圆锥曲线(题型小结)
圆锥曲线题型总结
圆锥曲线题型总结圆锥曲线题型总结圆锥曲线是二维平面上的一类曲线，由圆锥与平面相交而得。
圆锥曲线的重要性在于它们广泛应用于数学、物理、工程等领域，在解决实际问题时具有重要的作用。
在学习圆锥曲线时，我们通常会遇到一些不同类型的题目，下面我将对常见的圆锥曲线题型进行总结并提供解题方法。
一、椭圆的题型1. 求椭圆的焦点和准线：椭圆的焦点可以通过求解直角三角形或利用椭圆方程的性质来得出，准线可以通过将椭圆的方程化为标准方程来得到。
2. 椭圆的离心率问题：椭圆的离心率是一个重要的特征，可以通过利用椭圆的定义和性质来求解。
3. 椭圆的对称性问题：椭圆具有关于x轴和y轴的对称性，通过利用这一性质可以得到一些关于椭圆对称性的结论。
4. 椭圆与直线的交点问题：通过直线方程与椭圆方程联立解方程组，可以求得椭圆与直线的交点。
二、双曲线的题型1. 求双曲线的焦点和准线：双曲线的焦点和准线可以通过双曲线方程的性质来求解，特别是焦点的坐标可以通过解方程组得出。
2. 双曲线的渐近线问题：双曲线具有两条渐近线，可以通过设定x或y趋于无穷大时双曲线方程的极限来求解渐近线的方程。
3. 双曲线与直线的交点问题：通过直线方程与双曲线方程联立解方程组，可以求得双曲线与直线的交点。
三、抛物线的题型1. 求抛物线的焦点和准线：抛物线的焦点和准线可以通过抛物线方程的性质来求解，特别是焦点的坐标可以通过解方程组得出。
2. 抛物线的对称性问题：抛物线具有关于其焦点或顶点的对称性，可以通过利用这一性质来求解抛物线的一些问题。
3. 抛物线与直线的交点问题：通过直线方程与抛物线方程联立解方程组，可以求得抛物线与直线的交点。
四、圆的题型1. 求圆的方程：圆的方程可以通过给定圆的半径和圆心坐标来得到，也可以通过给定圆上一点的坐标或两点的坐标来得到。
2. 圆与直线的位置关系问题：可以通过将直线方程代入圆的方程，求解方程组来判断圆与直线的位置关系。
3. 圆与圆的位置关系问题：可以通过将两个圆方程联合解方程组来判断圆与圆的位置关系。
圆锥曲线十大题型全归纳
目录圆锥曲线十大题型全归纳题型一弦的垂直平分线问题 (2)题型二动弦过定点的问题 (3)题型三过已知曲线上定点的弦的问题 (4)题型四共线向量问题 (5)题型五面积问题 (7)题型六弦或弦长为定值、最值问题 (10)题型七直线问题 (14)题型八轨迹问题 (16)题型九对称问题 (19)题型十存在性问题 (21)圆锥曲线题型全归纳题型一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
题型二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。
题型四：共线向量问题1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，离心率为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.题型五：面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
圆锥曲线题型归纳
2圆锥曲线题型归纳题型一 求曲线的方程例 1 已知 F 1 (-2, 0) ， F 2 (2, 0) ，点 P 满足| PF 1 | - | PF 2 |= 2 ，记点 P 的轨迹为 E ．求轨迹 E 的方程．【答案】 x 2- y = 13【解析】由| PF 1 | - | PF 2 |= 2 < 4 =| F 1F 2 | 可知：点 P 的轨迹 E 是以 F 1 , F 2 为焦点的双曲线的右支，2 2 22y 2 由c = 2, 2a = 2 ，∴ b = 2 -1 = 3 ，故轨迹 E 的方程为 x -=（1 x > 0）.3【易错点】（1）对于双曲线的定义理解片面；（2）如果动点 P 满足PF 1 - PF 2 = 2a （2a < F 1F 2 ），则点 P 的轨迹是双曲线。
但该题已知条件中给出的是“| PF 1 | - | PF 2 |= 2 ”只能表示点 P 的轨迹是双曲线的右支，而不是双曲线的全部。
【思维点拨】利用双曲线解题时，一定要观察是双曲线的全部还是部分。
题型二 定值、定点问题例 2 已知椭圆 C ： x 2＋y 2＝1 过 A (2,0)，B (0,1)两点．a 2b 2(1) 求椭圆 C 的方程及离心率；(2) 设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N ，求证：四边形 ABNM 的面积为定值． 【答案】(1)x 2＋y 2＝1，e 4 2 【解析】(1)由题意得a ＝2，b ＝1，所以椭圆 C的方程为2＋y 2＝1.4又 c ＝ a 2－b 2＝ 3，所以离心率 e ＝c ＝a 2(2)证明：设 P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则 x 2＋4y 2＝4.又 A (2,0)，B (0,1)，所以直线 PA 的方程为 y ＝ y 0(x －2).x 0－2 令 x ＝0，得 y M ＝－ 2y 0 ，从而|BM |＝1－y M ＝1＋ 2y 0.x 0－2 直线 PB 的方程为 y ＝y 0－1x ＋1.x 0x 0－2 x2 ⎪ 2 令 y ＝0，得 x N ＝－ x 0 ，从而|AN |＝2－x N ＝2＋ x 0.y 0－1 所以四边形 ABNM 的面积 S ＝1|AN |·|BM |2y 0－112＋ x 0 1＋ 2y 0 2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4＝2.＝ y 0－1 2x 0－2 ＝错误!＝ x 0y 0－x 0－2y 0＋2从而四边形 ABNM 的面积为定值.【易错点】(1)．想不到设出 P (x 0，y 0)后，利用点斜式写出直线 PA ，PB 的方程．不会由直线 PA ，PB 的方程求解|BM |，|AN |；(2). 不知道四边形的面积可用 S ＝1| AN |·|BM |表示；2(3). 四边形 ABNM 的面积用 x 0，y 0 表示后，不会变形、化简，用整体消参来求值．【思维点拨】第(1)问由 a ＝2，b ＝1，c ＝ 3，解第一问；第(2)问画草图可知 AN ⊥BM ，四边形 ABNM 的面积为1|AN |·|BM |，设点 P (x 0，y 0)，得出 PA ，PB 的方程，进2 而得出 M ，N 的坐标，得出|AN |，|BM |，只需证明1|AN |·|BM |是一个与点 P 的坐标无关的量即可．2x 2 y 2⎛ 3 ⎫ ⎛ ,3 ⎫ 例 3 已知椭圆 C ： ＋ ＝1(a >b >0)，四点 P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3 -1， ⎪ ，P 4 1， ⎪ 中恰有三点在椭圆 a 2 b 2C 上．(1) 求 C 的方程；⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭(2) 设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ，B 两点．若直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．【答案】(1)x 2＋y 2＝1(2)(2，－1)4⎛ 3 ⎫⎛ ,3 ⎫ 【解析】(1)因为 P 3 -1， ⎪ ，P 4 1， ⎪ ，所以 P 3，P 4 两点关于 y 轴对称，⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭故由题设知椭圆 C 经过 P 3，P 4 两点． 又由1 ＋ 1 > 1 ＋ 3知，椭圆 C 不经过点 P 1，a 2b 2 a 2 4b 2所以点 P 2 在椭圆 C 上. 1＝1， b 2a 2＝4， 1 ＋ 3 ＝1，b 2＝1.a 2 故椭圆 C 4b 2的方程为 x 2＋y 2＝1.44 - t 2 4－t 2＋2 (x (2)证明：设直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率分别为 k 1，k 2.如果 l 与 x 轴垂直，设 l ：x ＝t ，⎛ 4 - t 2 ⎫ ⎛ ⎫ 由题设知 t ≠0，且|t |<2，可得 A ，B 的坐标分别为 t ， ⎪ ， t ，- ⎪ . 则 k ＋k ＝4－t 2－2－ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1，1 2＝－ 2t 2t得 t ＝2，不符合题设．从而可设 l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将 y ＝kx ＋m x 2 y 2＝1 得代 入 ＋4 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x ＋x ＝－ 8km ，x x ＝4m 2－4. 1 2 4k 2＋1 1 24k 2＋1 而 k 1＋k 2＝y 1－1＋y 2－1x 1 x 2kx 1＋m －1 kx 2＋m －1 ＝ ＋x 1 x 2 2kx 1x 2 + (m -1)(x 1 + x 2 )＝.x 1x 2由题设 k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－4＋(m －1)·－8km＝0.4k 2＋1 解得 k ＝－m ＋1.2 4k 2＋1 当且仅当 m >－1 时，Δ>0，于是 l ：y ＝－m ＋1x ＋m ，2即 y ＋1＝－m ＋1－2)，2所以 l 过定点(2，－1).【易错点】(1)观察不出 P 3，P 4 对称，忽视对称性导致判断失误; (2)不会用点的坐标代入方程判断 P 1，P 2 是否在椭圆上而滞做; (3)联立直线 l 与椭圆 C 的方程，计算化简失误而滞做;(4)利用 k 1＋k 2＝－1 运算变形不明确变形目标，导致化简不出 k ，m 的关系．＋ ＋【思维点拨】第(1)问利用椭圆的性质，易排除点 P 1(1,1)不在椭圆上，从而求椭圆方程；第(2)问分类讨论斜率是否存在，若存在，设 l ：y ＝kx ＋m ，利用条件建立 k ，m 的等量关系，消参后再表示出直线 l 的方程可证明．题型三最值（范围）问题例 4 已知椭圆 C x 2 y 2＝1(a ＞0)，F ，F 分别是其左、右焦点，以 F F 为直径的圆与椭圆 C 有且仅有两： ＋ 1 2 1 2a 2 个交点．(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设过点 F 1 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P ，点 P－1，0横坐标的取值范围是 4 ，求线段 AB 长的取值范围．x 2 3 2，2 【答案】(1)＋y 2＝1(2) 2 2【解析】(1)因为以 F 1F 2 为直径的圆与椭圆 C 有且仅有两个交点，所以 b ＝c ＝1，a ＝ 2， 所以椭圆 C 的方程为 x 2 y 2＝1． 2 (2)根据题意，直线 A ，B 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 y ＝k (x ＋1)，与消去 y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为 M (x 0，y 0)，x 2 y 2＝1 联立， 2 则 x ＋x ＝－ 4k 2，x ·x ＝2k 2－2，121＋2k 21 21＋2k 22k 2 k，y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2＋2)＝ 2k ， 即 M 1＋2k 21＋2k 2 1＋2k 2 .则直线 AB 的垂直平分线为 y － k ＝－ 1 x ＋ ，令 y ＝0，得 x P ＝ －k 2，因为 x P ∈ －1，0 4，即－1＜ 4 1＋2k 2 k－k 2＜0，1＋2k 21＋2k 2 所以 0＜k 2 1＜ ， 2AB =2 2k 2 1＋2k 2( 1+ k x + x - 4x x 2 ) ⎡ ⎣ ( 1 2 ) 2 1 2 ⎦⎤ (1+ k 2) ⎡⎛ ⎢ - 4k 2 ⎫2 ⎢⎣⎝ 2k 2 +1⎭⎪ - 4 2k 2 - 2 ⎤ 2k 2 +1 ⎥⎦ ⎥－(1+ k 2) 22k 2 + 12＝ 2＝ 21＋11＋2k 2 .∵1＜ 1＜1，2 2k 2＋13 2，2∴|AB |∈ 2 ．【易错点】运算错误，由于运算方法、运算技巧以及自身运算能力差，都是出错原因。
圆锥曲线经典题型总结(含答案)
圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b ya x （0ab >>）,焦点在y轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）。
（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。
（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。
2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一：定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。
在定义的应用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。
适用条件需要注意。
例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。
例2：方程表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，然后判断。
对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？题型三：圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。
PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。
例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。
例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。
题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。
在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。
例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。
题型五：圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。
例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。
例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。
题型六：圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性，可以通过对称性求解问题。
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
圆锥曲线知识题型总结
1高二选修1圆锥曲线知识点及典型例题总结1.圆锥曲线的定义：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （2）方程8表示的曲线是_____如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是__ ___2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
如（1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
如（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（3）抛物线：开口向右时22(0)y p x p =>， 开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x p y p =>， 开口向下时22(0)x p y p =->。
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】圆锥曲线与向量的结合——圆锥曲线题型总结一、AP=λPB解题方法总结如下：设直线AB与圆锥曲线C相交于点A、B，P为直线AB上的任意一点，A（x1，y1），B（x2，y2），则可以得到AP=λPB。
利用这个条件，可以构造两根之和与两根之积，消去x2，然后利用XXX定理求解。
例如，对于题目“设双曲线C：2-x^2/a^2=y^2/b^2（a>b）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．设直线l与y轴的交点为P，且PA=5PB．求a的值．”，可以按照上述方法解题。
首先联立方程组，得到两个交点的坐标。
然后利用构造两根之和与两根之积的方法，消去x2，得到一个关于a的方程。
最后利用XXX定理求解，得到a的值。
二、PR/PQ的取值范围对于题目“已知x-1>0（x>1），设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与双曲线C相交于点Q、R，且|PQ|＜3/2|PR|，求PR/PQ的取值范围．”，可以采用向量的方法解题。
设向量PQ 为a，向量PR为b，则PR/PQ=|b|/|a|。
根据向量的定义，可以得到a和b的表达式。
然后根据题目中的条件，可以列出一个关于m的不等式。
最后，通过分析不等式的解集，可以得到PR/PQ的取值范围。
已知直线 $C:x-1=0$（$x\neq 1$ 且 $x\neq -1$），设直线$y=x+m$（$m>0$）与 $y$ 轴交于点 $P$，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$、$R$，且 $|PQ|<|PR|$，求 $m$ 的取值范围。
解法一：设 $Q(x_1,y_1)$，$R(x_2,y_2)$，联立$\begin{cases} 4x^2-y^2-4=PRx \\ 3x-2mx-m-4=0 \end{cases}$。
则可设 $x_2=-\lambda x_1$（$\lambda>1$），即 $-x_1x_2=\lambda x_2^2$，此时$y_P=x_P+m$，$y_Q=x_Q+m$。
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高三数学 讲义（小结） 2004.11.18
圆锥曲线
一．课前预习：
1．设抛物线22y x =，线段AB 的两个端点在抛物线上，且||3AB =，那么线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离是 （ B ） ()A 32 ()B 1 ()C 12
()D 2 2．椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于,A B 两点，在劣弧AB 上取一点C ，则四边形OACB 的最大面积为 （ B ） ()A 12ab ()
B 2ab ()
C ()
D ab 3．ABC ∆中，A 为动点，1(,0)2B -，1(,0)2C ，且满足1sin sin sin 2
C B A -=，则动点A 的轨迹方程是 （
D ）
()A 2216161(0)3x y y -=≠ ()B 2216161(0)3
y x x -=≠ ()C 22161161()34x y x -=<- ()D 22161161()34
x y x -=> 4．已知直线1y x =+与椭圆221mx ny +=(0)m n >>相交于,A B 两点，若弦AB 中点的横坐标为13-，则双曲线22
221x y m n
-=的两条渐近线夹角的正切值是43． 5．已知,,A B C 为抛物线21y x =-上三点，且(1,0)A -，AB BC ⊥，当B 点在抛物线上移动时，点C 的横坐标的取值范围是(,3][1,)-∞-+∞．
二．例题分析：
例1．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=(0,0)a b >>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足||,||,||OA OB OF 成等比数列，过点F 作双曲线在第一、三象限内的渐近线的垂线l ，垂足为P ，
（1）求证：PA OP PA FB ⋅=⋅；
（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点,D E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．
（1）证明：设l ：()a y x c b
=--， 由方程组()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2(,)a ab P c c ，
∵||,||,||OA OB OF 成等比数列，∴2
(,0)a A c
， ∴(0,)ab PA c =-，2(,)a ab OP c c =，2(,)b ab FP c c
=-， ∴222a b PA OP c ⋅=-，22
2a b PA FP c
⋅=-，∴PA OP PA FB ⋅=⋅． （2）设1122(,),(,)D x y E x y ， 由2222
()1a y x c b x y a b ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得4
44222222222()()0a a c a c b x x a b b b b -+-+=， ∵120x x ⋅<，∴42
222422()0a b a b c a b b
-+<-，∴22b a >，即222c a >
，∴e >
所以，离心率的取值范围为)+∞．
例2．如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)P m (0)m >作直线与抛物线交于,A B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点，
（1）设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明：()QP QA QB λ⊥-；
（2）设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程．
解：（1）设直线AB 的方程为y kx m =+，代入抛物线方程24x y =得2
440x kx m --= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x m =-，
∵点P 分有向线段AB 所成的比为λ，得1201x x λ+=+，∴12
x x λ=-， 又∵点Q 是点P 关于原点的对称点，∴(0,)Q m ，∴
QP =∴1212(,(1))QA QB x x y y m λλλλ-=--+- ∴12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+-
22112122
2[(1)]44x x x x m m x x =+⋅++ 12
121222
4442()2()44x x m m m m x x m x x x x +-+=+⋅=+⋅=∴()QP QA QB λ⊥-． （2）由221204x y x y -+=⎧⎨=⎩
得点(6,9),(4,4)A B -，
由24x y =得214y x =，∴12
y x '=，∴抛物线在点A 处切线的斜率为6|3x y ='=， 设圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=， 则22229163
(6)(9)(4)(4)b a a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩
， 解得2323125,,222
a b r =-==， ∴圆C 的方程是22323125()()222x y ++-=，即22323720x y x y ++-+=．
三．课后作业： 班级 学号 姓名
1．直线143x y +=与抛物线22
1169
x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上的点P 使ABP ∆的面积等于6，这样的点P 共有 （ ）
()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个
2．设动点P 在直线1x =上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt OPQ ∆，则动点Q 的轨迹是 （ ）
()A 圆 ()B 两条平行线 ()C 抛物线 ()D 双曲线
3．设P 是直线4y x =+上一点，过点P 的椭圆的焦点为1(2,0)F ，2(2,0)F -，则当椭圆长轴最短时，椭圆的方程为 ．
4．椭圆22
1123
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的 倍．
5．已知双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．
6．直线l ：1y kx =+与双曲线C ：22
21x y -=的右支交于不同的两点,A B ，
（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
7．
8．如图，P 是抛物线C ：212
y x =上一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 的切线垂直，l 与抛物线C 相交于另一点Q ，
（1）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；
（2）当点P 在抛物线C 上移动时，求线段PQ 中点M 的轨迹方程，并求点M 到x 轴的最短距离．。