2016届高考数学大一轮复习 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 文 新人教版
高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.5 直线、平面垂直的判定及其性质课件 文
【解】 (1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所 以DE∥BC. 因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB. (2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC. 所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC. 而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F. 因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE， 所以A1F⊥BE.
l⊂β
l⊥α 交线
α⊥β
l⊂β
α∩β＝
【调研3】
(2015· 新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为
Hale Waihona Puke 菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED； (2)若∠ABC＝120° ，AE⊥EC，三棱锥E—ACD的体积为 6 ，求该三棱锥的侧面积． 3
【解】 (1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以 AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED. 又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.
突破考点01
高考真题演练 突破考点02 课时作业 突破考点03
突破考点 01
线面垂直的判定与性质
（高频考点型——多维探究）
直线与平面垂直 (1)定义：若直线l与平面α内的________一条直线都垂 直，则直线l与平面α垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条________直 线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂 直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒________. (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 ________．即：a⊥α，b⊥α⇒________.
有关线面垂直中的探索性问题
【调研2】
(2012· 北京卷)如图(1)，在Rt△ABC中，
高三数学一轮总复习第七章立体几何7.5直线平面垂直的判定及其性质课件
1．已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则( ) A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直 解析：A中平面可与α平行或相交，不正确。 B中直线可与α垂直或斜交，不正确。 C中平面可与直线l平行或相交，不正确。 答案：D
34
(3)若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面 ABCD？并证明你的结论。
解析：(3)存在点N为SC的中点， 使得平面DMN⊥平面ABCD。 连接PC、DM交于点O，连接PM、SP、NM、ND、NO， 因为PD∥CM， 且PD＝CM， 所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO＝CO。 又因为N为SC的中点，所以NO∥SP。 易知SP⊥AD， 因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝ AD，且SP⊥AD， 所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD。 又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD。
23
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥面SAC。
证明： (2)方法一：若AB＝BC，则BD⊥AC， 由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD⊂面ABC， ∴SD⊥BD， ∵SD⊥BD，BD⊥AC，SD∩AC＝D， ∴BD⊥面SAC。 方法二：若AB＝BC，则BD⊥AC。由(1)知SD⊥平面ABC，又SD⊂平面SAC， ∴平面ABC⊥平面SAC， 又平面ABC∩平面SAC＝AC。 ∴BD⊥平面SAC。
条直线和这个平面所成的角。如图， □10 ____∠__P_A_O______就是斜线AP与平面α所成的
□ 角。 (2)线面角θ的范围：θ∈
11
___0_，__π2_ _____。
(全国版)高考数学一轮复习第7章立体几何第5讲直线、平面垂直的判定及性质课件
解 (1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°， 得 AB⊥AP，CD⊥PD. 由于 AB∥CD，故 AB⊥PD，从而 AB⊥平面 PAD. 又 AB⊂平面 PAB， 所以平面 PAB⊥平面 PAD.
(2)如图，在平面 PAD 内作 PE⊥AD，垂足为 E. 由(1)知，AB⊥平面 PAD，故 AB⊥PE，AB⊥AD， 可得 PE⊥平面 ABCD.
∵CG⊥平面 ABC，∴VG－ABC＝13S△ABC×CG＝43. 由(1)知 AB⊥BG，CG＝2＝BC， BG＝ BC2＋CG2＝ 22＋22＝2 2， ∴S△ABG＝12AB×BG＝2 2. 设点 C 到平面 ABG 的距离为 h，则 ∴VC－ABG＝13S△ABG·h＝23 2h＝VG－ABC＝34， ∴h＝ 2. 即点 C 到平面 ABG 的距离为 2.
2．[2018·浙江模拟]设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A．若 m⊥n，n∥α，则 m⊥α B．若 m∥β，β⊥α，则 m⊥α C．若 m⊥β，n⊥β，n⊥α，则 m⊥α D．若 m⊥n，n⊥β，β⊥α，则 m⊥α
解析 对于选项 A，B，D，均能举出 m⊥α 的反例； 对于选项 C，若 m⊥β，n⊥β，则 m∥n，又 n⊥α，∴m⊥α. 故选 C.
所以 F 为 A1B 的中点，所以 EF∥BC1. 因为 BC1⊂平面 BB1C1C，EF⊄平面 BB1C1C， 所以 EF∥平面 BB1C1C.
(2)在矩形 BCC1B1，BC＝ 2BB1， 所以 tan∠CBC1＝ 22，tan∠B1MB＝ 2. 所以 tan∠CBC1·tan∠B1MB＝1. 所以∠CBC1＋∠B1MB＝π2.所以 BC1⊥B1M. 因为 EF∥BC1，所以 EF⊥B1M. 在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面 ABC⊥平面 BB1C1C. 因为 M 为 BC 的中点，AB＝AC，所以 AM⊥BC. 因为平面 ABC∩平面 BB1C1C＝BC，
2016版高考数学大一轮复习课件：第7章-第5节直线、平面垂直的判定及其性质
又因为 BE⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD，
课
核
时
心 考
所以 BE∥平面 PAD.
限 时
向
检
测
菜单
第二十五页，编辑于星期五：二十三点 五十六 分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
(3)因为 AB⊥AD，而且四边形 ABED 为平行四边形，
所以 BE⊥CD，AD⊥CD.
基 础
由(1)知 PA⊥底面 ABCD，
方 法 技 巧
核 心 考 向
菜单
课 时 限 时 检 测
第二十四页，编辑于星期五：二十三点 五十六 分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
基
础 知
(2)因为 AB∥CD，CD＝2AB，E 为 CD 的中点，
识
点
所以 AB∥DE，且 AB＝DE.
方 法 技 巧
所以四边形 ABED 为平行四边形．
所以 BE∥AD.
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
基 础 知 识 点
6．(2014·浙江高考)设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是 两个不同的平面( )
方 法 技 巧
A．若 m⊥n，n∥α，则 m⊥α
B．若 m∥β，β⊥α，则 m⊥α
C．若 m⊥β，n⊥β，n⊥α，则 m⊥α
核
D．若 m⊥n，n⊥β，β⊥α，则 m⊥α
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
基 础 知 识 点
规律方法 1 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1) 判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)
方 法 技 巧
面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质．
高考数学大一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件 理
.
18
1．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义：a 与 α 内任何直线都垂直⇒a⊥α；
(2)判定定理 1： ml⊥、mn，⊂lα⊥，nm∩n＝A⇒l⊥α； (3)判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； (5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的 垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．
.
21
热点命题·突破 02
考点突破 解码命题
.
22
直线与平面垂直的判定与性质 【例 1】 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥ 底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝ AB＝BC，E 是 PC 的中点．
.
15
C 中，因为 CF∥AB，AB⊂平面 PAB，CF⊄平面 PAB， 所以 CF∥平面 PAB； 而 D 中 CF 与 AD 不垂直，故选 D.
答案：D
.
16
5．如图，在三棱锥 D—ABC 中，若 AB＝CB，AD＝ CD，E 是 AC 的中点，则下列命题中正确的有________(填 序号)．
“×”)
(1) 直 线 l 与 平 面 α 内 的 无 数 条 直 线 都 垂 直 ， 则
l⊥α.( )
(2)若直线 a⊥平面 α，直线 b∥α，则直线 a 与 b 垂
直．( )
(3)直线 a⊥α，b⊥α，则 a∥b.( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
.
8
2．(2014·辽宁卷)已知 m，n 表示两条不同直线，α 表示 平面，下列说法正确的是( )
.
高考一轮复习第7章立体几何第5讲直线平面垂直的判定与性质
第五讲 直线、平面垂直的判定与性质知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直①定义：若直线l 与平面α内的_任意__一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直．②判定定理：一条直线与一个平面内的两条_相交__直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a ⊂α，_b ⊂α__，l ⊥a ，l ⊥b ，a∩b＝P ⇒l ⊥α.③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_平行__.即：a ⊥α，b ⊥α⇒_a ∥b__. (2)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_锐角__，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为_0__，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为_π2__.②线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.知识点二 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的_两个半平面__所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱_垂直__的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． (2)平面与平面垂直①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直二面角__，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a ⊂α，a ⊥β⇒_α⊥β__. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_交线__的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a ⊂α，α∩β＝b ，a ⊥b ⇒_a ⊥β__.重要结论1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( ×)(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)题组二走进教材2．(多选题)(必修2P73T1)下列命题中正确的是( ABC )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β[解析] 对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．题组三走向高考3．(2017·课标全国Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( C )A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC[解析] ∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又BC1⊥B1C，且B1C∩A1B1＝B1，∴BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，∴BC1⊥A1E.故选C．4．(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)__.[解析] 由l，m是平面α外的两条不同直线，及线面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，则m∥α，若l⊥α，m∥α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得l⊥m，∴若l⊥α，m∥α，则l⊥m，故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)．5．(2020·全国Ⅱ(节选))如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F.[证明] ∵M，N分别为BC，B1C1的中点，∴MN∥BB1又AA1∥BB1，∴MN∥AA1在等边△ABC中，M为BC中点，则BC⊥AM.又∵侧面BB1C1C为矩形，∴BC⊥BB1∵MN∥BB1，MN⊥BC由MN∩AM＝M，MN，AM⊂平面A1AMN∴BC⊥平面A1AMN又∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴B1C1∥平面ABC又∵B1C1⊂平面EB1C1F，且平面EB1C1F∩平面ABC＝EF∴B1C1∥EF，∴EF∥BC又∵BC⊥平面A1AMN∴EF⊥平面A1AMN∵EF⊂平面EB1C1F∴平面EB1C1F⊥平面A1AMN.考点突破·互动探究考点一空间垂直关系的基本问题——自主练透例1 (1)(2021·河北保定七校联考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p：m⊥n，若p是q的必要条件，则q可能是( B )A．q：m⊥α，n∥β，α⊥βB．q：m⊂α，n⊥β，α∥βC．q：m⊥α，n⊥β，α∥βD．q：m⊂α，n∥β，α⊥β(2)(2019·陕西汉中质检一)已知l ，m 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，l ⊥α，m ⊂β，则有下面四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ，②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中所有正确的命题是( A )A ．①③B ．①④C ．②③D ．①②③④(3)(多选题)(2021·四川成都诊断改编)已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法错误的是( ABD )A ．若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥nB ．若m ∥α，n ∥β，且α⊥β，则m ∥nC ．若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥nD ．若m ⊥α，n ∥β，且α⊥β，则m ⊥n[解析] (1)由题知q 能推出p ：m ⊥n.对A ，当m ∥n 时仍然可以有m ⊥α，n ∥β，α⊥β.故A 错误．对B ，n ⊥β，α∥β，则n ⊥α，又m ⊂α，则m ⊥n.故B 正确．对C ，m ⊥α，α∥β则m ⊥β，又n ⊥β，故m ∥n.故C 错误．对D ，当α⊥β且相交于m 时，若n ∥m ，也满足m ⊂α，n ∥β.故D 错误．⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫2l ⊥α α∥β⇒l ⊥βm ⊂β⇒l ⊥m ，①对；⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α m ⊂β⇒α⊥β，③对；由图可知②④错．故选A ．(3)由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 相交，或m 与n 异面，故A 错误；由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误；由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误，故选A 、B 、D ．名师点拨解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法：(1)依据相关定理得出结论．(2)结合符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出判断，或借助笔、纸、桌面进行演示，注意能平移或旋转的线，让其动动再判断．(3)否定命题时只需举一个反例即可．〔变式训练1〕(1)(2021·东北三省三校模拟)已知α，β是不重合的平面，m ，n 是不重合的直线，则m ⊥α的一个充分条件是( C )A ．m ⊥n ，n ⊂αB ．m ∥β，α⊥βC ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥βD ．α∩β＝n ，α⊥β，m ⊥n(2)(2021·福建福州调研)已知两条直线m ，n 和两个平面α，β，下列命题正确的是( A ) A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β B ．若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β C ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β[解析] (1)对于答案A ：m ⊥n ，n ⊂α，得出m 与α是相交的或是垂直的，或m ⊂α，故A 错；答案B ：m ∥β，α⊥β，得出m 与α是相交的、平行的都可，故B 错；答案C ：n ⊥α，n ⊥β，得出α∥β，再m ⊥β得出m ⊥α，故C 正确．⎭⎪⎬⎪⎫2m ⊥αm ⊥n⇒n ⊂α或n ∥α.若n ⊂α，又n ⊥β，∴α⊥β；若n ∥α，则存在l ⊂α且l ∥n ，又n ⊥β，∴l ⊥β，∴α⊥β，故A 正确；事实上，在B 中条件下，α、β可能相交；在C 中条件下，α、β可能平行；在D 的条件下，α⊥β，故选A ．考点二 直线与平面垂直的判定与性质——多维探究角度1 线、面垂直的判定例2 如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD ． [证明] 解法一：(1)连接AC ，AN ，BN ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ，在Rt △PAC 中，N 为PC 中点． ∴AN ＝12PC ．∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ． 又BC ⊥AB ，PA∩AB＝A ， ∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ．从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴BN ＝12PC ．∴AN ＝BN ，∴△ABN 为等腰三角形． 又M 为底边AB 的中点，∴MN ⊥AB ，又AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ． (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ． 又∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ．∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴PA ＝BC ． 连接PM ，CM ，又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM. 而∠PAM ＝∠CBM ＝90°，∴Rt △PAM ≌Rt △CBM. ∴PM ＝CM ，又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC ． 由①知MN ⊥CD ，PC∩CD＝C ，∴MN ⊥平面PCD ． 解法二：∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，∴PA 、AB 、AD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，不妨设C(a ，b,0)，P(0,0，c)，则D(0，b,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c 2， (1)由MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，c 2，CD →＝(－a,0,0)，∴MN →·CD →＝0，∴MN ⊥CD ． (2)∵∠PDA ＝45°，∴b ＝c ， 又PC →＝(a ，b ，－b)，∴MN →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，b 2·(a，b ，－b)＝0，∴MN ⊥PC ，又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD ． 角度2 线、面垂直的性质例3 (2021·河北“五个一联盟”联考，节选)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，△ACD 是边长为1的等边三角形．证明：CD ⊥B 1D ．[证明] ∵△ACD 是边长为1的等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，∠DA 1C 1＝120°. ∵D 是AA 1的中点，△ACD 的边长为1， ∴AD ＝A 1D ＝A 1C 1＝1，即△A 1C 1D 是等腰三角形， ∴∠A 1DC 1＝30°，从而∠CDC 1＝90°，即CD ⊥C 1D ． ∵B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，且CD ⊂平面AA 1C 1C ， ∴B 1C 1⊥CD ．∵B 1C 1∩C 1D ＝C 1，B 1C 1⊂平面B 1C 1D ，C 1D ⊂平面B 1C 1D ， ∴CD ⊥平面B 1C 1D ．∵B 1D ⊂平面B 1C 1D ，∴CD ⊥B 1D ．名师点拨1．证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用等腰三角形底边中线的性质． (3)利用勾股定理的逆定理． (4)利用直线与平面垂直的性质． (5)向量法：a ⊥b ⇔a·b＝0. 2．证明线面垂直的常用方法(1)利用判定定理，它是最常用的思路．(2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面． (3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．②若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面． (4)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC －A 1B 1C 1为三棱柱，且AA 1⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，AD ＝2CD ．∠ADC ＝60°，若AA 1＝AC ，求证：AC 1⊥平面A 1B 1CD ．(2)(角度2)(2021·湖南炎德英才大联考，节选)如图，圆柱OQ 的上，下底面圆的圆心分别为Q ，O ，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的下底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的直径AB ＝4，母线AD ＝AP ＝2 3.求证：AG ⊥BD ．[证明] (1)证法1：∵AD ＝2CD ，∠ADC ＝ 60°， ∴DC ⊥AC ，又AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥DC ． ∴DC ⊥平面AA 1C 1C ，又AC 1⊂平面AA 1C 1C ， ∴DC ⊥AC 1，∵AA 1＝AC ，∴四边形AA 1C 1C 为菱形，∴AC 1⊥A 1C ， 而DC∩A 1C ＝C ，∴AC 1⊥平面A 1B 1CD ． 证法2：∵AD ＝2CD ，∠ADC ＝60°，∴∠ACD ＝90°，则CD ，CA ，CC 1两两垂直．如图，建立空间直角坐标系C －xyz.不妨设CD ＝1，则C(0,0,0)，D(1,0,0)，A(0，3，0)，C 1(0,0，3)，A 1(0，3，3)． ∴AC 1→＝(0，－3，3)，CD →＝(1,0,0)，CA 1→＝(0，3，3)．易得AC 1→·CD →＝0，AC 1→·CA 1→＝0.∴AC 1⊥CD ，AC 1⊥CA 1，又∵CD∩CA 1＝C ， ∴AC 1⊥平面A 1B 1CD ．(2)证法1：∵AD ＝AP ，又G 是DP 的中点， ∴AG ⊥DP.①∵AB 为圆O 的直径，∴AP ⊥BP ，易知DA ⊥底面ABP ，∴DA ⊥BP ，而AD∩AP＝A ， ∴BP ⊥平面ADP ，又AG ⊂平面ADP ，∴BP ⊥AG ，②∴由①②可知：AG ⊥平面BDP ，又BD ⊂平面BDP ， ∴AG ⊥BD ．证法2：∵AB 为⊙O 的直径，∴PA ⊥PB ，如图建立空间直角坐标系，由题意知P(0,0,0)，A(0,23，0)，B(2,0,0)，D(0,23，23)，G(0，3，3)， ∴AG →＝(0，－3，3)，BD →＝(－2,23，23)， ∴AG →·BD →＝0，即AG ⊥BD ．考点三 两个平面垂直的判定与性质——师生共研例4 (2020·四川成都二诊)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．(1)求证：平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1； (2)求几何体AA 1EBC 的体积．[解析] (1)证明：如图，连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为矩形，所以OA ＝OC 1.又因为F 为AC 的中点， 所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1.因为E 为BB 1的中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1.所以BE ∥OF 且BE ＝OF.所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE. 因为AB ＝CB ，F 为AC 的中点， 所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC ．因为AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BF ，所以OE ⊥AA 1. 又AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC＝A ， 所以OE ⊥平面ACC 1A 1.因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1. (2)四棱锥A 1－EB 1C 1C 的高为h ＝4sin 60°＝23， 底面为直角梯形，面积为S ＝12×(3＋6)×4＝18，得VA 1－EB 1C 1C ＝13×23×18＝123，故几何体AA 1EBC 的体积为VAA 1EBC ＝VABC －A 1B 1C 1－VA 1－EB 1C 1C ＝12×4×4×32×6－123＝12 3.例5 (2021·黑龙江大庆市质检)在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ＝2，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，E 是AD 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PAD ； (2)求点E 到平面PAB 的距离．[解析] (1)连接BD ，在△PAD 中，PA ＝PD ＝2，E 是AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥BE ，又∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴BE ⊥AD ，又∵PE∩AD＝E ，PE ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BE ⊥平面PAD ．(2)在△PAB 中，PA ＝AB ＝2，PB ＝6，则S △PAB ＝152， 在△ABE 中，AB ＝2，AE ＝1，BE ＝3，则S △ABE ＝32， 由PE ⊥面ABCD ，PE ＝3，得 V P －ABE ＝13×3×12×1×3＝12，由V P －ABE ＝V E －PAB ，设点E 到平面PAB 的距离为h ， 则13×152×h＝13×32×3，则h ＝155， 即点E 到平面PAB 的距离为155.名师点拨(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(3)〔变式训练3〕(1)(2020·湖南娄底模拟)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝π3，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PC 上一点，若平面EBD ⊥平面ABCD ，则PE EC ＝_12__.(2)(2021·云南玉海一中期中)已知三棱锥P －ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD 为边长等于2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形．证明：平面PAC ⊥平面ABC ．[解析] (1)取AD 的中点O ，连接OC 交BD 于F 点，连接EF ，∵△PAD 是等边三角形，∴PO ⊥AD ，∵OD ∥BC ，BC ＝2OD ，∴FC ＝2OF. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，又∵平面BDE ⊥平面ABCD ，∴PO ∥平面BDE. ∴OP ∥EF ，∴PE EC ＝OF FC ＝12.故答案为：12.(2)证明：如图取AC 的中点O ，连接BO ，PO.由题意可知PA ＝PB ＝PC ＝2，∴PO ＝1，AO＝BO＝CO＝1，∵在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC．∵在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝2，∴PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OB．∵AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．名师讲坛·素养提升立体几何中的轨迹问题例6 (多选题)(2021·山东青岛模拟)在如图所示的棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P 在侧面BCC1B1所在的平面上运动，则下列命题中正确的为( ABD )A．若点P总满足PA⊥BD1，则动点P的轨迹是一条直线B．若点P到点A的距离为2，则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆C．若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D．若点P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线[解析] A．∵PA⊥BD1，∴P在过A且与BD1垂直的平面ACB1上，又P∈平面BCC1B，∴P的轨迹是平面ACB1与平面BCC1B1的交线B1C，故A正确；B．点P的轨迹是以A为球心，半径为2的球面与平面BCC1B1的交线，即点P的轨迹为小圆，设小圆的半径为r，球心A到平面BCC1B1的距离为1，则r＝22－1＝1，所以小圆周长l＝2πr＝2π，故B正确；C．点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离，即平面BCC1B1内的点P满足|PB|＋|PC|＝1＝|BC|，即满足条件的点P的轨迹就是线段BC，不是椭圆，故C不正确；D．如图，过P分别作PM⊥BC于点M，PE⊥CC1于点E，则PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AD，过M作MN⊥AD，连接PN，PM∩MN＝M，所以AD⊥平面PMN，所以PN⊥AD，如图建立平面直角坐标系，设P(x，y)，PM＝y，则PN2＝1＋y2，PE2＝(1－x)2，即1＋y2＝(1－x)2，整理为：(x－1)2－y2＝1，则动点P的轨迹是双曲线，故D正确．故选ABD．[引申](1)本例中，若点P到直线AB的距离与到直线CC1的距离相等，则点P的轨迹为_以B为焦点、CC1为准线的抛物线__.(2)本例中，若点P到直线AB的距离与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为_与BC距离为1的两条平行线__.名师点拨立体几何中的轨迹面是常转化为两面的交线，或在某面内建立坐标系通过求轨迹方程求解．〔变式训练4〕(2021·安徽蚌埠质检)平面α的一条斜线AP交平面α于P点，过定点A的直线l与AP垂直，且交平面α于M点，则M点的轨迹是( A )A．一条直线B．一个圆C．两条平行直线D．两个同心圆[解析] 由题意知M在过A且与PA垂直的平面β内，∴点M的轨迹为平面α与β的交线，故选A．。
高三数学一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件
所以 V P B D F V P B C D － V F B C D 2 － 1 4 7 4 .
完整版ppt
30
【通关锦囊】
重点题型
破解策略
证明线面 垂直
①利用线面垂直的判定定理;②利用“两平行 线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平 面垂直”;③利用“一条直线垂直于两个平行 平面中的一个,则与另一个也垂直”;④利用面 面垂直的性质定理
所以∠D′FE是D′F与平面ABCM所成角.
因为∠D′EF= , 且∠D′FE= ,
3
3
所以△D′EF是等边三角形完,整版ppt
37
因为D′E=EF即DE=EF,所以△DAF是等腰直角三角形,
⑤若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于
另一个平面.
其中正确的是( )
A.①②⑤ B.②③⑤ 完整版C.pp①t ③④ D.①
8
【解析】选D.①正确.否则两个平面应平行. ②错误.当该点是交线上的点时,l与β不一定垂直. ③错误.异面直线所成角的范围是 ( 0 ，而 ] 二, 面角的范围是[0,π].
3
3
求直线AD′与平面ABCM所成角的正弦值.
完整版ppt
36
【解析】(1)因为AM⊥D′E,AM⊥EF,
又因为D′E,EF是平面D′EF内两条相交直线,
所以AM⊥平面D′EF,所以AM⊥D′F.
(2)由(1)知AM⊥平面D′EF,
所以平面D′EF⊥平面ABCM,且∠D′EF= ,
3
所以过D′作平面ABCM的垂线,垂足H必在EF上,
求体积 问题
高考数学大一轮复习 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理
2．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则( ) A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直
解析：由题意知，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故 A不正确；垂直于直线l的直线若在β内，则一定垂直于平面α，否则 不一定，B不成立；垂直于平面β的平面一定平行于直线l或垂直于直 线l，故C不正确；由平面垂直的判定定理知，垂直于直线l的平面一 定与α，β都垂直，故D成立．
第七章 立体几何
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
• [考情展望] 1.本节从内容上考查线线垂直、线面垂直、
面面垂直的判定与应用问题.2.从能力上考查空间想象能力、 逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力.3.从题型上 主要以正方体、长方体、棱柱、棱锥等多面体为载体，利用 填空题或解答题的形式进行考查，试题难度一般都是中档难 度，也有少部分试题为中等偏上难度．
证直线和 平面垂直
a⊥α
证两条直
b⊂α⇒a⊥b 线垂直
ab⊥⊥αα⇒a∥b
证两条直 线平行
一条 另一条 任意一条直线 平面
2．直线与平面所成的角 (1)定义． 平面的一条斜线和它在平面上的 ________所成的________，叫做这条直线和 这个平面所成的角．如图所示，∠PAO就是 斜线PA和平面α所成的角． (2)一条直线垂直于平面，则它们所成的角是________；一条直 线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是________的角． (3)直线和平面所成的角的范围是0，π2. (1)射影 锐角 (2)直角 0°
3．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC的
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴GE 綊 DF.
∴四边形 DFEG 为平行四边形，故 DG∥EF. ∴EF⊥平面 PAB.
1．线面垂直证明的核心 证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直 则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合 理转化是证明线面垂直的基本思想．
2．线线垂直的隐含条件 证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰 三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩 形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直 角三角形(或给出线段长度， 经计算满足勾股定理)直角梯形等 等．
(2)过 E 作 EG∥AB 交 PA 于点 G，连接 DG. ∵E 为 PB 的中点，∴G 为 PA 的中点． ∵AD＝PD， 故△DPA 为等腰 三角形，∴DG⊥AP. ∵AB⊥平面 PAD， DG⊂平面 PAD， ∴AB⊥DG.
又∵AB∩PA＝A，AB⊂平面 PAB，PA⊂平面 PAB， ∴DG⊥平面 PAB. 1 1 又∵GE 綊 AB，DF 綊 AB， 2 2
1 綊 EC，∴MN∥BD， 2 ∴点N在平面BDM内． ∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN. 又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA. ∵BN⊂平面BDM， ∴平面BDM⊥平面ECA.
(2)∵DM∥BN，BN⊥平面 ECA. ∴DM⊥平面 ECA.又 DM⊂平面 DEA，∴平面 DEA⊥平 面 ECA.
判定面面垂直的常用方法 1．利用面面垂直的定义． 2． 利用面面垂直的判定定理， 其关键是寻找平面的垂线． (1)若这样的直线在图中存在，则可通过线面垂直来证明 面面垂直． (2)若这样的直线不存在，则可通过作辅助线来解决，而 作辅助线则应有理论根据并有利于证明，不能随意添加． 注意：证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→ 线面垂直→面面垂直来实现的．
(2)在直角梯形 BCDE 中，由 BD＝BC＝ 2，DC＝2，得 BD⊥BC. 又平面 ABC⊥平面 BCDE，所以 BD⊥平面 ABC. 如图，作 EF∥BD，与 CB 的延长线交于 F，连接 AF， 则 EF⊥平面 ABC.所以∠EAF 是直线 AE 与平面 ABC 所成的 角． π 2 在 Rt△BEF 中，由 EB＝1，∠EBF＝ ，得 EF＝ ，BF 4 2 2 3 2 26 ＝ ；在 Rt△ACF 中，由 AC＝ 2，CF＝ ，得 AF＝ . 2 2 2
【答案】 D
பைடு நூலகம்
(2)证明：①因为 D，E 分别为棱 PC，AC 的中点， 所以 DE∥PA. 又因为 PA⊄平面 DEF，DE⊂平面 DEF， 所以直线 PA∥平面 DEF.
②因为 D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA＝6， 1 1 BC＝8，所以 DE∥PA，DE＝ PA＝3，EF＝ BC＝4. 2 2 又因为 DF＝5，故 DF2＝DE2＋EF2， 所以∠DEF＝90° ，即 DE⊥EF. 又 PA⊥AC，DE∥PA，所以 DE⊥AC. 因为 AC∩EF＝E，AC⊂平面 ABC，EF⊂平面 ABC， 所以 DE⊥平面 ABC. 又 DE⊂平面 BDE，所以平面 BDE⊥平面 ABC.
【思路点拨】 (1)利用面面垂直的性质定理证明线面垂 直； (2)利用条件作出线面角，再进一步利用解三角形知识求 解．
【解】 (1)证明：如图，连接 BD， 在直角梯形 BCDE 中，由 DE＝BE＝1， CD＝2，得 BD＝BC＝ 2. 由 AC＝ 2，AB＝2，得 AB2＝AC2 ＋BC2，即 AC⊥BC. 又平面 ABC⊥平面 BCDE， 从而 AC⊥平面 BCDE.
[对点练习] (2014· 潍坊模拟)如图 755 所示，△ABC 为正三角形， EC⊥平面 ABC，
图 755
BD∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点，求证： (1)平面 BDM⊥平面 ECA； (2)平面 DEA⊥平面 ECA.
【证明】
(1)取CA的中点N，连结MN，BN，则MN
B.
6 ，1 3
2 2 D. ，1 3
【解析】根据题意可知平面 A1BD⊥ 平面 A1ACC1 且两平面的交线是 A1O，所 以过点 P 作交线 A1O 的垂线 PE， 则 PE⊥ 平面 A1BD，所以∠A1OP 或其补角就是直 线 OP 与平面 A1BD 所成的角 α.设正方体 的边长为 2，则根据图形可知直线 OP 与平面 A1BD 可以垂 直．当点 P 与点 C1 重合时可得 A1O＝OP＝ 6，A1C1＝2 2， 1 1 2 2 所以 × 6× 6×sin α＝ ×2 2×2，所以 sin α＝ ；当点 2 2 3 2 6 P 与点 C 重合时， 可得 sin α＝ ＝ .根据选项可知 B 正确． 6 3
【解析】 在如图所示的正六面体中， 不妨设 l2 为直线 AA1，l3 为直线 CC1，则直 线 l1， l4 可以是 AB， BC； 也可以是 AB， CD； 也可以是 AB，B1C1，这三组直线相交，平 行，垂直，异面，故选 D.
【答案】 D
2．(2014· 浙江高考)设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是 两个不同的平面．( )
考向一直线与平面垂直的判定与性质 [典例剖析] 【例 1】 如图 752 所示，在四棱锥 PABCD 中，AB ⊥平面 PAD，AB∥CD，
图 752
1 PD＝AD， E 是 PB 的中点， F 是 DC 上的点且 DF＝ AB， 2 PH 为△PAD 中 AD 边上的高． (1)证明：PH⊥平面 ABCD； (2)证明：EF⊥平面 PAB.
A．若 m⊥n，n∥α，则 m⊥α B．若 m∥β，β⊥α，则 m⊥α C．若 m⊥β，n⊥β，n⊥α，则 m⊥α D．若 m⊥n，n⊥β，β⊥α，则 m⊥α
【解析】 A 中，由 m⊥n，n∥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m⊂α，错误； B 中， 由 m∥β，β⊥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m⊂α， 错误； C 中，由 m⊥β，n⊥β 可得 m∥n，又 n⊥α，所以 m⊥α， 正确； D 中，由 m⊥n，n⊥β，β⊥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m⊂α，错误．
【思路点拨】 平面 ABCD；
(1)由线面垂直的判定及性质证明 PH⊥
(2)作出 PA 的中点 G，证明 DG⊥平面 PAB，进而由 EF 与 DG 的关系证明 EF⊥平面 PAB.
【证明】 (1)由于 AB⊥平面 PAD. PH⊂平面 PAD，故 AB⊥PH. 又 PH 为△PAD 中 AD 边上的高，故 AD⊥PH. ∵AB∩AD＝A，AB⊂平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD， ∴PH⊥平面 ABCD.
【解】 (1)证明：∵AB＝BC，AD＝DC，∴BD 是线段 AC 的中垂线， 所以 BD⊥AC. 又 PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BD. 又 PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面 PAC， ∴BD⊥平面 APC.
(2)设 AC，BD 相交于 O，连结 OG. 由 PC⊥平面 BGD 可知 PC⊥OG. 在△ABC 中，由余弦定理可知，AC＝2 3. 在 Rt△PAC 中，PC＝ PA2＋AC2＝ 3＋12＝ 15. 又由△PAC∽△OGC 可得 AC· OC 2 3× 3 2 15 GC＝ ＝ ＝ . PC 5 15 3 15 从而 PG＝ ， 5 PG 3 故 ＝ . GC 2
【答案】 C
[ 命题规律预测] 1.从近几年的高考试题看，平面与平面的垂 直、线面及线线的垂直、线面角的求法是高 考命题的热点，主要考查线面、面面位置关 系的相互转化，同时考查空间想象能力及逻 命题 辑思维能力． 规律 2.命题方式有两种：一是以客观题的形式考 查线面的位置关系的判定，二是以解答题的 形式考查线面位置关系的证明． 预测 2016 年线面位置关系的判断及证明依 考向 然是高考命题的热点，重点考查空间想象能 预测 力和逻辑推理能力，难度中等.
[对点练习] (2012· 湖南高考)如图 757 所示， 在四棱锥 PABCD 中， PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥ BD.
考向三线面角的求法及应用 [典例剖析] 【例 3】 (2014· 浙江高考)如图 756， 在四棱锥 ABCDE 中，平面 ABC⊥平面 BCDE，∠CDE＝∠BED＝90° ，AB＝ CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.
图 756
(1)证明：AC⊥平面 BCDE； (2)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值．
【答案】 C
3． (2014· 四川高考)如图 751， 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， 点 O 为线段 BD 的中点． 设点 P 在线段 CC1 上，直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 α，则 sin α 的取值范围是( )
图 751
A. C.
3 ，1 3 6 2 2 ， 3 3
(2)①利用三角形中位线的性质找到线线平行，再运用直 线与平面平行的判定定理进行求证；②要证面面垂直可考虑 寻找线面垂直，要证线面垂直可考虑寻找线线垂直，利用勾 股定理可证线线垂直．
【解析】 (1)若 α⊥β，m⊂α，n⊂β，则 m 与 n 可能平 行，故 A 错；若 α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m 与 n 可能平行， 也可能异面，故 B 错；若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，则 α 与 β 可 能相交，也可能平行，故 C 错；对于 D 项，则 m⊥α，m∥n， 得 n⊥α，又知 n∥β，故 α⊥β，所以 D 项正确．
2 26 在 Rt△AEF 中，由 EF＝ ，AF＝ ，得 tan ∠EAF 2 2 13 ＝ . 13 13 所以，直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值是 . 13
求直线与平面所成的角的步骤如下： (1)作：即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一 步上确定垂足的位置是关键； (2)证：即证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证 明的主要依据是直线与平面所成角的概念； (3)求：一般来说是借助解三角形的知识求角．