第8讲函数试卷(二)(答案)

高一数学综合练习(二)一、填空题：1.、已知幂函数)(x f 的图象过)22,2(,则=)4(f21 .2．设函数f ( x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f ( x )，则g ( x )的表达式是 12)(-=x x g 3.、令6log,7.0,67.067.0===c b a ，则三个数c b a ,,的大小顺序是 a b c <<4. 已知)(x f 是R 上的偶函数，当0>x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)15(-f = 4 .5．奇函数()[3,7]f x 在区间上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为1，则=+-)6(2)3(f f 15 6．在正实数集上定义一种运算“*”：当b a ≥时，3b b a =* ；当b a <时，2b b a =*；根据这个定义，满足273=*x 的x 的值为 3、7．已知函数b ax x f -=)(的零点是2，则函数2)(bx ax x g +=的零点是 0、21-;8．函数)10(1)1(log )(≠>+-=a a x x f a 且恒过定点 )1,2( .已知函数9．若函数)(x f 在()2,1-上是增函数，且满足)4()(x f x f -=，则)0(f ，)25(f ，)3(f 的从小到大顺序．．．．．．是 )5.2(),3(),0(f f f10．已知关于．．x ．的方程．．．02lg 2lg 2=-++a x a x 的两根均大于1，则实数a 的取值范围是 (]2,-∞-11．12、已知}{,3+≤≤=a x a x A }{51≥-≤=x x x B 或若B B A = ，则实数a 的范围 54≥-≤a a 或 12．已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间()2 ,1上是增函数，则实数a 的取值范围是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2113． 如图，已知奇函数)(x f且0)2(=f 则不等式0)(>x f 14．若函数()1 )1()(2>+=-a m a x f x的取值范围是15．是否存在实数a ，使得()(log a f x ax =-在区间[]2,4上是增函数？若存在，求出a 的取值范围。

（答：1a >） 16.已知：=-+-+-++++=)41()31()21()41()31()21(,121)(f f f f f f x f x则 317已知集合M={1, 1+m, 1+2m} ,N={1 ,n, 2n },()R n m ∈,,若M=N ，试求集合M ． 解：由于M=N 1+m=n 或 1+m=2n 1+2m=2n (1) 1+2m=n (2) 解（1）得 m=0, n= 1 或 21,43-=-=n m 解（2）得 m=0, n= 1经检验 m=0, n=1，集合中的元素不满足互异性，21,43-=-=n m 满足要求 所以M={1，21,41-}18.已知x 满足不等式06log7)(log222≤++x x ，求函数=)(x f )2(log)4(log42x x ∙的值域． 解：由题意可知： 1log62-≤≤-x ∴[]2log3log21)(222++=x x x f 8123log2122-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x由 1log62-≤≤-x 得 48123log022≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤x 得10)(81≤≤-x f 所以)(x f 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-10,81二、解答题19．若关于x 的方程01)32(2=+-+x t tx 的两个实根βα,满足210<<<<βα，求实数t 的取值范围．解：设1)32()(2+-+=x t tx x f 210<<<<βα ∴)2()1(0)1()0(<<f f f f 解得:2523<<t ∴符合题意实数t 的取值范围⎪⎭⎫⎝⎛25,23． 20.已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中)10(≠>a a 且，设()()()h x f x g x =-. （1）求函数()h x 的定义域，判断()h x 的奇偶性，并说明理由； （2）若(3)2f =，求使()0h x <成立的x 的集合.解：（1）由题意，得 101101x x x x +>⇒>-⎧⎨->⇒<⎩ 解得11x -<<故()h x 的定义域为(1,1)-.()h x 的定义域为(1,1)-，关于数0对称，且()()()log (1)log (1)()a a h x f x g x x x h x -=---=-++=-故()h x 为奇函数. （2）由(3)2f =得2a = 22221()log (1)log (1)log ()0log 11x h x x x x+=+--=<=-即1101111xx x x x +⎧<⇒<>⎪-⎨⎪-<<⎩或，解得10x -<<∴所求的x 的集合为(1,0)- 21．已知函数()lg(42)x f x k =-⋅，（其中k 实数） （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若)(x f 在(],2-∞上有意义，试求实数k 的取值范围．解：(Ⅰ)由题意可知： 024>-x k 即解不等式: 42<x k (1)当R , 0不等式的解为≤k (2)当kk 4log x , 02<>不等式的解为所以当0≤k )(x f 的定义域为R ；当)4log,)( 02kx f k ∞->的定义域为（（Ⅱ）由题意可知: 对任意(]2,∞-∈x 不等式024>-x k 恒成立 得 xk 24<又 (]2,∞-∈x , xu 24=的最小值1. 所以符合题意的实数K 的范围是()1,∞- 22．已知函数()3xf x =，(2)81f a +=，1()1x xa g x a-=+．（1）求)(x g 的解析式并判别)(x g 的奇偶性； （2）用定义证明：函数)(x g 在R 上是单调递减函数． （3）求函数)(x g 的值域． 解：（1）由2(2)381a f a ++==，得24a +=，故2a =，所以12()12x xg x -=+，又1221()()1221x xxxg x f x -----===-++且x ∈R ，故)(x g 是奇函数。

（2）设12,x x ∈R ，且12x x <，12()()f x f x -=111212x x -+-221212x x -+21122(22)(12)(12)x xxx-=++12x x <，∴1222x x <，又1220,20x x>>，所以12()()0f x f x ->即12()()f x f x >，∴函数)(x g 在R 上是单调递减函数。

（3）122(12)2()1121212x xxxxg x --+===-+++12(0,)21(1,)(0,1)21xxx∈+∞⇒+∈+∞⇒∈+⇒221x+2(0,2)1(1,1)12x∈⇒-∈-+所以函数)(x g 的值域为（1,1-）。

23．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，并趋于稳定．分析结果和实验表明，用)(x f 表示学生掌握和接受的能力（)(x f 值越大，表示接受能力越强）x 表示提出和讲述概念的时间（单位：分）可有以下公式 ()100 446.21.02≤<++-x x x=)(x f 60 )1510(≤<x()2515 5103≤<+-x x 30 ()4025≤<x（Ⅰ）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ （Ⅱ）试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小；（Ⅲ）若一个数学难题，需要56的接受能力以及12分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？解：(Ⅰ)由题意可知：()9.60131.0)( 1002+--=≤<x x f x 所以当X=10时, )(x f 的最大值是60,又1510≤<x , )(x f =60 所以开讲后10分钟，学生的接受能力最强,并能维持5分钟. (Ⅱ）由题意可知:30)35(,45)20(,5.54)5(===f f f所以开讲后5分钟、20分钟、35分钟的学生的接受能力从大小依次是 开讲后5分钟、20分钟、35分钟的接受能力；（Ⅲ）由题意可知： 当 ()09.60131.0)( 1002≥+--=≤<x x f x 解得:105≤≤x当1510≤<x )(x f =60>56,满足要求; 当2515≤<x ,561053≥+-x 解得:311615≤<x 因此接受能力56及以上的时间是3110分钟小于12分钟.所以老师不能在所需的接受能力和时间状态下讲述完这个难题 . 24．已知函数a x xx f -+=221)( （常数+∈R a ）（Ⅰ）判断)(x f 的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）试研究函数)(x f 在定义域内的单调性，并利用单调性的定义给出证明．解：（1）定义域为：),0()0,(+∞-∞),(1)()(1)(2222x f a x xa x x x f =-+=--+-=- )(x f ∴是偶函数，（2）⎪⎩⎪⎨⎧<<-+-≥-≤-+=)(1)(1)(2222a x a a x xa x a x a x x x f 或)(+∈R a1若a x xx f a x a x -+=≥-≤221)(,则或，)11)((11)()(,22212122222221212121--=--+=-<≤x x x x x x x x x f x f x x a 设…5分,0112122222212222121>-≤⇒≥⇒<≤x x axx a x x x x a 且由当1112>⇒<a a时，)(),()(21x f x f x f ∴<在),[+∞a 上是增函数；又)(x f 是偶函数，)(x f 在],(a --∞上是减函数。

当10112≤<⇒≥a a时，121≤<≤x x a 时,),()(11212221x f x f xx >⇒>211x x <≤时,).()(11212221x f x f x x <⇒<)(x f ∴在]1,[a 上是减函数，在),1[+∞上是增函数；又)(x f 是偶函数，在],1[a --上是增函数，在]1,(--∞上是减函数.2若,1)(),0(22a x xx f x a x a +-=≠≤≤-则0)11)((11)()(,022212122222221212121>+-=+--=-≤<<x x x x x x x x x f x f a x x 设]0)(a x f ，在（∴上是减函数，又(x f 是偶函数，于是)(x f 在)0,[a -上是增函数。