(北京专用)2019版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合夯基提能作业本文
高考数学一轮复习第一章 集合与常用逻辑用语、不等式答案
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式第1讲 集合及其运算链教材·夯基固本 激活思维 1. D 2. A 3.ABD【解析】 因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}．因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}，所以A∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．4.4【解析】因为集合A 必须含有元素5，元素1和3不确定，所以集合A 的本质是{1,3}的所有子集与元素5组成的集合，共4个．5.7【解析】A ＝{x∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{x |1<x <e 2}，所以A ∩B ＝{2,3,4}，所以A ∩B 的真子集的个数为23－1＝7.知识聚焦1. (1) 确定性 互异性 无序性2. 2n 2n －1 4. U A 研题型·融会贯通 分类解析【答案】 (1) D (2) B (3) A 【题组·高频强化】 1. C 2. C3. C【解析】 由题意知A ∩B 中的元素满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，所以满足条件的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，故A ∩B 中元素的个数为4.故选C.4.B【解析】由x 2－4≤0，得A ＝{x |－2≤x ≤2}．由2x ＋a ≤0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≤－a 2.因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.5. B【解析】 由图可知，阴影区域为∁U (A∪B )．由题知A ∪B ＝{1,3,5}，U ＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知，∁U (A ∪B )＝{7}．故选B.(1) 【答案】 {1，－1} 【解析】若集合{x |x 2＋2kx ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x 2＋2kx ＋1＝0有且只有一个实数根，即Δ＝(2k )2－4＝0，解得k ＝±1，所以k 的取值集合是{1，－1}．(2) 【答案】 －1 【解析】因为A ∩B 中只有一个元素，又a ≠0且a ≠2.若a ＝1，则a 2－a ＝0，不满足题意；若a ≠1，显然a 2－a ≠0，故a 2－a ＝2或a 2－a ＝a ，解得a ＝－1.综上，a ＝－1.(3) 【答案】 [0，＋∞) ∅ 【解析】由题知集合A 是函数y ＝x 2的定义域，即A ＝R ，集合B 是函数y ＝x 2的值域，即B ＝[0，＋∞)，所以A ∩B ＝[0，＋∞)，集合C 是函数y ＝x 2的图象上的点集，故A ∩C ＝∅.(1) 【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，14 【解析】 当k ＝0时，A ＝{－1}，符合题意；当k ≠0时，若集合A 只有一个元素，由一元二次方程判别式Δ＝1－4k ＝0，得k ＝14.综上，当k ＝0或k ＝14时，集合{x |kx 2＋x ＋1＝0}中有且只有一个元素．(2) 【答案】 －2或1 【解析】因为集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.(1) 【答案】 D【解析】 当B ＝∅时，a ＝0，此时B ⊆A .当B ≠∅时，则a ≠0，所以B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝－1a . 又B ⊆A ，所以－1a∈A ，所以a ＝±1.综上可知，实数a 的所有可能取值的集合为{－1,0,1}． (2) 【答案】 [2,3]【解析】 由A ∩B ＝B 知，B ⊆A .(例3(2))又B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[2,3]．【答案】 B【解析】 由log 2(x －1)<1，得0<x －1<2，所以A ＝(1,3)． 由|x －a |<2得a －2<x <a ＋2，即B ＝(a －2，a ＋2)． 因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤1，a ＋2≥3，解得1≤a ≤3.所以实数a 的取值范围为[1,3]．【解答】 (1) 由题知⎩⎪⎨⎪⎧x<0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －3<1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x<1，解得－2<x <0或0≤x <1， 所以A ＝{x |－2<x <1}． (2) 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .(ⅰ) 当B ＝∅时，2a >a ＋1，所以a >1满足题意；(ⅱ) 当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋1，2a>－2，a ＋1<1，解得－1<a <0.综上，a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)． 课堂评价1. BCD 【解析】 对于选项A ，因为xy >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y>0或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，y<0，所以集合{(x ，y )|xy >0}表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合，故A 正确；对于选项B ，方程|x －2|＋|y ＋2|＝0的解集为{(2，－2)}，故B 错误； 对于选项C ，集合{(x ，y )|y ＝1－x }表示直线y ＝1－x 上的点， 集合{x |y ＝1－x }表示函数y ＝1－x 中x 的取值范围，故集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }不相等，故C 错误；对于选项D ，A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤1}＝{－1,0,1}，所以－1.1∉A ，故D 错误． 2. ABC3. B 【解析】 由x 2－3x －4>0得x <－1或x >4， 所以集合A ＝{x |x <－1或x >4}．由x 2－3mx ＋2m 2<0(m >0)得m <x <2m ， 所以集合B ＝{x |m ＜x ＜2m }． 又B ⊆A ，所以2m ≤－1(舍去)或m ≥4. 故实数m 的取值范围是[4，＋∞)． 4. [2 020，＋∞)【解析】 由x 2－2 021x ＋2 020<0，解得1<x <2020，故A ＝{x |1<x <2 020}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 020.(第4题)5.(－∞，2]【解析】当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1<a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又因为a －1<a ，所以A ∪B ＝R ，故a <1满足题意．综上可知a ∈(－∞，2]．第2讲 充分条件、必要条件、充要条件链教材·夯基固本 激活思维 1. A 2. B 3. BCD【解析】由x 2－x －2<0，解得－1<x <2，所以(－1，2)(－2，a )，所以a ≥2，所以实数a 的值可以是2,3,4.4. [－2,1] 【解析】 因为綈p ：x ≤－1或x ≥3，綈q ：x ≤m －2或x ≥m ＋5，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤－1，m ＋5≥3，且等号不能同时取到，解得－2≤m ≤1.5. 充要 必要 【解析】 因为q ⇒s ⇒r ⇒q ，所以r 是q 的充要条件．又q ⇒s ⇒r ⇒p ，所以p 是q 的必要条件．知识聚焦1. (1) 充分 必要 非充分 非必要 (2) ①充分不必要 ②必要不充分 ③充要 ④既不充分也不必要研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 A【解析】 因为1x >1，所以x ∈(0,1)．因为e x －1<1，所以x <1，所以“1x >1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．(2) 【答案】 A 【解析】当a >0，b >0时，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5>4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．【题组·高频强化】 1. A 【解析】 由a 2>a 得a >1或a <0，据此可知“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A.2.B【解析】由2－x ≥0，得x ≤2；由|x －1|≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2.所以“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要不充分条件．故选B.3.C【解析】当存在k∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β时，若k 为偶数，则sin α＝sin(k π＋β)＝sin β；若k 为奇数，则sin α＝sin(k π－β)＝sin[(k －1)π＋π－β]＝sin(π－β)＝sin β.当sin α＝sin β时，α＝β＋2m π或α＋β＝π＋2m π，m ∈Z ，即α＝k π＋(－1)k β(k ＝2m )或α＝k π＋(－1)k β(k ＝2m ＋1)，亦即存在k ∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β，所以“存在k∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的充要条件．故选C.4. B【解析】 依题意知m ，n ，l 是空间不过同一点的三条直线，当m ，n ，l 在同一平面内时，可能m ∥n∥l ，故不一定得出m ，n ，l 两两相交．当m ，n ，l 两两相交时，设m ∩n ＝A ，m ∩l ＝B ，n ∩l ＝C ，可知m ，n 确定一个平面α，而B ∈m ⊂α，C ∈n ⊂α，可知直线BC 即l ，l ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内．综上所述，“m ，n ，l 在同一平面内”是“m ，n ，l 两两相交”的必要不充分条件．故选B.(1) 【答案】 (－∞，－2]∪[2，＋∞) 【解析】由y ＝x ＋1x在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1上单调递减，在(1,2)上单调递增，得2≤y <52，所以A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪2≤y<52. 由x ＋m 2≥6，得x ≥6－m 2，所以B ＝{x |x ≥6－m 2}． 因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件， 所以A B ，所以6－m 2≤2，解得m ≥2或m ≤－2， 故实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2) 【答案】 (2，＋∞)【解析】 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R＝{x |－1<x <3}， 因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， 所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.(1) 【答案】 (0,2]【解析】 由|2x ＋1|<m (m >0)，得－m <2x ＋1<m ，所以－m ＋12<x <m －12，且－m ＋12<0.由x －12x －1>0，得x <12或x >1. 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以m －12≤12，所以0<m ≤2.(2) 【答案】 (0,2]【解析】 由题可得p ：x >3或x <－1，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，[x －(1－a )]·[x －(1＋a )]≥0， 因为a ＞0，所以1－a ＜1＋a ，解得x ≥1＋a 或x ≤1－a . 因为q 是p 的必要不充分条件， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤3，1－a ≥－1，a>0，解得0＜a ≤2.【解答】 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0. 又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都有实根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m2－4m －5∈Z ，所以m 为4的约数．又因为m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－54，1，所以m ＝－1或1. 当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数；当m ＝1时，两方程的根均为整数．所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. 课堂评价 1. A 2. A【解析】 “∀x ∈[－1,1]，|x |＜a 恒成立”等价于“∀x ∈[－1，1]，a ＞|x |max ”，所以a ＞1.故充要条件为a ＞1.3. A 【解析】 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |)． 又y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若a >|b |，则f (a )>f (|b |)＝f (b )，即充分性成立； 若f (a )>f (b )，则等价于f (|a |)>f (|b |)，即|a |>|b |， 即a >|b |或a <－|b |，故必要性不成立．则“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的充分不必要条件． 4. ABC【解析】 对于选项A ，由 A ∩B ＝A ，可得A ⊆B . 由 A ⊆B可得A ∩B ＝A ，故A 满足条件．对于选项B ，由∁S A ⊇∁S B 可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得∁S A ⊇∁S B ，故∁S A ⊇∁S B 是A ⊆B 的充要条件，故B 满足条件．对于选项C ，由∁S B ∩A ＝∅，可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得∁S B ∩A ＝∅，故∁S B ∩A ＝∅是A ⊆B 的充要条件，故C 满足条件．对于选项D ，由∁S A ∩B ＝∅，可得B ⊆A ，不能推出A ⊆B ，故∁S A ∩B ＝∅不是A ⊆B 的充要条件，故D 不满足条件．故选ABC.5.(－∞，0]【解析】由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－x －6≤1，得x 2－x －6≥0，解得x ≤－2或x ≥3，则A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}．由log 3(x ＋a )≥1，得x ＋a ≥3，即x ≥3－a ，则B ＝{x |x ≥3－a }．由题意知B A ，所以3－a ≥3，解得a ≤0.第3讲 全称量词和存在量词链教材·夯基固本 激活思维 1. C 2. B 3.(－∞，2)【解析】设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x＋1，x ∈[0，＋∞)，若p 为真命题，则a ＜f (x )max ＝f (0)＝2.4. (－∞，2] 【解析】 若“∃x 0∈(0，＋∞)，λx ＞x 2＋1”是假命题，则“∀x ∈(0，＋∞)，λx ≤x 2＋1”是真命题，所以当x ∈(0，＋∞)时，λ≤x ＋1x恒成立．又x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]． 5.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤54，2【解析】当命题p 为真命题时，x 2＋x ＋a >1恒成立，即x 2＋x ＋a －1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a －1)<0，解得a >54.当命题q 为真命题时，2a ≤(2x 0)max ，x 0∈[－2,2]，所以a ≤2.故54<a ≤2，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤54，2. 知识聚焦1. 全体 全称量词 ∀x ∈M ，p (x )2. 部分 ∃ 存在量词 ∃x 0∈M ，p (x 0)3. ∃x ∈M ，綈p (x )4. 不是 不一定是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 一个也没有 至多有n －1个 至少有两个 存在一个x 不成立研题型·融会贯通 分类解析【解答】 (1) 綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．(2) 綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3) 綈r ：所有的实数都有平方根，假命题．(4) 綈s ：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．(1) 【答案】 C(2) 【答案】 ∀x ∈R ，x 2－x ＋1≠0 (1) 【答案】 (－∞，－2] 【解析】由命题p 为真，得a ≤0.由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a≤－2.(2) 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪⎪a ≤52【解析】 若命题p ：∃x ∈[2,3]，x 2－ax ＋1<0为假命题，则“∀x ∈[2，3]，x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x ”为真命题．令g (x )＝x ＋1x ，易知g (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ∈[2,3]时，g (x )∈[g (2)，g (3)]．又∀x ∈[2,3]，a ≤x ＋1x恒成立等价于∀x ∈[2,3]，a ≤g (x )min ，而g (x )min ＝g (2)＝52，所以“∀x ∈[2,3]，x 2－ax ＋1≥0”为真命题时，a ≤52.(1) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫56，＋∞ 【解析】由“∀x∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫56，＋∞. (2) 【答案】 (－2，－1]【解析】 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0为真命题，可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立为真命题，得Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2.综上，m ∈(－2，－1]．【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫14，＋∞ ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 ①当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x 1)min ≥g (x 2)min ，即0≥14－m ，所以m ≥14.②当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，对任意x 1∈[0,3]，任意x 2∈[1,2]，有f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ，即0≥12－m ，所以m ≥12.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 依题意知对x 1∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1，x 2∈[2,3]，f (x 1)max ≤g (x 2)max . 因为f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1上是减函数， 所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝172.又g (x )＝2x ＋a 在[2,3]上是增函数，所以g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12.课堂评价 1. ABC 2. D3. A 【解析】 因为命题“∃x ∈[1,2]，x 2＋ln x －a ≤0”为假命题，所以当x ∈[1,2]时，x 2＋ln x ＞a 恒成立，只需a ＜(x 2＋ln x )min ，x ∈[1，2]．又函数y ＝x 2＋ln x 在[1,2]上单调递增，所以当x ＝1时，y min ＝1，所以a ＜1.故选A.4. B 【解析】 由题可知，命题“∀x ∈R ，(k 2－1)x 2＋4(1－k )x ＋3>0”是真命题． 当k 2－1＝0，得k ＝1或k ＝－1.若k ＝1，则原不等式为3>0，恒成立，符合题意；若k ＝－1，则原不等式为8x ＋3>0，不恒成立，不符合题意． 当k 2－1≠0时，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧k2－1>0，16(1－k )2－4(k 2－1)×3<0，即⎩⎨⎧(k ＋1)(k －1)>0，(k －1)(k －7)<0，解得1<k <7. 综上所述，实数k 的取值范围为{k |1≤k <7}． 5.(－3，＋∞) 【解析】 假设∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0.设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3.因为假设成立，所以a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．第4讲 不等式的性质、一元二次不等式链教材·夯基固本 激活思维 1. AC 2.ACD【解析】由1a<1b<0，得a <0，b <0且a >b ，所以a ＋b <0，ab >0，A 正确；|a |<|b |，B 错误；a 3>b 3，C 正确；因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，故D 正确．故选ACD.3. ABD4. －112 7125.(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】由x 2－2x ＋k 2－2>0，得k 2>－x 2＋2x ＋2.设f (x )＝－x 2＋2x ＋2＝－(x －1)2＋3，当x ≥2时，f (x )max ＝2，则k 2>f (x )max ＝2，所以k >2或k <－2.知识聚焦2. {x |x <x 1或x >x 2} R {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅ 研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 AC【解析】 因为1a ＜1b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以B 错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以D 错误．因为1a <1b<0，所以a ＋b <0，但ab >0，所以1a ＋b <1ab ，A 正确；a －1a －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －1b ＝a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －1b ＝a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －a ab ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1ab ，因为1a<1b <0，所以0>a >b ，所以a －b >0,1＋1ab>0，所以a －1a－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －1b >0，所以a －1a >b －1b ，C 正确． (2) 【答案】 B 【解析】 p －q ＝b2a ＋a2b －a －b＝b2－a2a ＋a2－b2b ＝(b 2－a 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －1b ＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab ， 因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ； 若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B. (3) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π，π8 【解析】 设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32，即2α－β＝12(α＋β)＋32(α－β)．因为π<α＋β<5π4，－π<α－β<－π3，所以π2<12(α＋β)<5π8，－3π2<32(α－β)<－π2，所以－π<12(α＋β)＋32(α－β)<π8，即－π<2α－β<π8，所以2α－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π，π8. 【题组·高频强化】 1.A【解析】 若a >b ，则a ＋c >b ＋c ，故B 错；设a ＝3，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac <bd ，a c<bd，所以C ，D 错，故选A. 2.C【解析】因为a ＋b ＋c ＝0，且a ＜b ＜c ，所以a ＜0，c ＞0.因为b ＜c ，a ＜0，所以ab ＞ac ，所以B 不成立；因为a ＜b ，c ＞0，所以ac ＜bc ，所以C 成立；当b ＝0时，A ，D 都不成立．故选C.3. BD4. ABC 【解析】 取a ＝13，b ＝12，可知A ，B ，C 错误．因为0<a <b <1，所以b －a∈(0,1)，所以lg(b －a )<0，故D 正确．故选ABC.5.(－4,2) (1,18)【解析】因为－1<x <4,2<y <3，所以－3<－y <－2，所以－4<x －y <2.因为－3<3x <12,4<2y <6，所以1<3x ＋2y <18.【解答】(1)原不等式转化为6x 2＋5x －1>0，因为方程6x 2＋5x －1＝0的解为x 1＝16，x 2＝－1，所以根据二次函数y ＝6x 2＋5x －1的图象可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<－1或x>16.(2) 若a ＝0，原不等式转化为－x ＋1<0，即x >1. 若a <0，原不等式转化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)>0， 此时对应方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)＝0的两个根为x 1＝1a ，x 2＝1， 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<1a 或x>1.若a >0，原不等式转化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)<0， 此时对应方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)＝0的两个根为x 1＝1a ，x 2＝1. 当1a＝1，即a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当1a >1，即0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1<x<1a ；当1a <1，即a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1a <x<1. 综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<1a 或x>1；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1<x<1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1a <x<1.【解答】 (1) 由不等式x －3x >－2，可得x >2或x <1.由x>2，得x >4；由x<1，得x <1且x ≥0，即0≤x <1.所以不等式的解集为{x |x >4或0≤x <1}．(2)原不等式转化为(x －a )(x －a 2)<0.当a 2>a ，即a >1时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}；当a 2<a ，即0<a <1时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }；当a 2＝a ，即a ＝1时，不等式的解集为∅.(1) 【答案】 [0,4] 【解析】当a ＝0时，原不等式变为1≥0，恒成立，符合题意；当a ≠0时，由ax 2－ax ＋1≥0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，实数a 的取值范围为[0,4]．(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 方法一：当a ＝0时，原不等式可化为x <0，易知不合题意；当a ≠0时，令f (x )＝ax 2－x ＋a ，要满足题意，需⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a ≤1，f (1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a>1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a >0，解得a ≥12，所以a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞. 方法二：ax 2－x ＋a >0⇔ax 2＋a >x ⇔a >x x2＋1，因为x ∈(1，＋∞)时，x x2＋1＝1x ＋1x<12，所以a ≥12. (3) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋72，1＋32 【解析】已知不等式可化为(x 2－1)m ＋(1－2x )<0.设f (m )＝(x 2－1)m ＋(1－2x )，这是一个关于m 的一次函数(或常数函数)，从图象上看，要使f (m )<0在－2≤m ≤2时恒成立，其等价条件是⎩⎨⎧f (2)＝2(x 2－1)＋(1－2x )<0，f (－2)＝－2(x 2－1)＋(1－2x )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x2－2x －1<0，2x2＋2x －3>0，解得－1＋72<x <1＋32，所以实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋72，1＋32. 【解答】 (1) 因为当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 所以Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[－6,2]．(2) 由题意，可转化为x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立， 则(x 2＋ax ＋3－a )min ≥0(x ∈[－2,2])． 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，x ∈[－2,2]， 函数图象的对称轴方程为x ＝－a2.当－a 2<－2，即a >4时，g (x )min ＝g (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，舍去；当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，g (x )min ＝g⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0，解得－6≤a ≤2，所以－4≤a ≤2；当－a2>2，即a <－4时，g (x )min ＝g (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，所以－7≤a <－4.综上，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]． (3) 令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立， 只需⎩⎪⎨⎪⎧h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4x ＋3≥0，x2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋6， 所以实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．课堂评价 1.C【解析】 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，n ＝0，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b||a|<|b|＋1|a|＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，因为a <b <0，所以|b |<|a |成立，故选C. 2. C3. ABCD 【解析】 关于实数x 的一元二次不等式a (x －a )(x ＋1)>0，则a ≠0. 当a ＝－1时，原不等式的解集为∅，故A 正确；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(a ，＋∞)，故D 正确； 当－1＜a ＜0时，原不等式的解集为(－1，a )，故B 正确； 当a ＜－1时，原不等式的解集为(a ，－1)，故C 正确． 4.BCD【解析】对于A ，因为2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，所以由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x>1或x <－12，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x>1或x<－12，故A 错误；对于B ，因为－6x 2－x ＋2≤0，所以6x 2＋x －2≥0， 所以(2x －1)(3x ＋2)≥0，所以x ≥12或x ≤－23，故B 正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，所以－7×(－1)＝21a，所以a ＝3，经检验符合题意，故C 正确； 对于D ，依题意知q,1是方程x 2＋px －2＝0的两个根，则q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故D 正确．故选BCD.5.－3【解析】因为函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b∈R )的值域为(－∞，0]，所以Δ＝0，即a 2＋4b ＝0，所以b ＝－14a 2.又关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m )，所以方程f (x )＝c －1的两根分别为m －4，m ，即方程－x 2＋ax －14a 2＝c －1的两根分别为m －4，m .又方程－x 2＋ax －14a 2＝c －1的根为x ＝a2±1－c ，所以两根之差为21－c ＝m －(m －4)＝4，解得c ＝－3.第5讲 基本不等式链教材·夯基固本 激活思维1. C 【解析】 因为x >0，y >0，所以x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时取等号，故(xy )max ＝81. 2. D【解析】 因为1x ＋3y ＝1，所以x ＋3y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋3y ＝10＋3y x ＋3x y ≥10＋23y x ·3x y ＝16，当且仅当3y x ＝3x y 且1x ＋3y＝1，即x ＝y ＝4时取等号，故选D. 3.BD【解析】A 不正确，因为a ，b 不满足同号，故不能用基本不等式；B 正确，因为lg x 和lg y 一定是正实数，故可用基本不等式；C 不正确，因为x 和4x 不是正实数，故不能直接利用基本不等式；D 正确，因为 2x 和2－x 都是正实数，且2x ≠1,2－x ≠1，故2x ＋2－x >22x ·2－x ＝2成立，故D 正确．故选BD.4. 5 【解析】 令t ＝sin x ∈(0,1]，由y ＝t ＋4t 在(0,1]上单调递减，得y min ＝1＋41＝5.5. 1【解析】 因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时取等号，故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.知识聚焦1. (1) a ＞0，b ＞02. (1) x ＝y 2p (2) x ＝yp24研题型·融会贯通 分类解析【解答】 (1) 当a ＝0时，xy ＝x ＋4y ，两边同除以xy 得1y＋4x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1y ＋4x ＝x y ＋4y x ＋1＋4≥2x y ·4y x ＋5＝9，当且仅当xy＝4y x，即x ＝6，y ＝3时取“＝”，即当a ＝0时，x ＋y 的最小值为9.(2) 当a ＝5时，xy ＝x ＋4y ＋5≥24xy ＋5＝4xy ＋5，即有(xy )2－4xy －5＝(xy －5)(xy ＋1)≥0， 所以xy ≥5，即xy ≥25，当且仅当x ＝4y ，即x ＝10，y ＝52时取“＝”，即当a ＝5时，xy 的最小值为25. 【题组·高频强化】 1.20【解析】 因为log 5x ＋log 5y ＝2，所以x 和y 均为正数，由指数和对数的关系可得xy ＝52＝25，所以x ＋4y ≥2x ·4y＝20，当且仅当x ＝4y ，即x ＝10且y ＝52时等号成立，所以x ＋4y 的最小值是20.2. 45 【解析】 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以y ≠0且x 2＝1－y45y2，所以x 2＋y 2＝1－y45y2＋y 2＝15y2＋4y25≥215y2·4y25＝45，当且仅当15y2＝4y25，即x 2＝310，y 2＝12时取等号，所以x 2＋y 2的最小值为45.3. 5＋26 【解析】 因为x ＋y ＝1，所以x ＋2xy ＝x ＋2(x ＋y )xy ＝3x ＋2y xy ＝2x ＋3y＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋3y (x ＋y )＝2y x ＋3x y ＋5≥5＋26，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝3x y ，x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2，y ＝3－6时取等号．4. 6 【解析】 方法一(换元消元法)： 由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 方法二(代入消元法)：由x ＋3y ＋xy ＝9，x ＞0，y ＞0，得x ＝9－3y1＋y ，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y ＝9＋3y21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y －6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.5. 94 【解析】 1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4 ＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b ＋1a ＋1·4(a ＋1)b ＋1＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号，所以1a ＋1＋4b ＋1的最小值为94.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，174 【解析】 对于正实数x ，y ，由x ＋y ＋4＝2xy ， 得x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，解得x ＋y ≥4.不等式x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0可化为(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令t ＝x ＋y (t ≥4)，则该不等式可化为t 2－at ＋1≥0，即a ≤t ＋1t 对于任意的t ≥4恒成立．令u (t )＝t ＋1t(t ≥4)，则u ′(t )＝1－1t2＝t2－1t2>0对于任意的t ≥4恒成立，从而函数u (t )＝t ＋1t(t ≥4)为单调增函数，所以u (t )min ＝u (4)＝4＋14＝174，所以a ≤174.(1) 【答案】 4【解析】 原不等式变形为k (x －1)＋4x －1＋k ≥12， 则原问题转化成不等式k (x －1)＋4x －1≥12－k 在(1，＋∞)上恒成立，所以只需12－k ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤k (x －1)＋4x －1min 即可．根据均值定理可知，k (x －1)＋4x －1≥2k (x －1)·4x －1＝4k ，当且仅当k (x －1)＝4x －1时等号成立，所以只需12－k ≤4k 成立，即(k＋6)(k －2)≥0，所以k ≥4，即k min ＝4.(2) 【答案】 (－∞，22]【解析】 因为x >y >0，且xy ＝1，所以由x 2＋y 2≥a (x －y )， 得a ≤x2＋y2x －y.又x2＋y2x －y＝(x －y )2＋2xyx －y ＝x －y ＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝22，所以a ≤22.【解答】 (1) 设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ， 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20) ＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1)． (2) 由(1)知， S (x )＝8010⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋5x ＋4 160 ≥8010×22x ×5x ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760， 当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100 m ，宽40 m.【解答】 (1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162x m ，总造价y ＝400×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2×162x ＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋100x ＋12 960 ≥1 296×2x ×100x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号，所以当污水处理池的长为16.2 m ，宽为10 m 时总造价最低，最低为38 880元． (2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，所以818≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫818≤x ≤16，则g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤818，16上是增函数， 所以当x ＝818时，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即y min ＝1 296×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫818＋80081＋12 960＝38 882(元)． 所以当污水处理池的长为16 m ，宽为818 m 时总造价最低，最低为38 882元．课堂评价 1.BCD【解析】不等式a ＋b ≥2ab 恒成立的条件是a ≥0，b ≥0，故A 不正确；当a 为负数时，不等式a ＋1a≤2成立，故B 正确；由基本不等式可知C 正确；2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋1y (x ＋2y )＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝12，y ＝14时取等号，故D 正确． 2. ABD 【解析】 若m ，n ＞0，m ＋n ＝2，则1m ＋2n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m ＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋n m ＋2m n ≥3＋222，当且仅当n ＝2m ＝4－22时等号成立，A 正确．m ＋n ＝2≥2mn ，解得mn ≤1，所以mn 2≤12，(m＋n )2＝m ＋n ＋2mn ≤4，即m ＋n ≤2，B 正确，C 错误．m 2＋n 2≥(m ＋n )22＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，D 正确．故选ABD.3. (－1,4) 【解析】 由正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，则x ＋y4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋4y ＝2＋4x y ＋y 4x≥2＋24x y ·y4x＝4，当且仅当y ＝4x ＝8时取等号，所以x ＋y 4的最小值为4.由x＋y4>m2－3m恒成立，可得m2－3m<4，解得m∈(－1,4)．4. 4 【解析】因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab＝1，所以12a＋12b＋8a＋b＝b2ab＋a2ab＋8a＋b＝a＋b2＋8a＋b≥2a＋b2·8a＋b＝4，当且仅当a＋b＝4时取等号，结合ab＝1，解得a＝2－3，b＝2＋3或a＝2＋3，b＝2－3时等号成立．5. 2105【解析】因为4x2＋y2＋xy＝1，所以(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－32·2xy＝1，所以(2x＋y)2－32·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x＋y22≤1，解得(2x＋y)2≤85，即2x＋y≤2105。
2019版高考数学(文)一轮复习全国经典版：第1章 集合与常用逻辑用语 第1讲集合的概念与运算
第1讲集合的概念与运算板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1集合与元素1．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法．4．常见数集的记法A B或B A∅⊆A∅B(B≠∅)[必会结论]1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合{x|y＝x－1}与集合{y|y＝x－1}是同一个集合．()(2)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A⊆B，则实数m＝1 或m＝12.()(3)M＝{x|x≤1}，N＝{x|x>ρ}，要使M∩N＝∅，则ρ所满足的条件是ρ≥1.()(4)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y ∈B}中有4个元素．()(5)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x ＞3}，则A∩B＝()A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}答案 A解析∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.3．[课本改编]已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，则A∪B＝()A．[－1,4] B．(0,3]C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪(1,4]答案 A解析A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，故A∪B＝[－1,4]．选A.4．[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则() A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅答案 A解析∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.5．[2018·重庆模拟]已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∩(∁R B)的真子集的个数为()A．1 B．3C．4 D．7答案 B解析因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1<x<4}，故∁R B＝{x|x≤1或x≥4}，故A∩(∁R B)＝{0,1}，故A∩(∁B)的真子集的个数为3.故选B.R板块二典例探究·考向突破考向集合的基本概念例1(1)[2017·郑州模拟]已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈Z}，B ＝{p－q|p∈A，q∈A}，则集合B中元素的个数为()A．1 B．3C．5 D．7答案 C解析由题意知A＝{－1,0,1}，当p＝－1，q＝－1，0,1时，p －q＝0，－1，－2；当p＝0，q＝－1,0,1时，p－q＝1,0，－1；当p ＝1，q＝－1,0,1时，p－q＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，集合B中的元素为－2，－1，0,1,2，共计5个，选C.(2)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，则a＝________.答案－1解析由A∩B＝{－3}知，－3∈B.又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，A∩B＝{1，－3}．故a＝0舍去．②当a－2＝－3时，a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，满足A∩B＝{－3}，故a＝－1.触类旁通解决集合概念问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例(1)集合B中的代表元素为实数p－q.(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．【变式训练1】(1)[2018·昆明模拟]若集合A＝{x|x2－9x<0，x∈N *}，B ＝{|y 4y ∈N *，y ∈N *，则A ∩B 中元素的个数为________． 答案 3解析 解不等式x 2－9x <0可得0<x <9，所以A ＝{x |0<x <9，x ∈N *}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，又4y ∈N *，y ∈N *，所以y 可以为1,2,4，所以B ＝{1,2,4}，所以A ∩B ＝B ，A ∩B 中元素的个数为3.(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．答案 －32解析 因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)， 此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.考向 集合间的基本关系例 2 已知集合A ＝{x |x <－3或x >7}，B ＝{x |x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－1]解析 由题意知2m －1≤－3，m ≤－1，∴m 的取值范围是(－∞，－1]．本例中的B 改为B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，其余不变，该如何求解？解 当B ＝∅时，有m ＋1>2m －1，则m <2.当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，2m －1<－3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>7， 解得m >6.综上可知m 的取值范围是(－∞，2)∪(6，＋∞)．本例中的A 改为A ＝{x |－3≤x ≤7}，B 改为B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又该如何求解？解 当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时有m ＋1>2m －1，即m <2；当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－3，2m －1≤7，m ≥2，解得2≤m ≤4. 综上可知m 的取值范围是(－∞，4]．触类旁通根据两集合的关系求参数的方法(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【变式训练2】 设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系；(2)若B A ，求实数a 组成的集合C .解 (1)由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5，∴A ＝{3,5}．若a ＝15，由ax －1＝0，得15x －1＝0，即x ＝5.∴B ＝{5}．∴B A .(2)∵A ＝{3,5}，又B A ，故若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0；若B ≠∅，则a ≠0，由ax －1＝0，得x ＝1a .∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15.故C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15. 考向 集合的基本运算 命题角度1 集合的交集及运算例 3 [2017·山东高考]设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则M ∩N ＝( )A ．(－1,1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．(1,2)答案 C解析 ∵M ＝{x |0<x <2}，N ＝{x |x <2}，∴M ∩N ＝{x |0<x <2}∩{x |x <2}＝{x |0<x <2}．故选C.命题角度2 集合的并集及运算例 4 [2018·武汉模拟]设全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x －x 2>0}，B ＝{y |y ＝e x ＋1}，则A ∪B 等于( )A ．{x |x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >1}D ．{x |x >0} 答案 D解析 由2x －x 2>0得0<x <2，故A ＝{x |0<x <2}，由y ＝e x ＋1得y >1，故B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝{x |x >0}．故选D.命题角度3 集合的补集及运算例 5 [2016·浙江高考]已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( )A ．[2,3]B ．(－2,3]C ．[1,2)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 B解析∵Q＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴∁R Q＝(－2,2)，∴P∪(∁RQ)＝(－2,3]．故选B.命题角度4抽象集合的运算例6[2018·唐山统一测试]若全集U＝R，集合A＝{|x x＋1x－6≤0，B＝{x|2x<1}，则下图中阴影部分表示的集合是()A．{x|2<x<3} B．{x|－1≤x<0}C．{x|0≤x<6} D．{x|1≤x≤6}答案 C解析A＝{x|－1≤x<6}，B＝{x|x<0}，A∩(∁U B)＝{x|0≤x<6}．选C项．触类旁通集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和V enn图．核心规律解决集合问题，要正确理解有关集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性，采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴来解；(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若给定的集合是抽象集合，用Venn图求解．满分策略1.元素的属性：描述法表示集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)是正确求解集合问题的先决条件．2.元素的互异性：在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．3.空集的特殊性：在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，要先考虑∅是否成立，以防漏解.板块三启智培优·破译高考创新交汇系列1——集合中的创新性问题[2018·吉林模拟]设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M＝{2,3,6}，则∁U M表示的6位字符串为________；(2)已知A＝{1,3}，B⊆U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是________．解题视点考查新定义问题，关键是正确理解题目中的新定义，利用集合间的关系及运算解决问题．解析(1)由已知得，∁U M＝{1,4,5}，则∁U M表示的6位字符串为100110.(2)由题意可知A∪B＝{1,3,6}，而A＝{1,3}，B⊆U，则B可能为{6}，{1,6}，{3,6}，{1,3,6}，故满足条件的集合B的个数是4.答案(1)100110(2)4答题启示解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.跟踪训练设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A＝{1,2,3,4,5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有()A．10个B．11个C．12个D．13个答案 D解析“孤立元”是1的集合：{1}，{1,3,4}，{1,4,5}，{1,3,4,5}．“孤立元”是2的集合：{2}，{2,4,5}．“孤立元”是3的集合：{3}．“孤立元”是4的集合：{4}，{1,2,4}．“孤立元”是5的集合：{5}，{1,2,5}，{2,3,5}，{1,2,3,5}．共有13个．故选D.板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2017·全国卷Ⅱ]设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}答案 C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.2．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则()A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅答案 C解析M＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝[0,1]，所以N⊆M.故选C.3．[2017·山东高考]设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)答案 D解析∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2,2]．∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝(－∞，1)，∴A∩B＝[－2,1)．故选D.4．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是()A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 答案 D解析因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2.故选D.5．[2017·全国卷Ⅲ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y ＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3 B．2C ．1D ．0答案 B解析 集合A 表示以原点O 为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B 表示直线y ＝x 上的所有点的集合．由图形可知，直线与圆有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.故选B.6．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 集合B ＝{1,2,3,4}，有4个元素，集合A ＝{1,2}，则集合C 的个数问题可转化为{3,4}的子集个数问题，即22＝4.7.[2018·陕西模拟]设全集U ＝R ，集合A ＝{|x ∈Z x 3－x ≥0}，B ＝{x ∈Z |x 2≤9}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{x |0≤x <3}D ．{x |0≤x ≤3}答案 B解析 题图中阴影部分表示的是A ∩B ，因为A ＝{|x ∈Z xx －3≤0}＝{|x ∈Z ⎩⎪⎨⎪⎧x (x －3)≤0，x －3≠0}＝{x ∈Z |0≤x <3}＝{0,1,2}，B ＝{x ∈Z |－3≤x ≤3}＝{－3，－2，－1，0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{0,1,2}．故选B.8．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析 因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.9．[2018·郑州模拟]已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －m x －2<0，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.10．设m ，n ∈R ，集合{1，m ，m ＋n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，n ，n m ，则m －n ＝________.答案 －2解析 ∵{1，m ，m ＋n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，n ，n m 且m ≠0，∴m ＋n ＝0, 即m ＝－n ，于是nm ＝－1.∴由两集合相等，得m ＝－1，n ＝1，∴m －n ＝－2.[B 级 知能提升]1．已知集合A ＝{|y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈R }，B ＝{－2，－1,1,2}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－2，－1}B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0)C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－2，－1}答案 D解析 因为A ＝(0，＋∞)，所以A ∩B ＝{1,2}，(∁R A )∪B ＝{y |y ≤0或y ＝1,2}，A ∪B ＝{y |y >0或y ＝－1，－2}，(∁R A )∩B ＝{－1，－2}．所以D 正确．2．[2018·湖南模拟]设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 B解析 集合A 讨论后利用数轴可知⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，a －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a －1≤a .解得1≤a ≤2或a ≤1，即a ≤2.故选B.3．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i 两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1答案 B解析 由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确；由于1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确；由“权集”的定义可知a ja i 需有意义，故不能有0，同时不一定有1，故C ，D 错误．4．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R |ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z .解 (1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋3c ＋15＝0，c ＝－8，所以B ＝{x ∈R |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}．又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9，所以a ＝6，b ＝9，c ＝－8.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7即6x 2＋9x －8≤7， 所以2x 2＋3x －5≤0， 所以－52≤x ≤1， 所以P ＝{|x －52≤x ≤1}，所以P ∩Z ＝{|x －52≤x ≤1}∩Z ＝{－2，－1,0,1}．5．[2018·南宁段考]已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x ＜4}．(2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q 得P ⊆Q ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1，解得0≤a ≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．。
2019届高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合教案 理
(二)迁移考——利用集合间关系求参数
4．(2018·云南师大附中模拟)集合A＝{x|x2－a≤0}，B＝{x|x<2}，
若A⊆B，则实数a的取值范围是
()
A．(－∞，4]
B．(－∞，4)
C．[0,4]
D．(0,4)
解析：集合A就是不等式x2－a≤0，即x2≤a的解集．①当a<0
时，不等式无解，故A＝∅.此时显然满足A⊆B.②当a＝0时，不等
[典题领悟]
1．已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝log2(x－2)}，
则A∩B＝
()
A．(1,2)
B．[1,2)
考点二 集合间的基本关系
集合间的关系有相等、子集(包含真子集)等，其中子 集是高考考查重点，要能准确判定一个具体集合是否是另 一个具体集合的子集．多以选择题形式出现，属于基础题．
(一)直接考——两集合间基本关系的判断
1．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则
{(x，y)|y＝x}，则 A∩B 中元素的个数为
()
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：因为 A 表示圆 x2＋y2＝1 上的点的集合，B 表示直线 y
＝x 上的点的集合，直线 y＝x 与圆 x2＋y2＝1 有两个交点，
所以 A∩B 中元素的个数为 2.
答案：B
2．(2018·南昌模拟)已知集合 M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝
5．已知集合 A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数 x 的值为 ________． 解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4， ∴x＝1 或 x＝4. 答案：1 或 4
2019届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算精选教案理
###N 或N+###第1讲集合的概念与运算高考解读GAO KAOJIEDU极块—/考点请单 ' 谦前娄漏知识梳理』1. 兀素与集合(1)集合兀素的特性：_ 确定性、 互异性 _、无序性.⑵集合与兀素的关系：右 a 属于集合 A,记作a € A ；若b 不属于集合 A ,记作 b?A .⑶集合的表示方法： 列举法 、描述法、图示法.⑷ 常见数集及其付号表示自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集①A U B= A? B? A, A H B= A? A? B.②A H A= A , A H ? = ?.③A U A= A ，A U ? = A .④A H ?U A= __?__, A U ?U A= U , ?U( ?u A = A .⑤A? B? A H B= A? A U B= B?? u A? ?u B? A H( ?u0 = ?.对点检测j1.思维辨析(在括号内打“V”或“x”).(1) 集合{X2+ x, 0}中，实数x可取任意值.(x )(2) 任何集合都至少有两个子集.(x )⑶ 集合{x |y =・x — 1}与集合{y |y = x - 1}是同一个集合.(x ) ⑷ 若 A = {0,1} , B = {( x , y )| y = x + 1}，则 A ? B ( x )解析 (1)错误.由元素的互异性知 x 2 + X M 0,即卩X M0且X M — 1.(2)错误.？只有一个子集.⑶ 错误.{x |y = x — 1} = {x |x > 1}, {y |y = x — 1} = {y |y > 0}. ⑷ 错误.集合A 是数集，集合 B 是点集.2.(2017 •浙江卷)已知集合 P = {x | — 1<x <1}, Q= {x |0<x <2}，那么 P U Q= (A )A. ( —1,2)B. (0,1)C. ( —1,0)D. (1,2)解析 根据集合的并集的定义，得P U Q= ( — 1,2).3. (2017 •全国卷 I )已知集合 A ={x |x <1}, B = {x |3x <1}，则(A ) A. A n B = {x | x <0} B. A U B = R C. A U B = {x | x >1}D. A n B = ?解析 集合 A ={x |x <1}, B = {x | x <0},A n B= {x | x <0}, A U B= {x | x <1}.故选 A.4. (2017 •全国卷川)已知集合A = {( x , y )| x 2 + y 2= 1},B = {( x , y )| y = x }，贝U A nB中元素的个数为A. 3 C. 1板块二/考法林展-题型鮮码孝迭精讲jE 一集合的基本概念归纳总结集合元素性质的应用警示B. D.解析 /■ 2 2x + y = 1, 联立*y =x ，解得j ，贝U A n B =5.已知集合 A = {x |3 w x <7}, B= {x |2<x <10}，则?R (A U B ) = {x | x W2 或 x 》10}解析 •/ A U B = {x |2< x <10}, • ?R (A U B) = {x | x <2 或 x > 10}.2个元素.有(1) 确定集合的兀素是什么，即集合是数集还是点集.(2) 看这些元素满足什么限制条件.(3) 根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满 足元素的互异性.A. 1 C. 5⑵ 若集合A = {x € R|ax 2— 3x + 2 = 0}中只有一个元素，则 a = ( D )解析 (1) T A = {0,1,2} ,••• B = {x — y |x € A, y € A } = {0，— 1, — 2, 1,2}.故集合 B 中有5个元素.29 (2)当 a = 0 时，显然成立；当 a ^0 时，△= ( — 3) — 8a = 0,即卩.8£讥二集合的基本关系归纳总结(1) 空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造 成漏解. (2) 已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系， 进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.【例 2] (1)设 P = {y |y =— x 2+ 1, x € R} , Q= {y |y = 2x , x € F}，则(C )A. P ? QB. Q ? PC. ?R P ? QD. Q? ?R P(2)已知集合 A = {x | — 2< x <5}, B ={x |m ^ 1<x<2 m — 1}，若B ?代 则实数 m 的取值 范围为__( —a, 31.解析 (1)因为 P = { y | y =— x 2 + 1, x € R} = {y | y < 1}, Q= {y | y = 2x , x € R} = { y | y >0}, 所以？4={y |y >1}，所以?R P ? Q 选 C.(2) T B ? A ,.••①若 B = ?，贝 U 2m- 1<m+ 1,此时 m <2.2m-1 >1,②若 BM ?，贝U m+ 1>— 2,解得 2<3.2 m —1< 5,由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(一a, 3].•三集合的基本运算【例1】(1)已知集合 A = {0,1,2}，则集合B= {x — y |x € A, y € A }中元素的个数是B. 3 D. 9归纳总结集合基本运算的求解规律(1) 离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解.(2) 集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况.(3) 根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解.【例3】(1 )(2018 •广东汕头期末)已知集合A= {x|y = ln(1 —2x)} , B= {x|x2w x}, 全集U= A U B,则?u(A A B) = ( C )A. (-R, 0)B. , 1 1C. ( —R, 0) U £, 1 ID. [—1, 0 1(2)设集合U= R, A={x|2x(x—2)<1}, B={x|y= ln(1 —x)}，则图中阴影部分表示的集合为(B )A. {x|x> 1}B. {x|1 w x<2}C. {x|0<x w 1}D. {x|x w 1}(3) 已知集合A= {1,3 , n} , B= {1 , m , A U B= A,贝U m= ( B )A. 0 或3B. 0 或3C. 1 或3D. 1 或3解析(1)因为A= {x|y= In (1 —2x)} = {x|1 —2x>0} = —R, * ,B={x|x(x—1) w 0};n ；1 1 =[0,1],所以U= A U B= ( —R, 1]，又A n B= |0,-,所以?u(A n B) = ( —R, 0) U〔2 1 ',故选C.(2) ... 2x(x—2)<1,.・. x(x—2)<0,.・. 0<x<2,即A= {x|0< x<2}.又.y= In (1 —x),/• 1 —x>0,「. x<1,即B= {x| x<1}，二A n B= {x|0< x<1}.图中阴影部分表示？MA n B ,••• ?A(A n B) = {x|1 w x<2}，故选B.(3) . A U B= A,「. B? A,「. m€ A,m= 3或m 解得m= 0或3,故选B.才产四集合中的创新题■解湮技巧集合定义新情景的解决方法解决集合的新情景问题，应从以下两点入手：(1) 正确理解创新定义，这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题.常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等.(2) 合理利用集合性质.运用集合的性质是破解新定义型集合问题的关键，在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.【例4】已知集合A= {( x, y)| x2+ y2w 1, x, y€ Z}, B= {( x, y)|| x| < 2, | y| < 2, x, y€ Z}，定义集合A®B= {(X i + X2, y i + y2)|( X i, y i) € A (X2, y2)€B}，则A® B 中元素的个数为(C )A. 77B. 49C. 45D. 302 2解析A= {( x, y)| x + y w 1, x, y€ Z} = {( —1, 0), (0,0) , (1,0) , (0,1) , (0 ,1)} , B= {( x , y)|| x| w2 , | y| w2 , x , y€ Z}, A® B表示点集.由X1 = —1,0,1 , X2=— 2 , —1,0,1,2 ,得X1+ X2= —3, —2, —1,0,1,2,3 ,共7 种取值可能.同理，由y1= —1 , 0,1 ,y2= —2, —1,0,1,2 ,得屮 + y2 = —3, —2, —1,0,1,2,3 ,共7 种取值可能.当X1+ X2= —3或3时，y1 + y2可以为一2, —1,0,1,2 中的一个值，分别构成5个不同的点.当X1+ X2 = —2, —1,0,1,2 时，屮+学可以为一3, —2, —1,0,1,2,3 中的一个值，分别构成7个不同的点.故A® B共有2X 5+ 5X 7= 45(个)元素.递进题组』21. (2017 •全国卷H )设集合A= {1,2,4} , B= {x| x —4x + m= 0}.若A n B= {1},则B =(C )A. {1 , —3}B. {1,0}C. {1,3}D. {1,5}2解析因为A n B= {1},所以1€ B,即1是方程x —4X + m= 0的根，所以1 — 4 + m= 0 , m= 3,方程为X—4x + 3= 0,解得x= 1或x= 3,所以B= {1,3},故选C.2. (2017 •北京卷)若集合A= {x| —2<x<1}, B= {x| x<—1 或x>3},则A n B= ( A )A. {x| —2<x< —1}B. {x| —2<x<3}C. {x| —1<x<1}D. {x|1< x<3}解析由集合交集的定义可得A n B= {x| —2<x<—1},故选A.3. 已知集合A= {x| x2—3x + 2 = 0 , x € R}, B={x|0<x<5, x€ N},则满足条件A? C? B的集合C 的个数为（D ）A. 1B. 2C. 3D. 4解析 A = {1,2} , B= {1,2,3,4}, ••• A? C ? B ,.••满足条件的集合 C 有{1,2} , {1,2,3},{1,2,4} , {1,2,3,4} 共 4 个，故选 D.4.设 A B 是非空集合，定义 A ?B ={x |x € A U B 且x ?A A B }.已知集合 A = {x |0<x <2},B = {y | y >0}，贝U A ?B = __{0} U [2 ,+^)__.解析 A U B = {x |x >0}, A H B = {x |0< x <2}, 贝U A ?B= {0} U [2 ,+s ).板块三/考慧送捡*易错警示易错点1不注意检验集合元素的互异性错因分析：对于含字母参数的集合， 根据条件求出字母的值后， 容易忽略检验是否满足 集合元素的互异性及其他条件.解析•/ A =嗖a 2+ 5a , 12, a —1 人且一3€ A ,2 2•••①当 2a + 5a = — 3 时，2a + 5a + 3= 0, 326解得 a =- 1 或a =-2，其中 a =-1 时，2a + 5a =百=-3, 与集合元素的互异性矛盾，舍去； 3 " 12、a = —了时，A = — 3, 12,—百 满足题意.2 5 ②当一;=—3时，a =— 1，由①知应舍去. a — 13 综上，a 的值为一^.【跟踪训练 1】已知集合 A = {a 2, a + 1, — 3}, B = {a — 3, a — 2,a 2 +1},若A HB = {—3}，求 A U B解析由 A H B= { — 3}知，一3 € B.又a 2+1> 1,故只有a — 3, a — 2可能等于—3. ① 当 a — 3= — 3 时，a = 0,此时 A = {0,1 , — 3},— 3, — 2,1),A HB = (1 , — 3)，故 a = 0 舍去.② 当 a — 2=— 3 时，a =— 1,此时 A = {1,0 , — 3} , B = ( — 4, — 3,2),满足 A n B = { — 3}，从而 A U B = { — 4, - 3,0,1,2} 易错点2忽略空集【例1】 2已知集合A =「2a + 5a , 612,百，且—3€ A,求实数a 的值.错因分析：空集是个特殊集合.在以下四种条件中不要忽略B是空集的情形：①B? A;②B A(A非空):③ B n A= B;④ B U A= A【例 2 】设集合A= {0，—4} , B= {x|x2+ 2(a+ 1)x + a2— 1 = 0, x € R}.若B? A,则实数a的取值范围是____________ .解析因为A= {0，—4}，所以B? A分以下三种情况：①当B= A时，B= {0 , —4},由此知0和一4是方程x2+ 2(a+ 1)x + a2—1= 0的两个根，由根与系数的关系，得2 2r A = 4(a+1)—4(a —1 >0，—2 a+ 1 = —4，解得a= 1;a2— 1 = 0，②当BM ?且B A时，B= {0}或B= { —4}，2 2并且A= 4( a+1) —4( a —1) = 0，解得a=—1，此时B= {0}满足题意；2 2③当B= ?时，A= 4( a+1) —4( a —1)<0，解得a<—1.综上所述，所求实数a的取值范围是{a| a<—1或a= 1}.答案(一汽一1］U {1}【跟踪训练2】(2018 •江西临川一中月考)已知集合A= {x|3 W3x w27}，B ={x|log 2x>1}.(1) 分别求A n B (?R B) U A;⑵已知集合C= {x|1<x<a}，若C? A，求实数a的取值集合.解析(1) ••• 3W32W27，即卩31W3x W33，「.1W x<3，二A= {x|1 w x w3}.■/ log2x>1，即卩log 2X>log 22，「. x>2，「. B= {x| x>2}，••• A n B= {x|2< x w 3}，?R B= {x|x w 2}，A (?R B) U A= {x|x w 3}.(2) 由(1)知A= {x|1 w x w 3}，当C为空集时，a w 1；当C为非空集合时，可得1<a w 3.综上所述，a w 3.课时达标第1讲［解密考纲］本考点考查集合中元素的性质、集合之间的关系、集合的运算(一般以不等式、函数、方程为载体)，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在靠前的位置，题目难度不大.一、选择题 1.（2018 •河南郑州质量预测）设全集U = {x € N *|x w 4}，集合 A = {1,4} , B = {2,4}, 则?u （A n B ） = （ A ）A. {1,2,3}B. {1,2,4}C. {1,3,4}D. {2,3,4}解析 因为 U ^ {1,2,3,4}, A n B = {4}，所以？*A n B ） = {1,2,3}，故选 A .2. （2017 •天津卷）设集合 A = {1,2,6} , B = {2,4} , O {x € R — 1W x < 5}，则（A U B ）n C =（B ）A. {2}B. {1,2,4}C. {1,2,4,6}D. {x € R| — 1W x w 5}解析 A U B = {1,2,4,6} , （A U B ） n C = {1,2,4}，故选 B.3. 设集合 M= {x |x = x } ,N= {x |lg x w 0}，贝y MU N= （ A ）A [0,1] B. （0,1] C. [0,1）D. （—R, 1]解析 T M= {x | x 2= x } = {0,1} , N= {x |lg x w 0} = {x |0< x w 1}, ••• M U N= {x|0 w x w 1}，故选 A .4. 已知集合 A = {y |y =|x | — 1 , x € R} , B = {x |x >2}，则下列结论正确的是 （A ） A. — 3€ AB. 3?BC. A n B = BD. A U B = B解析 由题知A = {y |y >— 1}，因此A n B= {x |x >2} = B ,故选C.5. 若集合 A = { — 1,1} , B = {0,2}，则集合{z |z = x + y , x € A , y € 中的元素的个数 为（C ）A. 5 C. 3解析 当 x =— 1, y = 0 时，z =— 1;当 x =—1, y = 2 时，z = 1;当 x = 1, y = 0 时，z =1 ;当 x = 1, y = 2 时，z = 3，故集合{z |z = x + y , x €A , y €B } = { — 1,1,3}中的元素个数 为3,故选C .6.满足 M {a 1, a 2, a s , a 。
2019版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算精盐件理
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1．元素与集合 (1)集合元素的特性：__确__定__性____、__互__异__性____、无序性． (2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作____a_∈__A___；若b不属于集合A，记 作___b_∉__A__. (3)集合的表示方法：___列__举__法___、____描__述__法__、图示法． (4)常见数集及其符号表示
是( C )
A．1
B．3
C．5
D．9
(2)若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a＝( D )
A．92
B．98
C．0
D．0 或98
解析 (1)∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2，1,2}．故集 合 B 中有 5 个元素．
(2)当 a＝0 时，显然成立；当 a≠0 时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即 a＝98.
A．(－1,2)
B．(0,1)
C．(－1,0)
D．(1,2)
解析 根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．
3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( A )
A．A∩B＝{x|x<0}
B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1}
D．A∩B＝∅
解析 集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，
二 集合的基本关系
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否 则会造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的 关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
2019版高考数学一轮复习 第一部分 基础与考点过关 第一章 集合与常用逻辑用语学案
第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．① 学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系.②学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化.③集合含义中掌握集合的三要素.④不要求证明集合相等关系和包含关系．1. (必修1P7练习1改编)用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为______________．答案：{1，2}解析：∵ x2－3x＋2＝0，∴ x＝1或x＝2.故集合为{1，2}．2. (必修1P10习题5改编)由x2，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值不可以是______________．答案：0和1解析：由 x2＝x可解得x＝0或x＝1.3. (必修1P9练习1改编)集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是__________．答案：7解析：A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0，1，2}，∴真子集有7个．4. (必修1P10练习6改编)设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}．若A⊆B，则m的取值范围是____________．答案：[3，＋∞)解析：A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，A⊆B，将集合A，B在数轴上表示(图略)，可得m≥3.5. (必修1P10习题5改编)A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}中只有一个元素，则实数k的值为____________．答案：0或1解析：当k＝0时，集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}＝{x|x＝－1}，满足条件，当k≠0时，由判别式等于0可得16－16k＝0，解得k＝1，此时，集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}＝{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}，满足条件，综上可得，k＝0或k＝1.1. 集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(1) 若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作b∉A.(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合的不同与元素的排列顺序无关． (3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{ }内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内． 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N ；正整数集记作N *或N ＋；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R ；复数集记作C ．2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．(2) 集合与集合之间的关系① 包含关系：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ，读作“集合A 包含于集合B”或“集合B 包含集合A”．② 真包含关系：如果A ⊆B ，并且A≠B，那么集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A ，读作“集合A 真包含于集合B”或“集合B 真包含集合A ”．③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A 中的元素都是B 中的元素且B 中的元素都是A 中的元素，则称这两个集合相等．(3) 简单关系 ① A ⊆A ； ② ∅⊆A ；③ 若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；④ 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个，真子集共有2n －1个，非空子集共有2n－1个，非空真子集有⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝0，2n －2，n ≥1个．[备课札记]1 集合的基本概念1 已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1.若－3∈A，试求实数a 的值． 解：∵ －3∈A，∴ －3＝a －3或－3＝2a －1，若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.变式训练已知集合A 中有且仅有三个数1，0，a ，若a 2∈A ，求a 的值．解：若a 2＝0，则a ＝0，不符合集合中元素的互异性，∴ a 2≠0.若a 2＝1，则a ＝±1，由元素的互异性知a≠1，∴ a ＝－1时适合．若a 2＝a ，则a ＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．综上可知a ＝－1.2 集合间的基本关系2 已知A ＝{－1，1}，B ＝{x|x 2－ax ＋b ＝0}≠∅.若B ⊆A ，求实数a ，b 的值．解：∵ B ⊆A ，A ＝{－1，1}，B ≠∅，∴ B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1，1}．若B ＝{－1}，则方程x 2－ax ＋b ＝0有且只有一个实数根－1，即Δ＝(－a)2－4b ＝0，且(－1)2－a×(－1)＋b ＝0，此时a ＝－2，b ＝1.若B ＝{1}，则方程x 2－ax ＋b ＝0有且只有一个实数根1，即Δ＝(－a)2－4b ＝0，且12－a×1＋b ＝0，此时a ＝2，b ＝1.若B ＝{－1，1}，则方程x 2－ax＋b ＝0有两个不相等的实数根－1，1，即(－1)2－a×(－1)＋b ＝0，12－a×1＋b ＝0，此时a ＝0，b ＝－1.综上所述，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1时，B ⊆A., 3) 已知集合M ＝{a ，a ＋d ，a ＋2d}，N ＝{a ，aq ，aq 2}(a 为非零常数)．若M ＝N ，求q 的值．解：由题意，若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋d ＝aq ，a ＋2d ＝aq 2，则a(q －1)2＝0，q ＝1(a≠0)．然而q ＝1与集合中元素的互异性矛盾，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋d ＝aq 2，a ＋2d ＝aq ⇒a(q －1)(2q ＋1)＝0.因为a≠0，q ≠1，所以q ＝－12.故所求q 的值为－12.变式训练已知A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，B ⊆A ，求m 的取值范围．解：当m ＋1>2m －1，即m<2时，B ＝∅，满足B ⊆A ，即m<2；当m ＋1＝2m －1，即m ＝2时，B ＝{3}，满足B ⊆A ，即m ＝2；当m ＋1<2m －1，即m>2时，由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，即2<m≤3.综上，得m≤3.备选变式（教师专享）一个含有三个实数的集合可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，1，b a ，也可表示为{a ＋b ，0，a 2}，则a 2 018＋b2 018＝________．答案：1解析：若集合相等，则集合的元素对应相等，并且集合还需满足确定性、互异性、无序性，所以b a ＝0，得b ＝0，此时{a ，1，0}＝{a ，0，a 2}，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ≠1，故a ＝－1，所以a 2 018＋b 2 018＝1., 3 根据集合的关系求参数的取值范围), 4) 已知集合A ＝{x|x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：B ⊆A 可分为B A 和B ＝A 两种情况，易知A ＝{0，－4}．(1) 当A ＝B ＝{0，－4}时，∵ 0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧16－8（a ＋1）＋a 2－1＝0，a 2－1＝0， ∴ a ＝1.(2) 当B A 时，有B≠∅或B ＝∅.① 当B≠∅时，B ＝{0}或B ＝{－4}，∴ 方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有相等的实数根0或－4，∴ Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，∴ a ＝－1，∴ B ＝{0}满足条件．② 当B ＝∅时，Δ<0，∴ a<－1.综上，所求实数a 的取值范围是a≤－1或a ＝1. 变式训练已知集合A ＝{x|－2≤x≤a}，B ＝{y|y ＝2x ＋3，x ∈A}，C ＝{z|z ＝x 2，x∈A}，且C ⊆B ，求正数a 的取值范围．解：B ＝{x|－1≤x≤2a＋3}，当0<a≤2时，C ＝{x|0≤x≤4}，而C ⊆B ，则2a ＋3≥4，即a≥12，即12≤a ≤2；当a>2时，C ＝{x|0≤x≤a 2}，而C ⊆B ，则2a ＋3≥a 2，即 2<a≤3.综上，得 12≤a ≤3.备选变式（教师专享）设集合A ＝{1，2，3，…，10}，求集合A 的所有非空子集元素的和．解：含有1的子集有29个，含有2的子集有29个，含有3的子集有29个，…，含有10的子集有29个，∴ (1＋2＋3＋…＋10)×29＝28 160.1. (2018·溧阳中学周练)已知集合S ＝{0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x∈A时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个．答案：6解析：由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}，这样的集合共有6个．2. 已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y)|x ，y ∈R ，且y ＝x}，则A∩B 的元素个数为________________________________________________________________________．答案：2解析：直接解方程组可得两组解，即A∩B 的元素个数为2.3. 若x∈A，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，{12，2}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.4. (2017·溧阳中学月考)若集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0}的子集至多有两个，则实数a 的取值范围是________．答案：{0}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞ 解析：若集合A 的子集只有两个，则A 中只有一个元素．当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴ a ＝98.故a ＝0或98.若集合A 的子集只有一个，则A ＝∅，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，a ≠0，解得a>98，故实数a 的取值范围是{0}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.5. 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x|0<x<5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．答案：4解析： 用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数．由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴ A ＝{1，2}．由题意知B ＝{1，2，3，4}，∴ 满足条件的C 可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．, 1. 遗忘空集致误)典例 若集合M ＝{x|x 2＋x －6＝0}，N ＝{x|ax ＋1＝0}，且N ⊆M ，则由a 的可取值组成的集合为________．易错分析：从集合的关系看，N ⊆M ，则N ＝∅或N≠∅，易遗忘N ＝∅的情况． 解析：M ＝{－3，2}．当a ＝0时，N ＝∅，满足N ⊆M ；当a≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a，为满足N ⊆M 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12特别提醒：(1) 根据集合间的关系求参数的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征；(2) 在解答本题时，一是不要忽略对空集的讨论，如a ＝0时，N ＝∅；二是注意对字母的讨论，如－1a可以为－3或2.一定要注意分类讨论，避免漏解．1. (2018·溧阳中学期初)已知集合A ＝{2＋a ，a}，B ＝{－1，1，3}，且A ⊆B ，则实数a 的值是________．答案：1解析：易知a>0.当a ＝1时，A ＝{1，3}，B ＝{－1，1，3}，满足题意；当a ＝3时，A ＝{3，2＋3}，B ＝{－1，1，3}，不满足题意．所以实数a 的值为1.2. 若集合A ＝{－1，1}，B ＝{0，2}，则集合{z ︱z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为________．答案： 3解析：容易看出x ＋y 只能取－1、1、3这三个数值．故共有3个元素.3. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a <0，且2∈A，3∉A ，则实数a 的取值范围是________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2，3] 解析：因为2∈A，所以2a －12－a ＜0，即(2a －1)(a －2)＞0，解得a ＞2或a ＜12.①若3∈A，则3a －13－a ＜0，即(3a －1)(a －3)＞0，解得a ＞3或a ＜13，所以3∉A 时，13≤a≤3.②由①②可知，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2，3]． 4. 已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y )|x∈A，y ∈A ，x －y ∈A}，则B 中所含元素的个数为________．答案：10解析：由x －y∈A 及A ＝{1，2，3，4，5}得x>y.当y ＝1时，x 可取2，3，4，5，有4个；当y ＝2时，x 可取3，4，5，有3个；当y ＝3时，x 可取4，5，有2个；当y ＝4时，x 可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素是什么，然后再看元素的限制条件，即有何属性，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y ＝f(x)}、{(x ，y)|y ＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅和A≠∅两种可能的情况．3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．第2课时集合的基本运算(对应学生用书(文)、(理)4～5页)理解两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用Venn图表示集合的关系及运算．① 在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中就是对立面.②会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”.③会使用Venn图表示集合的关系及运算；对于数集有时也可以用数轴表示．1. (必修1P13练习1改编)设集合A＝{平行四边形}，B＝{对角线相等的四边形}，则A∩B ＝________．答案：{矩形}解析：对角线相等的平行四边形为矩形．2. (必修1P13练习3改编)已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2＋6x＋16，x∈R}，则A∪B＝________.答案：[－1，＋∞)解析：依题意知A＝[－1，＋∞)，B＝[7，＋∞)，所以A∪B＝[－1，＋∞)．3. (必修1P9练习2改编)设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{x|x≤1}，B＝{－2，0，2}，则∁U(A∩B)＝__________．答案：{－1，1，2}解析：∵ A∩B＝{－2，0}∴∁U(A∩B)＝{－1，1，2}．4. (必修1P10习题4改编)已知集合A＝{0，2，4，6}，∁U A＝{－1，1，－3，3}，∁U B＝{－1，0，2}，则集合B＝__________．答案：{1，4，6，－3，3}解析：∵ ∁U A＝{－1，1，－3，3}，∴ U＝{－1，1，0，2，4，6，－3，3}．又∁U B＝{－1，0，2}，∴ B＝{1，4，6，－3，3}．5. (必修1P14习题10改编)设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有__________个．答案：3解析：全集U＝A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，A∩B＝{4，7，9}，∴∁U(A∩B)＝{3，5，8}，∴∁U(A∩B)中的元素共有3个．1. 集合的运算(1) 交集：由所有属于A且属于B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2) 并集：由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(3) 全集：如果集合S含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U来表示．一切所研究的集合都是这个集合的子集．(4) 补集：集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫做A 的补集，记作∁S A，即∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．2. 常用运算性质及一些重要结论(1) A∩B＝B∩A，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A∩B＝A ⇔A ⊆B. (2) A∪B＝B∪A，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B. (3) ∁S (∁S A)＝A ，∁S ∅＝S ， (∁S A )∪(∁S B)＝∁S (A∩B)， (∁S A )∩(∁S B)＝∁S (A∪B)．[备课札记], 1 集合的运算), 1) 已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1x ≥1，B ＝{y|y ＝x 2＋x ＋1，x ∈R }．(1) 求A ，B ；(2) 求A∪B，A ∩(∁R B)．解：(1) 由1x ≥1，得1x －1＝1－xx≥0，即x(x －1)≤0且x≠0，解得0<x≤1，所以A ＝(0，1]．由y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，得B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.(2) 因为∁R B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，34，所以A∪B＝(0，＋∞)，A ∩(∁R B)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34. 变式训练已知A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x|x 2－mx ＋2＝0}，且A∪B ＝A ，A ∩C ＝C ，求实数a 及m 的值．解：∵ A＝{1，2}，B ＝{x|(x －1)[x －(a －1)]＝0}，又A∪B＝A ，∴ B ⊆A. ∴ a －1＝2⇒a ＝3(此时A ＝B)， 或a －1＝1⇒a ＝2(此时B ＝{1})．由A∩C＝C ⇒C ⊆A ，从而C ＝A 或C ＝∅(当C ＝{1}或C ＝{2}时，可检验不符合题意)． 当C ＝A 时，m ＝3；当C ＝∅时，Δ＝m 2－8<0⇒－22<m<2 2.综上可知a ＝2或a ＝3，m ＝3或－22<m<2 2. 备选变式（教师专享）已知两个正整数集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{a 21，a 22，a 23，a 24}，其中a 1<a 2<a 3<a 4.若A∩B ＝{a 1，a 4}，且a 1＋a 4＝10，且A∪B 的所有元素之和是124，求集合A ，B.分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用．解：∵ 1≤a 1<a 2<a 3<a 4，∴ a 21<a 22<a 23<a 24，∵ A ∩B ＝{a 1，a 4}，∴ 只可能有a 1＝a 21⇒a 1＝1，而a 1＋a 4＝10，∴ a 4＝9，∴ a 24≠a 4.(1) 若a 22＝a 4，则a 2＝3，∴ A ∪B ＝{1，3，a 3，9，a 23，81}，∴ a 3＋a 23＋94＝124⇒a 3＝5；(2) 若a 23＝a 4，则a 3＝3，同样可得a 2＝5>a 3，与条件矛盾，不合题意． 综上，A ＝{1，3，5，9}，B ＝{1，9，25，81}．, 2 根据集合的运算求参数的取值范围), 2) 设A ＝{x|a≤x≤a＋3}，B ＝{x|x<－1或x>5}，当a 为何值时， (1) A∩B≠∅； (2) A∩B＝A ；(3) A∪(∁R B)＝∁R B. 解：(1) A∩B≠∅，∵ 集合A 的区间长度为3，∴ 由图可得a<－1或a ＋3>5，解得a<－1或a>2，∴ 当a<－1或a>2时，A ∩B ≠∅.(2) ∵ A∩B＝A ，∴ A ⊆B.由图得a ＋3<－1或a>5，即a<－4或a>5时，A ∩B ＝A.(3) 由补集的定义知∁R B ＝{x|－1≤x≤5}， ∵ A ∪(∁R B)＝∁R B ，∴ A ⊆∁R B.由图得⎩⎪⎨⎪⎧a≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a≤2.变式训练设全集是实数集R ，A ＝{x|2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x|x 2＋a<0}． (1) 当a ＝－4时，求A∩B 和A∪B；(2) 若(∁R A )∩B＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1) A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x≤3.当a ＝－4时，B ＝{x|－2<x<2}，∴ A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x<2，A ∪B ＝{x|－2<x≤3}．(2) ∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<12或x>3. 当(∁R A )∩B＝B 时，B ⊆∁R A ，即A∩B＝∅. ① 当B ＝∅，即a≥0时，满足B ⊆∁R A ；② 当B≠∅，即a<0时，B ＝{x|－－a<x<－a}，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a<0.综上可得，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a≥－14.备选变式（教师专享）设集合A ＝{x|x 2－2x ＋2m ＋4＝0}，B ＝{x|x<0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围． 解：(解法1)命题⇔方程x 2－2x ＋2m ＋4＝0至少有一个负实数根，设M ＝{m|关于x 的方程x 2－2x ＋2m ＋4＝0两根均为非负实数}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（－2m －3）≥0，x 1＋x 2＝2>0，x 1x 2＝2m ＋4≥0，⇒－2≤m≤－32，∴ M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|－2≤m≤－32.设全集U ＝{m|Δ≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|m≤－32，∴ m 的取值范围是∁U M ＝{m|m<－2}．(解法2)命题⇔方程的小根x ＝1－－2m －3<0 ⇒－2m －3>1⇒－2m －3>1⇒m<－2., 3 集合的综合应用), 3) 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －5x ＋1≤0，B ＝{x|x 2－2x －m<0}． (1) 当m ＝3时，求A∩(∁R B)；(2) 若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m 的值．解：因为x －5x ＋1≤0，所以－1<x≤5，所以A ＝{x|－1<x≤5}．(1) 当m ＝3时，B ＝{x|－1<x<3}， 则∁R B ＝{x|x≤－1或x≥3}， 所以A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5}．(2) 因为A ＝{x|－1<x≤5}，A ∩B ＝{x|－1<x<4}，所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. 此时B ＝{x|－2<x<4}，符合题意， 故实数m 的值为8. 备选变式（教师专享）已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝1，x ∈R ，y ∈R ，B ＝{(x ，y)|y ＝ax ＋2，x ∈R ，y ∈R }，若A∩B＝∅，求实数a 的值．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －2＝1，y ＝ax ＋2得(1－a)x ＝1，当a ＝1时，方程组无解；当a≠1时，x ＝11－a ，若11－a ＝2，即a ＝12，此时x ＝2为增根，所以方程组也无解． 从而a ＝1或a ＝12时，A ∩B ＝∅.反思：本题也可利用数形结合方法解．, 4 与集合运算有关的新定义问题), 4) 定义集合运算A*B ＝{x|x∈A，或x∈B，但x ∉A ∩B}，设A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，5，6，7}，则(A*B)*A ＝________．答案：{1，2，5，6，7}解析：A*B ＝{3，4，5，6，7}，∴ (A*B)*A ＝{1，2，5，6，7}． 变式训练(必修1P 14习题13改编)设A ，B 是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且x ∉A ∩B}．若A ＝{x|y ＝x 2－3x}，B ＝{y|y ＝3x}，则A×B ＝__________．答案：(－∞，3)解析：集合A 即为函数f(x)＝x 2－3x 的定义域，由x 2－3x≥0⇒x ≤0或x≥3，故集合A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，集合B 即为函数g(x)＝3x的值域，故B ＝(0，＋∞)，从而有A∪B ＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)，由定义知A×B＝(－∞，3)．备选变式（教师专享）(2018·洪泽中学单元卷)对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x|x ∈A 且x ∉B}，A*B ＝(A －B)∪(B－A)，记A ＝{y|y ≥0}，B ＝{x|－3≤x≤3}，则A*B ＝________．答案：[－3，0)∪(3，＋∞) 解析：由题意知，A －B ＝{x|x ＞3}，B －A ＝{x|－3≤x＜0}，A*B ＝(A －B)∪(B－A)＝[－3，0)∪(3，＋∞)．反思：本题考查集合的运算新定义问题，属于难题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．本题定义一种运算A －B ＝{x|x∈A 且x ∉B}，A*B ＝(A －B)∪(B－A)达到考查集合运算的目的．1. (2018·四川雅安中学月考)已知M ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y|x 2＋y 2＝1，x ∈R ，y ∈R }，则M∩N＝________．答案：[0，1]解析：由题意得M ＝[0，＋∞)，由x 2＋y 2＝1，得到－1≤y≤1，即N ＝[－1，1]，则M∩N ＝[0，1]．2. 已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}．若A∪B＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为__________． 答案：2解析：A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，A ∪B ＝{0，1，2，3}，则a ＝2. 3. 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，那么A ∪(∁U B)＝__________． 答案：{1，2，5}解析：∵ ∁U B ＝{1，5}，∴ A ∪(∁U B)＝{1，2，5}．4. 已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{1，3，5，7，9}，C ＝A∩B，则集合C 的子集的个数为__________．答案：8解析：C ＝{1，3，5}，则集合C 的子集的个数为8.5. 设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{a －1，a ＋1a}，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为__________．答案：1解析：0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由 a ＋1a ≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1., 2. 集合关系不能转化)典例 设A ＝{(x ，y)|y 2－x －1＝0}，B ＝{(x ，y)|4x 2＋2x －2y ＋5＝0}，C ＝{(x ，y)|y ＝kx ＋b}，是否存在k ，b ∈N ，使得(A∪B)∩C＝∅，并证明你的结论．易错分析：难点在于对集合关系的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手．解：∵ (A∪B)∩C＝∅， ∴ A∩C＝∅且B∩C＝∅.∵ ⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋1，y ＝kx ＋b ，∴ k 2x 2＋(2bk －1)x ＋b 2－1＝0. ∵ A ∩C ＝∅，∴ Δ1＝(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0，∴ 4k 2－4bk ＋1<0，此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0，即b 2>1 ①.∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋2x －2y ＋5＝0，y ＝kx ＋b ， ∴ 4x 2＋(2－2k)x ＋(5－2b)＝0.∵ B ∩C ＝∅，∴ Δ2＝(1－k)2－4(5－2b)<0，∴ k 2－2k ＋8b －19<0，从而8b<20，即b<2.5 ②.由①②及b∈N ，得b ＝2，代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2－8k ＋1<0，k 2－2k －3<0，∴k ＝1.故存在自然数k ＝1，b ＝2，使得(A∪B)∩C＝∅.特别提醒：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C＝∅转化为A∩C＝∅且B∩C＝∅.要能够借助Venn 图充分理解集合的交、并、补之间的关系及熟练转化．1. (2018·遂宁射洪中学入学考试)设集合U ＝{x|x ＜5，x ∈N *}，M ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}，则∁U M ＝________．答案：{1，4}解析：集合U ＝{x|x<5，x ∈N *}＝{1，2，3，4}，M ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，则∁U M ＝{1，4}．2. 设集合A ＝{x∈R |⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －3≤0}，B ＝{x ∈Z |x －2>0}，则A∩B＝________．答案：{3}解析：∵ A＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x∈Z |x>2}，∴ A ∩B ＝{x ∈Z |2<x ≤3}＝{3}．3. 设U ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B＝∅，则m 的值是________．答案：1或2解析：A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B＝∅，得B ⊆A.∵ 方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴ B ≠∅. ∴ B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ① 若B ＝{－1}，则m ＝1；② 若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴ B ≠{－2}；③ 若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴ m 的值是1或2.4. 某校高一年级举行语、数、英三科竞赛，高一(2)班共有32名 同学参加三科竞赛，有16人参加语文竞赛，有10人参加数学竞赛，有16人参加英语竞赛，同时参加语文和数学竞赛的有3人，同时参加语文和英语竞赛的有3人，没有人同时参加全部三科竞赛，问：同时参加数学和英语竞赛的有多少人？只参加语文一科竞赛的有多少人？解：设所有参加语文竞赛的同学组成的集合用A 表示，所有参加数学竞赛的同学组成的集合用B 表示，所有参加英语竞赛的同学组成的集合用C 表示，设只参加语文竞赛的有x 人，只参加数学竞赛的有y 人，只参加英语竞赛的有z 人，同时参加数学和英语竞赛的有m 人．根据题意，可作出如图所示Venn 图，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＋3＋y ＋m ＋z ＝32，x ＋3＋3＝16，y ＋m ＋3＝10，z ＋m ＋3＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝3，z ＝9，m ＝4.答：同时参加数学和英语竞赛的有4人，只参加语文一科竞赛的有10人．1. 集合的运算结果仍然是集合．进行集合运算时应当注意： (1) 勿忘对空集情形的讨论； (2) 勿忘集合中元素的互异性；(3) 对于集合A 的补集运算，勿忘A 必须是全集的子集； (4) 已知两集合间的关系求参数或参数范围时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．还要注意“回代检验”，从而对所求数值进行合理取舍．2. 在集合运算过程中应力求做到“三化” (1) 意义化：首先明确集合的元素的意义，它是怎样类型的对象(数集、点集，图形等)？是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？(2) 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．(3) 直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．[备课札记]第3课时简单的逻辑联结词、量词(对应学生用书(文)、(理)6～8页)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义．①会分析四种命题的相互关系.②会判断必要条件、充分条件与充要条件.③能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(真值表不作要求).④能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.⑤能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1. 写出命题“若a＝0，则ab＝0”的逆否命题：________________________________________________________________________.答案：若ab≠0，则a≠02. 原命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有________个．答案：13. (改编题)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的____________条件．答案：充分不必要解析：a＝3时，A＝{1，3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.所以a＝3是A⊆B的充分不必要条件．4. (改编题)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1 对称的充要条件是____________．答案：m＝－2解析：已知函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.5. (改编题)已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1＜0，则綈p为__________．答案：∀x∈R，x2＋x－1≥0解析：含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即綈p：∀x∈R，x2＋x－1≥0.1. 四种命题及其关系(1) 四种命题①如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题；②如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；③如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题．命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2)(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2. 充分条件与必要条件(1) 如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2) 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充要条件，记作p⇔q.(3) 如果p⇒q，q⇒/__p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q⇒p，p⇒/__q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p⇒/ q，且q⇒/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．3. 简单的逻辑联结词(1) “或”“且”“非”叫做逻辑联结词．①或：两个简单命题至少一个成立.②且：两个简单命题都成立.③非：对一个命题的否定．(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(4) 一个命题p的否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．(5) 命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p∧q中p，q有一假为假，p∨q中p，q有一真为真，p与非p必定是一真一假．4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀x”表示“对任意x”．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃x”表示“存在x”．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“M中存在一个x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．5. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x)∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x)[备课札记], 1 四种命题及其相互关系), 1) (1) 命题“若a ＞b ，则2a ＞2b－1”的否命题为______________；(2) (2018·溧阳中学摸底)命题“∃x<0，有x 2>0”的否定是________________．(3) 命题“若x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0”是________命题．(选填“真”或“假”)答案：(1) 若a≤b，则2a ≤2b －1 (2) ∀x<0，有x 2≤0 (3) 真 解析：(3) 很可能许多同学会认为它是假命题(原因m ＝0时显然方程有根)，其实不然，由x 2＋x －m ＝0没有实根可推得m<－14，而⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|m<－14是{m|m≤0}的真子集，由m<－14可推得m≤0，故原命题为真．其实，用逆否命题很容易判断它是真命题．【精要点评】 本题考查了命题间的关系，由原命题写出其否命题、逆否命题．原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．变式训练下列命题中不是真命题的是__________．(填序号) ① “若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题；② “若x 2＋y 2≠0，则x, y 不全为零”的否命题；③ “∃x ∈R ，使x 2＋1>3x”的否定；④ “若m>0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题． 答案：③解析：①中命题的逆命题为若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题，故①正确；②中命题的否命题为若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零，为真命题，故②正确；③中命题的否定为∀x∈R ，使x 2－3x ＋1≤0 ，因为Δ＝(－3)2－4＝5>0，故③错误；④中命题x 2＋x －m ＝0有实根⇔Δ＝1＋4m≥0⇒m ≥－14⇒若m>0，则x 2＋x －m ＝0有实根为真命题⇒其逆否命题也为真命题，故④正确．故填③.备选变式（教师专享）命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是____________________________________．答案：若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数解析：由于“x，y 都是偶数”的否定表达是“x，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”., 2 充分条件和必要条件)●典型示例, 2) 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x|x ＋m 2≥1}．p ：x∈A，q ：x∈B，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【思维导图】 对集合进行化简→将条件间的关系转化为集合间的包含关系→利用集合间的关系列出关于m 的不等式→求出实数m 的范围【规范解答】 解： 化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716.∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴ y min ＝716，y max ＝2.∴ y∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.∴ A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|716≤y≤2.化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x≥1－m 2，B ＝{x|x≥1－m 2}．∵ 命题p 是命题q 的充分条件，∴ A ⊆B.∴ 1－m 2≤716，解得m≥34或m ≤－34.∴ 实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 【精要点评】 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．●总结归纳充要关系的几种判断方法(1) 定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2) 等价法：即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ；B ⇒A 与綈A ⇒綈B ；A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．●题组练透1. “m<14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的______________(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14.2. 已知p ：x≥k，q ：(x ＋1)(2－x)＜0，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是____________．答案：(2，＋∞)解析：由q ：(x ＋1)(2－x)＜0，得x ＜－1或x ＞2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k ＞2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)．3. 设n∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝__________． 答案：3或4解析：已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N *，逐个分析，当n ＝1，2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1，3；当n ＝4时，方程有整数根2.4. 若命题p ：∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1＜0，则綈p ：__________________．答案：∀x ∈R ，使x 2＋ax ＋1≥0 解析：存在性命题的否定需要将存在量词∃改为全称量词∀，并且将命题的结论进行否定．所以命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，使x 2＋ax ＋1≥0”．, 3 逻辑联结词), 3) 已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m 的取值范围是____________．答案：[2，＋∞)解析：依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m≥0，m ≤－2或m≥2，即m≥2. 变式训练已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是____________．答案：[e ，4]解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x，得a≥e ；由∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4.备选变式（教师专享）已知命题p ：|x 2－x|≥6，q ：x∈Z ，若“p∧q”与“綈q”都是假命题，求x 的值． 解：∵ 綈q 假，∴ q 真．又p∧q 假，∴ p 假．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－x|＜6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－6＜x 2－x ＜6，x ∈Z ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜3，x ∈Z ， ∴ x ＝－1，0，1，2., 4 全称命题与。
近年届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合夯基提能作业本文(2021年整理)
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第一节集合A组基础题组1.（2017课标全国Ⅲ，1,5分)已知集合A={1,2,3,4｝,B={2，4,6,8｝,则A∩B中元素的个数为（）A.1 B。
2 C.3 D.42.已知全集U=R,集合A={x｜x〈—2或x〉2}，则∁U A=（）A.(-2，2)B.（-∞，—2）∪(2,+∞)C.[-2，2］D。
（-∞，-2］∪[2，+∞）3。
设集合A=｛1,2,6},B=｛2,4｝,C={1,2，3，4｝，则(A∪B)∩C=(）A.{2｝B。
｛1,2,4｝C.{1，2,4，6} D。
｛1,2,3，4,6}4.已知全集U=｛1，2，3，4,5,6｝，集合P={1，3,5｝,Q=｛1，2,4｝，则(∁U P）∪Q=(）A.｛1｝B。
｛3，5} C.{1，2,4，6｝ D.{1,2,3，4，5}5。
已知集合A={x|y=,x∈R｝,B={x|x=m2,m∈A｝,则（）A。
A⫋B B.B⫋A C.A⊆B D。
B⊆A6。
已知集合A={0,1,2｝,则集合B={（x,y)｜x≥y，x∈A,y∈A｝中元素的个数是（）A.1 B.3 C。
6 D。
97。
(2018河南百校联盟质检)已知集合A={x|2x2—7x+3〈0｝，B=｛x∈Z|lg x<1｝,则阴影部分所表示的集合的元素个数为( )A。
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1
第一节 集合
A组 基础题组
1.(2017北京海淀二模)若集合A={-2,0,1},B={x|x<-1或x>0},则A∩B=( )
A.{-2} B.{1}
C.{-2,1} D.{-2,0,1}
2.(2016北京海淀二模)已知全集U={x|x>0},M={x|x>1},则∁UM=( )
A.{x|x≤1} B.{x|0
3.(2015北京朝阳一模)已知全集U={a,b,c,d},集合A={a,b},B={b,c},则∁U(A∪B)=( )
A.{b} B.{d}
C.{a,c,d} D.{a,b,c}
4.(2016北京海淀期中)已知集合P={x|x2-x≤0},M={0,1,3,4},则集合P∩M中元素的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.(2016北京丰台一模)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合
A∩(∁UB)=( )
A.{2,5} B.{3,6}
C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}
6.(2018北京朝阳期中)已知集合A={x|x>1},B={x|log2x>1},则A∩B=( )
A.{x|x>2} B.{x|1
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2
7.设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.已知A={0,m,2},B={x|x3-4x=0},若A=B,则m= .
9.(2015北京东城一模)已知集合A={1},B={-1,2m-1}.若A⫋B,则实数m的值为 .
10.已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a
表示的是第2个字符为1,第4个字符为1,其余均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为
000000.
(1)若M={2,3,6},则∁UM表示的6位字符串为 ;
(2)若A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数是 .
B组 提升题组
12.(2017北京朝阳一模)已知集合A={x|-1≤x<3},B={x∈Z|x2<4},则A∩B=( )
A.{0,1} B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0,1,2}
13.(2016北京西城二模)设全集U=R,集合A={x|x>0},B={x|x<1},则集合(∁UA)∩B=( )
A.(-∞,0) B.(-∞,0]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
14.(2016北京,1,5分)已知集合A={x|2
A.{x|2
C.{x|2
15.(2017北京东城二模)已知全集U是实数集R.如图所示的韦恩图表示集合M={x|x>2}与N={x|1
A.{x|x<2} B.{x|1
16.(2015北京东城三模)已知集合A={x|x<2},B={x|x>m},且A∪B=R,那么实数m的值可以是( )
A.4 B.3
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C.2 D.1
17.设集合A={x|y=lg(-x2+x+2)},B={x|x-a>0},若A⊆B,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]
C.(-∞,-2) D.(-∞,-2]
18.(2016北京,14,5分)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出
13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有 种;
②这三天售出的商品最少有 种.