第一章 数值分析
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数值分析第一张,引言
模型(móxíng)设计
算法设计
上机计算
问题的解
共四十七页
结束(jiéshù)
其中算法设计是数值(shùzí)分析课程的主要内容.
数值分析课程(kèchéng)研究常见的基本数学问题的数值解法.包含了
数值代数(线性方程组的解法、非线性方程的解法、矩阵求逆、 矩阵特征值计算等)、数值逼近、数值微分与数值积分、常微分方程 及偏微分方程的数值解法等.它的基本理论和研究方法建立在数学 理论基础之上，研究对象是数学问题，因此它是数学的分支之 一.
3! 5! 7!
(2n 1)!
( 1.1)
这是一个无穷级数，我们只能(zhī nénɡ)在适当的地方“截断 ”，使计算量不太大，而精度又能满足要求.
如计算 sin 0.5，取n=3 sin 0.5 0.5 0.53 0.55 0.57 0.479625
3! 5! 7!
共四十七页
结束
据泰勒余项公式(gōngshì)，它的误差应 为
• 1998年7月30-31日，美国DOE/FNS 共同联合组织召开了 关于“先进科学计算”的全国会议，会议强调科学模拟的重
要性，希望应用科学模拟来攻克复杂的科学与工程难题。
共四十七页
数值分析是计算数学的一个主要部分，方法解决科学研究或 工程技术问题，一般按如下途径进行：
实际 (shíjì)问
题
程序设计
R (1)9 9
9!
0,
4
R ( / 4)9 3.13 10 7
362880
( 1.2)
可见结果(jiē guǒ)是相当精确的.实际上结果(jiē guǒ)的六位数字都是 正确的.
2 算法常表现(biǎoxiàn)为一个连续过程的离 散化
数值分析
第一章 数值分析与科学计算引论1,1 数值分析的对象、作用与特点用计算机求解科学技术问题通常经历一下步骤： (1).根据实际问题建立数学模型。
(2).由数学模型给出数值计算方法。
(3).根据计算方法编制算法程序（数学软件）在计算机上算出结果。
数值分析的特点：第一， 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。
第二， 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要进行误差分析。
第三， 要有好的计算复杂性。
第四， 要有数值实验。
1.2 数值计算的误差1.数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。
2.用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。
3.设x 为准确值，*x 为x 的一个近似值，称x x e -=**为近似值的绝对误差，简称误差。
4.*e 的绝对值不超过*ε，*ε叫做近似值的误差限。
5.误差*e 与准确值x 得比值xx x x e -=**称为近似值*x 的相对误差，记作*r e 。
6.相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，记作*r ε，即***xrεε=。
7.若近似值*x 的误差限是某一单位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说*x 有n 位有效数字。
它可表示为)1010(10)1(121*---⨯++⨯+⨯±=n n m a a a x ，其中),,2,1(n i a i =是0到9中的一个数字，m a ,01≠为整数，且1*1021+-⨯≤-n m x x 。
8.设近似数*x 表示为)1010(10)1(121*---⨯++⨯+⨯±=n n m a a a x ，其中),,2,1(n i a i =是0到9中的一个数字，m a ,01≠为整数。
若*x 具有n 为有效数字，则其相对误差限)1(1*1021--⨯≤n r a ε；反之，若*x 的相对误差限)1(1*10221--⨯+≤n r a ε，则*x 至少具有n 为有效数字。
数值分析(第一章)修正版描述
2
例:为使 x 20 的近似值 x 的相对误差不超过 问查开方表时至少要取几位有效数字? * 解:设近似值 x 取n位有效数字可满足题设要求。 对于 x
1 103 2
*
20, 有x1 4
* r
1 1 1 n 1 n e 10 10 由定理,有 2 x1 8
1 1 1 n 3 10 10 令 8 解得 2
e* x* x * ，则称 * 为x* 近似x的一个绝对 差限，简称误差限。 误 . 实际计算中所要求的绝对误差，是指估计一个 尽可能小的绝对误差限。
*
2.相对误差及相对误差限
0) 的一个近似,称 定义 设 x 是准确值 x( *
*
为 x 近似x的一个绝对误差。在不引起混淆时，简称符 * * 号 er ( x )为 er * * * * 因 e e e x x
(1)有效数字
定义 :设x的近似值 x 有如下标准形式
*
x 10 0.x1x2 xn1 xp 9且x1 0, p n 其中m为整数, xi 0,1,2 ，
*
1 mn e x x 10 如果 2
* *
, * 则称 x 为的具有n位有效数字的近似数. 或称 x* 准确到 10m n 位,其中数字 x1 x2 xn ,分别 * x 被称为 的第一,第二,…第n个有效数字.
*
n
* i *
x * * f 'i ( x1 , x2 , i 1 y
n
* i *
x )er ( x )
* n
* i
绝对误差限和相对误差限满足传播不等式：
( y ) f 'i ( x , x ,
《数值分析》杨大地-答案(第一章)精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版数值分析-第1章1．填空题(1)为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为有限次的四则运算；(2)在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个相近数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值远小于分子的绝对值；(3)误差有四大来源,数值分析主要处理其中的截断误差和舍入误差；(4)有效数字越多,相对误差越小；2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字。
//见P4解题思路：假定x0是√a的一个近似值，x0>0，则ax0也是√a的一个近似值,且x0和ax0两个近似值必有一个大于√a，另一个小于√a，设想它们的平均值应为√a的更好的近似值，于是x k+1=1 2(x k+ax k)，k=0，1，2，……解：取x0=3，按算法x k+1=12(x k+ax k)，k=0，1，2，……迭代3次有：x1=12(x0+10x0)=(3+103)≈3.167x2=12(x1+10x1)=(3.167+103.167)≈3.162x3=12(x2+10x2)=(3.162+103.162)≈3.1623. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差。
//见P8解：已知f(x)=√x，设x∗是准确值，令x是x∗的一个近似值,则相对误差e(f(x))=f(x)−f(x∗)，由Taylor公式f(x∗)=f(x)0！ +f′(x)1！(x∗−x)+f"(x)2！(x∗−x)2+⋯+f n(x)n！(x∗−x)n+R n(x)其中，R n(x)=f n+1(ξ)(n+1)！(x∗−x)n+1将f(x∗)展开分析有：f(x∗)=√x2√x x∗−x)+⋯+f n(ξ)n！(x∗−x)n+R n(x)∴e(f(x))=f(x)−f(x∗)=− (2√x x∗−x)+⋯+f n(ξ)n！(x∗−x)n+R n(x))∴|e(f(x))|≤ ε(f(x))≤|2√x |ε(x)+⋯+|f n(ξ)n！εn(x)|+|R n(x)|忽略二阶以上无穷小，可得f(x)的误差限公式为ε(f(x))≈2√x(x)。
数值分析第一章
截断误差：
Rn(x)
f (n1)()xn1
(n1)!
舍入误差：机器字长有限
R 3 .14 0 1 .05 09 0 .数0 制转0 换、2 机器6 数.
二、误差、有效数字
定义1 绝对误差，简称误差： e*x* x,其x* 中 为准 x的 确 近 .值 似
误差限：*|e*|的一个上 . 界
数值分析
第1章 绪论
§1 数值分析的研究对象与特点
一、什么是数值分析
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数 学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现.
实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果
先看两个例子。 例1 求方程 x2=2sinx，在区间(1,2)内的根。 理论上可知显然找不出根的解析式，即无法求出
而 按 (2.相 1 )， m 对 3 ,误 n3 差绝 .2限对 相误 同 2 *差 ： 1 21限 05. r*0.005 /90..80000/00.0050.980
定理１设近似x*数 表示为
x*10m(a1a2101al 10(l1)) (2.)1
一般 Cp10认为是病 . 态 其他计算问题条 也件 要 ,考 数 考虑虑是否 . 病态
二、算法的数值稳定性
考虑初始数据误差在计算中的传播问题.
例 5计In算 e 10 1xnexdx,n0,1 , ,并估.计误
In 1 n n 1 I ,n 1 ,2 , , I01e1. (A) II0 n 1 0.6nI3n ,1 2,n11,2, . (B)II9n** 10.01n(168,In*4),n9,8, ( ,1I9. 1 2(110e110)0.06)8 定义一3个算法若输 误入 差 ,而数 在据 计有 算过 误差不,则 增称 长此算法是 的,否 数则 值是 稳不 定. 稳
数值分析第五版1-3章
* r
1 2a1
10(n1)
反之，若x*的相对误差限
* r
1 2(a1 1)10(n1) Nhomakorabea则x*至少具有n位有效数字.
2020/2/10
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
3 数值运算的误差估计
1. x1*与x2*为两近似数, 误差限为 ( x1* ), ( x2* ), 则 : ( x1* x2* ) ( x1* ) ( x2* ); ( x1* x2* ) x2* ( x1* ) x1* ( x2* );
3.多元函数误差限(多元函数Taylor展式) A f (x1,L , xn )
( A*)
n k 1
f ( xk
)*
(xk* ),
2020/2/10
r ( A*)
n k 1
( f )* xk
(xk* )
A*
7 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
1.3 误差定性分析及避免误差危害
概率分析法 向后误差分析法 区间分析法
1. 病态问题与条件数 病态问题 输入(微小的扰动)
输出(相对误差很大)
条件数 C p
对于f (x)， x有微小的扰动x x x*
er* ( f (x* ))
第1章 数值分析与科学计算引论
数值分析研究对象、作用与特点 数值计算的误差 误差定性分析与避免误差危害 数值计算中算法设计的技术 数学软件
数值分析第一章
(3) 有好的计算复杂性：
节省时间（时间复杂性）和计算机存储空间 （空间复杂性）
(4) 要有数值实验。
通过数值实验证明是有效的.
研究的内容 1 非线性方程与方程组的数值方法；(第2、5章)
2 线性方程组的数值方法；(第3、4章)
3 插值与数值逼近；(第6、7章) 4 数值积分与数值微分；(第8章) 5 微分方程的数值解法. (第9章) 6 特征值与特征向量的计算. (第10章)
f ( x ) tan( x ) 1 2 f ( x ) 1 tan ( x) 2 cos ( x ) x * f ( x*) 1 Cp x* tan( x*) f ( x*) tan( x*)
1 | x x | 10m n , 2
称 x 有n位有效数字.
例：按四舍五入原则将下列各数保留到5位有 效数字：187.9325, 0.03785551, 8.000033. 解：
187.9325 187.93 0.03785551 0.037856 8.000033 8.0000
1 10 ( n1) 2(a1 1)
(a1 1) 10
1 10m n 2
m 1
所以 x 至少具有n位有效数字.
定理１说明有效数字越多，相对误差限越小. 例 要使 20 的近似值的相对误差限小于0.1% 要取几位有效数字？ 解 假设取n位有效数字，由定理1可知
从而 即
x 0.5 x x 0.5,
70 0.5 x 70 0.5, x [69.5,70.5].
或
设某量的准确值为x, x 是x的近似值， 定义： * er 为 x 的相对误差，若 e 为 x 的绝对误差，
第一章数值分析
x* 0.a1a2 an 10m (a1 0)有n位
有效数字
r
1 10n1 2(a1 1)
e x x* er x x
x* 0.a1a2 an 10m (a1 0)有n位
1 10n1 2a1
绝对误差（限）
相对误差（限）
e
er r ,
16
4 有效数字与绝对误差、相对误差的关系：
(1)若某数x的近似值x*有n位有效数字，则
数值分析
主讲数值分析课题组 Chenning
1
数值分析课程简介
数值分析
数值分析主要包括计算方法和数值方法两 部分。它是研究科学与工程技术中数学问题的 数值解及其理论的一个重要的数学分支，它主 要涉及到代数、微积分、微分方程的数值解等 问题。
数值分析及计算的主要任务，就是研究适合
于在计算机上使用的的数值计算方法及与此相
第八章 非线性方程的数值解法
第九章 常微分方程的数值解法
3
数值分析
第一章 数值计算中的误差分析
本章的主要内容有：
（一） 误差的来源； （二） 绝对误差、相对误差和有效数值; （三） 数值计算中误差的传播； （四） 数值计算中应注意的问题。
4
第一节 误差与数值计算 的误差估计
第二节 选用和设计算法 适应遵循的原则
3.14 3.14 0.0016 1 102.
2 ( 3.1416 3.14 0.0016) 3.142 3.142 0.00041 1 103
2 ( 3.14241 3.142 0.00041)
10
例：问3.142,3.141,22/7分别作为 的近似值各具有几位有效数字？
数值分析
5
误差与数值计算误差估计 一 误差的来源与分类 二 误差与有效数字
有效数字
r
1 10n1 2(a1 1)
e x x* er x x
x* 0.a1a2 an 10m (a1 0)有n位
1 10n1 2a1
绝对误差（限）
相对误差（限）
e
er r ,
16
4 有效数字与绝对误差、相对误差的关系：
(1)若某数x的近似值x*有n位有效数字，则
数值分析
主讲数值分析课题组 Chenning
1
数值分析课程简介
数值分析
数值分析主要包括计算方法和数值方法两 部分。它是研究科学与工程技术中数学问题的 数值解及其理论的一个重要的数学分支，它主 要涉及到代数、微积分、微分方程的数值解等 问题。
数值分析及计算的主要任务，就是研究适合
于在计算机上使用的的数值计算方法及与此相
第八章 非线性方程的数值解法
第九章 常微分方程的数值解法
3
数值分析
第一章 数值计算中的误差分析
本章的主要内容有：
（一） 误差的来源； （二） 绝对误差、相对误差和有效数值; （三） 数值计算中误差的传播； （四） 数值计算中应注意的问题。
4
第一节 误差与数值计算 的误差估计
第二节 选用和设计算法 适应遵循的原则
3.14 3.14 0.0016 1 102.
2 ( 3.1416 3.14 0.0016) 3.142 3.142 0.00041 1 103
2 ( 3.14241 3.142 0.00041)
10
例：问3.142,3.141,22/7分别作为 的近似值各具有几位有效数字？
数值分析
5
误差与数值计算误差估计 一 误差的来源与分类 二 误差与有效数字
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x =0.1823 n =1 x = 0.0884 n =2 x =0.0581 n = 3 x = 0.0431 n = 4 x = 0.0346 n = 5 x = 0.0271 n =6 x = 0.0313 n =7 x =-0.0134 n = 8 x =0.1920 n = 9 x = -0.8487 n =1 x = 4.3436 n =11 x =-21.6268 n =12 x =108.2176 n =13 x =-541.0110 n =14 x =2.7051e+003 n =15 x = -1.3526e+004 n =16 x =6.7628e+004 n =17 x = -3.3814e+005 n =18 x =1.6907e+006 n =19 x =-8.4535e+006 n =20 x =4.2267e+007
1 x x 103 m n 4 7 3 2
*
15
有效数字与绝对误差、相对误差的关系
x* 0.a1a2 ( a1 0)有n位 an 10 m
1 x x 10 m n 2
*
有效数字
1 r 10 n1 2(a1 1)
x* 0.a1a2 ( a1 0)有n位
3.142 3.142 0.00041 10 3
( 3.14241 3.142 0.00041)
10
1 2
例：问3.142,3.141,22/7分别作为
的近似值各具有几位有效数字？
3.14159265 . x1 3.142, x2 3.141, x3 22 7. x1 3.14159
[注]:函数的和、差、积、商的部分误差公式为：
e( x1 x2 ) e( x1 ) e( x2 ),
x1 x2 er ( x1 x2 ) er ( x1 ) er ( x 2 ) x1 x2 x1 x2
e( x1x2 ) x2e( x1 ) x1e( x2 ) er ( x1x2 ) er ( x1 ) er ( x2 )
2
目
录
数值分析
第一章 数值计算中的误差分析
第二章 线性方程组的直接解法
第三章 线性方程组的迭代解法 第四章 矩阵特征值特征向量的计算 第五章 函数插值 第六章 曲线拟合
第七章 数值积分与数值微分
第八章 非线性方程的数值解法 第九章 常微分方程的数值解法
3
数值分析
第一章
数值计算中的误差分析
本章的主要内容有 ：
13
x 1
*
n ,
一般地，任何一个实数x经过四舍五入后得
式 到的近似值x* 都可以写成如下标准形
m 0. 10 1 2 n 1 m .m1 n
x* (1 101 2 102
n 10 n ) 10m
所以，当其绝对误差限 为 1 * xx 10 m n 2
按照误差的来源,误差可以分为:模型误差、观测误差
、截断误差、舍入误差四种. 1. 模型误差
用数值计算方法解决问题时,首先必须建立数学模型.由
于实际问题的复杂性,在对实际问题进行抽象与简化时,往往
为了抓住主要因素而忽略了一些次要因素,这样就会使得建 立起来的数学模型只是复杂客观现象的一种近似描述,它与 实际问题之间总会有一些误差.我们把这种数学模型与实际 问题之间出现的这种误差称为模型误差.
x
23
EX
I n x /( x 5)dx
n 0
1
(1’)
1 5I n 1 , n 1,2, ( A) (2’) n 11 I k 1 I k , k n, n 1,,1( B) 5k In
算法1：x=0.182322 for n=1:20 n x=-5*x+1/n end 算法2：x=0.00873016 for n=20:-1:1 n-1 x=-(1/5)*x+1/(5*n) end
数值分析
主讲数值分析课题组 Chenning
1
数值分析课程简介
数值分析
数值分析主要包括计算方法和数值方法两 部分。它是研究科学与工程技术中数学问题的 数值解及其理论的一个重要的数学分支，它主 要涉及到代数、微积分、微分方程的数值解等 问题。 数值分析及计算的主要任务，就是研究适合 于在计算机上使用的的数值计算方法及与此相 关的理论，如方法的收敛性、稳定性及误差分 析等。此外，还要根据计算机的特点，研究计 算时间最短、需要计算机内存最优等计算方法 问题。
e x x*
9
称为近似值x*的绝对误差限。 简称误差限或精度.
有了误差限和近似值，可得到准确值范围
x x x .
* *
易知，由四舍五入所得到的数，其误差限 一定不超过被保留数的最后数位上的半个单位
1 3.14 3.14 0.0016 102. 2 ( 3.1416 3.14 0.0016)
（一） 误差的来源；
（二） 绝对误差、相对误差和有效数值; （三） 数值计算中误差的传播；
（四） 数值计算中应注意的问题。
4
数值分析
第一节 误差与数值计算 的误差估计 第二节 选用和设计算法
适应遵循的原则
5
数值分析
误差与数值计算误差估计 一 误差的来源与分类 二 误差与有效数字
6
数值分析
一
误差的来源与分类
e x x* er x x
若存在正数 ,使得
e er * r , x
称为x*的相对误差限。
12
3
有效数字
如果近似值x的误差限是其某一位上的半个单 位, 且该位直到x的第一位非零数字一共有n位，则 称近似值x有n位 有效数字。
自左向右看，第一个非零数 误差不超过该数的半个单位。
* * * * y f ( x , x , , x 1 2 n) 相应的解为 * 设 f 在点 ( x*1 , x可微 ,, 当数据误差较小 x* n ) 2 , 时，解的绝对误差为
e( y* ) y y* f ( x1, x2 ,
n
, xn ) f ( x*1, x*2 ,
1 r ( x) 10 ( n 1) 1% 2 4
*
于是有
解之得 n 2, 故取n 3即可满足要求。
18
小结
模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 绝对误差 绝对误差限 相对误差 相对误差限 有效数字 有效数字与绝对误差、相对误差的关系
19
第二节
选用和设计算法适应 遵循的原则
即：和、差的误差限不超过各数的误差限的和，积、 商的相对误差限不超过各数的相对误差限的和。
n 的相对误差与x的相对误差之 例1、设 y ,求 xy
间的关系。 n 解：由公式知，er ( y) d (ln x ) nd(ln x) ner ( x) 则 的相对误差为 x相对误差的n倍。特别有 xn 相对误差为x相对误差的0.5倍。
7
2
观测误差
在数学模型中往往有一些观测或实验得来的物理
量,由于测量工具和测量手段的限制,它们与实际量大
小之间必然存在误差,这种误差称为观测误差.
3
截断误差
由实际问题建立起来的数学模型,在很多情 况下要得到 准确解是困难内的,通常要用数值方法求出它的近似解.这
种数学模型的精确解与由数值方法求出的近似解之间的
误差称为截断误差,由于截断误差是数值计算方法固有的, 故又称为方法误差.
8
4
舍入误差
用计算机进行数值计算时,由于计算机的数位有
限,计算时只能对超过位数的数字进行四舍五入,由此 产生的误差称为舍入误差.
二 .误差与有效数字
1 绝对误差与绝对误差限 设x*为准确值x的一个近似值，称
e=x-x*.
为近似值x*的绝对误差
数值计算过程中不会导致误差迅速增长的计算公式。
例 1 计算定积分
I n e 1 x n e x dx
0
1
(1.2.1)
25
解 算法一 利用分部积分法不难求得递推关系式:
I n 1 nIn1 (1.2.2) 1 I 0 1 e 0.6321
(2)若x的近似值x* 0.a1a2 an 10m (a1 0)有n位有效数字， 1 则 10 n 1为其相对误差限。反之, 若x*的相对误差限 r 满足 2a1
r
1 10 n 1 2(a1 1)
17
则x*至少具有n位有效数字。
EX:P13.5
解
20的近似值的首位非零数 字是1 4,
an 10 m
e xx er x x
*
1 10 n 1 2a1
绝对误差（限）
e
相对误差（限）
er r ,
16
4 有效数字与绝对误差、相对误差的关系：
(1)若某数x的近似值x*有n位有效数字，则 此近似值x*的绝对误差限为 1 * x x 10 m n 2
x = 0.0087 ans = 19 x = 0.0083 ans = 18 x = 0.0089 ans =17 x = 0.0093 ans = 16 x = 0.0099 ans = 15 x = 0.0105 24
一、选用数值稳定的计算公式，控制舍 入误差的传播
一个算法是否稳定是非常重要的，如果算法不 稳定，则数值的结果就会严重背离数学模型的真实 结果。在选择数值计算公式来进行计算时，应用在
一、选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的 传播 二、尽量简化计算步骤以减少计算次数 三、尽量避免两个相邻的数相减 四、小结