22.1.4_二次函数y=ax2+bx+c_的图象和性质_-_副本
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数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质第一课时课件
y ax2 bx c
第一课时
1.二次函数 y ax2的图像和性质：
2.二次函数y ax2 k 的图像和性质： 3.抛物线 y a(x h)2的图像和性质： 4.抛物线y a(x h)2 k的图像和性质： 5.抛物线 y ax2 k 、y a(x h)2 、y a(x h)2 k 与抛物线 y ax2 有怎样的关系？
象的最高点，也就是说，当l取顶点的横
坐标时，这个函数有最大值．由公式可求
出顶点的横坐标．
5 10 15 20 25 30 l
S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 )
因此，当
l
b 2a
30
2 1
15
时，
S有最大值
4ac ，b2 4a
302
4 1
225
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大 （S＝225m2）
在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.
y
当x<6时，y随x的增大而减小； 10 当x>6时，y随x的增大而增大.
5
y 1 x2 6x 2
O
x5 6 10 x
一般地，我们可以用配方求抛物线y=ax2+bx+c
(a≠0)的顶点与对称轴
y ax2 bx c
a x
b
2
4ac
b2
2a 4a
因此，抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是
顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
x b 2a
这是确定抛物线顶 点与对称轴的公式
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
配方
y
a
第一课时
1.二次函数 y ax2的图像和性质：
2.二次函数y ax2 k 的图像和性质： 3.抛物线 y a(x h)2的图像和性质： 4.抛物线y a(x h)2 k的图像和性质： 5.抛物线 y ax2 k 、y a(x h)2 、y a(x h)2 k 与抛物线 y ax2 有怎样的关系？
象的最高点，也就是说，当l取顶点的横
坐标时，这个函数有最大值．由公式可求
出顶点的横坐标．
5 10 15 20 25 30 l
S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 )
因此，当
l
b 2a
30
2 1
15
时，
S有最大值
4ac ，b2 4a
302
4 1
225
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大 （S＝225m2）
在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.
y
当x<6时，y随x的增大而减小； 10 当x>6时，y随x的增大而增大.
5
y 1 x2 6x 2
O
x5 6 10 x
一般地，我们可以用配方求抛物线y=ax2+bx+c
(a≠0)的顶点与对称轴
y ax2 bx c
a x
b
2
4ac
b2
2a 4a
因此，抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是
顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
x b 2a
这是确定抛物线顶 点与对称轴的公式
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
配方
y
a
人教版数学九年级上册教案22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
人教版数学九年级上册教案22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》一. 教材分析《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质》这一节是人教版数学九年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数图象的特点，理解二次函数的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的定义和一般形式，对二次函数有了初步的认识。
但是，学生对二次函数的图象和性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。
同时，学生可能对一些概念和性质的理解还不够深入，需要通过教师的引导和学生的自主探索来加深理解。
三. 教学目标1.了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和掌握。
2.运用二次函数的性质解决实际问题的能力的培养。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题引导学生思考和探索。
2.采用案例分析的教学方法，通过具体的例子来讲解和展示二次函数的性质。
3.采用小组合作的学习方式，让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例，用于讲解和展示二次函数的性质。
2.准备教学课件和板书，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“二次函数的图象和性质有哪些？”引导学生思考和探索。
2.呈现（10分钟）通过教学课件和板书，呈现二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
同时，通过具体的例子来讲解和展示这些性质。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析一些具体的二次函数图象，来识别和判断其性质。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1-������ + ������ = -1, 1 + ������ + ������ = 3,
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
利用待定系数法求二次函数的解析式时,如果已知三个条 件,通常列三元一次方程组求解,如果a,b,c中其中一个已知, 则列二元一次方程组求解.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
分析:(1)将A点坐标代入抛物线解析式,求出a的值,即可确定出解 析式; (2)在抛物线解析式中令x=0求出y的值,即OC的长,根据对称轴求 出CD的长,根据抛物线的对称性确定出OB的长,利用梯形面积公式 即可求出梯形COBD的面积. 解:(1)将A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4中,得0=4a+4,解得a=-1,则抛物 线解析式为y=-(x-1)2+4. (2)对于抛物线解析式,令x=0,得y=3,即OC=3, ∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴为直线x=1,∴CD=1. ∵A(-1,0), ∴B(3,0),即OB=3, 1 则S梯形COBD= (1+3)×3=6.
2
������ ������
������ − 4������+c
即 y=ax2+bx+c(一般式)可以配方成 y=a
������ 2 ������ + 2������ 4������������-������ + 4������
2
(顶点式).
由以上可以得出:确定二次函数的顶点,可以先配方,配成顶点式 后,由顶点式 y=a(x-h)2+k,直接得出顶点为(h,k),也可以直接根据顶 点的公式得出顶点为
知识点一
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(第二课时)(课件)九年级数学上册(人教版)
C. y=(x-2)2-1
D. y= 1 (x-2)2-1 2
分层作业
3．一抛物线的形状、开口方向与抛物线 y= 1 x2-2x+3 相同，顶点为(-2，1)，则此抛物线的解析式为( )
2
A. y= 1 (x-2)2+1
2
B. y= 1 (x+2)2-1
2
C. y= 1 (x+2)2+1
2
D. y= 1 (x-2)2-1
分层作业
【拓展延伸作业】
6.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC. (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点 D 是抛物线的顶点，求△BCD 的面积.
分层作业
解：(1)：抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC， ∴OC=OB=3. ∴C(0.3), 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)，将 C(0，3)代入得， -3a=3. ∴a=-1, ∴抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3；
∴DE=4-2=2，
∴S△CDB= 1 DE·OB= 1 ×2×3=3
2
2
分层作业
7. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点(0，-1)和(2，7)
(1)求二次函数解析式及对称轴
(2)若点(-5，y1)(m，y2)是抛物线上不同的两个点，且 y1+y2=28，求 m 的值
解：把（0，-1)和(2，7)分别代入 y=x2+bx+c 可得： (2)把 x=-5 代入二次函数得：y1=14，
人教版数学九年级上册说课稿22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
人教版数学九年级上册说课稿22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》一. 教材分析人教版数学九年级上册第22章是关于二次函数的学习，而22.1.4《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质》是这一章的重要内容。
这部分教材主要通过分析二次函数的图象和性质，使学生能够理解和掌握二次函数的基本特征，以及如何运用这些特征解决实际问题。
教材通过详细的理论推导和丰富的例题，引导学生掌握二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等关键性质，并能够运用这些性质对二次函数进行分析和判断。
二. 学情分析在九年级的学生已经具备了一定的函数基础，他们已经学习了线性函数和一些非线性函数的知识，对函数的概念和性质有一定的理解。
但是，对于二次函数的图象和性质，他们可能还存在一些困惑和误解。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的认知基础，通过复习和引导，帮助他们巩固已有的知识，并建立起二次函数图象和性质的知识体系。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解二次函数的图象和性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、分析、归纳等方法，探索二次函数的图象和性质，培养他们的抽象思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生通过学习二次函数的图象和性质，增强对数学的兴趣和自信心，培养他们的探索精神和合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握二次函数的图象和性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.教学难点：学生对于二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，通过引导学生观察、分析、归纳等方法，探索二次函数的图象和性质。
同时，我将利用多媒体教学手段，展示二次函数的图象和性质，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数和二次函数的知识，引导学生进入对二次函数图象和性质的学习。
2.探究：学生分组讨论，观察和分析二次函数的图象，归纳出二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件 2024-2025学年人教版数学九上
【例 1】如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增
大而增大，则实数a的取值范围是( B )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C．a＞0
D．－1＜a＜2
知识讲解
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例 2】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象
面积．
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝
4
＝4，
1
A．(－3，－6)
B．(1，－4)
C．(1，－6)
D．(－3，－4)
再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为
y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，
此时二次函数图象的顶点为(1，－6).
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
项目
a
b
字母的符号
图象的特征
确的结论的序号是________；
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；
由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；
由抛物线的顶点在第四象限，得
b
2a
＞0，又a＞0，所以b＜0；
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
【例 4】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过
2
2
b
c
b
b
b
c
2
2
2
y ax bx c a x x a x x
a
大而增大，则实数a的取值范围是( B )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C．a＞0
D．－1＜a＜2
知识讲解
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例 2】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象
面积．
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝
4
＝4，
1
A．(－3，－6)
B．(1，－4)
C．(1，－6)
D．(－3，－4)
再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为
y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，
此时二次函数图象的顶点为(1，－6).
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
项目
a
b
字母的符号
图象的特征
确的结论的序号是________；
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；
由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；
由抛物线的顶点在第四象限，得
b
2a
＞0，又a＞0，所以b＜0；
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
【例 4】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过
2
2
b
c
b
b
b
c
2
2
2
y ax bx c a x x a x x
a
人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质②
当已知抛物线的顶点坐标或对称 轴和最值时，通常设函数的解析式为 项点式，然后代入另一点的坐标，解 关于a的一元一次方程
(a,x1,x2为 常数，a≠0)，其中是抛物 线与x轴两个交点的横坐标
当已知抛物线与x轴的两交点坐标 或一个交点的坐标和对称轴时,通常设 函数的解析式为交点式，然后代入另 一点的坐标,解关于a的一元一次方程
情景引入
请你回忆:确定一次函数的解析式需要函数图象上几 个点的坐标?这几个点需要满足什么条件? 请你猜想:确定二次函数的解析式需要几个点的坐标? 这几个点需要满足什么条件?
1
人教版九年级数学上册 第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质②
15
知识点二：根据 y=a(x -h)2+k(a≠0)求二次函数解析式
学以致用
1.二次函数 y=x²+px+q的最小值是4,且当 x=2时，y=5，则p,q
的值为（ ）.
A.p=-2，q=15
B.p=-2，q=5或 p=-6，q=13
C.p=-6，q=13
D.p=2，q=-5或 p=6，q=-13
对于二次函数，我们先探究下面问题.
5
知识点一：根据y= ax2 +bx+c(a≠0)求二次函数解析式
新知探究
(1)由几个点的坐标可以确定二次函数?这几个点 应满足什么条件? (2) 如果一个二次函数的图象经过(-1, 10)，(1, 4), (2, 7)三 点，能求出这个二次函数的解析式吗?如果能，求出这个 二次函数的解析式.
21
知识点三：根据 y=a(x - x1)(x- x2)(a≠0)求二次函数解析式
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21:13
?
已知直角三角形两条直角边的和 等于8，两条直角边各为多少时， 这个直角三角形的面积最大，最 大值是多少？
21:13
?
心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出 概念所用的时间x(分钟)之间满足函数关系： y=－0.1x2 +2.6x+43(0≤x≤30)，y值越大表示接受 能力越强. (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？ x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10 分钟时，学生的接受能力是多少？ 几分钟时，学生的接受能力最强？
1.抛物线y=-x2+mx-n的顶点坐标是 （2，-3），求m，n的值。
2.不画图象，说明抛物线y=x2+4x+5可由抛物线y=-x2经过 怎样的平移得到？
3.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如 图所示，试求出a,b,c的值。 y 3 0 2
21:13
x
课后拓展 1.如图，隧道横截面的下部是矩形， 上部是半圆，周长为16米。
1 2 x 6 x 21 2
的图象？
y = a x - h + k
2
这样的函数，容易确定
y = 1 x 2 - 6x + 21 2
相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函数 也能化成这样的形式吗？
1 2 1 2 x 6 3 x 6 x 21 配方可得 2 2 1 由此可知，抛物线 y x 2 6 x 21 的顶点是（6，3），对称轴 y
b ， 2a b 4ac b 2 顶点坐标是： 2a , 4a 对称轴为：直线x
的顶点是低（高）点，所以
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
一般地，因为抛物线y ax 2 bx c b 当x 时，二次函数y ax 2 bx c 2a 4ac b 2 有最小（大）值 4a
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质
21:13
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2 形状 位置 的 相同， 不同
两条抛物线可通过平移互相得到，平 移的规则： 上加下减，左加右减
21:13
平左 移右
y = a( x – h )2 + k 移平 下 上 y = a(x – h )2 y = ax2
2
b 4ac b 2 a x . 2 a 4 a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 抛物线
顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
b 4ac b 2 2a , 4a b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x
b 2a
直线 x
b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
y＝
1 2
x2－6x+21
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以 利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
y ax2 bx c 2 b a x x c a
2 2 2 b b b a x x c a 2a 2a 2 b b2 a x c 2 2a 4a
⑴求截面积S（米2）关于底部宽x （米）的函数解析式，及自变量x 的取值范围？
⑵试问：当底部宽x为几米时，隧道 的截面积S最大（结果精确到0.01 米）？
21:13
21:13
5.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
21:13
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下 列各式中是正数的有（ ） ①a ② b ③ c ④ a+b+c ⑤ a-b+c y ⑥ 4a+b ⑦ 2a+b A.5个 B.4个 . 1. . 2 C.3个 D.2个 -1
?
2、当m=_____时，抛物线y=mx2 +2(m+2)x+m+3的 对称轴是y轴； 当m=_____时，图象与y轴交点的纵坐标是1； 当m=_____时，函数的最小值是－2. 3、已知一次函数y=－2x+c与二次函数y=ax2 +bx－4 的图象都经过点A(1，－1)，二次函数的对称轴直线 是x=－1，请求出一次函数和二次函数的表达式. 4.写出一个二次函数的解析式，使它的顶点在第二象限 且开口向下（要求用一般式表示）
例1：利用公式法求下列抛物线的对 称轴和顶点坐标并指出它的最值。 (1) y=x2+4x-1
(2) y=-0.5x2+2x-1
21:13
1、利用公式法求出下列抛物线对称轴及顶点坐标，并 说出它的开口方向及最值？
（1）y=3x2+2x
（3）y=-2x2+8x-8
（2）y=-x2-2x
1 2 4 y x 4 x 3 2
2
是直线 x = 6 接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
x
y
· · ·
3
4
5
6
7
8
9
· · · · · ·
1 2 x 6 x 21 · · · 2
y 10 5 O
7.5
5 3.5
y
3 1
2
3.5
1 2
5 7.5
x 2 6 x 21
怎样平移抛物线
y＝ x2得到抛
5 10 x
物线
y
x
B
21:13
练一练：
7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0； ④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ） y A、2个 B、3个
C、4个
D、5个 -1 o
1 x
16
例2.用总长为60m的篱笆墙围成 矩形场地，矩形面积S随矩形一 边长L的变化而变化，当L多少时， 场地的面积S最大？
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上 向下 向上
对称轴 -3, 5 ) 直线 x=-3 ( 顶点坐标 直线x=1 ( 1 , -2 )
直线x=3 直线x=2
( 3 , 7)
( 2 , -6 )
向下
1 2 能否说出二次函数 y x 6 x 21 2 图象的对称轴与顶点坐 标呢？
怎样画
我们知道，像
y
左右平移
y = ax2 + k 上下平移
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抛物线y=a(x-h)2+k的图像与性质： 1.当a﹥0时，开口 向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ， 2.对称轴是 直线X=h ； 3.顶点坐标是 (h,k) 。
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二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
?
已知直角三角形两条直角边的和 等于8，两条直角边各为多少时， 这个直角三角形的面积最大，最 大值是多少？
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?
心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出 概念所用的时间x(分钟)之间满足函数关系： y=－0.1x2 +2.6x+43(0≤x≤30)，y值越大表示接受 能力越强. (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？ x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10 分钟时，学生的接受能力是多少？ 几分钟时，学生的接受能力最强？
1.抛物线y=-x2+mx-n的顶点坐标是 （2，-3），求m，n的值。
2.不画图象，说明抛物线y=x2+4x+5可由抛物线y=-x2经过 怎样的平移得到？
3.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如 图所示，试求出a,b,c的值。 y 3 0 2
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x
课后拓展 1.如图，隧道横截面的下部是矩形， 上部是半圆，周长为16米。
1 2 x 6 x 21 2
的图象？
y = a x - h + k
2
这样的函数，容易确定
y = 1 x 2 - 6x + 21 2
相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函数 也能化成这样的形式吗？
1 2 1 2 x 6 3 x 6 x 21 配方可得 2 2 1 由此可知，抛物线 y x 2 6 x 21 的顶点是（6，3），对称轴 y
b ， 2a b 4ac b 2 顶点坐标是： 2a , 4a 对称轴为：直线x
的顶点是低（高）点，所以
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
一般地，因为抛物线y ax 2 bx c b 当x 时，二次函数y ax 2 bx c 2a 4ac b 2 有最小（大）值 4a
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质
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一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2 形状 位置 的 相同， 不同
两条抛物线可通过平移互相得到，平 移的规则： 上加下减，左加右减
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平左 移右
y = a( x – h )2 + k 移平 下 上 y = a(x – h )2 y = ax2
2
b 4ac b 2 a x . 2 a 4 a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 抛物线
顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
b 4ac b 2 2a , 4a b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x
b 2a
直线 x
b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
y＝
1 2
x2－6x+21
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以 利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
y ax2 bx c 2 b a x x c a
2 2 2 b b b a x x c a 2a 2a 2 b b2 a x c 2 2a 4a
⑴求截面积S（米2）关于底部宽x （米）的函数解析式，及自变量x 的取值范围？
⑵试问：当底部宽x为几米时，隧道 的截面积S最大（结果精确到0.01 米）？
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5.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
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6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下 列各式中是正数的有（ ） ①a ② b ③ c ④ a+b+c ⑤ a-b+c y ⑥ 4a+b ⑦ 2a+b A.5个 B.4个 . 1. . 2 C.3个 D.2个 -1
?
2、当m=_____时，抛物线y=mx2 +2(m+2)x+m+3的 对称轴是y轴； 当m=_____时，图象与y轴交点的纵坐标是1； 当m=_____时，函数的最小值是－2. 3、已知一次函数y=－2x+c与二次函数y=ax2 +bx－4 的图象都经过点A(1，－1)，二次函数的对称轴直线 是x=－1，请求出一次函数和二次函数的表达式. 4.写出一个二次函数的解析式，使它的顶点在第二象限 且开口向下（要求用一般式表示）
例1：利用公式法求下列抛物线的对 称轴和顶点坐标并指出它的最值。 (1) y=x2+4x-1
(2) y=-0.5x2+2x-1
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1、利用公式法求出下列抛物线对称轴及顶点坐标，并 说出它的开口方向及最值？
（1）y=3x2+2x
（3）y=-2x2+8x-8
（2）y=-x2-2x
1 2 4 y x 4 x 3 2
2
是直线 x = 6 接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
x
y
· · ·
3
4
5
6
7
8
9
· · · · · ·
1 2 x 6 x 21 · · · 2
y 10 5 O
7.5
5 3.5
y
3 1
2
3.5
1 2
5 7.5
x 2 6 x 21
怎样平移抛物线
y＝ x2得到抛
5 10 x
物线
y
x
B
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练一练：
7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0； ④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ） y A、2个 B、3个
C、4个
D、5个 -1 o
1 x
16
例2.用总长为60m的篱笆墙围成 矩形场地，矩形面积S随矩形一 边长L的变化而变化，当L多少时， 场地的面积S最大？
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上 向下 向上
对称轴 -3, 5 ) 直线 x=-3 ( 顶点坐标 直线x=1 ( 1 , -2 )
直线x=3 直线x=2
( 3 , 7)
( 2 , -6 )
向下
1 2 能否说出二次函数 y x 6 x 21 2 图象的对称轴与顶点坐 标呢？
怎样画
我们知道，像
y
左右平移
y = ax2 + k 上下平移
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抛物线y=a(x-h)2+k的图像与性质： 1.当a﹥0时，开口 向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ， 2.对称轴是 直线X=h ； 3.顶点坐标是 (h,k) 。
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二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6