∠O AB 过点D 作交F ．DF AB CO（1）求证：直线是的切线；DF O（2）若°，DF 的长．30A ∠=AC =【答案】（1）见解析 （2） FD =【解析】【分析】（1）连接，证明可得结论；OD DF OD AB OD ⊥⊥，，（2）再中，，，得到，，再在Rt ACB △30A ∠=︒AC =4AB =2OD =Rt ODF △中，由，继而求得；60F ∠=︒FD 【小问1详解】证明：连接． OD∵ 是的直径，平分，AB O CD ACB ∠ AD DB∴=∴ .90AOD BOD ∠=∠=︒又∵ ，FD AB ∥∴ ．90ODF BOD ∠=∠=︒即 ．OD DF ⊥∴ 直线为的切线．DF O 【小问2详解】解：∵ 是的直径，AB O ∴．90ACB ∠=︒又∵，，30A ∠=︒AC =∴ ．4AB =∴ ．2OD =∵ ，AO CO =30ACO A ∴∠=∠=︒∴ .60COB A ACO ∠=∠+∠=︒∵ ，DF AB ∴ ,60F ∠=︒，30FOD ∴∠=︒设则，,FD x =22OF FD x ==又，2OD =在中，由勾股定理得：，Rt ODF △22224x x +=解得：， x =故 FD =【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，特殊角的直角三角形性质，等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．26. 已知二次函数． ()2430y ax ax a =-+≠（1）求该二次函数的图象与y 轴交点的坐标及对称轴．（2）已知点都在该二次函数图象上，()()()()12343,1,12,,,,,y y y y --①请判断与的大小关系： （用“”“”“”填空）；1y 2y 1y 2y >=<②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a 的取值范围．1y 2y 3y 4y 【答案】（1）抛物线与y 轴交点的坐标为，对称轴()0,32x =（2）①； ② =3154a -≤<-【解析】【分析】（1），可得抛物线与y 轴交点的坐标，再根据抛物线对称轴公式解答，即可0x =求解；（2）①根据题意可得点关于直线对称，即可求解；②根据题意可得点()()12,3,1,y y 2x =在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，然后分两种情况：()()()2341,,,1,2,y y y --()13,y 当时，当时，即可求解．0a >a<0【小问1详解】解：令，则，0x =3y =∴抛物线与y 轴交点的坐标为 ．()0,3对称轴． 422a x a-=-=【小问2详解】解：① ∵函数图象的对称轴为直线，2x =∴点关于直线对称，()()12,3,1,y y 2x =∴，12y y =故答案为：；=②∵函数图象的对称轴为直线，，2x =3112>>->-∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧．()()()2341,,,1,2,y y y --()13,y 当时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，0a >∴，不合题意．1234y y y y =<<当时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，则，a<01234y y y y =>>，，，四个函数值可以满足，1y 2y 3y 4y 12340y y y y >=≥>∴，340,0y y ≥<即当时，，当时，．=1x -3430y a a =++≥2x =-44830y a a =++<解得 ． 3154a -≤<-【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．27.如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，ABC 90ACB AC BC ∠=︒=，D AC 连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于点，BD BD D 90︒DE E EFAC ⊥F 连接． AE（1）依题意补全图形；（2）比较与的大小，并证明；AF CD （3）连接，为的中点，连接，用等式表示线段之间的数量BE G BE CG CD CG BC ，，关系，并证明．【答案】（1）见解析 （2），见解析AF CD =（3），见解析BC CD =【解析】【分析】（1）根据旋转的性质画图即可；（2）根据旋转的性质以及等腰直角三角形可以得到全等三角形，再根据全等三角形的性质即可求出结论；（3）根据题意画出已知图形，再根据图形得到全等三角形，利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可求出结论．【小问1详解】解：补全图形如图所示【小问2详解】解：，理由如下：AF CD =∵EF AD ⊥∴90EFD ∠=︒∵90ACB ∠=︒∴EFD BCD ∠=∠∵90ACB ∠=︒∴90CBD CDB ∠∠=︒＋由题意可知，90BDE ∠=︒∴90EDF BDC ∠∠=︒＋∴EDF CBD ∠=∠在和中EFD △DCB △EDF CBD EFD DCB ED BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴≌EFD △()AAS DCB ∴EF CD DF BC ==，∵BC AC =∴AC DF =∴AF CD =【小问3详解】解： 理由如下：BC CD =连接，DGFG∵ ，为的中点，DE BD =G BE 90BDE ∠=︒∴EG BG DG ==，90DGB ∠=︒∵90EFD DGE ∠=∠=︒∴GEF CDG ∠=∠在和中EFG DCG △EF DC GEF CDG EG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴≌ EFG SAS DCG （）∴，FG CG =EGF DGC ∠=∠∴90EGF EGC DGC EGC ∠+∠=∠+∠=︒即90CGF ∠=︒∴为等腰直角三角形CGF △∴CF =∵ ，BC AC AF CF ==+AF CD ＝∴BC CD =+【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等相关知识点，掌握全等三角形的性质和旋转的性质是解题的关键．28. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形M 绕直线上某一点P 顺时xOy 3x =针旋转，再关于直线对称，得到图形N ，我们称图形N 为图形M 关于点P 的二次90︒3x =关联图形．已知点．()0,1A （1）若点P 的坐标是，直接写出点A 关于点P 的二次关联图形的坐标________；()3,0（2）若点A 关于点P 的二次关联图形与点A 重合，求点P 的坐标（直接写出结果即可）；（3）已知的半径为1，点A 关于点P 的二次关联图形在上且不与点A 重合． O O 若线段，其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时 P 点1AB =O 坐标及点B 的纵坐标的取值范围．B y 【答案】（1）()2,3（2）()3,2-（3），， ()3,3-12102B y ≤≤【解析】【分析】（1）根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D ，可A 'A ''A 'A D x '⊥证得，从而得到，即可求解；AOP PDA ' ≌1,3OA PD OP A D '====（2）根据题意得：点P 位于x 轴的下方，设点P 的纵坐标为m ，过点P 作轴于点PE y ⊥E ，过点作轴交延长线于点F ，坐标为m ，表达点的坐标，可得出结论；A 'A F x '⊥EP A '（3）由（2）可知，点的坐标，由A 关于点P 的二次关联图形在上且不与点A 重合A ''O 可得出点的坐标，由线段，其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在及A ''1AB =O 其内部，找到临界点，可得出的坐标，进而可得出点B 的坐标，即可得出的取值B ''B ''B y 范围．【小问1详解】如图1，根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D ，A 'A ''A 'A D x '⊥∴90A DP AOP '∠=∠=︒由旋转可知，，90,APA AP A P ''∠=︒=∴，90APO A PD A PD PA D '''∠+∠=∠+=︒∴，APO PA D '∠=∠∴，()AAS AOP PDA ' ≌∴，1,3OA PD OP A D '====∴，()4,3A '∵点和关于直线对称，A 'A ''3x =∴点，()2,3A ''即点A 关于点P 的二次关联图形的坐标为；()2,3故答案为：()2,3【小问2详解】解：根据题意得：点P 位于x 轴的下方，设点P 的纵坐标为m ，如图，过点P 作轴于点E ，过点作轴交延长线于点F ，PE y ⊥A 'A F x '⊥EP由（1）得： ，AEP PFA ' ≌∴，1,3AE PF m EP A F '==-==∴，()4,3A m m '-+根据题意得：点A 和点关于直线对称，A '3x =∴，46m -=解得：，2m =-∴点P 的坐标为，()3,2-【小问3详解】解：设点P 的纵坐标为n ，由（2）得：，()4,3A n n '-+∴，()2,3A n n ''++∵在上，A ''O ∴，()()22231n n +++=解得：（舍去）或，2n =-3-∴点P 的坐标为，()3,3-∵，其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，1AB =AB O 此时点是一个临界点，连接，如图， B ''OB∵，1OA A B OB ''''''''===∴是等边三角形，OA B '''' 过点作轴于点M ，则， B ''B M x ''⊥12A M OM ''==∴ B M ''=∴， 1,2B ⎛''- ⎝∴， 13,2B ⎛' ⎝∴， 12B ⎫⎪⎭由对称性得：另一个点的坐标为， 12B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∴的取值范围为． B y 102B y ≤≤【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．。
2022-2023学年北京市东城区初三数学第一学期期末试卷及解析
2022-2023学年北京市东城区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（每题2分，共16分）1．若关于x 的一元二次方程2210x x m ++-=有一个根是0，则m 的值为( ) A ．1B ．1-C ．2D ．02．下列图形中，是中心对称图形的是( )A ．圆B ．等边三角形C ．直角三角形D ．正五边形3．关于二次函数22(4)6y x =-+，下列说法正确的是( ) A ．最大值4B ．最小值4C ．最大值6D ．最小值64．一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的为( ) A ．至少有1个球是黑球 B ．至少有1个球是白球 C ．至少有2个球是黑球D ．至少有2个球是白球5．某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程( )A ．2180(1)461x -=B ．2180(1)461x +=C ．2368(1)442x -=D ．2368(1)442x +=6．如图，在O 中，AB 是直径，弦AC 的长为5，点D 在圆上，且30ADC ∠=︒，则O 的半径为()A ．2.5B ．5C ．7.5D ．107．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC ，BD 分别与O 切于点C ，D ，延长AC ，BD 交于点P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为( )A ．cm πB ．2cm πC ．3cm πD ．4cm π8．如图，正方形ABCD 和O 的周长之和为20cm ，设圆的半径为x cm ，正方形的边长为y cm ，阴影部分的面积为S 2cm ．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是( )A ．一次函数关系，一次函数关系B ．一次函数关系，二次函数关系C ．二次函数关系，二次函数关系D ．二次函数关系，一次函数关系 二、填空题（每题2分，共16分）9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为 ． 10．把抛物线2112y x =+向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．11．请写出一个常数c 的值，使得关于x 的方程220x x c ++=有两个不相等的实数根，则c 的值可以是．12．2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数（棵)100100050008000100001500020000幼树移植成活数（棵)878934485722489831344318044幼树移植成活的频率0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是.（结果精确到0.1)13．以ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为(2,1)-，则C点坐标为．14．如图，在O中，AB切O于点A，连接OB交O于点C，过点A作//AD OB交O于点D，连接CD．若50B∠=︒，则OCD∠的度数等于．15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积12=（弦⨯矢+矢2)．弧田（如图阴影部分面积）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为120︒，半径等于4的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为．16．我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形ABCD，4AB=，2AD=，中心为O，在矩形外有一点P，3OP=，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A在O上．求作：O的切线AB．作法：①作射线OA；②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C和点D；③分别以点C，D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交点B；④作直线AB．则直线AB即为所求作的O的切线．根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接BC，BD．由作图可知，AC AD=，BC=．BA∴OA．点A在O上，∴直线AB是O的切线（填写推理依据）．18．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，2CD OE =，若4AB =，求CD 的长．19．下面是小聪同学用配方法解方程：2240(0)x x p p --=>的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．2240x x p --=解：移项，得224x x p -=．① 二次项系数化为1，得222px x -=．② 配方，得2212px x -+=．③ 即2(1)2p x -=． 0p >， 12px ∴-=④ 121p x ∴=，121px =．⑤ （1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解． 20．如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5)A -，(5,0)B ． （1）求b ，c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．求点M 的坐标．21．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，B ，O 均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．（1）作点A 关于点O 的对称点1A ；（2）连接1A B ，将线段1A B 绕点1A 顺时针旋转90︒得到线段11A B ，点B 的对应点为1B ，画出旋转后的线段11A B ；（3）连接1AB ，1BB ，求出1ABB ∆的面积（直接写出结果即可）．22．2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A ，B ，C ，用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率． 23．已知关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m +++-=． （1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m 的值，并求出此时方程的解．24．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y （单位：)m 与水平距离x （单位：)m 近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =-+<．某位同学进行了两次投掷． （1）第一次投掷时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离/x m 0 2 4 6 8 10 竖直距离/y m1.672.632.952.631.670.07根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()(0)y a x h k a =-+<； （2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.09( 3.8) 2.97y x =--+．记实心球第一次着地点到原点的距离为1d ，第二次着地点到原点的距离为2d ，则1d 2d （填“>”“ =”或“<” )．25．如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD 平分ACB ∠交O 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作//DF AB 交CO 的延长线于点F ．（1）求证：直线DF 是O 的切线； （2）若30A ∠=︒，23AC =，求DF 的长．26．已知二次函数243(0)y ax ax a =-+≠．（1）求该二次函数的图象与y 轴交点的坐标及对称轴．（2）已知点1(3,)y ，2(1,)y ，3(1,)y -，4(2,)y -都在该二次函数图象上， ①请判断1y 与2y 的大小关系：1y 2y （用“>”“ =”“ <”填空）； ②若1y ，2y ，3y ，4y 四个函数值中有且只有一个小于零，求a 的取值范围．27．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AC 延长线上一点，连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转90︒得到线段DE ，过点E 作EF AC ⊥于点F ，连接AE ．（1）依题意补全图形；（2）比较AF与CD的大小，并证明；（3）连接BE，G为BE的中点，连接CG，用等式表示线段CD，CG，BC之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将图形M绕直线3x=上某一点P顺时针旋转90︒，再关于直线3A．x=对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点(0,1)（1）若点P的坐标是(3,0)，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标；（2）若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；（3）已知O的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在O上且不与点A重合．若线段1AB=，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在O及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标y的取值范B围．答案与解析一、选择题（每题2分，共16分）1．解：把0x =代入2210x x m ++-=得10m -=，解得1m =， 即m 的值为1． 故选：A ．2．解：A 、是中心对称图形，本选项正确；B 、不是中心对称图形，本选项错误；C 、不是中心对称图形，本选项错误；D 、不是中心对称图形，本选项错误．故选：A ．3．解：二次函数22(4)6y x =-+，20a =>，∴该函数图象开口向上，有最小值，当4x =取得最小值6，故选：D ．4．解：至少有1个球是黑球是必然事件，A 正确； 至少有1个球是白球是随机事件，B 不正确； 至少有2个球是黑球是随机事件，C 不正确； 至少有2个球是白球是随机事件，D 不正确； 故选：A ．5．解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程：2180(1)461x +=， 故选：B ． 6．解：连接OC ，12D AOC ∠=∠，30D ∠=︒，60AOC ∴∠=︒， OA OC =，AOC ∴∆是等边三角形， 5OA AC ∴==， O ∴的半径为5．故选：B ．7．解：连接OC ，OD ，AC 、BD 分别与O 相切于点C 、D ， 90OCP ODP ∴∠=∠=︒，由四边形内角和为360︒可得，360360909012060COD OCP ODP CPD ∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒，∴CD 的长6062()180cm ππ⨯==． 故选：B ． 8．解：由题意得， 4220y x π+=， 210y x π∴+=， 102xy π-∴=， 即y 与x 是一次函数关系，22S y x π=-， 即满足二次函数关系， 故选：B ．二、填空题（每题2分，共16分） 9．解：令0x =，则5y =， (0,5)C ∴．故答案为：(0,5)． 10．解：把抛物线2112y x =+向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：21(1)132y x =++-，即21322y x x =+-． 故答案为：21322y x x =+-． 11．解：1a =，2b =-．△224(2)410b ac c =-=--⨯⨯>，1c ∴<．故答案为：0（答案不唯一）．12．解：幼树移植数20000棵时，幼树移植成活的频率为0.902，∴估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9．故答案为：0.9．13．解：方法一：ABCD 对角线的交点O 为原点，ABCD ∴的A 点和C 点关于点O 中心对称，A 点坐标为(2,1)-，∴点C 的坐标为(2,1)-，故答案为：(2,1)-．方法二：四边形ABCD 为平行四边形，∴点A 和C 关于对角线的交点O 对称，又O 为原点，∴点A 和C 关于原点对称，点(2,1)A -，∴点C 的坐标为(2,1)-，故答案为：(2,1)-．14．解：连接OA ，如图，AB 切O 于点A ，90OAB ∴∠=︒，50B ∠=︒，40AOB ∴∠=︒， 1202ADC AOB ∴∠=∠=︒， //AD OB ，20OCD ADC ∴∠=∠=︒，故答案为：20︒．15．解：如图所示：由题意可得：4OA =，120AOB ∠=︒，60AOD ∴∠=︒，2OD ∴=，23AD =∴弧田的面积1(4324)4322=⨯+=， 故答案为432．16．解：如图：设AB 的中点是E ，OP 过点E 时，点O 与边AB 上所有点的连线中，OE 最小，此时此时d PE =最大，OP 过顶点A 时，点O 与边AB 上所有点的连线中，OA 最大，此时d PA =最小， 如图①：4AB =，2AD =，中心为O ，1OE ∴=，OE AB ⊥，3OP =，2d PE ∴==；如图②：4AB =，2AD =，中心为O ，2AE ∴=，1OE =，OE AB ⊥，225OA AE OE ∴=+=3OP =，35d PA ∴==d ∴的取值范围为352d ．故答案为：352d -．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．解：（1）如图，直线AB 即为所求．（2）连接BC ，BD ．由作图可知，AC AD =，BC BD =．BA OA ∴⊥．点A 在O 上，∴直线AB 是O 的切线（经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线）， 故答案为：BD ，⊥，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．18．解：连接OC ，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，2CD CE ∴=，2CD OE =，CE OE ∴=，CD AB ⊥，22222CE OE CE OC ∴+==，2222CE ∴=，2CE ∴=，22CD ∴=19．解：（1）第②步二次项系数化为1的依据是：等式两边同除同一个不为0的数，所得结果仍是等式；（2）从第③步开始出现的错误，正确过程如下：移项，得224x x p -=，二次项系数化为1，得222p x x -=， 配方，得22112p x x -+=+， 即2(1)12p x -=+， 0p >，112p x ∴-=+ 1241p x +∴=1241p x +=． 20．解：（1）将(0,5)A -，(5,0)B 代入2y x bx c =++得50255c b c -=⎧⎨=++⎩，解得45b c =-⎧⎨=-⎩． （2）245y x x =--，∴抛物线对称轴为直线422x -=-=， 设AB 所在直线为y kx m =+，把(0,5)A -，(5,0)B 代入y kx m =+得505m k m -=⎧⎨=+⎩， 解得15k m =⎧⎨=-⎩， ∴直线解析式为5y x =-，把2x =代入5y x =-得3y =-，(2,3)M ∴-．21．解：（1）如图所示，点1A 即为所求；（2）如图所示，线段11A B 即为所求；（3）如图，连接1AB ，1BB ，则118282ABB S =⨯⨯=． 22．解：画树状图如下：共有9种等可能性结果，其中小明和小亮选择相同模块的结果有3种， ∴小明和小亮选择相同模块的概率为3193=． 23．（1）证明：△2(21)41(2)m m =+-⨯⨯-244148m m m =++-+2490m =+>，∴无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：0m =时，判别式的值最小，把0m =代入方程，220x x +-=，(2)(1)0x x +-=，2x ∴=-或1x =．24．解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：(4,2.95)， 4h ∴=， 2.95k =，即实心球竖直高度的最大值为2.95，根据表格中的数据可知，当0x =时， 1.67y =，代入2(4) 2.95y a x =-+得：21.67(04) 2.95a =-+，解得：0.08a =-，∴函数关系式为：20.08(4) 2.95y x =--+；（2）第一次投掷，20.08(4) 2.95y x =--+，当0y =时，20.08(4) 2.950x --+=，解得：4x = 0x >，4x ∴=+ 第二次投掷，20.09( 3.8) 2.97y x =--+，当0y =时，20.09( 3.8) 2.970x --+=，解得： 3.8x =0x >，3.833x ∴=+，15905762444410444d ∴=+>+=+=，2 3.833 3.836 3.869.8d =+<+=+=， 12d d ∴>，故答案为：>．25．（1）证明连接OD ． CD 平分ACB ∠，∴AD DB =，OD AB ∴⊥，//AB DF ；OD DF ∴⊥，OD 为半径，DF ∴是O 的切线．（2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，30A ∠=︒，23AC =224AB AC BC ∴=+=，2OD ∴=，260BOC A ∠=∠=︒，//DF AB ，60COB F ∴∠=∠=︒，tan 3ODF FD ∴==DF ∴=． 26．解：（1）二次函数243(0)y ax ax a =-+≠． ∴当0x =时，3y =，函数图象的对称轴为直线422a x a -=-=， y ∴轴的交点坐标为(0,3)，函数图象的对称轴为直线2x =；（2）①函数图象的对称轴为直线2x =，∴点1(3,)y 和点2(1,)y 关于直线2x =对称，12y y ∴=；故答案为：=； ②函数图象的对称轴为直线2x =，2112-<-<<，12y y =， ∴当开口向上时，则1234y y y y =<<，1y ，2y ，3y ，4y 四个函数值中最少有两个小于零，不合题意， 当开口向下时，则1234y y y y =>>，1y ，2y ，3y ，4y 四个函数值中可以满足12340y y y y =>>>， 30y ∴，40y <，即当1x =-时，3430y a a =++，2x =-时，44830y a a =++<， 解得3154a -<-， a ∴的取值范围为3154a -<-． 27．解：（1）依题意补全图形如图1；（2）AF CD =，证明如下：EF AC ⊥，90EFD ∴∠=︒，90DEF EDF ∴∠+∠=︒，由旋转的性质得：DE DB =，90BDE ∠=︒， 即90BDC EDF ∠+∠=︒，DEF BDC ∴∠=∠，90ACB ∠=︒，90DCB ∴∠=︒，在EFD ∆和DCB ∆中，90EFD DCB DEF BDCDE BD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EFD DCB AAS ∴∆≅∆，DF BC ∴=，AC BC =，AC DF ∴=，AC CF DF CF ∴-=-，即AF CD =；（3）CD BC =，证明如下：如图2，连接FG 、DG ，由旋转的性质得：DE DB =，90BDE ∠=︒， BDE ∴∆是等腰直角三角形，45DEB DBE ∴∠=∠=︒， G 为BE 的中点，12DG BE EG ∴==，DG BE ⊥，1452BDG BDE ∠=∠=︒， 90DGE ∴∠=︒，DEB BDG ∠=∠，由（2）可知，EFD DCB ∆≅∆，EF DC ∴=，DEF BDC ∠=∠，DEF DEB BDC BDG ∴∠-∠=∠-∠，即FEG CDG ∠=∠，在EFG ∆和DCG ∆中，EF DC FEG CDG EG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EFG DCG SAS ∴∆≅∆，FG CG ∴=，EGF DGC ∠=∠，90EGF CGE DGC CGE DGE ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒， CFG ∴∆是等腰直角三角形，CF ∴，CD CF DF=，+=，DF BC∴+=．2CD CG BC28．解：（1）如图1，根据二次关联图形的定义分别找到A'和A''，过点A'作A D x'⊥轴于点D，∴∠'=∠=︒，A DP AOP90由旋转可知，90='，∠'=︒，AP A PAPA∴∠+∠'=∠'+∠'=︒，APO A PD A PD PA D90∴∠=∠'，APO PA D∴∆≅∆'，()AOP PDA AASOP A D='=，OA PD∴==，31∴'，A(4,3)故答案为：(4,3)；（2）分析可知，点P在x轴的下方，设点P的纵坐标为m，如图2，过点P作PE y⊥轴于点E，过点A'作A F x'⊥轴交EP于点F，由（1）知()AEP PFA AAS∆≅∆'，EP A F∴==-，3='=，AE PF m1∴'-+，(4,3)A m m由题意可知，点A与点A'关于直线3x=对称，+=，mm46∴-=，31解得2m=-，∴-；(3,2)P（3）由（2）知(4,3)A m m'-+，∴''++，(2,3)A m m点A''在O上，22∴+++=，(2)(3)1m m解得2m=-（舍)或3m=-；∴-，如图3，(3,3)P线段1AB =，∴点B 在以点A 为圆心，1为半径的圆上， 若AB 其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在O 及其内部，如图3，可知点B ''是一个临界点， 连接OB ，1OA A B OB ''=''''=''=， ∴△OA B ''''是等边三角形， 过点B ''作B M x ''⊥轴于点M ，则12A M OM ''==，3B M ''= 1(2B ∴''-，3， 13(2B ∴'，3， 3(B ∴1)2， 由对称性可知，另外一点的坐标为3(，1)2， B y ∴的取值范围为：102B y ．。
2024年北京东城区初三上学期期末考数学试卷和答案
东城区2023—2024学年第一学期期末统一检测初三数学2024.1一、选择题(每题2分，共16分)1．下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的是2．若3x =是关于x 的方程22=0x x m --的一个根，则m 的值是A ．-15B ．-3C ．3D ．153．关于二次函数22(1)2y x =-+，下列说法正确的是A ．当x =1时，有最小值为2B ．当x =1时，有最大值为2C ．当x =-1时，有最小值为2D ．当x =-1时，有最大值为24．在下列事件中，随机事件是A ．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6B ．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球C ．通常情况下，自来水在10℃结冰D ．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为25．如图，正方形ABCD 的边长为6，且顶点A ,B ,C ,D 都在⊙O 上，则⊙O 的半径为A.3B.6C.32D.626．北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续.某地雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人.设该地雪场游客人数的周平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是A ．27000(1)8470x +=B ．270008470x =C ．7000(1+2)8470x =D ．37000(1)8470x +=7．如图，某汽车车门的底边长为1m ，车门侧开后的最大角度为72°.若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是A ．2πm 10B ．2πm5C ．22πm5D ．24πm58.⊙O 是△ABC 的内切圆，与AB ,BC ,AC 分别相切于点D ,E ,F .若⊙O 的半径为2，△ABC 的周长为26，则△ABC 的面积为A.3B.24C.26D.52二、填空题(每题2分，共16分)9.把抛物线22y x =向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为．10.若一元二次方程261=0x x +-经过配方，变形为()23x n +=的形式，则n 的值为．11．为了解某小麦品种的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表：种子个数n 550100200500100020003000发芽种子个数m 4449218947695118982851发芽种子频率m n0.8000.8800.9200.9450.9520.9510.9490.950(1)估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为(结果保留两位小数)；(2)若在相同条件下播种该品种小麦种子10000个，则约有个能发芽．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(1，2)，点B 与点A 关于原点对称，则点B 的坐标为_____________．13.已知二次函数2+8+3y x x =-，当x >m 时，y 随x 的增大而减小，则m 的值可以是____________(写出一个即可)．14.如图，A ,B ,C 是⊙O 上的三个点，若∠ACB=40°，则∠OBA 的大小是_____________°．15.如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分．铅球出手位置的高度为35m，当铅球行进的水平距离为4m 时，高度达到最大值3m.铅球的行进高度y （单位：m）与水平距离x （单位：m）之间的关系满足二次函数.若以最高点为原点，过原点的水平直线为x 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，则该二次函数的解析式为2121x y -=.若以过出手点且与地面垂直的直线为y 轴，y 轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系xOy ，则该二次函数的解析式为.16．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序．施工要求如下：①先完成工序A ，B ，C ，再完成工序D ，E ，F ，最后完成工序G ；②完成工序A 后方可进行工序B ；工序C 可与工序A ，B 同时进行；③完成工序D 后方可进行工序E ；工序F 可与工序D ，E 同时进行；④完成各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/天11152817163125(1)在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少_____________天完成．(2)现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序A ，C ，D 每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是_____________万元.三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，27-28题，每题7分)17.解方程：()()3121x x x +=+．18.如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°．求作：⊙O ，使得△ACB 的三个顶点都在⊙O 上.作法：①作边AB 的垂直平分线，交AB 于点O ;②以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．则⊙O 为所求作的圆．(1)利用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接OC .由作图可知，OB =OA=12AB .∴点B 在⊙O 上．在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，∴OC =12________()(填推理依据)．∴OC =OA ．∴点C 在⊙O 上．∴△ACB 的三个顶点都在⊙O 上.19．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx =+的图象过点A (3，3)．(1)求该二次函数的解析式；(2)用描点法画出该二次函数的图象；(3)当0x ＜＜3时，对于x 的每一个值，都有2kx x bx +＞，直接写出k 的取值范围．20．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同.将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．(1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；(2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率.21.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB 于点C .若AB =16，CD =2，求⊙O 的半径的长．22．已知关于x 的一元二次方程()222120x m x m -++-=(1)当该方程有两个不相等的实数根时，求m 的取值范围;(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求m 的值．23．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O ,B 为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)，OA =3，OB =4，且∠AOB=150°．线段OA 关于直线OB 对称的线段为O A '，将线段OB 绕点O 逆时针旋转45︒得到线段OB '．(1)画出线段O A '，OB '；(2)将线段OB 绕点O 逆时针旋转角()4590αα︒<<︒得到线段OC '，连接A C ''．若=5A C ''，求∠B OC ''的度数．24．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D.过点D 作DE ∥AB ，交CB 的延长线于点E ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)若∠BAC =30°，22BC =，求CD 的长．25.食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留.某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方式对某种农药去除率的影响．方式一：采用清水浸泡．记浸泡时间为t分钟，农药的去除率为y1%，部分实验数据记录如下：方式二：采用不同浓度的食用碱溶液浸泡相同时间．记食用碱溶液的浓度为x%，农药的去除率为y2%，部分实验数据记录如下：结合实验数据和结果，解决下列问题:（1）通过分析以上实验数据，发现可以用函数刻画方式一中农药的去除率y1(%)与浸泡时间t(分)之间的关系，方式二中农药的去除率y2(%)与食用碱溶液的浓度x(%)之间的关系，请分别在下面的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象:(2)利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约为__________分钟．(3)方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，要想不低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度x %中，x 的取值范围可以是_____________．26.在平面直角坐标系xOy 中，点(2，c )在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设该抛物线的对称轴为直线x t =.(1)求t 的值；(2)已知11()M x y ，，22()N x y ，是该抛物线上的任意两点，对于11m x m <<+，212m x m +<<+，都有12y y <,求m 的取值范围．27.在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，D 为BC 上一点，连接DA ，将线段DA 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，连接AE ，交BC 于点H ，求证：AE ⊥BC ；（2）当BD ≠CD 时(图2中BD ＜CD ，图3中BD >CD )，F 为线段AC 的中点，连接EF ．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形；②猜想∠AFE 的大小，并证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 和直线1l ，2l ，点P 关于直线1l ，2l “和距离”的定义如下：若点P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d ，则称1d +2d 为点P 关于直线1l ，2l 的“和距离”，记作d ．特别地，当点P 在直线1l 上时，1d =0；当点P 在直线2l 上时，2d =0．(1)在点1P (3，0)，2P (-1，2)，3P (4，-1)中，关于x 轴和y 轴的“和距离”为3的点是________;(2)若P 是直线3y x =-+上的动点，则点P 关于x 轴和y 轴的“和距离”d 的最小值为________；(3)已知点A (0,3)，⊙A 的半径为1，点P 是⊙A 上的动点，直接写出点P 关于x 轴和直线y +6的“和距离”d 的取值范围．东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测初三数学参考答案及评分标准2024.1一、选择题（每题2分，共16分）题号12345678答案BCADCABC二、填空题(每题2分，共16分）9．223y x =-10．1011．0.95950012.（-1，-2）13．答案不唯一，m ≥4即可14．5015.21251233y x x =-++16．86，38三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，27-28题，每题7分)17．解：移项，得()()31210.x x x +-+=因式分解，得()()1320.x x +-=……………………………..1分于是得10x +=，或320.x -=……………………………..3分所以方程的两个根分别为1=-1x ，22.3x =……………………………..5分18．解：(1)作图如下，------------------------3分(2)AB直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.------------------------5分19.解：（1）∵点A (3，3)在抛物线二次函数2y x bx =+的图象上，∴2333b =+.解得2b =-.∴二次函数的解析式为22y x x =-.------------------------2分(2)列表：x …-10123…y…3-13…描点，连线------------------------4分（3）当k ≥1.------------------------5分20．解：（1）所有可能出现的结果共6种：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD .…………3分（2）记抽到的2张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M ,M 包含的结果有3种，即AC ，BC ，CD ，且6种可能的结果出现的可能性相等，所以()31==62P M …………5分21．解：连接OA .∵半径OD ⊥AB 于点C ，AB =16，∴∠ACO =90°，AC =12AB =8，………2分设OA =r ，则OC =2r -．在Rt △AOC 中，根据勾股定理，得222OA AC OC =+，即2228(2)r r =+-．………4分解得17r =．∴⊙O 的半径的长17．………5分22．解：(1)∵关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m -++-=有两个不相等的实数根，∴[]()2222=(21)4244148490m m m m m m ∆-+--=++-+=+＞ (2)分解得94m ＞-.∴m 的取值范围是94m ＞-.………..3分(2)由（1）可知，49m ∆=+.由求根公式，得()1212m x +=，()2212m x +=.………..5分∵该方程的两个实数根互为相反数，∴12+0x x =.∴()()2121+21022m m m +++=+=.解得1=2m -，符合题意.∴当方程的两个实数根互为相反数时，1=2m -.………..6分23.解：（1）如图．……………….2分（2）如图，在△A OC ''中，==3OA OA '，==4OC OB '，=5A C '',∴222=A C OA OC ''''+.∴△A OC ''是直角三角形.∴=90.A OC ''︒∠………………..3分∵∠AOB =150°，OA OA OB '与关于直线对称，∴=150.A OB '︒∠………………..4分∴=60C OB '︒∠，即=60α︒.∴=604515B OC C OB B OB '''''-=︒-︒=︒∠∠∠.………………..5分24．(1)证明：如图1，连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠BCD=45°.---------------1分∴∠ABD =∠ACD=45°.∵OD =OB ,∴∠ODB =∠OBD =45°.--------------2分∵DE ∥AB ，∴∠BDE =∠OBD =45°.∴∠ODE =∠ODB+∠BDE=90°.∴OD ⊥DE .∵OD 为⊙O 的半径，∴直线DE 是⊙O 的切线.------------------3分（3）如图2，过点B 作BF ⊥CD 于点F .∴∠BFC =∠BFD =90°.∵∠BCD =45°.∴∠CBF =45°.图1∴BF CF =.------------------4分在Rt △BFC 中，BC =根据勾股定理，得=2BF CF =.∵ BCBC =，∴∠CDB =∠BAC =30°.------------------5分∴2=4.BD BF =在Rt △BFD 中，根据勾股定理，得DF∴CD CF DF =+------------------6分25.解：（1）画图如下，---------------------------------------------------------------------2分（2）10-------------------------------------------4分（3）答案不唯一，如7x ≤≤12.---------------------------6分26．解：(1)由题意可知，42a b c c ++=，∴2b a =-.∴12bt a=-=.---------------------------2分(2)∵0a >，1t =，∴当1x ＞时，y 随x 的增大而增大，当1x ＜，时y 随x 的增大而减小.---------------------------3分①当1m ≥时，∵11m x m <<+，212m x m +<<+，∴121x x <<.∴12y y <，符合题意.---------------------------4分②当112m <≤时，有3122m +<，(i )当111x m <+≤时，∵212m x m +<<+，∴121x x <≤.∴12y y <.(ii )当11m x <<时，设11()M x y ，关于抛物线对称轴1x =的对称点为01()M 'x y ，，则01x >，011=1x x --.∴012x x =-.∵112m <≤，∴0312x <<.∵3122m +≤＜，212m x m ++＜＜∴232x ＞.∴02312x x <<＜.∴12y y <.∴当112m <≤时，符合题意.---------------------------5分③当102m <≤时，3112m +<≤，令11=2x ，23=2x ，则12=y y ，不符合题意.④当102m -<≤时，有1112m +<≤，令1=0x ，2=1x ，则12=1x x <，∴.12>y y ，不符合题意.⑤当112m -<-≤时，1012m +<≤，令11=2x -，2=1x ，则12=1x x <，∴.12>y y ，不符合题意.⑥当1m <-时，1221x x m <<+<，∴.12>y y ，不符合题意.综上所述，m的取值范围是12m ≥.---------------------------6分27．（1）证明：∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠ABC =∠C =30°.将线段DA 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，∴DE =DA ，∠ADE =60°.∴△ADE 是等边三角形.∴∠BAE =60°.∴∠AHB =90°.∴BC ⊥AE.………..3分（2）解：选择图2：①补全图形如图所示：………..4分②猜想∠AFE =90°.………..5分证明：如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，连接AE .则∠AHB =∠AHC =90°.∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠CAH =12∠BAC =60°，∠C =30°.∴AH =12AC .∵F 为线段AC 中点，∴AF =12AC .∴AH =AF .由（1）可知△ADE 是等边三角形.∴∠DAE =60°=∠CAH ，AD=AE.∴∠DAH =∠EAF.在△ADH 和△AEF 中，.DAH EA AD AE AH AF F ∠==⎧∠⎪⎨⎪=⎩，，∴△ADH ≌△AEF （SAS ）.∴∠AFE =∠AHD =90°.………7分选择图3：①补全图形如图所示：②（选择图3的答案与选择图2的答案一致）28．解：(1)P 1，P 2.………2分(2)3.………4分(3)71122d ≤≤．………7分。
北京市东城区2019-2020九年级期末数学答案
东城区2019-2020学年度第一学期期末统一检测初三数学参考答案及评分标准2020.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案BACABBDC二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.22y x =-+（答案不唯一）10.0.9211.12.231y y y ＞＞13.4514.PC=1或PA= 或PO=215.23π-16.2+14三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题4分，第22-26题，每小题6分，第27，28题每小题7分）17.解：（1）如图所示，∠ADE 为所作.…………………………………2分（2）∵∠ADE =∠B ，∴DE ∥BC.∴AE EC =AD DB .∵ADDB=2，AC =6，∴AE =4.………………………5分18．解：连接OC ，………………………1分则OA =OC .∴∠A =∠ACO =30°.………………………2分∴∠COH =60°.∵OB ⊥CD ，CD =23，∴CH =3.………………………3分∴OH =1.………………………4分∴OC =2.………………………5分19.解：（1）c =-2，对称轴为直线12x =.………………………2分（2）由对称性可知，-2,3是关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =t 的根.………………………4分（3）由题意知，二次函数的图象经过点（-1，-1），（0，-2），（1，-2）.∴-1=2,2 2.a b a b --⎧⎨-=+-⎩解得1,21.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为2112.22y x x =--………………………6分20.解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同.∴在四条路线中，小美选择路线“园艺小清新之旅”的概率是14.…………………………………2分（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，小美和小红恰好选择同一条路线的结果有4种，∴小美和小红恰好选择同一条路线的概率为41164=．…………………………………5分21.解：(1)…………………………………3分(2)90.…………………………………4分22.解：（1）52AB AC ==，4BC =，点(3,5)A ，7(1,)2B ∴，7(5,2C .∵反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点B ，∴此反比例函数的解析式为7(0)2y x x=>.………………………………3分(2)将ABC ∆向下平移m 个单位长度，设A ，C 的对应点分别为A '，C '.∴A '(3,5-m)，C '(5,-m).∵A '，C '两点同时落在反比例函数图象上，73(5)5()2m m ∴-=-，54m ∴=.……………………………………………6分23.解：（1）设销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式为y kx b =+，将点(30,100)、(45,70)代入，得100307045k bk b =+⎧⎨=+⎩.解得2160k b =-⎧⎨=⎩.∴函数的关系式为：2160y x =-+.……………………………………………3分（2）由题意得2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+.…………………………4分20-<，且30≤x ≤60.∴当55x =时，w 取得最大值，此时1250w =.…………………………6分∴销售单价定为55元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润是1250元.24.解：（1）依题意画出⊙O ，如图所示.在Rt △ACB 中，∵AC =3，BC =4，∠ACB =90°，∴AB=5.连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC=∠BDC=90°.∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB.∴.∴.…………………………3分（2）当点E是AC的中点时，ED与图形G(⊙O)有且只有一个交点.证明：连接OD，∵DE是Rt△ADC斜边上的中线,∴ED=EC.∴∠EDC=∠ECD.∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD.∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.∴ED⊥OD.∴ED与⊙O相切.∴直线ED与图形G(⊙O)有且只有一个交点.…………………………6分25.解：(1)AP，BC，OD或BC，AP，OD；…………………………3分(2)如图1或图2所示：…………………………5分图1图2(3)线段AP 的长度约为4.67．…………………………6分图3图426.解：(1)令y =0，则a -4ax =0.解得120, 4.x x ==∴A (0,0)，B (4,0).…………………………2分(2)①设直线PC 的解析式为.y kx b =+将点P (1,-a )，C (2,1)代入上式，解得31,13.2k a b a =+=--∴y=(1+a)x-1-3a.∵点Q 在直线PC 上，且Q 点的横坐标为4，∴Q 点的纵坐标为3+3a .…………………………4分②当a ＞0时，如图1，不合题意；当a ＜0时，由图2，图3可知，3+3a≥0.∴a≥-1．∴符合题意的a 的取值范围是-1≤a ＜0．…………………………6分图1图2图327．解：（1）①依题意，补全图形，如图1所示.猜想：∠BAE =∠BCD.理由如下：∵CD ⊥AB ,AE ⊥BC ，∴∠BAE ﹢∠B =90°,∠BCD ﹢∠B =90°.∴∠BAE =∠BCD.…………………………2分图1②证明：如图2，在AE 上截取AF =CE .连接DF .∵∠BAC =45°,CD ⊥AB,∴△ACD 是等腰直角三角形.∴AD =CD .又∠BAE =∠BCD,∴△ADF ≌△CDE （SAS ）.∴DF =DE ,∠ADF =∠CDE.∵AB ⊥CD,图2∴∠ADF ﹢∠FDC =90°.∴∠CDE ﹢∠FDC =∠EDF=90°.∴△EDF 是等腰直角三角形.∴EF =DE 2.∵AF +EF =AE ,∴CE+ DE=AE .…………………………5分（3）依题意补全图形，如图3所示.线段AE ，CE ，DE 的数量关系：CE- DE=AE.……………………………7分28.解：（1）①23，P P .…………………………2分②半径为1的⊙O 的所有环绕点在以O 为圆心，半径分别为1和2的两个圆之间（如下图阴影部分所示，含大圆，不含小圆）.ⅰ)当点B 在y 轴正半轴上时，如图1，图2所示.考虑以下两种特殊情况：线段AB 与半径为2的⊙O 相切时，52=OB ；当点B 经过半径为1的⊙O 时，1=OB .因为线段AB 上存在⊙O 的环绕点，所以可得b 的取值范围为521≤<b ；②当点B 在y 轴负半轴上时，如图3，图4所示.同理可得b 的取值范围为152-<≤-b .综上，b 的取值范围为521≤<b 或152-<≤-b .………………………5分（3）42≤<-t .………………………7分。
北京东城区初三数学期末考试题及答案
东城区2012—2013学年第一学期期末统一检测初三数学试题学校班级姓名考号考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟. 2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效.4．在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．下列一元二次方程中有两个相等的．．．．．．实数根的是A．2240x x+-=B．2260x x--= C．2440x x-+=D．2350x x++= 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是3．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=4，OC=1，则⊙O的半径为A．3B5C．25D．64. 从1，2，3，4这四个数中，随机抽取两个相加，和为偶数的概率为A. 13B.12C.23D.565．若将抛物线y=22x先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是A．(2,1)-B．(2,1)--C．(2,1)D．(2,1)-6．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD∶BD=1∶2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于7．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23， 则阴影部分图形的面积为 A ．4π B ．2πC ．πD ．2π38. 已知点A （0，2），B （2，0），点C 在2y x =的图象上，若△ABC 的面积为2，则这样的C 点有 A ．1 个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．已知x =1是方程x 2+bx -2=0的一个根，则b 的值是 ；方程的另一个根是 ．10．点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在二次函数221y x x =--的图象上，若2x ＞1x ＞1，则1y 与2y 的大小关系是1y 2y ．（用“＞”、“＜”、“=”填空）11．两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图水平放置.将△CDE 绕C 点按逆时针方向旋转，当E 点恰好落在AB 边上的'E 点时，¼'EE 的长度为 ．12．如图所示，在△ABC 中，BC =6，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在射线EF 上，BP 交CE于D ，点Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP =y ，PE =x .当CQ =21CE 时，y 与x 之间的函数关系式是 ； 当CQ =n1CE （n 为不小于2的常数）时， y 与x 之间的函数关系式是 .三、解答题（本题共30分，每小题5分）13． 解方程：2316x x -= .14．小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径OB =3cm ，高OC =4cm ，求这个圆锥形漏斗的侧面积．15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由．16．画图：（1）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB 的顶点都在格点上，请将△OAB 绕点O 顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA′B′；（2）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个中心对称图形.在图1，图2中分别画出两种符合题意的图形.17．已知关于x的一元二次方程(m -2)x2 + 2mx + m +3 = 0 有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围；(2)当m取满足条件的最大整数时，求方程的根.18．如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD 的度数．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．随着我国经济的发展，越来越多的人愿意走出国门旅游. 据有关报道，我国2010年和2012年公民出境旅游总人数分别约为6000万人次，8640万人次，求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率.20. 如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连结BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）若BC＝6，AD∶FD=1∶2，求⊙O的半径的长．21. 某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C.（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总1 000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：A B C400 100 10030 240 3020 20 60试估计“．厨余垃圾．．．．”．投放正确的概率.22．“十八大”报告一大亮点就是关注民生问题，交通问题已经成了全社会关注的热点.为了解新建道路的通行能力，某研究表明，某种情况下，车流速度V(单位：千米／时)是车流密度x(单位：辆／千米)的函数，函数图象如图所示.（1）求V关于x的函数表达式；（2）车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量P=车流速度V×车流密度x.若车流速度V 低于80千米／时，求当车流密度x 为多少时，车流量P (单位：辆／时)达到最大，并求出这一最大值．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知，二次函数2y ax bx =+的图象如图所示.（1）若二次函数的对称轴方程为1x =，求二次函数的解析式；（2）已知一次函数y kx n =+，点(,0)P m 是x 轴上的一个动点．若在（1）的条件下，过点P垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数2y ax bx =+的图象于点N ．若只有当1＜m ＜53时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式；（3）若一元二次方程20ax bx q ++=有实数根，请你构造恰当的函数，根据图象直接写出q 的最大值．24． 如图1，在等腰直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点E 是BC 边上一点，∠DEF =45°且角的两边分别与边AB ，射线CA 交于点P ，Q .（1）如图2，若点E 为BC 中点，将∠DEF 绕着点E 逆时针旋转，DE 与边AB 交于点P ，EF 与CA的延长线交于点Q .设BP 为x ，CQ 为y ，试求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）如图3，点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动（不与B ，C 重合），且DE 始终经过点A ,EF 与边AC 交于Q 点．探究：在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能否构成等腰三角形，若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(1)6y x m x m =---+-交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B （0 , 3），顶点C 位于第二象限，连结AB ，AC ，BC ． (1) 求抛物线的解析式；(2) 点D 是y 轴正半轴上一点，且在B 点上方，若∠DCB =∠CAB ，请你猜想并证明CD 与AC 的位置关系；(3) 设与△AOB 重合的△EFG 从△AOB 的位置出发，沿x 轴负方向平移t 个单位长度(0＜t≤3)时，△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．东城区2012-2013学年第一学期期末统一检测初三数学试题参考答案及评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CCBABDDD二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号 9 1011 12答案1；-2y = –x +6； y = –x +6(n –1)三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 解方程：2316x x -= ．解：移项，得2361x x -= ． ………………..1分二次项系数化为1，得2123x x -= ． ………………..2分配方24(1)3x -= ． ………………..4分由此可得 1231x =2231x =-. ………………..5分 14. 解：根据题意，由勾股定理可知222BC BO CO =+.∴5BC =cm. ………………..2分∴ 圆锥形漏斗的侧面积=15OB BC ππ⋅⋅= cm 2 ． ………………..5分15．解：△ABC 和△DEF 相似． ………………..1分由勾股定理，得25AB =5AC =，BC =5， DE =4，DF =2，25EF = ………………..3分522AB AC BC DE DF EF ===Q5= ………………..4分 ∴△ABC ∽△DEF ． ………………..5分 16．（1）………………..3分（2）………………..5分17．解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程(m -2)x 2 + 2mx + m +3 = 0 有两个不相等的实数根，∴20m -≠，即2m ≠. ………………..1分又 ∵ 2(2)4(2)(3)4(6)m m m m ∆=--+=--，∴ 0∆>即4(6)0m -->．解得6m <．∴ m 的取值范围是6m <且m ? ?2． ………………..2分(2)在6m <且m ? ?2的范围内，最大整数m 为5． ………………..3分此时，方程化为231080x x ++=．∴ 方程的根为 12x =-， 243x =- ． ………………..5分18．解： ∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ ∠B +∠D =180°． ………………..1分 ∵ 四边形OABC 为平行四边形，∴ ∠AOC =∠B ． ………………..2分 又由题意可知 ∠AOC =2∠D ．∴ 可求 ∠D =60°． ………………..3分 连结OD ，可得AO =OD ，CO =OD ．∴ ∠OAD =∠ODA ，∠OCD =∠ODC ． ………………..4分 ∴ ∠OAD +∠OCD =∠ODA +∠ODC =∠D =60°．………………..5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 解：设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x ．………………..1分根据题意得26000(1)8640x +=．………………..2分解得10.2x =，1 2.2x =-（不合题意，舍去）．………………..4分答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%． ………………..5分20．解：（1）证明：如图，连接OB ．∵ PB 是⊙O 的切线， ∴ ∠PBO ＝90°．∵ OA ＝OB ，BA ⊥PO 于D ， ∴ AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ． 又∵ PO ＝PO ， ∴ △PAO ≌△PBO ． ∴ ∠PAO ＝∠PBO ＝90°．∴ 直线PA 为⊙O 的切线． ………………..2分 （2）∵ OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴ OD ＝12BC ＝3． 设AD ＝x ．∵AD ∶FD =1∶2， ∴ FD ＝2x ，OA ＝OF ＝2x －3．在Rt △AOD 中，由勾股定理 ，得(2x －3)2＝x 2＋32． 解之得，x 1＝4，x 2＝0（不合题意，舍去）． ∴ AD ＝4，OA ＝2x －3＝5．即⊙O 的半径的长5． ………………..5分 21. 解：（1）三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下：………………..2分由树状图可知垃圾投放正确的概率为3193=；………………..3分 （2）“厨余垃圾”投放正确的概率为40024001001003=++. ………………..5分22. 解：（1）当280≤<x 时，80=V . ………………..1分当18828≤<x 时，设b kx V +=，由图象可知，⎩⎨⎧+=+=.1880,2880b k b k解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=.94,21b k∴ 当18828≤<x 时，9421+-=x V . ………………..3分 （2）根据题意，得211-+94-9422P Vx x x x x ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭=()21--9444182x +.答：当车流密度x 为94辆/千米时，车流量P 最大，为4418辆/时. …………..5分23. 解：（1）Q 二次函数的对称轴方程为1x =，由二次函数的图象可知二次函数的顶点坐标为（1,-3），二次函数与x 轴的交点坐标为(0,0),(2,0)，于是得到方程组3,420.a b a b +=-⎧⎨+=⎩……………………………………..2分解方程得3,6.a b =⎧⎨=-⎩二次函数的解析式为 236y x =-. ……………………………………..3分（2）由（1）得二次函数解析式为236y x =-．依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和53， 由此可得交点坐标为(1,3)-和55(,)33-． …………………………..4分 将交点坐标分别代入一次函数解析式y kx n =+中，得 355 .33k n k n +=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得 2 5k n =⎧⎨=-⎩，．∴ 一次函数的解析式为25y x =-． ……………………………..6分（3）3. ……………………………………………..7分 24．解：（1）∵ ∠BAC =90°，AB =AC =2，∴ ∠B =∠C ，22BC =又∵FEB FED DEB EQC C ∠=∠+∠=∠+∠,DEF C ∠=∠,∴ ∠DEB =∠EQC . ∴ △BPE ∽△CEQ ． ∴BP CE BE CQ=． 设BP 为x ，CQ 为y ，∴22=． ∴2y x=． 自变量x 的取值范围是0＜x ＜1． ……………………………..3分（2）解：∵ ∠AEF =∠B =∠C ,且∠AQE ＞∠C ,∴ ∠AQE ＞∠AEF . ∴ AE ≠AQ .当AE =EQ 时，可证△ABE ≌ECQ . ∴ CE =AB =2 .∴ BE =BC -EC =222.当AQ =EQ 时，可知∠QAE =∠QEA =45°. ∴ AE ⊥BC .∴ 点E 是BC 的中点.∴ BE 2.综上，在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能成等腰三角形，此时BE 的长为222 或2. ……………………………..7分25．解：（1）Q 抛物线22(1)6y x m x m =---+-与y 轴交于点B （0 , 3），∴ 26 3.m -= ∴3.m =±Q 抛物线的顶点在第二象限，∴3.m =∴ 抛物线的解析式为223y x x =--+. ………2分（2）猜想：CD AC ⊥. ………3分证明如下：Q A （-3 , 0）， B （0 , 3），C （-1 , 4），∴32,25,2AB AC BC ===∴ 222AB BC AC +=. ∴ 90ABC ∠=︒.∴90CAB ACB ∠+∠=︒.又CAB DCB ∠=∠Q , ∴90DCB ACB ∠+∠=︒.∴CD AC ⊥. ………4分（3）当0＜t ≤32时，如图， EF 交AB 于点Q ，GF 交AC 于点N ，过N 做MPAG PN KF MN =332t PNPNt =--解得PN ＝2t ． ∴231113=33(3)232222FGE QAE AGNS S S S t t t t t ∆∆∆--=⨯⨯---⨯=-+阴影. 当32＜t ≤3时，如图， EF 交AB 于点N ，交AC 于点M ,BF 交AC 于点P ． 由△AME ∽△PMF ，得AE MEPF MF =． 即3332t ME ME t -=--． 解得ME ＝2(3－t )．∴221119=(3)2(3)(3)32222MAE NAE S S S t t t t t ∆∆-=⨯-⨯---=-+阴影. 综上所述：S ＝22333 0),221933 (3).222t t t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩≤≤( ………………………………………….8分。
2021-2022学年北京市东城区初三数学第一学期期末试卷及解析
2021-2022学年北京市东城区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（每题2分，共16分）1．（2分）一元二次方程2250x x +-=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A ．2，1，5B ．2，1，5-C ．2，0，5-D ．2，0，52．（2分）下列四个图形中，是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（2分）将抛物线2y x =向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是( ) A ．23y x =+B ．23y x =-C ．2(3)y x =+D ．2(3)y x =-4．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点(2,3)A 关于原点对称的点的坐标是( ) A ．(2,3)-B ．(2,3)-C ．(3,2)D ．(2,3)--5．（2分）用配方法解方程241x x +=，变形后结果正确的是( ) A ．2(2)5x +=B ．2(2)2x +=C ．2(2)5x -=D ．2(2)2x -=6．（2分）中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“⋯”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“⋅”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“⋯”上方的概率是( )A ．18B ．16C ．14D ．127．（2分）如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点，点C 为O 上一点，若70ACB ∠=︒，则P ∠的度数为( )A ．70︒B ．50︒C ．20︒D ．40︒8．（2分）如图，线段5AB =，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿线段AB 运动至点B ．以点A 为圆心，线段AP 的长为半径作圆．设点P 的运动时间为t ，点P ，B 之间的距离为y ，A 的面积为S ．则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是( )A ．正比例函数关系、一次函数关系B ．一次函数关系，正比例函数关系C ．一次函数关系，二次函数关系D ．正比例函数关系，二次函数关系 二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）抛物线23(1)2y x =--+的顶点坐标是 ．10．（2分）若关于x 的一元二次方程220x x m ++=的一根为1-，则m 的值是 ． 11．（2分）请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0,2)的抛物线的表达式： ．12．（2分）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球．将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率为 ．13．（2分）2021年全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x ，则可列方程为 ．14．（2分）如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转得到ADE ∆，若110DAE ∠=︒，40B ∠=︒，则C ∠的度数为 ．15．（2分）斛是中国古代的一种量器．据《汉书⋅律历志》记载：“斛底，方而圜(huán)其外，旁有庣(ti āo)焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为尺．16．（2分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE CF=，AE，DF交于点P，则APD∠的度数为；连接CP，线段CP的最小值为．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．（5分）解方程：2280--=．x x18．（5分）如图，AB为O的弦，OC ABOM MC=，⊥于点M，交O于点C．若O的半径为10，:3:2求AB的长．19．（5分）下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程． 已知：O （如图1)．求作：O 的内接等腰直角三角形ABC ． 作法：如图2． ①作直径AB ；②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M ； ③作直线MO 交O 于C ，D 两点； ④连接AC ，BC ．所以ABC ∆就是所求作的等腰直角三角形． 根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接MA ，MB ．MA MB =，OA OB =，MO ∴是AB 的垂直平分线．又直线MO 交O 于点C ， AC ∴= ．AB 是直径，ACB ∴∠= ( )（填写推理依据）． ABC ∴∆是等腰直角三角形．20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =++的部分图象经过点(0,3)A -，(1,0)B ． （1）求该抛物线的解析式；（2）结合函数图象，直接写出0y <时，x 的取值范围．21．（5分）如图．在平面直角坐标系xOy 中，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0)O ，(5,0)A ，(4,3)B -．将OAB ∆绕点O 顺时针旋转90︒得到△OA B ''，点A 旋转后的对应点为A '．（1）画出旋转后的图形△OA B ''，并写出点A '的坐标； （2）求点B 经过的路径BB '的长（结果保留)π．22．（5分）2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A ，B ，C ，D 四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字． （1）“A 志愿者被选中”是 事件（填“随机”、“不可能”或“必然” )； （2）用画树状图或列表的方法求出A ，B 两名志愿者同时被选中的概率． 23．（6分）已知关于x 的一元二次方程2(4)40x k x k -++=． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于2，求k 的取值范围．24．（6分）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为25)m 的空地上修建一个矩形小花园ABCD ．小花园一边靠墙，另三边用总长40m 的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB 边的长为x m ，面积为y 2m ．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？25．（6分）如图，AC 是O 的弦，过点O 作OP OC ⊥交AC 于点P ，在OP 的延长线上取点B ，使得BA BP =．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若O 的半径为4，25PC =，求线段AB 的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,)m 和(2,)n 在抛物线2y x bx =-+上． （1）若0m =，求该抛物线的对称轴；（2）若0mn <，设抛物线的对称轴为直线x t =． ①直接写出t 的取值范围；②已知点1(1,)y -，3(2，2)y ，3(3,)y 在该抛物线上，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由．27．（7分）如图，在等边三角形ABC 中，点P 为ABC ∆内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AP '，连接PP '，BP '． （1）用等式表示BP '与CP 的数量关系，并证明； （2）当120BPC ∠=︒时，①直接写出P BP '∠的度数为 ；②若M 为BC 的中点，连接PM ，用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中．O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦(A B A '''，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”． （1）如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是 ；②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m = ； （2）已知直线3(0)3y x b b =-+>交x 轴于点C ，在ABC ∆中，3AC =，1AB =．若线段AB 是O 的关于直线3(0)3y x b b =-+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共16分）1．【解答】解：一元二次方程2250x x +-=的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，1，5-， 故选：B ．2．【解答】解：A ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C ．是中心对称图形，故本选项符合题意；D ．不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C ．3．【解答】解：抛物线2y x =向上平移3个单位，∴平移后的解析式为：23y x =+．故选：A ．4．【解答】解：点(2,3)A ，A ∴点关于原点对称的点为(2,3)--，故选：D ．5．【解答】解：241x x +=， 则24414x x ++=+，即2(2)5x +=， 故选：A ．6．【解答】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有8处， 位于“---”（图中虚线）的上方的有2处，所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“---”上方的概率是2184=， 故选：C ．7．【解答】解：连接OA 、OB ， 70ACB ∠=︒，2140AOB ACB ∴∠=∠=︒，PA ，PB 是O 的切线，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，360909014040P ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，故选：D ．8．【解答】解：5y t =-，属于一次函数关系， 2S t π=，属于二次函数关系，故选：C ．二、填空题（每题2分，共16分） 9．【解答】解：23(1)2y x =--+是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为(1,2)．故答案为(1,2)．10．【解答】解：把1x =-代入方程，得2(1)2(1)0m -+⨯-+=， 解得1m =． 故答案是：1．11．【解答】解：开口向上，并且与y 轴交于点(0,2)的抛物线的表达式为22y x =+， 故答案为：22y x =+（答案不唯一）．12．【解答】解：由图可知，随着“摸球游戏”的次数增多，“摸出黑球”的频率逐渐稳定在0.2左右， 所以，“摸出黑球”的概率为0.2， 故答案为：0.2．13．【解答】解：依题意得：210(1)12.1x +=． 故答案为：210(1)12.1x +=．14．【解答】解：将ABC ∆绕点A 顺时针旋转得到ADE ∆， 110DAE BAC ∴∠=∠=︒， 40B ∠=︒，1801804011030C B BAC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：30︒． 15．【解答】解：如图，四边形CDEF 为正方形， 90D ∴∠=︒，CD DE =， CE ∴为直径，45ECD ∠=︒，由题意得 2.5AB =， 2.50.2522CE ∴=-⨯=，22CD ∴== 216．【解答】解：四边形ABCD 是正方形， AD CD ∴=，90ADE DCF ∠=∠=︒，在ADE ∆和DCF ∆中， AD CD ADE BCD DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADE DCF SAS ∴∆≅∆， DAE CDF ∴∠=∠，90CDF ADF ADC ∠+∠=∠=︒， 90ADF DAE ∴∠+∠=︒， 90APD ∴∠=︒，取AD 的中点O ，连接OP ，则112122OP AD ==⨯=（不变）， 根据两点之间线段最短得C 、P 、O 三点共线时线段CP 的值最小， 在Rt COD ∆中，根据勾股定理得，2222215CO CD OD +=+ 所以，51CP CO OP =-． 故答案为：90︒51-．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分） 17．【解答】解：(4)(2)0x x -+=， 40x -=或20x +=，所以14x =，22x =-．18．【解答】解：设3OM x =，2MC x =，O 的半径为10， 3210x x ∴+=，解得：2x =， 即6OM =， 连接OA ，OC AB ⊥，OC 过圆心O ，AM BM ∴=，90AMO ∠=︒，由勾股定理得：22221068BM AM OA OM ==--， 8816AB ∴=+=．19．【解答】解：（1）如图所示：（2）证明：连接MA ，MB ．MA MB =，OA OB =，MO ∴是AB 的垂直平分线．又直线MO 交O 于点C ， AC BC ∴=．AB 是直径，90ACB ∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角）， ABC ∴∆是等腰直角三角形．故答案为：BC 、90︒，直径所对的圆周角是直角．20．【解答】解：（1）将(0,3)A -，(1,0)B 代入22y ax x c =++得302ca c -=⎧⎨=++⎩，解得13a c =⎧⎨=-⎩，223y x x ∴=+-． （2）令2230x x +-=， 解得3x =-或1x =，∴抛物线经过(3,0)-，(1,0)，抛物线开口向上， 0y ∴<时，31x -<<．21．【解答】解：（1）如图所示，△OA B ''即为所求．点A '的坐标为(0,5)-；（2）由图知，90AOA ∠'=︒，22345OB =+=，∴点B 在旋转过程中所走过的路径长90551802BB ππ⨯'==． 22．【解答】解：（1）“A 志愿者被选中”是随机事件， 故答案为：随机； （2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中A ，B 两名志愿者同时被选中的结果有2种，A ∴，B 两名志愿者同时被选中的概率为21126=． 23．【解答】（1）证明：△222[(4)]16816(4)0k k k k k =-+-=-+=-，∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：2(4)40x k x k -++=，(4)()0x x k ∴--=， 14x ∴=，2x k =．方程有一根小于2， 2k ∴<，k ∴的取值范围为2k <．24．【解答】解：（1）由题意得：2(402)240y x x x x =-=-+，040225x <-，∴15202x <， y ∴与x 之间的函数关系式为215240(20)2y x x x =-+<；（2）由（1）知，222402(10)200y x x x =-+=--+， 20-<，15202x <， ∴当10x =时，y 有最大值，最大值为200，答：当10x =时，小花园的面积最大，最大面积是2200m ． 25．【解答】（1）证明：OA OC =， C OAC ∴∠=∠，PB BA =， BPA BAP ∴∠=∠，CPO BPA ∠=∠， CPO BAP ∴∠=∠， OP OC ⊥， 90COP ∴∠=︒， 90C CPO ∴∠+∠=︒， 90CAO BAP ∴∠+∠=︒，即90BAO ∠=︒， OA 是O 的半径，AB ∴是O 的切线；（2）解：90COP ∠=︒，4OC =，PC =2OP ∴=， 设BA BP x ==， 90BAO ∠=︒，222AB AO OB ∴+=，2224(2)x x ∴+=+， 3x ∴=，∴线段AB 的长为3．26．【解答】解：（1）若0m =，则点(1,0)在抛物线2y x bx =-+上， 01b ∴=-+，解得1b =，∴抛物线的对称轴为直线112(1)22b x =-=-=⨯--；（2）①2y x bx =-+，∴抛物线开口向下且经过原点，当0b =时，抛物线顶点为原点，0x >时y 随x 增大而减小，0m n >>不满足题意， 当0b <时，抛物线对称轴在y 轴左侧，同理，0n m >>不满足题意， 当0b >时，抛物线对称轴在y 轴右侧，1x =时0m >，2x =时0n <， 即抛物线和x 轴的2个交点，一个为(0,0)，另外一个在1和2之间，∴抛物线对称轴在直线12x =与直线1x =之间， 即112t <<； ②点1(1,)y -与对称轴距离3(1)22t <--<， 点3(2，2)y 与对称轴距离13122t <-<，点3(3,)y 与对称轴距离5232t <-< 312y y y ∴<<．27．【解答】解：（1）BP CP '=， 证明：ABC ∆是等边三角形， AB AC ∴=，60BAC ∠=︒， 2360∴∠+∠=︒将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AP '，AP AP '∴=，60PAP '∠=︒，1260∴∠+∠=︒， 13∴∠=∠，()ABP ACP SAS '∴∆≅∆， BP CP '∴=；（2）①当120BPC ∠=︒时， 则8618060BPC ∠+∠=︒-∠=︒， ABP ACP '∆≅∆， 45∴∠=∠， 47P BP '∴∠=∠+∠ 5608=∠+︒-∠ 606608=︒-∠+︒-∠120(68)=︒-∠+∠ 12060=︒-︒ 60=︒，故答案为：60︒；②2AP PM =，理由如下：延长PM 到N ，使PM MN =，连接BN ，CN ，M 为BC 的中点，BM CM ∴=，∴四边形PBNC 为平行四边形，//BN CP ∴且BN CP =， BN BP '∴=，96∠=∠，又8660∠+∠=︒， 8960∴∠+∠=︒， 60PBN P BP '∴∠=︒=∠，又BP BP =，P B BN '=，∴△()P BP NBP SAS '≅∆，2PP PN PM '∴==，又APP '∆为正三角形，PP AP '∴=， 2AP PM ∴=．28．【解答】解：（1）①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，如图， 发现线段11A B 的对称线段是O 的弦，∴线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是11A B ，故答案为：11A B ；②从图象性质可知，直线y x m =-+与x 轴的夹角为45︒，∴线段11A B ⊥直线y x m =-+，∴线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦，线段33A B =O 的最长的弦为2，∴线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦，线段22A B 是O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，而线段22//A B 直线y x m =-+，线段22A B∴线段22A B 的对称线段线段22A B ''线段22A B ，且线段22A B ''=平移这条线段，使其在O 上，有两种可能， 第一种情况：2A '、2B '的坐标分别为(0,1)、(1,0)， 此时3m =；第二种情况：2A '、2B '的坐标分别为(1,0)-、(0,1)-， 此时2m =， 故答案为：3或2；（2）直线(0)y b b =+>交x 轴于点C ，当0y =时，0y b =+=，解得：x ，OC ∴=，b 最大时就是OC 最大， b 最小时就是CO 长最小，线段AB 是O 的关于直线(0)y x b b =+>对称的“关联线段”，∴线段AB 关于直线y b =+对称线段A B ''在O 上， 3AC AC ∴''==，在△A CO '中，AC OA OC AC OA '-''+'，∴当A '为(1,0)-时，如图3，OC 最小，此时C 点坐标为(2,0)，将点C 代入直线y x b =+中，20b +=，解得：b = 过点B '作B D AC '⊥'于点D ， 1A B AO B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，B D '=15322CD ∴=-=，在Rt △B DC '中，B C '=∴当A '为(1,0)时，如图3，OC 最大，此时C 点坐标为(4,0)，将点C 代入直线y x b =+中，40b +=，解得：b = 过点B '作B D AC '⊥'于点D ， 1A B AO B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，B D '=17322CD ∴=+=，在Rt △B DC '中，B C '=43 3，13BC=；最小值为233，7BC=．b∴的最大值为。
北京市东城区2020-2021学年度第一学期期末初三数学检测试卷及参考答案
北京市东城区2020—2021学年第一学期期末统一测试初三数学2021.1东城区2020-2021学年度第一学期期末教学统一检测初三数学参考答案及评分标准2021.1一、选择题（本题共24分，每小题3分）题号12345678答案B A C B D B C D二、填空题（本题共24分，每小题3分）9.答案不唯一，如2y x =-10.11.1612.()230001+5000x =13. = ,或 = 14.30°15.316.三.解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题7分）17.解：（1）补全的图形如图所示.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分（2）90，直径所对的圆周角是直角，30.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分18.解：（1）设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠.∵点A (0，-1)，B (1，4),C (-2，1)都在二次函数的图象上，∴1,4,42 1.c a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得2,3,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以，二次函数的解析式为2231y x x =+-.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（2）函数图象的顶点坐标为31748⎛⎫- ⎪⎝⎭，-.当-1≤x ≤0时，y 的取值范围是17 1.8y -≤≤-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分19.（1）证明：∵AE 平分 ကಳ,∴∠1=∠2.∵BF //AD,∴∠3=∠2.┈┈┈┈┈┈┈┈1分∴∠1=∠3.∴AB =BF .┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分(2)解：∵CF =B F ,AB =1，∴CF =1.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分∵BF //AD,∴△EFC ∽△EAD .┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分∴2211416EFC EAD S FC S AD ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分20.解：(1)∵方程20x mx n ++=有两个相等的实数根，∴2=-4=0m n ∆.∴2=4m n .┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分(2)当m =-4,方程为240x x n -+=.①∵方程有两个不相等的实数根，∴=1640n ∆-＞.解得n ＜4.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分②答案不唯一，如=3n 时，方程的两根为121,3x x ==.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分(参考：122-4-,2+4-x n x n ==)21.解：(1)∵双曲线k y x =过点A （1,1），∴1k =.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分(2)由14,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得14x x=，去分母，得24=1x .解得112x =-，212x =.经检验，112x =-，212x =是原方程的解.∴12y =-，22y =.∵点B 的横坐标小于点C 的横坐标，∴B 122⎛⎫- ⎪⎝⎭，-，C 122⎛⎫ ⎪⎝⎭，.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（3）当12y y ＜时，110,22t t -＜＜或＞.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分22.解：（1）补全图形如图，直线AB 与⊙D 相切．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分证明：作DE ⊥AB 于点E ．∵∠DCA =90°，AD 是∠BAC 的平分线，∴DE=DC ．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分∴直线AB 与⊙D 相切．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（2）∵DE=DC ，AC =2DC ，∴AC =2DE ．∵∠BCA =∠BED =90°，∠B =∠B ，∴∆BCA ∽∆BED ．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分∴DE AC DB AB =．∴AB =2DB ．∵BD =5，∴AB =10．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分设DC =r ，则AC =2r ．Rt∆ABC 中，222AB AC BC =+，∴22210)2()5(=++r r ．解得3=r ．∴⊙D 的半径为3．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分23.解：（1）∵抛物线经过点（-2,-2），∴4+41 2.b +=-∴7.4b =-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分（2）抛物线的对称轴为直线x b =，纵坐标21y b =-，顶点坐标()2,1b b -.┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分（3）由（1）知，当抛物线经过点（-2,-2）时，7.4b =-当抛物线经过点（2,2）时，3.4b =①当74b -＜时，令2x =-，则4+41=4+5y b b =+＜-2；令2x =，则441= 4+5y b b =-+-＞2.∵x b ＞时，y 随着x 的增大而增大，x b ＜时，y 随着x 的增大而减小，∴74b -＜符合题意；②当34b ＞时，令2x =-，则4+41=4+5y b b =+＞-2；令2x =，则441= 4+5y b b =-+-＜2.∵x b ＜时，y 随着x 的增大而减小，x b ＞时，y 随着x 的增大而增大，∴34b ＞符合题意；③当7344b -≤≤时，令2x =-，则4+41=4+5y b b =+≥-2；令2x =，则441= 4+5y b b =-+-≥2.∵抛物线的开口向上，∴7344b-≤≤不符合题意.综上所述，b的取值范围是74b-＜，或34b＞.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分24.解：（1.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分②CE＝CB,∠BCE＝2∠A.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（2）解：按要求补全图形，如图.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分作∠ACM＝∠BCE，在射线CM上截取CF＝CA，连接BF，AF.∴∠ACM＋∠FCE＝∠BCE＋∠FCE，即∠ACE＝∠FCB.∵CE＝CB,∴△ACE≌△FCB(SAS).∴AE＝BF.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分过点C作CG⊥AF于点G，∴∠CGF=90°.∵CF＝CA，∴∠ACF＝2∠ACG，AF=2AG.∵∠BCE＝2∠BAC，∴∠ACG＝∠BAC.∴CG∥AD.∴∠AGC＝∠BAF＝∠ADC＝90°.∴四边形ADCG是矩形.┈┈┈┈┈┈┈┈6分∴AG＝CD.∴AF＝在Rt△BAF中，∠BAF＝90°，AB＝AF＝，∴BF＝∴AE＝┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分25.解：(1)①线段AB 到⊙O 的“平移距离”为12.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分②B 点的坐标为(-5，0)或(7，0).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分(2)如图，取AB 的中点M ，连接OM 交⊙O 于点M '，以M '为中点作线段A'B'，使得A'B'∥AB 且A'B’=AB =2，则四边形AA'BB'为平行四边形．∴M 'M =AA'．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分由题意可知，AA'= ．设直线443y x =+交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，∴点C (-3,0)，D (0，4)．∴CD =5.过点O 作ON ⊥直线CD 于点N ，交⊙O 于点N'．在Rt △COD 中，可得ON =125．∴NN'=ON-ON'=1271=55-．∵MM'≥NN'，∴MM'≥75.∴AA'≥75．∴ 的最小值是75(当点M 与点N 重合时取得).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分(3)3≤ ≤5．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分。
2024届北京市东城区名校九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
2024届北京市东城区名校九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD BD ＝12，DE ＝4cm ，则BC 的长为（ ）A ．8cmB ．12cmC ．11cmD ．10cm2．对于一元二次方程230x x c -+=来说，当94c =时，方程有两个相等的实数根：若将c 的值在94的基础上减小，则此时方程根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．两个相等的实数根C ．两个不相等的实数根D ．一个实数根 3．如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是圆上两点，且CDB ∠＝28°，则AOC ∠＝（ ）A ．56°B ．118°C ．124°D ．152°4．把方程2310x x +-=的左边配方后可得方程（ ）A ．2313()24x += B ．235 ()24x += C ．2313 ()24x -= D ．235 ()24x -= 5．已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对的圆周角的度数是（ ）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120° 6．反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点()2,6-，若点(3,)n 在反比例函数的图象上，则n 等于（ ）A ．-4B ．-9C ．4D ．97．如图，在△ABC 中，过点A 作射线AD ∥BC ，点D 不与点A 重合，且AD≠BC ，连结BD 交AC 于点O ，连结CD ，设△ABO 、△ADO 、△CDO 和△BCO 的面积分别为和,则下列说法不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长32m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到AC '的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为33m ，则鱼竿转过的角度是（ ）A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°9．正比例函数y ＝2x 和反比例函数2y x =的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ） A ．（﹣1，﹣2） B ．（﹣2，﹣1） C ．（1，2） D ．（2，1）10．已知二次函数2(1)2y a x =--的图象经过点()1,4--，当自变量x 的值为3时，函数y 的值为（ ） A ． 3.5- B ．4- C ．4 D ．3.5二、填空题(每小题3分,共24分)11．若△ABC ∽△A′B′C′，且34AB A B =''，△ABC 的周长为12cm ，则△A′B′C′的周长为_____________． 12．已知扇形的半径为6，面积是12π，则这个扇形所对的弧长是_____．13．已知二次函数22m y mx -=的图像开口向上，则m 的值为________.14．如图，一张桌子上重叠摆放了若干枚一元硬币，从三个不同方向看它得到的平面图形如图所示，那么桌上共有_______枚硬币．15．若函数231m m y mx +-=是反比例函数，则m =________．16．计算：2sin 45°＝____________．17．用一根长为31cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm 1．18．已知点A （﹣2，m ）、B （2，n ）都在抛物线y=x 2+2x ﹣t 上，则m 与n 的大小关系是m_____n ．（填“＞”、“＜”或“=”）三、解答题(共66分)19．（10分）如图，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成64个大小相同的小正方体．从这些小正方体中任意取出一个，求取出的小正方体：（1）三面涂有颜色的概率；（2）两面涂有颜色的概率；（3）各个面都没有颜色的概率．20．（6分）如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向.求：（1）∠C 的度数；（2）A ，C 两港之间的距离为多少km.21．（6分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝6，求sinB 的值．22．（8分）已知二次函数223y x x =--．（1）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象；（2）当0≤x ≤3时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围．23．（8分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，连接对角线AC ，过点D 作DE AC 与BC 的延长线交于点E ，连接AE 交DC 于F ．（1）求证：BC CE =；（2）连结BF ，若DAF FBE ∠=∠，且2AD CF =，求证：四边形ABCD 是正方形．24．（8分）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学参加学校的座谈会(1)抽取一名同学， 恰好是甲的概率为(2) 抽取两名同学，求甲在其中的概率。
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东城区2014—2015学年第一学期期末统一检测初三数学试题2015.1学校班级姓名考号考生须知1．本试卷共8页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟.2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效.4．在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．已知1sin2A=，则锐角A的度数是A．30︒B．45︒C．60︒D．75︒2．下列安全标志图中，是中心对称图形的是A B C D3．以下事件为必然事件的是A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0B．多边形的内角和是360︒C．二次函数的图象必过原点D．半径为2的圆的周长是4π4．将二次函数2y x=的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是A.2(1)2y x=++ B.2(1)2y x=--C.2(1)2y x=+- D.2(1)2y x=-+EDC(F)B(G)A 5． 如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠AOD 等于A ． 120°B ． 140°C ． 150°D ． 160°6．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，连接EC 交对角线BD 于点F ，则S △DEF ：S △BCF 等于A. 1：2 B ．1：4C ．1：9D ．4：97．已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的图象如图所示，则一次函数2b y cx a =+与反比例函数aby x=在同一坐标系内的图象大致是xyOA B C D8．如图，边长为4的正方形ABCD 的边BC 与直角边分别是2和4的Rt ∆GE F 的边GF重合,正方形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿GE 向右匀速运动，当点A 和点E 重合时正方形停止运动.设正方形的运动时间为t 秒，正方形ABCD 与Rt ∆GEF 重叠部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图象为第5题图 第6题图A'DCBB'A35°A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．已知反比例函数ky x=(k 是常数，且0k ≠)的图象在第二、四象限，请写出一个符合条件的反比例函数表达式 ．10．如图，把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转35°，得到△''A B C ，''A B 交AC 于点D ，若∠'A DC =90°，则∠A = 度．11．如图，反比例函数6y x=在第一象限的图象上有两点A ，B ，它们的横坐标分别是2，第10题图 第11题图6，则△AOB 的面积是.12．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B,O 分别落在点B1,C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B4的坐标为,点B2014的坐标为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：32sin453cos602︒︒+︒+-.14．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积．15．已知二次函数268y x x=-+.（1）将268y x x=-+化成2()y a x h k=-+的形式；CB（2）当04x≤≤时，y的最小值是，最大值是；（3）当0y＜时，写出x的取值范围.16．如图，AB是半圆O的直径，点P（不与点A,B重合）为半圆上一点．将图形沿BP折叠，分别得到点A，O的对称点'A，'O．设∠ABP =α．（1）当α=10°时，'ABA∠=°；（2）当点'O落在»PB上时，求出α的度数．17．如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=6,点D为BC上一点，BD=2.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE=∠B. 求线段EC的长度。
18．如图，AB为⊙O的直径,与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．求的长度．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．为了提高学生书写汉字的能力，某市举办了“汉字听写大赛”．为了决定谁将获得仅有的一张观赛券，小王和小李设计了如下的一个规则：不透明的甲袋中有编号分别为1，2，3的乒乓球三个，不透明的乙袋中有编号分别为4，5的乒乓球两个，五个球除了编号不同外，其他均相同．小王和小李分别从甲、乙两个袋子中随机地各摸出一个球，若所摸出的两个球上的数字之和为奇数，则小王去；若两个球上的数字之和为偶数，则小李去．试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？第16题图第17题图第22题图 2第22题图120．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如下图，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A 处测得高华峰顶F 点的俯角为30°，保持方向不变又前进1200米到达点B 处测得F 点的俯角为45°．请据此计算高华峰的海拔高度．（结果保留整数，参考数值：≈1.732）21．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°,以AB 为直径的⊙O 与边AC交于点D ，过点D 的直线交BC 边于点E ，∠BDE =∠A ． （1）证明:DE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径R =5，tan A =，求线段CD 的长. 22．如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，EF 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是 ； 探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝21∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）43 EABCDO第20题图 第21题图23．已知二次函数2y ax bx c =++（a 为常数，且a ≠0）的图象过点A （0，1），B （1，-2）和点C （-1,6）.（1）求二次函数表达式；（2）若2m n >>，比较24m m -与24n n-的大小；（3）将抛物线2y ax bx c =++平移，平移后图象的顶点为(,)h k ，若平移后的抛物线与直线1y x =-有且只有一个公共点，请用含h 的代数式表示k .24.在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，将△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC 1、BD 1，AC 1与BD 1交于点P .（1）如图1，若四边形ABCD 是正方形.请直接写出AC 1 与BD 1的数量关系和位置关系. （2）如图2，若四边形ABCD 是菱形，AC =6，BD =8，判断AC 1与BD 1的数量关系和位置关系，并给出证明；（3）如图3，若四边形ABCD 是平行四边形，AC =6，BD =12，连接DD 1，设AC 1=kBD 1，请直接写出k 的值和 的值.25．如图，已知抛物线y =ax 2+bx+c 与x 轴的一个交点为A （-1，0），另一个交点为B ,与y 轴的交点为C （0，-3），其顶点为D ，对称轴为直线x=1． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为y 轴上的一个动点，当△ACM 是以AC 为一腰的等腰三角形时，求点M 的坐标； （3）将△OBC 沿x 轴向右平移m 个单位长度（0＜m ＜3）得到另一个三角形△EFG ，将△EFG 与△BCD 重叠部分的面积记为S ，用含m 的代数式表示S ．2121)(kDD AC +PABC DD 1OC 1C DAB D 1PC 1O图1 图2 图3第24题图CDABD 1P C 1 O备用图东城区2014-2015学年第一学期期末统一检测初三数学试题参考答案及评分标准 2015.1313.2sin 4530cos60213242215︒-︒+︒+-=+L L L L L L L L L L 解：分分14. 解:（1） ………………2分（2）由图可知，线段AB 在变换到AB ′的过程中扫过区域的面积就是扇形B ′AB 的面积， 其中∠B ′AB =90°，5AB =，∴线段AB 在变换到A B ′的过程中扫过的区域的面积为：29025π5π3604⋅=.………5分 15．解：（1）2(3)1y x =--； ………………2分（2）-1，8； ……………… 4分 （3）24x ＜＜. ………………5分16.（1）（1）当α=10°时，'ABA ∠= 20 °; ……………2分（2）若点'O 落在»PB上，连接OO ′. 则OO ′=OB.又∵点,O O '关于直线BP 对称， ∴BO BO '=.∴ △BOO ′是等边三角形. ∴ ∠OBO ′=60°.∴α=12∠OBO ′=30°. ……………5分 17.,.1,,..3.82.4 1.5AB AC B C ADC B BAD ADC ADE EDC B ADE BAD EDC ABD EDC AB BDDC EC ECEC =∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∠=∠∴∠=∠∴∴=∴==Q L L L L Q Q V V L L L L L L L L 解：∴分，∽分∴分18．解：连接OC ，∵△ACE 中，AC =2，AE =3，CE =1， ∴AE 2+CE 2=AC 2，∴△ACE 是直角三角形，即AE ⊥CD ．┉┉┉２分 1sin ,2CE A AC ==Q ∴∠A =30°．∴∠COE =60°．┉┉┉3分13sin ,2343CE COE OC OC OC ∴∠===L L L 即，解得分∵AE ⊥CD ， ∴=，∴的长度l ==．┉┉┉５分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.解：列表或画树状图正确． ………………………………………………… 2分 ∵ P(两个球上的数字之和为奇数)=12，P(两个球上的数字之和为偶数)=12， ∴ 这个规则公平． ……………………………………………………… 5分20.,1Rt 3045.2tan3033.120031200.60031200160031362. 5CF x ACF BCF BAF CBF BC CF x CFACAC x AC BC x x x DF =∠=︒∠=︒∴===︒∴=∴-=∴=+∴=+≈L L L L V V Q L L L L QL L L L Q L L L L 解：设分在Rt 和中，，，分，分=﹣米，（）.﹣（）分答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米． 21. （1）解：连接OD . ∵OA =OD , ∴∠ODA =∠A . 又∵∠BDE =∠A , ∴∠ODA =∠BDE . ∵AB 是⊙O 直径, ∴∠ADB =90.°即∠ODA +∠ODB =90°. ∴∠BDE +∠ODB =90°. ∴090ODE ∠=.∴DE 是⊙O 的切线.…………………２分 （2）∵R =5, ∴AB =10. Rt ABC ∆在中， ∵tan A =AB BC ＝3,4∴BC = AB ·tan A =10×43=15.2∴AC 2222152510.22AB BC ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭……………３分 ∵∠BDC =∠ABC =90°，∠BCD =∠ACB ,∴△BCD ∽△ACB .ED BO∴.CD CBCB CA=∴ ……………５分22．解： EF ＝BE ＋FD .………………………1分探索延伸：EF ＝BE ＋FD 仍然成立.………………………2分 证明：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连接AG ， ∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠ADG ＋∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝∠ADG .又∵AB ＝AD ，∴△ABE ≌△ADG . ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG .又∵∠EAF ＝21∠BAD ， ∴∠F AG ＝∠F AD ＋∠DAG ＝∠F AD ＋∠BAE ＝∠BAD －∠EAF ＝∠BAD －21∠BAD ＝21∠BAD . ∴∠EAF ＝∠F AG . ∴△AEF ≌△AGF . ∴EF ＝GF .又∵FG ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ,∴EF ＝BE ＋FD . ………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.解：（1）∵抛物线过点A ,B ,C ,∴1,2,6.c a b c a b c =⎧⎪++=-⎨⎪-+=⎩∴1,4,1.c b a =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴241y x x =-+.………………………2分 (2)∵当2x ＞时，y 随x 的增大而增大，∴当2m n ＞＞时，2211m m n n ++-4＞-4，即22m m n n -4＞-4.…………………4分 (3) 由（1）知，1a =.设平移后的抛物线的表达式为()2y x h k =-+.2215()92.2522CB CD CA ===∵直线与抛物线有且只有一个公共点， ∴方程21()k x x h -=-+有两个相等的实数根. 整理得：()222110x h x h k -++++=. ∴()()22211h h k ∆=+++-4=0.∴34k h =-. ………………………7分 11111,.2AC BD AC BD =⊥L L 24.（）分（2）111134AC BD AC BD =⊥，. 证明：∵四边形ABCD 是菱形, ∴OC ＝OA =21ＡＣ，ＯＤ＝OB =21ＢＤ，AC ⊥BD . ∵△C 1OD 1由△COD 绕点O 旋转得到,∴O C 1= O C ，O D 1=OD ，∠CO C 1=∠DO D 1. ∴O C 1＝OA ，O D 1＝OB ，∠AO C 1=∠BO D 1,∴OBOD OA OC 11=. ∴OBOA OD OC =11.∴△AO C 1∽△BOD 1 (4)分∴∠O AC 1= ∠OB D 1. 又∵∠AOB =90°,∴∠O AB+∠ABP+∠OB D 1=90°. ∴∠O AB+∠ABP+∠O AC 1=90°. ∴∠APB =90°.∴ＡC 1⊥BD 1。