《二次函数的图象与性质》(第3课时)示范公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】

第二章 二次函数2.2 二次函数的图象与性质第3课时 教学设计一、教学目标1．经历探索二次函数y =a (x -h )2+k 的图象的作法和性质的过程．2．能够作出y =a (x -h )2和y =a (x -h )2+k 的图象，并能够理解它们与y =ax 2的图象的关系，理解a ，h 和k 对二次函数图象的影响．3．能够正确说出y =a (x -h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．二、教学重点及难点重点：1．经历探索二次函数y =a (x -h )2+k 的图象的作法和性质的过程．2．能够作出y =a (x -h )2和y =a (x -h )2+k 的图象，并能够理解它们与y =ax 2的图象之间的关系，理解a ，h 和k 对二次函数图象的影响．难点：1．能够理解y =a (x -h )2、y =a (x -h )2+k 与y =ax 2的图象之间的关系，理解a ，h 和k 对二次函数图象的影响．2．能够正确说出y =a (x -h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。

四、相关资源《复习二次函数y =ax 2和y =ax 2+c 的图象与性质》动画，《画二次函数y =2(x -1)2和y =2x 2图象》动画，《画二次函数y =2(x -1)2和y =2x 2图象》图片，《二次函数y =2x 2，2122y x =-，y =2(x +3)2，212(3)2y x =+-图象》图片. 五、教学过程【复习导入】函数y =ax 2+c 的图象可以由函数y =ax 2的图象上下平移得到，那么它们平移的规律是怎样的？师生活动：教师给出问题，学生思考后回答．答：当c＞0时，将二次函数y=ax2的图象向上平移|c|个单位长度可以得到二次函数y=ax2+c的图象；当c＜0时，将二次函数y=ax2的图象向下平移|c|个单位长度可以得到二次函数y=ax2+c的图象．我们这节课要研究的问题——二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系．设计意图：创设问题情境，让学生通过类比已学过知识的研究方式来猜想、探究新内容，同时激发学生的好奇心和求知欲．【探究新知】做一做在同一直角坐标系中画出二次函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象．师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表格，由学生说出x对应的y值，再描点、连线．教师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连线，不能直接用线段把点与点之间连接．解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表：（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象，如下图．设计意图：通过学生动手绘制，加深对函数图象的认识．议一议二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？类似地，你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？师生活动：教师出示问题，学生分组讨论，与组内同学交流自己的想法，教师找每组内学生代表回答．答：由右图可以看出，二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，开口方向也相同，都向上，但对称轴和顶点坐标不同．二次函数y=2(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，0）．实际上，只要将二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度，就可以得到二次函数y=2(x－1)2的图象．对于二次函数y=2(x－1)2的图象，当x＞1时，y 的值随x 值的增大而增大；当x ＜1时，y 的值随x 值的增大而减小．（画二次函数y =2(x -1)2和y =2x 2图象）类似地，二次函数y =2(x +1)2的图象与二次函数y =2x 2的图象形状相同，开口方向也相同，都向上，只是位置不同．将二次函数y =2x 2的图象向左平移1个单位长度，就可以得到二次函数y =2(x +1)2的图象，二次函数y =2(x +1)2的图象是轴对称图形，它的对称轴是直线x =-1，顶点坐标是（-1，0）．对于二次函数y =2(x +1)2的图象，当x ＞-1时，y 的值随x 值的增大而增大；当x ＜-1时，y 的值随x 值的增大而减小．归纳 二次函数y =a (x -h )2的图象与二次函数y =ax 2的图象形状相同，位置不同；当h ＞0时，二次函数y =ax 2的图象向右平移|h |个单位长度可以得到二次函数y =a (x -h )2的图象；当h ＜0时，二次函数y =ax 2的图象向左平移|h |个单位长度可以得到二次函数y =a (x -h )2的图象．设计意图：通过在同一直角坐标中比较三个函数的图象，使三个函数的图象特点一目了然，启发学生寻找规律，从而得出结论．想一想 由二次函数y =2x 2的图象，你能得到二次函数2122y x =-，y =2(x +3)2，212(3)2y x =+-的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流． 师生活动：教师在同一直角坐标系中画出四个函数的图象，让学生通过观察图象、思考、讨论，最后得出结果．（二次函数y =2x 2，2122y x =-，y =2(x +3)2，212(3)2y x =+-图象） 答：通过观察图象可以得出，由二次函数y =2x 2的图象向下平移12个单位长度，就可以得到二次函数2122y x =-的图象；由二次函数y =2x 2的图象向左平移3个单位长度，就可以得到二次函数y =2(x +3)2的图象；由二次函数y =2x 2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移12个单位长度，就可以得到二次函数212(3)2y x =+-的图象． 设计意图：培养学生分析问题和解决问题的能力．议一议 二次函数y =a (x -h )2+k 与y =ax 2的图象有什么关系？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．答：二次函数y =a (x -h )2+k 的图象与二次函数y =ax 2的图象都是抛物线，它们的形状相同，但位置不同．把二次函数y =ax 2的图象向上（下）向左（右）平移，可以得到二次函数y =a (x -h )2+k 的图象，平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定．设计意图：将学生探索得出的信息总结出来形成结论．归纳 二次函数y =a (x -h )2+k 的图象的对称轴是直线x =h ，顶点坐标是（h ，k ）．（1）当a ＞0时，二次函数y =a (x -h )2+k 的图象的开口向上，在对称轴的左侧（当x ＜h 时），图象自左向右下降，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧（当x ＞h 时），图象自左向右上升，y 随x 的增大而增大．顶点是二次函数图象的最低点，此时，函数y 取得最小值，即当x =h 时，y 有最小值k ．（2）当a ＜0时，二次函数y =a (x -h )2+k 的图象的开口向下，在对称轴的左侧（当x ＜h 时），图象自左向右上升，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧（当x ＞h 时），图象自左向右下降，y 随x 的增大而减小．顶点是二次函数图象的最高点，此时，函数y 取得最大值，即当x =h 时，y 有最大值k ．二次函数y =a (x -h )2+k 的图象可以由二次函数y =ax 2的图象平移得到．设计意图：对知识进行归纳，加深学生对知识的理解和掌握．【典例精析】例 若将抛物线y =x 2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ）．A ．y =(x +2)2+2B ．y =(x +2)2-2C ．y =(x -2)2+2D ．y =(x -2)2-2师生活动：教师出示例题，找学生代表回答．答案：B ．设计意图：巩固所学知识，加深对所学知识的理解．【课堂练习】1．对于抛物线的说法错误的是（ ）． A ．抛物线的开口向下 B ．抛物线的顶点坐标是（1，0）C ．抛物线的对称轴是直线x =1D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大2．将抛物线向左平移2个单位后，其顶点坐标为（ ）． A ．（-3，-2） B ．（-2，0） C ．（-5，0） D ．（-3，0）3．将抛物线沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向下平移3个单位得到抛物线（ ）．A ．B ．C ．D ． 4．由二次函数y =2(x -3)2+1，可知（ ）．A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线x =-321(1)2y x =--21(3)2y x =+243y x =-24(2)33y x =---24(2)33y x =-+-24(2)33y x =--+24(2)33y x =-++C ．其最小值为1D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而增大5．抛物线的对称轴是_________，顶点坐标是___________；当x ＞2时，y 随x 的增大而__________；当x ＜2时，y 随x 的增大而__________；当x =______时，函数有_______值，其值为_________．6．若二次函数的图象的对称轴是直线，且图象经过点A (0，-4)和B (4，0)．求此二次函数的解析式．师生活动：教师先找几名学生代表回答，然后讲解出现的问题．参考答案1．D ．2．C ．3．B ．4．C ．5．直线x =2；（2，7）；减小；增大；2；大；7． 6．解：设此二次函数的解析式为． 将点A ，点B 的坐标代入解析式，得解得 所以此二次函数的解析式为． 设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 六、课堂小结1．二次函数y =a (x -h )2的性质二次函数y =a (x -h )2的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x =h ，顶点坐标是（h ，0）．（1）当a ＞0时，抛物线y =a (x -h )2的开口向上，在对称轴的左侧（当x ＜h 时），图象自左向右下降，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧（当x ＞h 时），图象自左向右上升，y 随x 的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，此时，函数y 取得最小值，即当x =h 时，y 有最小值0．（2）当a ＜0时，抛物线y =a (x -h )2的开口向下，在对称轴的左侧（当x ＜h 时），图象自左向右上升，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧（当x ＞h 时），图象自左向右下降，y 随x 的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，此时，函数y 取得最大值，即当x =h 时，y 21(2)73y x =--+32x =23()2y a x k =-+9442504a k a k ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，．1254a k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，．232524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭有最大值0．2．二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象形状相同，位置不同．二次函数y=a(x-h)2的图象可由二次函数y=ax2的图象经过左右平移得到．当h＞0时，二次函数y=a(x-h)2的图象可看成是将二次函数y=ax2的图象向右平移|h|个单位长度得到的；当h＜0时，二次函数y=a(x-h)2的图象可看成是将二次函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位长度得到的．3．二次函数y=a(x-h)2+k的性质二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h，顶点坐标是(h，k)．（1）当a＞0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向上，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，此时，函数y取得最小值，即当x=h时，y 有最小值k．（2）当a＜0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向下，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，此时，函数y取得最大值，即当x=h时，y 有最大值k．4．二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象形状相同，位置不同．把二次函数y=ax2的图象向上（下）向左（右）平移，可以得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象．平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计2.2二次函数的图象与性质（3）1．二次函数y=a(x-h)2的图象与性质2．二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质。