古老师课件(第十三章.其他库存模型)

I(t)
t1j
t
Q
j
= t 1 j P j = tD
j
⇒ t1 j =
D
j
Pj
t
Dj 1 存贮量= 2 t ( P j − D j )t1 j = 2 P ( P j − D j )t j
=
第j种产品一个周期内的费用 =安装费+存贮费 1 Kj + C 1 j D j ( P j − D j )t 2 = 2 Pj 一个周期内n种产品的费用 n 1 [K j + C 1 j D j ( P j − D j )t 2 ] = ∑ 2P
由(2) 1
P−D P−D = D• (Ti 3 − Ti 2 )[ (Ti 3 − Ti 2 ) + (Ti 3 − Ti 2 )] 2 D D
1 2 P− D = ( P − D )(Ti 3 − Ti 2 ) [ + 1] 2 D
P( P − D) = (Ti 3 − Ti 2 ) 2 2D
由(3)P ( P −
C " (t ) = 2(∑ K j ) / t 3 > 0
j
所以，C(t)是凸函数
C ' (t ) = 0 得 t * = [∑ C1 j D j ( Pj − D j ) / Pj ] / 2∑ K j 令
j j
t =
* 1j
Dj Pj
t
* 1
Q = D jt
* j
*
二．n种产品同时订货（不允许缺货） 的共同周期
1 2 = 2 I p CDt
=
K 1 + (C1 D + I p CD ]t t 2
综上讨论有： 单位时间内的总费用C(t)
C1 (t )
M ≥ t ≥ t0
=
C 2 (t ) (t
C 3 (t )
t ≥ t0 , t > M
t0 > t > 0
求
min C (t )
0<t
五．计划期[0,H]内最优的生产次数n H：计划期长度（已知） K：一次生产装取费 C1 ：单位产品单位时间的库存费 C2 ：单位产品单位时间的缺货费 n：在[0,H]内生产的次数 P：生产率 D：需求率（P>D）
j =1 j
C(t)=单位时间内的总费用
= ( n K ) / t + ( n C D ( P − D ) / 2 P )t ∑ j ∑ 1j j j j j
j =1 j =1
C (t ) = −(∑ K j ) / t + ∑ C1 j D j ( Pj − D j ) / 2 Pj
' 2 j j
iH Ti = n
i=0,1,2,….n
Ti时刻库存为0，[Ti, Ti1)内不生产，在时刻到 达最大缺货量Q，Ti1时刻开始生产，到Ti2时刻 库存首次由负变为正，到Ti3时刻停止生产，库 存达到最大S，Ti+1时刻库存为0，完成了第i+1 个周期（如图）
S
Ti1 Ti Ti2 Ti3 Ti+1
(5)
库存量 =
∫
t1
t1
0
I (t )dt + ∫ I (t ) dt
t1
t2
P−D 1 −θt1 1 D 1 θ (t2 −t1 ) 1 (6) = (t1 + e − ) + ( e + t1 − t2 − ) D θ θ θ θ θ
变质量 = ∫ θI (t )dt + ∫ θI (t )dt = θ 库存量
Q
显然， Q = D(Ti1 − Ti ) = ( P − D)(Ti 2 − Ti1 )
S = (Ti3 − Ti 2 )(P − D) = D(Ti+1 − Ti3 )
P−D (Ti 2 − Ti1 ) 所以， Ti1 − Ti = D
P−D Ti +1 − Ti 3 = (Ti 3 − Ti 2 ) D
解：设Q0 = Dt 0 即Q0的库存能保证需求的时间 所以 Q0 ≥ Q ⇔ Dt ≥ Dt 0 ⇔ t ≥ t 0 所以 订货周期 t ≥ t 0 时，可获得信用期 t < t 0 时没有信用期 1. Q≥ Q0 ，即t≥ t0 ，此时可获得信用期M （1）M≥t 此时买方的库存不需要付贷款利息 C1(t)=单位时间的总费用 =[订购费+库存费-卖货获得的利息收入]/t
C：单位产品的生产成本 θ：单位产品单位时间的变质率( 0 ≤ θ < 1 ) 剩余参数同前
I(t)
t3 0 t1 t2 T
I (t ) = P − D − θI (t )
'
0 ≤ t ≤ t1
(1)
I ( 0) = 0
I ' (t ) = − D − θI (t )
I (t 2 ) = 0
解(1)得： I (t ) = 解(2)得：I (t ) =
=
D ) DH [ − (Ti 2 − Ti1 )] 2 nP 2D
第i个周期内总费用 =安装费+库存费+缺货费
C1 P( P − D) DH C2 P ( P − D ) 2 [ =K+ − (Ti 2 − Ti1 )] + (Ti 2 − Ti1 ) 2 2D nP 2D
由于需求率、生产率都为常数且每个周期长度 相等，所以 T i 2 − T i 1 = T 02 − T 01 所以，[0,H]内的总费用
t 2
t K 1 + C 1 Dt − [ I e PD ∫ ( M − u ) du ] / t = 0 t 2
2. 当Q<Q0，即t<t0，此时没有信用期 t 库存产品支付的贷款利息= I p ∫ CI (u )du 0 t = CI p ∫ ( Dt − Du)du
0
1 1 1 2 [ K + C1 Dt + I p CDt 2 ] C3(t)单位时间内的总费用= t 2 2
1 P−D = ( P − D)(1 + )(Ti 2 − Ti1 ) 2 2 D
P( P − D) = (Ti 2 − Ti1 ) 2 2D
1 一个周期内的库存量 = S (Ti +1 − Ti 2 ) 2
1 = D (Ti +1 − Ti 3 )[(Ti +1 − Ti 3 ) + (Ti 3 − Ti 2 )] 2
所以 C(t)是凸函数
C ' (t ) = 0 令
j
得 t = 2∑ K j / ∑ C1 j D j
j j
β j D j t ≤ β ，则 t * = t 若 ∑
j
若 ∑ β j D j t > β ，则 t = β / ∑ β j D j
*

j
四．有信用期的情况
设一种产品买价为C，卖价为P（≥C）,C1：贮 存费，K：订货手续费，D：需求率，不允许 缺货。 当订货量Q≥Q0（卖方指定的最小订货量）时， 卖方给买方一个信用期M，在信用期内不付款， 且卖得的货款可存银行获取利息，利率为Ie， 信用期后，没有卖出的物品买方需付贷款利息， 货款利率为Ip（>Ie） 当Q<Q0时，买方没有使用期
0 t1 t2
(7)
因为 (P − D)(T −t ) = D(t −t ) ⇒t −t = P − D (T −t ) 3 3 2 3 2 3
(8) (9)
D
D D (T − t 2 ) = P (T − t 3 ) ⇒ T − t 3 = (T − t 2 ) P 1 缺货量 = D(T − t 2 )(t 3 − t 2 ) 2 D P−D = (T − t 2 ) ⋅ (T − t 3 ) (由(8)) ( (8)) D 2
第十三章
第四节 其它库存模型
一.多种产品在 同一设备上生产时的最优 共同周期
设有n种产品在同一设备上生产、不允许缺货 Dj ：第j种产品的需求率 Pj ：第j种产品的生产率 Kj ：第j种产品的一次生产装配费 C1j：第j种产品的单位货物单位时间存贮费 Qj ：第j种产品的一个周期的生产量 t1j：第j种产品的一个周期的生产时间 t：共同周期的长度
（2）M<t M [0,M]卖得的货获得的利息 =∫0 I e DP( M − u )du t (M,t]库存货物需付的货款利息= ∫ CI (u ) I p du M t = ∫M CI p ( Dt − Du)du t = CI p D ∫ (t − u )du M C2(t)=单位时间内的总费用 t M 1 1 2 = [ K + C1 Dt + CDI p ∫M (t − u )du − I e PD ∫0 ( M − u )du ]
1 一个周期的缺货量 = Q (Ti 2 − Ti ) 2 1 = ( P − D )(Ti 2 − Ti1 )[(Ti 2 − Ti1 ) + (Ti1 − Ti )] 2
由(1) 1
P−D = (P − D)(Ti2 − Ti1 )[(Ti 2 − Ti1 ) + (Ti2 − Ti1 )] D 2
1 C(t)=单位时间的总费用= ∑ K j / t + ( ∑ C1 j D j )t 2 j j
仓库约束：
∑β
j
j
Q j = ∑ β j D jt ≤ β
j
令
1 C (t ) = −∑ K j / t + ∑ C1 j D j 2 j j
' 2
C " (t ) = 2∑ K j / t 3 > 0
......(1) ......(2)
一个周期内总的需求量=一个周期内总的生产量