大学物理上5-2

有许多现象都可以 用动量矩守恒来说明. 用动量矩守恒来说明 花样滑冰 跳水运动员跳水
自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
关于系统守恒的讨论 子细 弹绳 击质
圆 锥 摆
o
v θ T
例题2 如图所示，滑轮转动惯量为0.01kgm2，半径为 半径为7cm， 例题 如图所示，滑轮转动惯量为 ， 物体质量为5kg，由一绳与倔强系数 =200N/m的弹簧相连，若 的弹簧相连， 物体质量为 ，由一绳与倔强系数k 的弹簧相连 绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计， 绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求：(1)当 当 绳拉直，弹簧无伸长时，使物体由静止而下落的最大距离； 绳拉直，弹簧无伸长时，使物体由静止而下落的最大距离；(2) 物体速度达到最大值的位置及最大速率。 物体速度达到最大值的位置及最大速率。 设物体下落最大距离为h， 解：(1)设物体下落最大距离为 ，开始时物体所在位置为 设物体下落最大距离为 重力势能零点，则根据机械能守恒： 重力势能零点，则根据机械能守恒： k T2 1 2mg 0 = kh 2 mgh h= = 0.49 m T 2 1 k
r r P = F v
四. 转动动能定理 —— 力矩功的效果
对于一有限过程
= Ek
合外力矩对绕定轴转动刚体所作的功等于刚体转 动动能的增量
1 1 2 2 A = J ω2 J ω1 2 2
1 2 1 2 A = mv2 mv1 2 2
说明： 说明： 力的空间累积效应 力矩的空间累积效应
力的功,动能,动能定理. 力的功,动能,动能定理. 力矩的功,转动动能,动能定理. 力矩的功,转动动能,动能定理.
说明
(1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因 (2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果
3、质点的动矩量守恒定律 、 r r t2 r ∫t1 M dt = L2 L1 = 0 r r r 质点的动量矩守恒。 0 L = r × mv = 常矢量 → 质点的动量矩守恒。 质点的动量矩守恒定律：当质点所受对参考点 的 质点的动量矩守恒定律：当质点所受对参考点O的合 力矩为零时 质点对该参考点 为零时， 该参考点O的动量矩为一恒矢量 为一恒矢量。 力矩为零时，质点对该参考点 的动量矩为一恒矢量。 注意
l dA = mg sin θ dθ 2 θ l l A = ∫ mg sin θ dθ = mg (1 cosθ m )
m
l 重力矩为 mg sin θ . 2
N
o
θ
θm
c
mg
0
1 把h = l (1 cosθ m )代入上式得A = mgh 2 由转动动能定理得
2 1 1 1 v0 2 mgh = 0 Jω0 = J 2 2 2 2 l
讨论 守恒条件：M＝0 守恒条件：
J 不变 ω不变 不变, 不变. J 减小 ω增大 J 增大 ω减小 减小, 增大; 增大, 减小.
内力矩不改变系统的角动量. 内力矩不改变系统的角动量
Q M in >> M ex ∴ L ≈ 常量 冲击等问题中 在冲击等问题中
非刚体定轴转动的动量矩定理
∫
t2
t1
M dt = L2 L1 = J 2ω 2 J 1ω 1
l 1 l 2 2 mv0 = ml + m( ) ω 4 12 4
12 v 0 ω= 7 l
12 v 0 ω= 7 l 由角动量定理
d L d ( Jω ) dJ = =ω M = dt dt dt
即 d 1 2 dr 2 mgr cosθ = ω ( ml + mr ) = 2mrω dt 12 dt 考虑到 θ = ω t
功的定义
ω
O
dA = Mdθ
力矩作功的微分形式
.
P
对一有限过程
( 积分形式 ） 若 M = C
讨论 (1) 合力矩的功 (2) 力矩的功就是力的功。 力矩的功就是力的功。 (3) 内力矩作功之和为零。 内力矩作功之和为零。
A=∫
三、力矩的功率
r2 r1
r r F dr
dA dθ =M = Mω P= dt dt
2
2
h
v0
2 v0 h= 3g
A
解得
五、刚体的机械能 刚体重力势能
刚体的机械能
质心的势能
M = M外 M重 ＋
∫θ（M ＋M ）dθ = E
外 重
θ
k
Ek 0
∫θ M
0
θ
0
重
dθ = (Ep Ep0 )
刚体的机械能守恒
M外 =0 →
推广：对含有刚体和质点复杂系统，若外力不做功， 推广：对含有刚体和质点复杂系统，若外力不做功，且内力都 是保守力，则系统机械能守恒。 是保守力，则系统机械能守恒。
(2) 加速度为零时速度最大，设这时物体的速率为v, 下落的距离为x, 则 T1 = mg , T2 = kx , 且 T1 = T2。 mg mg = kx x= = 0.245 m k
1 2 1 v 2 1 2 0 = kx + J ( ) + mv mgx 2 2 R 2
m
根据机械能守恒 :
的行星， 例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星， 以速度v 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度 0发射一 的仪器。 质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面 角及着陆滑行的初速度多大？ 求 θ角及着陆滑行的初速度多大？ 角及着陆滑行的初速度多大 引力场（有心力） 解 引力场（有心力） 系统的机械能守恒 质点的动量矩守恒
（动量矩定理积分形式） 动量矩定理积分形式） 积分形式
转轴给定时,作用于刚体的冲量矩等于角动量的增量。 转轴给定时,作用于刚体的冲量矩等于角动量的增量。 刚体的冲量矩等于角动量的增量
2、刚体定轴转动的动量矩守恒定律 、
→动量矩守恒定律 当 M = 0 时, L = Jω = 恒量 →动量矩守恒定律
(2) 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点 的动量 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 参考点 矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量 轴的动量矩 矩也称为质点对过 垂直于运动平面的轴的动量矩。 (3) 质点对某点的动量矩在通过该 点的任意轴上的投影就等于质 点对该轴的动量矩。 点对该轴的动量矩。 一质点m，速度为v， 例 一质点 ，速度为 ，如图 所示， 所示，A、B、C 分别为三 个参考点,此时 此时m 个参考点 此时 相对三个 点的距离分别为d 点的距离分别为 1 、d2 、 d3 S
v=
2mgx kx 2 = 1.3m/s 2 J R +m
5.4 动量矩和动量矩守恒定律
角动量)定理和动量矩守恒定律 一. 质点动量矩 (角动量 定理和动量矩守恒定律 角动量 1. 质点的动量矩 对O点) 质点的动量矩(对 点
其大小
S
O
惯性参照系
特例： 特例：质点作圆周运动 说明
(1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选 质点的动量矩与质点的动量及位矢( 位矢 择)有关
二、刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律 1、刚体定轴转动的动量矩 、 刚体上任一质点对 Z 轴的动 量矩都具有相同的方向
LZ = ∑miviri = ∑miri ω = JZω
2
O
i
i
所有质元的动量矩之和) 所有质元的动量矩之和 LZ = JZω (所有质元的动量矩之和
由转动定律
动量矩定理 微分形式
r r 1) M 和L 必须是相对于同一参考点的
2)质点所受合力不为零，但只要该力对参考点的力 2)质点所受合力不为零，但只要该力对参考点的力 质点所受合力不为零 矩为零，质点对该参考点的角动量就守恒 守恒。 矩为零，质点对该参考点的角动量就守恒。 有心力相对于力心的力矩恒为零， 3) 有心力相对于力心的力矩恒为零，因此在有 心力作用下的质点对力心的角动量都是守恒的。 心力作用下的质点对力心的角动量都是守恒的。
例题1 质量为m 的均匀细长杆O 例题 一长为 l ，质量为 的均匀细长杆 A ，可绕通过其一端 的水平轴在铅垂面内自由摆动， 点O的水平轴在铅垂面内自由摆动，已知另一端点 过最低点时 的水平轴在铅垂面内自由摆动 已知另一端点A过最低点时 的速率为v 杆对通过端点O而垂直于杆长的轴的转动惯量 的速率为 0，杆对通过端点 而垂直于杆长的轴的转动惯量 J=(1/3)ml2 ，若空气阻力及轴上的摩擦力都可以忽略不计，求杆 若空气阻力及轴上的摩擦力都可以忽略不计， 摆动时A点升高的最大高度 点升高的最大高度。 摆动时 点升高的最大高度。 作用于杆的力有重力及轴对杆的支承力N， 解：作用于杆的力有重力及轴对杆的支承力 ，且N 过o点。 点
A
O
A d1
B
m
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩 解 B
d2
θ
d3 C
2. 质点的动量矩定理
(质点动量矩定理的微分形式 质点动量矩定理的微分形式) 质点动量矩定理的微分形式 (质点动量矩定理的积分形式 质点动量矩定理的积分形式) 质点动量矩定理的积分形式
质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩 质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量
'
m
v v
v p
o
v v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 动量不守恒； 动量守恒； 动量不守恒； 动量守恒； 动量不守恒； 动量不守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 机械能不 机械能不守恒 . 机械能守恒 . 机械能不守恒 . 机械能不
vM = (2 gh)1 2