高中数学南师大附校数列全章教学案人教版必修五.doc

§2.1 第1课时 数列(1)教学目标（1）了解数列的概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；（2）理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式．教学重点，难点（1）理解数列是一种特殊的函数；（2）会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式．教学过程一．问题情境 1．情境：某剧场座位数依次为20，22，24，26，28，．．．（１）某彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，2072，．．．（２）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，．．．（３）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．．（４）某种树木第1年长出幼枝，第2年幼枝长成粗干，第3年粗干可生出幼枝，那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为1，1，2，3，5，8，．．．（５）从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15，5，16，16，28，32．（６）2．问题：这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？二．学生活动思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．三．建构数学1．数列按照一定次序排列的一列数称为数列．数列的一般形式可以写成1a ，2a ，3a ，．．．，n a ，．．．，简记为{}n a ．2．项数列中的每个数都叫做这个数列的项．1a 称为数列{}n a 的第1项（或称为首项），2a 称为第2项，．．．，n a 称为第n 项．说明：数列的概念和记号{}n a 与集合概念和记号的区别： (1)数列中的项是有序的，而集合中的项是无序的； (2)数列中的项可以重复，而集合中的元素不能重复．3．有穷数列与无穷数列项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．数列是特殊的函数在数列{}n a 中，对于每一个正整数n （或{}1,2,...,n k ∈），都有一个数n a 与之对应，因此，数列可以看成以正整数集*N （或它的有限子集{}1,2,...,k ）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数()y f x =，如果()f i （1,2,3,...i =）有意义，那么我们可以得到一个数列(1)f ，(2)f ，(3)f ，．．．，()f n ，．．．．（强调有序性） 说明：数列的图象是一些离散的点5．通项公式一般地，如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示．那么这个公式叫做这个数列的通项公式．四．数学运用1．例题：例1．已知数列的第n 项n a 为21n -，写出这个数列的首项、第2项和第3项．解：首项为12111a =⨯-=；第2项为22213a =⨯-=； 第3项为32315a =⨯-=．例2．已知数列{}n a 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：（１）1n n a n =+；（２）2(1)2n na -=．例3．写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：（１）1，3，7，15，31； （２）1-，1，1-，1，1-； （３）112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯； （４）13，45，97，169，．．．，；（５）0，2，0，2．解：（１）21n n a =-． （２）(1)n n a =-．（３）1(1)(1)n n a n n +-=+． （４）221n n a n =+．（５）1(1)n n a =+-．说明：写出数列的通项公式（１）关键是寻找n a 与n 的对应关系()n a f n =；（２）符号用(1)n-或1(1)n +-来调节；（３）分式的分子，分母可以分别找通项，但要充分借助分子与分母的关系；（４）并不是每一个数列都有通项公式，即使有通项公式，通项公式也未必是唯一的； （５）对于形如a ，b ，a ，b ，．．．，的数列，其通项公式均可写成1(1)22n n a b a ba ++-=+-． 2．练习：32P 练习２，３，４，５写出下列数列的通项公式：（１）13-，18，115-，124-，．．．，；（２）9，99，999，9999，．．．，； （３）0.7．0.77，0.777，0.7777，．．．，答案：（１）(1)(2)nn a n n -=+（２）101n n a =-（３）71(1)910n n a =-五．回顾小结：1．数列的概念；2．求数列的通项公式的要领．六．课外作业：32P 习题２．１第1，2，3，4题§2.1 第2课时 数列(2)教学目标（1）了解数列的递推公式是确定数列的一种方法； （2）掌握根据数列的前n 项和确定数列的通项公式．教学重点，难点（1）数列的递推公式的理解与应用；（2）根据数列的前n 项和确定数列的通项公式．教学过程一． 问题情境复习：（１）①数列{}n a 的通项公式n a =4是该数列中的第１６项．②已知数列{}n a 的通项公式2412n a n n =--，则4a = 12-，7a = 9 ，65是它的第 11 项 ；从第 7 项起各项为正；{}n a 中第 2 项的值最小为 16- ③{}n a 中29100n a n n =--，则值最小的项是 4或5 ．（２）写出下列数列的通项公式：①2，5-，10，17- ，．．．；②23，415，635，863，．．．； ③12，2，92，8，252，．．．； ④0.5．0.55，0.555，0.5555，．．．．⑤112，134，158，1716，．．．；二．学生活动思考：已知在数列{}n a 中12n n a a +=+，那么这个数列中的任意一项是否都可以写出来？三．建构数学1．递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），以及任一项n a 与前面一项n a （或前几项）之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做{}n a 的递推公式． 2．数列的前n 项的和通常记为n S ，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+．n S 与n a 的关系：11(1)(2)n n n Sn a S S n -=⎧=⎨-≥⎩注意验证1n =的情况．四．数学运用 1．例题： 例1．（１）若数列{}n a 中，12a =，且各项满足121n n a a +=-，写出该数列的前四项．（２）若数列{}n a 中，11a =，24a =，且各项满足212n n n a a a ++=+，则26是该数列的第几项？解：（１）因为121n n a a +=-，且12a =，所以21212213a a =-=-= ，解得23a =；32212315a a =-=-= ，解得35a =；43212519a a =-=-= ，解得49a =．所以数列的前四项为12a =，13a =，15a =，19a =．（２）因为212n n n a a a ++=+，且11a =，24a =，所以32124216a a a =+=+= ，432262414a a a =+=+= ，5432142626a a a =+=+= ，所以26是该数列的第5项．例2．已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =-，求该数列的通项公式．解：当1n =时，111321a S ==-=；当2n ≥时，11132(32)33n n n n n n n a S S ---=-=---=-；所以11(1)33(2)n nn n a n -=⎧=⎨-≥⎩．例3．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-． （１）求数列{}n a 的通项公式；（２）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的通项公式．解：（１）当1n =时，211222a S ==-=；当2n ≥时，11122(22)222n n n n n n n n a S S ++-=-=---=-=；所以2n n a =． （２）因为1n n n b a a +=+，且2n n a =，112n n a ++=，所以12232n n n n b +=+=说明：由数列{}n a 的前n 项和n S 求n a 时，要注意分1n =和2n ≥讨论，然后将1n =代入2n ≥所得的通项公式，看结果是否符合1n =的情况，不是则需要写成分段形式．2．练习：（１）已知数列{}n a 满足11a =，122nn n a a a +=+*()n N ∈，写出它的前5项，归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式．（２）数列{}n a 的前n 项和n S 满足lg(1)1n S n +=+，求该数列的通项公式．五．回顾小结：1．数列中递推关系的概念；2．由数列的前n 项的和n S 求数列的通项公式的过程．六．课外作业：32P 习题２．１第５，６题 补充：１．数列{}n a 中，10a =，113nn na a a ++=-，写出该数列的前四项，并归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式．２．数列{}n a 的前n 项和221n S n n =++*()n N ∈，求该数列的通项公式．§2.2第1 课时 等差数列的概念教学目标（1）能准确叙述等差数列的定义；（2）能用定义判断数列是否为等差数列； （3）会求等差数列的公差及通项公式。

教学重点，难点等差数列的定义及等差数列的通项公式。

教学过程一．问题情境1．情境：观察下列数列：：4，5，6，7，8，9，10，……； ①3，0，3-，6-，……， ②第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004 ③某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元，以后每分钟收话费0.1元，那么通话费按从小到大的次序依次为：0.2,0.20.1,0.20.12,0.20.13,++⨯+⨯ ④如果1年期储蓄的月利率为1.65%，那么将10000元分别存1个月， 2个月 ， 3个月 ， …… 12个月，所得的本利和依次为100001000016.5,1000016.52,1000016.512++⨯+⨯ ， ⑤2．问题：上面这些数列有何共同特征？二．学生活动对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于1； 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于3-； 对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于4； 对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于0.1； 对于数列⑤，从第2项起，每一项与前一项的差都等于16.5；规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。