新编湖北省监利县第一中学高三数学第一轮复习导学案：第39课时 合情推理与演绎推理
湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 函数与方程思想学案
湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 函数与方程思想学案（1）知识目标：理解函数与方程思想的含义及蕴含的一般解题思路。
（2）能力目标：通过函数与方程思想的应用，使学生在收获知识的同时，培养灵活运用数学知识、思想和方法分析、解决问题的能力。
（3）情感目标：通过学习打通知识间的内在联系，提高思维的深刻性和思辨性；培养学生细心观引入：1.把长为12cm 的铁丝截成两段，分别围成两个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）222232.23.4.233.cm D cm C cm B cm A2.0,0.2223.2223.2223,.2223a b a b a b a b a b A a b a b B a b a b C a b a bD a b a b >>+=+>+=+<-=->-=-<设，则（）若，则若，则若则若，则3. (,)P x y 是椭圆2244x y +=上的一个动点，有定点)1,0(M ,则||PM 的最大值是 .4.在等比数列}{n a 中，若15,61524=-=-a a a a ，则公比q = .5.方程237xx +=的解所在区间是（ ）A.(-1.0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)[问题1]以上题目哪些用到了函数知识，哪些用到了方程知识？※ 纵深探究，共同提高函数思想,是用运动和变化的观点,分析数学中的数量关系,建立 ，方程思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立 ， 例1．的取值范围，求，且满足设ab b a ab R b a 3,++=∈[问题2]由此题你可以归纳出运用函数与方程思想解题的一般步骤吗？ 例 2. 已知函数)(ln 1)(R a x a x x f ∈--=，若0<a ,且对任意]1,0(,21∈x x ，都有|11|4|)()(|2121x x x f x f -≤-，求实数a 的取值范围.[问题3]你学到了哪些构造函数的方法？当堂演练1. 对于满足40≤≤p 的实数p ,使342-+>+p x px x 恒成立的x 的取值范围是2.方程x x m =-+1有解，则m 的最大值为（ ）(A) -1 (B)0 (C)1 (D)-2※ 课堂小结，共同提升※ 自我肯定，自我评价你对本节课的掌握情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差(必做题)1.函数1|log |2)(5.0-=x x f x 的零点个数为( )A.1B.2C.3D.42.对于实数a 和b ,定义运算⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=**ba ab b b a ab a b a ,,:""22,设)1()12()(-*-=x x x f ,且关于x 的方程)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ,则321x x x 的取值范围 是(选做题)设函数x m x x f ln )1()(2+-=,其中m 为常数(1) 若函数)(x f 有极值,求实数m 的取值范围(2) 当*∈≥N n n ,3时,证明不等式n n n n 1ln )1ln(12<-+<函数与方程思想是最重要的一种数学思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在高考中所占比重较大，综合知识多，题型多，应用技巧多。
湖北省监利县第一中学高三数学大一轮复习 3.4定积分与微积分基本定理导学案(无答案)
3.4定积分与微积分基本定理【考纲目标】1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义． 一、自主学习要点1：定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个区间[x i －1，x i ]上取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式＝ ，当n →＋∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上定积分，记作 ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝其定义体现求定积分的四个步骤：① ； ② ； ③ ； ④ ．要点2：定积分运算律(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝ ；(2)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝ ．要点3：微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么， 这个结论叫做微积分基本定理．要点4．定积分的几何和物理应用(1)①如图所示，由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )(不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0)及直线x ＝a ，x ＝b (a <b )围成图形的面积为：(2)作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )[v (t )≥0]在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝ .(3)如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功W ＝ .二、合作，探究，展示，点评 题型一 求定积分例1 计算以下定积分：思考1：求下列积分：题型二 求平面图形的面积例2 求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 和y ＝2x 围成的图形的面积．思考2：(1)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4(2)若定积分－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2题型三 定积分的物理应用例3 (1) A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站．电车行驶t s 后到达途中C点，这一段速度为1.2t m/s ，到C 点的速度达24 m/s ，从C 点到B 点站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 点恰好停车，试求： ① A ，C 间的距离；②B ，D 间的距离．(2)设力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且和x 轴正向相同，求力F (x )对质点M 所作的功．思考3：一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2三、知识小结1．熟练掌握常见函数的导数，切实掌握微积分基本定理，真正把微分和积分联系起来，会求定积分．2．特别注意定积分的几何意义，物理意义进而解决实际问题．自测题1．判断下列说法是否正确(打“√”或 “×”)．(1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t . ( )(2)若⎠⎛ab f (x )d x <0，则由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方( )2．(教材改编题)求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y3．(2014·陕西理)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －14．若⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________.5．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．。
湖北省监利县第一中学高三数学大一轮复习 平面向量的综合应用导学案(无答案)
专题研究 平面向量的综合应用题型一 向量与平面几何例1.已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则CP →·(BA →－BC →)的最大值为________．练习1.(1)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．(2)如图所示，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝ ( )A ．2 3 B.32 C.33D. 3题型二 向量与三角函数例2.已知在锐角△ABC 中，向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量． (1)求A 的大小； (2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos(C －3B2)取最大值时，B 的大小．练习2.在△ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，a ，b ，c 为对应的三条边，π3<C <π2，且b a －b ＝sin2Csin A －sin2C .(1)判断△ABC 的形状； (2)若|BA →＋BC →|＝2，求BA →·BC →的取值范围．题型三 向量与解析几何例3.已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最小值．练习3.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．8三角形的“心”的向量表示及应用1．三角形各心的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点； 垂心：三角形的三条高线的交点； 内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)； 外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． 2．三角形各心的向量表示(1)O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；(3)O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)；(4)O 是△ABC 的内心⇔OA →·(AB →|AB →|－AC →|AC →|)＝OB →·(BA →|BA →|－BC →|BC →|)＝OC →·(CA →|CA →|－CB→|CB →|)＝0.注意：向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线) 例1 若O 为△ABC 内一点，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 是△ABC 的 ( ) A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心例2.点P 是△ABC 所在平面上一点，若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点P 是△ABC 的 A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 ( )例3.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心例4.点P 是△ABC 所在平面内任一点．求证：G 是△ABC 的重心⇔PG →＝13(PA →＋PB →＋PC →)．例5 已知向量OP 1→，OP 2→，OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1，求证：△P 1P 2P 3是正三角形．练习：1．若O 为空间中一定点，动点P 在A ，B ，C 三点确定的平面内且满足(OP →－OA →)·(AB →－AC →)＝0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的 ( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心2．已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的 ( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心3．在△ABC 中，若动点P 满足CA →2＝CB →2－2AB →·CP →，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为 ( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形有关数量积的最值问题例1.已知向量a ＝(3sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，则a ·b 的最大值为________．例2.设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为 ( )A ．－2 B.2－2 C ．－1 D ．1－ 2例3.已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1] D ．[1，2＋2]例4.(2013·浙江)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．例5.(2015·江苏盐城模拟)在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB →·AC →的最小值为________．例6.(2013·上海)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．。
演绎推理 精品教案
2.1 合情推理与演绎推理【课题】：2.1.2演绎推理【设计与执教者】：广州市第八十六中学黄新【学情分析】：在上一阶段的学习中，学生已学习了合情推理。
并且已经了解合情推理可以帮助我们猜想、发现结论，提供证明的思路和方向。
学生也了解了对于猜想需要辨别他们的真伪，因此，需要学会证明的方法。
【教学目标】：知识与技能：1、了解演绎推理的含义；2、能正确地运用演绎推理进行简单的推理；3、了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
过程与方法：在解决问题中，通过对合情推理与演绎推理的学习，了解科学研究与科学发现的一些方法。
情感态度与价值观:通过本课时的学习，培养学生严谨的思维习惯。
【教学重点】：正确地运用演绎推理进行简单的推理。
【教学难点】：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
【课前准备】：Powerpoint【教学过程设计】：练习答案：1.“所有9的倍数都是3的倍数。
某奇数是9的倍数，故此奇数是3的倍数。
”上述推理是（C ）A 小前提错B 结论错C 正确D 大前提错2.”因为对数函数y=log a x是减函数（大前提），而y=log2x是对数函数（小前提），所以y=log2x 是减函数（结论）”。
上面推理是（）A 大前提错，导致结论错。
B小前提错，导致结论错C 推理形式错，导致结论错。
D大前提和小前提都错，导致结论错。
3.因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形,而菱形是所有边长都相等的多边形,所以菱形是正多边形.上面的推理形式正确吗?推理的结论正确吗?为什么?解答：上面的推理形式正确，但推理的结论不正确。
因为大前提是错误的。
4.已知lg2=m,计算lg0.8解（1）lga n=nlga(a>0)---------大前提lg8=lg23————小前提lg8=3lg2————结论lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提lg0.8=lg(8/10)——－小前提lg0.8=lg8- lg10=3lg2-1——结论5、已知a b c ，，是实数，函数2()f x ax bx c =++，当11x -≤≤时，()1f x ≤，证明1c ≤． 证明：由已知当11x -≤≤时，有()1f x ≤， 因为0[11]∈-，时，所以(0)1f ≤， 而(0)f c =，即1c ≤．6.在数列{n a }中,)(22,111*+∈+==N n a a a a nnn ,(1)计算4.3,2a a a ,试猜想这个数列的通项公式.(2)证明数列{n a 1}是等差数列. 解：52,21,32432===a a a 猜想：1+=n na n证明：因为一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
湖北省监利县第一中学高三数学大一轮复习 7.6直接证明与间接证明导学案(无答案)
7.6直接证明与间接证明【考纲目标】1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点． 一、自主学习 要点1.综合法一般地，利用__________________________________，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： 要点2．分析法一般地，从要 出发， 逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已 知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明的 方法叫做分析法．用Q 表示要证明的结论，则分 析法可用框图表示为： 要点3. 反证法一般地，假设 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明 ，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 二、合作，探究，展示，点评 题型一 综合法例1 设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ； (2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1，求a 的取值范围．思考题1：函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0. (1)求a ，b 的值； (2)证明：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln xx －1.题型二 分析法 例2 已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.思考题2：若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .题型三 反证法例3 设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式； (2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．思考题3：(1)用反证法证明命题： “已知a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是 ( ) A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根三、知识小结1．综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用． 2．反证法证明的关键：①准确反设；②从否定的结论正确推理；③得出矛盾．自助餐1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的 ( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．等价条件 2．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是 ( )A.1ab >12B.1a ＋1b ≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤183．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 B ．a ， b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．a ，b ，c 都是奇数 D ．a ，b ，c 都是偶数4．已知a ，b ，c 为互不相等的非负数．求证：a 2＋b 2＋c 2>abc (a ＋b ＋c )．5．设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝nk ＝1b k ，证明：S n <1.《直接证明与间接证明》课时作业1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”“索”的“因”应是 ( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<02．(2015·浙江名校联考)设a ＝lg2＋lg5，b ＝e x(x <0)，则a 与b 的大小关系为 ( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ≤b3．要证明a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明 ( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b 22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥04．若实数a ，b 满足a ＋b <0，则 ( )A ．a ，b 都小于0B ．a ，b 都大于0C ．a ，b 中至少有一个大于0D ．a ，b 中至少有一个小于0 5．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是 ( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定6．函数f (x )满足：f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则f 2＋f f ＋f 2＋ff＋f2＋ff＋f2＋ff＝( )A ．4B ．8C ．12D ．167．已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，那么m 的最大值等于 ( )A ．10B ．9C ．8D ．78．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为________．9．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.10．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3.(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．11．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明f (x )＝0没有负实数根．12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1(m ∈N *)成等差数列，试判断S m ，S m ＋2，S m ＋1是否成等差数列，并证明你的结论．13．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g (1x )的大小关系；(3)求实数a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．。
湖北省监利县第一中学高三数学大一轮复习 4.1三角函数的基本概念导学案(无答案)
4.1三角函数的基本概念【考纲目标】1．了解任意角和弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化． 2．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 3．理解三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的概念及意义． 一、自主学习要点1. 角的概念(1)象限角：角α的终边落在 就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限．(2)终边相同的角： ．(3)与α终边相同的角的集合为____________________________． (4)各象限角的集合为Ⅰ象限：_____________________________， Ⅱ象限：__________________________________________， Ⅲ象限：_________________________________________， Ⅳ象限：．要点2．弧度制(1)什么叫1度的角：____________________________________________． (2)什么叫1弧度的角：__________________________________________． (3)1°＝ 弧度；1弧度＝ 度．(4)若扇形的半径为r ，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l ＝ ，面积S ＝＝ .要点3. 任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝__，cos α＝__，tan α＝__.(2)三角函数在各象限的符号（略）： 要点4．三角函数线如图1所示，正弦线为 ；余弦线为 ；正切线为 . 二、合作，探究，展示，点评 题型一 角的有关概念例1 设角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝35π，β2＝－73π.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°——0°之间找出与它们有相同终边的所有角．思考题1：(1)有下列各式：①sin1 125°；②tan 3712π·sin 3712π；③sin4tan4；④sin(－1)．其中为负值的是________．(2)在区间[－720°，0°]内找出所有与45°角终边相同的角β.例2 已知角 α是第三象限角，试判断①π－α是第几象限角？②α2是第几象限角？③2α是第几象限角？思考题2：(1)如果α为第一象限角，那么①sin2α，②cos2α；③sin α2；④cos α2中必定为正值的是________．(2)若sin θ2＝45，且sin θ<0，则θ所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限题型二 三角函数的定义例3 已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，则判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值．思考题3：若角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α＝________.题型三 利用三角函数线解三角不等式 例4 (1)不等式sin x ≥32的解集为__________．(2)不等式cos x ≥－12的解集为__________．(3)函数f (x )＝2sin x ＋1＋lg(2cos x －2)的定义域为__________．思考题4：求下列函数的定义域．(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )．题型四 弧度制的应用例5 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．思考题5：已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．三、知识小结1．弧度制与角度制不能混用，2．相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等． 3．终边在坐标轴上的角，不能称为任何象限的角． 4．象限角与区间角不同，自助餐1．与1 110°角终边相同的角是 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋94π(k ∈Z)C ．k ·360°－315°(k ∈Z)D ．k π＋5π4(k ∈Z)3．(2014·新课标全国Ⅰ文)若tan α>0，则( ) A ．sin2α>0 B ． cos α>0 C ．sin α>0D ．cos2α>04．已知tan θ<0，且角θ终边上一点为(－1，y )，且cos θ＝－12，则y ＝________.5．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________．。
2.1第3课时演绎推理 学案
2.1 第三课时演绎推理一、课前准备1．课时目标（1）. 了解演绎推理的含义；（2）. 能正确地运用演绎推理进行简单的推理；（3）. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与区别。
2．基础预探（1）演绎推理的定义：，这种推理称为演绎推理．要点：由_____到_____的推理.（2）三段论中包含了3个命题，称为“大前提”，它提供了一个一般原理；称为“小前提”，它指出了一个对象。
这两个判断结合起来，揭示了的内在联系，从而得到第三个命题------结论。
(3)①所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；②太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此；③奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .(4)“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：_________________________________________；第二段：_________________________________________；第三段：____________________________________________.二、学习引领1. 演绎推理的特点（1）．演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）、在演绎推理中，前提于结论之间存在着必然的联系，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。
因此演绎推理是数学中严格的证明工具。
（3）、在演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学论证和系统化。
2. 合情推理和演绎推理的关系(1)联系：两个推理是相辅相成的，演绎推理是证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程的．但数学结论，证明思路的发现，主要靠合情推理．(2)区别：合情推理的前提为真时，结论不一定为真，而演绎推理的前提为真时，结论必定为真．3. 三段论的理解若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.三、典例导析题型一 演绎推理的一般模式例1.把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；(2)因为2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y ＝tan α是三角函数，因此y ＝tan α是周期函数；(4)如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°；(5)菱形的对角线互相平分．思路导析:分清大前提、小前提及结论．解：(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃， 小前提：一个标准大气压下把水加热到100 ℃，结论：水会沸腾．(2)大前提：一切奇数都不能被2整除，小前提：2100＋1是奇数，结论：2100＋1不能被2整除．(3)大前提：三角函数都是周期函数，小前提：y ＝tan α是三角函数，结论：y ＝tan α是周期函数．(4)大前提：两条直线平行，同旁内角互补，小前提：∠A 与∠B 是两平行直线的同旁内角，结论：∠A ＋∠B ＝180°.(5)大前提：平行四边形对角线互相平分，小前提：菱形是平行四边形，结论：菱形对角线互相平分规律总结: 三段论由大前提、小前提和结论组成；大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的． 变式练习1指出下面推理中的错误．(1)自然数是整数， 大前提－6是整数， 小前提所以－6是自然数. 结论(2)中国的大学分布在中国各地， 大前提北京大学是中国的大学， 小前提所以北京大学分布在中国各地. 结论M Sp •题型二几何问题中三段论的应用例2在平面四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求证：四边形ABCD为平行四边形．写出三段论形式的演绎推理．思路导析:为了证明这个命题为真，我们只需在前提(AB＝CD且BC＝AD)为真的情况下，以已知公理、已知定义、已知定理为依据，根据推理规则，导出结论为真．解:(1)连结AC.(2)AB＝CD，BC＝AD，CA＝AC(3)平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等，(大前提)△ABC和△CDA的三边对应相等，(小前提)△ABC与△CDA全等．(结论)符号表示：AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC⇒△ABC≌△CDA.(4)由全等三角形的性质可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等，(大前提)△ABC和△CDA全等，(小前提)它们的对应角相等，即∠1＝∠2，∠3＝∠4.(结论)(5)内错角相等，两直线平行；(大前提)∠1与∠2、∠3与∠4分别是AB与CD、AD与BC的内错角，(小前提)AB∥CD，AD∥BC.(结论)(6)两组对边分别平行的四边形为平行四边形，(大前提)四边形ABCD的两组对边分别平行，(小前提)四边形ABCD是平行四边形．(结论)规律总结:通过演绎推理三段论的练习，掌握严格的逻辑推理过程，正确认识演绎推理的特点．明白演绎推理是一种收敛性的思维方法，及其在科学建设中的理论化和系统化的作用．变式训练2 梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角．已知在梯形ABCD中(如图)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线．求证：AC平分∠BCD，DB 平分∠CBA.题型三演绎推理的应用例3 设f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求y ＝f(x)的单调递增区间． 思路导析: (1)y ＝f x 在对称轴处取得最值→ →φ值 (2)y ＝sinx 增区间为[2kπ－π2，2kπ＋π2]，k ∈Z →得递增区间 解：（1）∵x ＝π8是函数y ＝f(x)的图象的对称轴， ∴sin(2×π8＋φ)＝±1，φ)(4Z k k ∈+=ππ ∴π4＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z. ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin(2x －3π4) 由题意得2kπ－π2≤2x－3π4≤2kπ＋π2，k ∈Z 时，即为kπ＋π8≤x≤5π8＋kπ，k ∈Z 时，函数单调递增，∴函数y ＝sin(2x －3π4)的单调递增区间为[kπ＋π8，kπ＋5π8]，k ∈Z. 规律总结:应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目的外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．变式训练3 已知R 上的函数f(x)＝13ax 3＋12bx 2＋cx(a<b<c)在x ＝1时取得极值，且y ＝f(x)的图象上有一点处的切线斜率为－a ，求证0≤b a<1. 四、随堂练习1．演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（ ）.A ．一般的原理原则；B ．特定的命题；C ．一般的命题；D ．定理、公式.2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 3.下列说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③sin(2+)=18σ±π演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．其中正确的有________．4.补充下列推理的三段论：（1）因为互为相反数的两个数的和为0，又因为a 与b 互为相反数且 所以b=8.（2）因为 又因为 71828.2=e 是无限不循环小数，所以e 是无理数．5. 设m ∈(－2,2)，求证方程x 2－mx ＋1＝0无实根．(用三段论形式证)五、课后作业1. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文d c b a ,,,对应密文d d c c b b a 4,32,2,2+++，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接受方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）．A ． 4，6，1，7B ． 7，6，1，4C ． 6，4，1，7D ． 1，6，4，72. 用演绎推理证明“y＝x 2(x ＞0)是增函数”时的大前提为________．3.在求函数y ＝2log x-2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a≥0，小前提是2log x-2有意义，结论是________．4. 如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD.求证：BD ⊥平面PAC.第三课时演绎推理答案解析一、基础预探1. 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论；一般；特殊2. 第一个命题；第二个命题；特殊；一般原理与特殊对象的3. ①铜导电②冥王星以椭圆型轨道绕太阳运行③2007不能被2整除4. 大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．三．典例导析变式训练1. 解：(1)推理形式错误．M 是“自然数”，P 是“整数”，S 是“－6”，故按规则“－6”应是自然数(M)(此时它是错误的小前提)，推理形式不对，所得结论是错误的．(2)推理形式错误.大前提中的M 是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而在小前提中S 虽然也是“中国大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误，得到错误的结论．2. 证明：(1)等腰三角形两底角相等(大前提)，△DAC 是等腰三角形，DA 、DC 是两腰(小前提)，∠1＝∠2(结论)．(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等(大前提)，∠1和∠3是平行线AD 、BC 被AC 截出的内错角(小前提)，∠1＝∠3(结论)．(3)等于同一个量的两个量相等(大前提)，∠2和∠3都等于∠1(小前提)，∠2＝∠3(结论)，即AC 平分∠BCD.(4)同理，DB 平分∠CBA.3. 证明：由f(x)＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，得： f′(x)＝ax 2＋bx ＋c.又函数在x ＝1处有极值，故f′(1)＝a ＋b ＋c ＝0.又∵a<b<c ，∴a<0，c>0.∵y ＝f(x)的图象上有一点处的切线斜率为－a ，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝－a 有实根．∴Δ＝b 2－4a(a ＋c)≥0，即b 2－4a(a －a －b)≥0，整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋4·b a ≥0，解得b a ≥0或b a ≤－4. 由b<c ＝－a －b ，得2b<－a ，∴b a >－12. 由a<b 且a<0，且b a <1.综上可得0≤b a<1. 四、随堂练习1.A 根据定义可判断。
第39讲 圆与方程(解析版)2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)
第39讲圆与方程一、考情分析1、掌握确定圆的几何要素；2、掌握圆的标准方程与一般方程.二、知识梳理1.圆的定义和圆的方程2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.[微点提醒]1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.三、经典例题考点一圆的方程【例1】(1)(一题多解)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.(2)(一题多解)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为6，则圆C的方程为________.【答案】(1)x 2＋y 2－2x ＝0 (2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2【解析】 (1)法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎨⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0， 故圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.法二 设O (0，0)，A (1，1)，B (2，0)，则k OA ＝1，k AB ＝－1，所以k OA ·k AB ＝－1，即OA ⊥AB ，所以△OAB 是以角A 为直角的直角三角形，则线段BO 是所求圆的直径，则圆心为C (1，0)，半径r ＝12|OB |＝1，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0. (2)法一 ∵所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a ，－a ). 又∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝2|a |2＝2|a |. 又所求圆在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|2， ∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即（2a －3）22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则圆心(a ，b )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|a －b －3|2， ∴r 2＝（a －b －3）22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622，即2r 2＝(a －b －3)2＋3.① 由于所求圆与直线x －y ＝0相切，∴(a －b )2＝2r 2.② 又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴a ＋b ＝0.③联立①②③，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴－D 2－E2＝0，即D ＋E ＝0，① 又∵圆C 与直线x －y ＝0相切， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22＝12D 2＋E 2－4F ，即(D －E )2＝2(D 2＋E 2－4F )， ∴D 2＋E 2＋2DE －8F ＝0.②又知圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2到直线x －y －3＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 2－32，由已知得d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，∴(D －E ＋6)2＋12＝2(D 2＋E 2－4F )，③联立①②③，解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝0，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 考点二 与圆有关的最值问题角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题【例2－1】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值.【解析】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆.(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3(如图1).所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2).所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.规律方法把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 角度2利用对称性求最值【例2－2】已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A.52－4B.17－1C.6－2 2D.17【答案】A【解析】P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3).所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝52，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.规律方法求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.考点三与圆有关的轨迹问题【例3】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2).(2)设PQ的中点为N(x，y).在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等. [方法技巧]1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.3.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.4.熟练掌握配方法，能把圆的一般方程化为标准方程.四、 课时作业1．圆2221x y y ++=的半径为( )A ．1BC ．2D ．4【答案】B【解析】由题意得，圆2221x y y ++=，可化为22(1)2x y ++=，所以R =，故选B ．2．设(2,1),(4,1)A B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=【答案】A【解析】AB 的中点坐标为(3,0)，圆的半径为||2AB r ===所以圆的方程为22(3)2x y -+=.3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点()12，的圆的方程是（ ） A ．()2221x y +-= B ．()2221x y ++= C ．()()22131x y -+-= D ．()2231x y +-=【答案】A【解析】因为圆心在y 轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为()0,b ，则圆的方程为22()1x y b +-=，又点()12，在圆上，所以()2121b +-=，解得2b =.4．已知圆的一条直径的端点分别是()0,0A ，()2,4B ，则此圆的方程是（ ） A ．()()22125x y -+-= B ．()()221225x y -+-= C ．()2255x y -+= D ．()22525x y -+=【答案】A 【解析】直径两端点为()()0,0,2,4 ∴圆心坐标为()1,2圆的半径()()2251020r =-+-=，∴圆的方程为：()()22125x y -+-=.5．若方程2220x y a ++=表示圆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0a < B ．0a = C ．0a ≤ D ．0a >【答案】A【解析】由题222x y a +=-，则20a ->解得0a < 6．圆是心直线的定点为圆心，半径，则圆的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由有，所以直线过定点，则所求圆的方程为，故选择A.7．圆的方程为222100x y x y +++-=，则圆心坐标为（ ） A ．(1,1)- B ．1(,1)2-C ．(1,2)-D ．1(,1)2-- 【答案】D【解析】将222100x y x y +++-=配方,化为圆的标准方程可得()2211451110244x y ⎛⎫+++=++= ⎪⎝⎭, 即可看出圆的圆心为1(,1)2--.8．圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是（ ） A ．()()22315x y +++= B ．()()223125x y +++= C ．()()22315x y -+-= D ．()()223125x y -+-=【答案】D【解析】∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5， ∴所求圆的标准方程为：()()223125x y -+-=， 9．圆()()22234x y -++=的圆心和半径分别是（ ）． A ．()2,3-，4 B ．()2,3-，4C ．()2,3-，2D ．()2,3-，2【答案】C【解析】()()22234x y -++=,即为()()2222(3)2x y -+--=，∴圆的圆心为()2,3-，半径为2，10．过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-= D ．()()22114x y +++=【答案】C【解析】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线20x y +-=上，排除B 、D ， 点()1,1B -在圆上，排除A11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆A ：22(1)1x y -+=，点B (3，0)，过动点P 引圆A 的切线，切点为T ．若PT PB ，则动点P 的轨迹方程为（ ） A ．2214180x y x +-+= B ．2214180x y x +++= C ．2210180x y x +-+= D ．2210180x y x +++=【答案】C【解析】设P (x ，y )，∵PT ，∴PT 2＝2PB 2 ∴2222(1)12[(3)]x y x y -+-=-+整理得：2210180x y x +-+=.12．若2220x y x y k +-++= 是圆的方程，则实数k 的取值范围是（） A ．k<5 B ．k<54C ．k<32D ．k>32【答案】B【解析】2220x y x y k +-++=是圆的方程,则有225(2)140,4k k -+-><解得 故选B13．方程x 2+y 2+ax ﹣2by +c ＝0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为（ ） A ．4、2、4 B ．﹣4、2、4 C ．﹣4、2、﹣4 D ．4、﹣2、﹣4【答案】B【解析】x 2+y 2+ax ﹣2by +c ＝0可化为：()222224a a x y b b c ⎛⎫++-=+- ⎪⎝⎭ 2222244ab a bc ⎧-=⎪⎪∴=⎨⎪⎪+-=⎩，解得4,2,4a b c =-== 14．已知点(,)P x y 为圆C :22680x y x +-+=上的一点，则22x y +的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．9D ．16【答案】D【解析】由圆的方程可知圆心为()3,0，半径为1.22x y +可看作点()(),,0,0P x y O 距离的平方即2OP，又1OP ≤即4OP ≤，故22x y +的最大值为16，故选：D.15．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（ ） A ．()2234x y ++= B ．()2231x y -+= C ．()222341x y -+= D ．()222341x y ++= 【答案】D【解析】设PQ 中点的坐标为(),x y ，则()23,2P x y +，因为点P 在圆221x y +=上，故()()222321x y ++=，整理得到()222341x y ++=.16．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是（ ） A ．9 B ．8 C ．4 D ．2【答案】A【解析】圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c＋5. 因为b ，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c bb c⋅＝4. 当且仅当4c b ＝bc时等号成立． 由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23， c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9.17．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【解析】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.18．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为222x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）． A．BCD．3【答案】B【解析】由题点()3,0A 和军营所在区域在河岸线所在直线方程的同侧，设点()3,0A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，AA '中点3(,)22a bM +在直线4x y +=上， 3422013a bb a +⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得：41a b =⎧⎨=⎩，即(4,1)A '，设将军饮马点为P ，到达营区点为B ，则总路程PB PA PB PA '+=+，要使路程最短，只需PB PA '+最短，即点A '到军营的最短距离，即点A '到222x y +≤区域的最短距离为：OA '=19．设点P 为圆22:(1)4C x y -+=上的任意一点，点(2,3)Q a a -()a R ∈，则线段PQ 长度的最小值为（ ） A2 BC2D1【答案】C【解析】设点(),Q x y ，则2,3x a y a ==-，化简可得：260x y --= 即点Q 在直线260x y --=上，圆C 的圆心()1,0到直线260x y --=的距离为d ==，则线段PQ 长度的最小值为52-20．如图，矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，P 为MN 的中点，且2MN =.则AP 长度的最小值为（ ）A 13B ．32C ．4D ．5【答案】C【解析】以AB 为x 轴，以AD 为y 轴建立直角坐标系，设()4,M y ，(),3N x ，43,22x y P ++⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()()222434MN x y ∴=-+-=,x y 表示以()4,3为圆心，半径为2的圆上的点，()()222243143222x y AP x y ++⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴AP 表示圆上的点到()4,3--距离的一半，()4,3--到()4,322443310，min10242AP .21．（多选题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则C nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 22．（多选题）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC ，AB ＝AC ＝4，点B (－1，3)，点C (4，－2)，且其“欧拉线”与圆M ：222(3)x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）A ．圆M 上点到直线30x y -+=的最小距离为B ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为C ．若点（x ，y ）在圆M上，则x +的最小值是3-D ．圆22(1)()8x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a的取值范围是[1-+ 【答案】ACD【解析】由AB ＝AC 可得△ABC 外心、重心、垂心均在线段BC 的垂直平分线上，即△ABC 的“欧拉线”即为线段BC 的垂直平分线，由点B (－1,3)，点C (4,－2)可得线段BC 的中点为31,22⎛⎫⎪⎝⎭，且直线的BC 的斜率32114BC k +==---，所以线段BC 的垂直平分线的斜率1k =， 所以线段BC 的垂直平分线的方程为1322y x -=-即10x y --=， 又圆M ：222(3)x y r -+=的圆心为()3,0，半径为r ，所以点()3,0到直线10x y --=r ==，所以圆M ：22(3)2x y -+=，对于A 、B ，圆M 的圆心()3,0到直线30x y -+=的距离d ==，所以圆上的点到直线30x y -+=的最小距离为-==A 正确，B 错误；对于C ，令z x =+即0x z +-=，当直线0x z +-=与圆M 相切时，圆心()3,0到直线的距离为32z-=，解得3z =+3z =-，则x 的最小值是3-，故C 正确；对于D ，圆22(1)()8x a y a --+-=圆心为()1,a a +，半径为M 有公共点，则≤≤即()222218a a ≤-+≤，解得11a -≤+D 正确.23．（多选题）已知圆M 的一般方程为22860x y x y +-+=，则下列说法正确的是（ ）A ．圆M 的圆心为()4,3-B ．圆M 被x 轴截得的弦长为8C ．圆M 的半径为5D ．圆M 被y 轴截得的弦长为6 【答案】ABCD【解析】由圆M 的一般方程为22860x y x y +-+=，则圆222:(4)(3)5M x y -++=，故圆心为(4,3)-，半径为5，则AC 正确；令0x =，得0y =或6y =-，弦长为6，故D 正确； 令0y =，得0x =或8x =，弦长为8，故B 正确.24．（多选题）以直线240x y +-=与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为（ ） A ．22(4)20x y +-= B ．22(4)20x y -+= C ．22(2)20x y +-= D ．22(2)20x y -+=【答案】AD【解析】解：令0x =，则4y =；令0y =，则2x =.所以设直线240x y +-=与两坐标轴的交点分别为()()0,4,2,0A B.AB ==以A 为圆心，过B 点的圆的方程为：()22420x y +-=.以B 为圆心，过A 点的圆的方程为：()22220x y -+=.25．（多选题）下列说法中正确的是（ ） A ．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等B ．方程()()()()211211x x y y y y x x --=--能表示平面内的任何直线C ．圆22240x y x y ++-=的圆心为()1,2-D ．若直线()2320t x y t -++=不经过第二象限，则t 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BD【解析】对于A ，若两条直线均平行于y 轴，则两条直线斜率都不存在，A 错误； 对于B ，若直线不平行于坐标轴，则原方程可化为112121y y x x y y x x --=--，为直线两点式方程；当直线平行于x 轴，则原方程可化为1y y =；当直线平行于y 轴，则原方程可化为1x x =；综上所述：方程()()()()211211x x y y y y x x --=--能表示平面内的任何直线，B 正确； 对于C ，圆的方程可整理为()()22125x y ++-=，则圆心为()1,2-，C 错误；对于D，若直线不经过第二象限，则230 22tt-⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得：32t≤≤，D正确. 26．设圆的方程为22450x y x+--=（1）求该圆的圆心坐标及半径.（2）若此圆的一条弦AB的中点为(3,1)P，求直线AB的方程.【解析】（1）由圆的方程为22450x y x+--=则()2229x y-+=所以可知圆心()2,0C，半径3r=（2）由弦AB的中垂线为CP,则10132CPk-==-所以可得1ABk=-，故直线AB的方程为：()()113y x-=--即40x y+-=27．已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．（1）求圆C的方程；（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．【解析】解：（1）圆C的半径为22345OC=+=，从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得|CD |＝3，所以4AD ==，所以|AB |＝2|AD |＝8， 所以△ABC 的面积1122S AB CD ==． 28．已知动点M 到两定点11A (，)，()2,2B． （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与直线:260l x y +-=夹角为30的直线，交l 于点Q ，求PQ 的最大值和最小值．【解析】解：（1）设(,)M x y=， 化简得22222(1)2(1)(2)(2)x y x y -+-=-+-， ∴224x y +=．即动点M 的轨迹C 的方程为224x y +=．（2）记圆C 上任意一点P 到直线l 的距离为d ，因为直线PQ 与直线l 夹角为30，所以||2PQ d =．∵圆心()0,0C 到直线l=C 的半径为2，∴max 2d =+，min 2d =-，∴max ||45PQ =+，min ||45PQ =-．。
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【学习目标】
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
【课本导读】
【教材回归】
1．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形
内角和是(n－2)·180°.
A．①②B．①③C．①②④D．①②③
2．数列2,5,11, 20,32，x，…中的x等于()
A．28 B．32 C．33 D．47
3．如图是20xx年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律
闪烁，下一呈现出来的图形是()
4．观察下列等式
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 ……
照此规律，第n 个等号可为________．
5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
【授人以渔】
题型一：归纳推理
例1(1)如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18个火柴，……，则第2 014个图形用的火柴
根数为( )
A ．2 012×2 015
B ．2 013×2 014
C ．2 013×2 015
D ．3 021×2 015
(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三
角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12
n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：
三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数N (n,4)＝n 2， 五边形数N (n,5)＝32n 2－12
n ， 六边形数N (n,6)＝2n 2－n ，……
可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.
思考题1(1)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199
(2)设f (x )＝1＋x 1－x
，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1，2，…，则f 2 013(x )等于( ) A ．－1x B ．x C.x －1x ＋1 D.1＋x 1－x
题型二：类比推理
例2(1)如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c 2＝a 2＋b 2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，截面面积为S ，类比平面的结论有________．
(2)若⎩⎪⎨⎪⎧
2≤a ＋b ≤4，1≤a －b ≤2，求4a －2b 的范围时．
令4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝3. ∴4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．
∴5≤4a －2b ≤10.
类比上述解法，解决下面问题．
设x ，y 为实数，满足3≤xy 2
≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3
y 4的最大值是________． 思考题2(1)若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列{S n n }为等差数列，公差
为d 2
.类似，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{n T n }的公比为( )
A.q 2
B ．q 2 C.q D.n q (2)在△AB
C 中，AB ⊥AC ，A
D ⊥BC 于点D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？
题型三：演绎推理
例3用三段论的形式写出下列演绎推理．
①矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等；
②0.3·3·2·
是有理数；
③y ＝sin x (x ∈R)是周期函数．
思考题3如图所示，点P 在已知三角形ABC 的内部，定义有序实数对(μ，υ，ω)为点P 关于△ABC 的面积坐标，其中μ＝△PBC 的面积△ABC 的面积，υ＝△APC 的面积△ABC 的面积，ω＝△ABP 的面积△ABC 的面积
；若点Q 满足BQ →＝13BC →＋12
BA →
，则点Q 关于△ABC 的面积坐标为________．。