【精选】马尔可夫排队模型
马尔可夫过程与排队论
马尔可夫过程与排队论马尔可夫过程与排队论是数学中重要的两个概念，它们在统计学、概率论、运筹学等领域中有着广泛的应用。
本文将分别介绍马尔可夫过程和排队论的基本概念和应用。
马尔可夫过程是一个随机过程，其特点是未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
这种性质被称为马尔可夫性。
马尔可夫过程是由状态空间和转移概率矩阵组成的。
状态空间是一组离散或连续的状态，转移概率矩阵描述了不同状态之间的转移概率。
马尔可夫过程的一个重要应用是在排队系统中的模拟和分析。
排队论是研究排队系统的数学方法和技术的学科。
排队系统是指由顾客和服务员组成的系统，顾客需要接受服务，而服务员有一定的处理能力。
排队论主要关注以下几个方面的问题：平均等待时间、系统繁忙率、系统的稳定性等。
排队论通过数学建模，提供了一种分析和优化排队系统的方法。
在排队系统中，马尔可夫过程可以用来描述系统的状态变化。
例如，一个银行的柜台服务系统可以看作是一个排队系统。
顾客到达银行后，根据柜台服务员的繁忙情况，决定是否需要排队等待。
排队等待时，顾客处于等待状态；当柜台服务员空闲时，顾客进入服务状态。
这个过程可以用马尔可夫过程来描述，其中状态空间包括顾客的等待状态和服务状态，转移概率矩阵描述了顾客在不同状态之间的转移概率。
马尔可夫的应用广泛，不仅在排队系统中有着重要作用，还在许多其他领域中有着广泛应用。
例如，马尔可夫链被用于自然语言处理中的语言模型，通过学习上下文的转移概率来预测下一个词的概率。
马尔可夫过程还被用于金融领域的风险管理，通过建立市场模型来预测金融资产的价格变动。
排队论也有许多重要的应用。
在制造业中，排队论可以用于优化生产线的运作效率，减少等待时间，提高资源利用率。
在交通领域，排队论可以用于交通信号控制系统的优化，减少拥堵现象。
在电信业中，排队论可以用于优化无线网络的资源分配，提高用户的通信质量。
总结来说，马尔可夫过程与排队论是数学中重要的两个概念。
马尔可夫过程描述了一个随机过程的状态变化，而排队论则应用了马尔可夫过程来分析和优化排队系统。
排队论大学课件11-马尔科夫排队网络
P [ A (, tt t ) |N () t n ] ＝ P [ A (, tt t ) 】
pt () l i m() pt pt () n n n t 0
结论
G/G排队系统pn- =pn+ 即到达的顾客与离开的顾客所看到的队长 分布是相等的 M/G排队系统中pn- =pn+ =pn 即顾客为泊松流到达的排队系统中，到达 的顾客与离开的顾客看到的队长分布与系 统的队长分布都相等
Burke定理：
多个M/M/n排队系统连接在一起所形成的网络， 每个节点能够依旧保持原本M/M/n的特性。
第七章 马尔可夫排队网络
三种队长分布的关系 Burke定理 开马尔可夫排队网络 闭马尔可夫排队网络
到达与离开时的队长分布的关系
下面我们研究三种时刻队长分布的关系 pn-=P(顾客到达时系统中已有n个顾客) Pn=P(N=n)=平稳分布队长为n的概率 pn+=P(顾客离开系统时系统还有n个顾客的 概率)
到达与离开时的队长分布的关系
G/G/1系统pn- =pn+
N(t)
n+1 n
t 跟踪N(t)实际走过的一条路线
到达与离开时的队长分布的关系
假定从状态n上跳到状态n+1的次数为An(t) 从状态n+1下跳到状态n的次数为Dn(t) 由于到达与离去是一个一个发生的，并且n->n+1与n+1>n是交错发生的。所以到t时刻为止，An(t)与Dn(t)至多相 差1
设A(t)、D(t)为从任何状态开始上跳一步的总次数和下跳 一步的总次数，在统计平衡条件下，有：
马尔可夫模型实例
马尔可夫模型实例马尔可夫模型（Markov Model）是一种用来描述随机过程的数学工具，它基于马尔可夫假设，即未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
马尔可夫模型广泛应用于自然语言处理、机器学习、金融市场分析等领域。
马尔可夫模型的基本概念是状态和状态转移概率。
状态是指系统所处的状态，可以是离散的或连续的。
状态转移概率描述了系统从一个状态转移到另一个状态的概率。
马尔可夫链是马尔可夫模型的一种特殊形式，它是一个离散的、随机的状态转移过程。
马尔可夫链具有无记忆性，即当前状态仅与前一个状态有关，与之前的状态无关。
马尔可夫链的状态转移概率可以表示为一个状态转移矩阵，矩阵的每一行表示当前状态，每一列表示下一个状态，矩阵元素表示状态转移的概率。
马尔可夫模型可以用于预测未来状态，通过给定当前状态和状态转移概率，可以计算出系统在下一个时刻处于每个可能状态的概率。
这一特性使得马尔可夫模型在自然语言处理中有着广泛的应用。
在自然语言处理中，马尔可夫模型可以用来生成文本。
假设我们有一个文本数据集，我们可以通过马尔可夫模型学习文本中的单词之间的转移概率。
然后，我们可以根据给定的初始状态，使用马尔可夫模型生成新的文本。
这种方法在文本生成、机器翻译等任务中有着重要的应用。
马尔可夫模型还可以用于词性标注。
词性标注是指为文本中的每个词汇确定其词性。
通过马尔可夫模型，我们可以根据给定的句子和词性转移概率，计算出每个词汇的最可能词性。
这种方法在自然语言处理中的词性标注任务中被广泛使用。
除了自然语言处理，马尔可夫模型还在金融市场分析中有着重要的应用。
通过建立金融市场的马尔可夫模型，可以预测股票、外汇等金融产品的价格走势。
这种方法在金融领域的交易策略制定中起着重要的作用。
马尔可夫模型的应用还不局限于上述领域，还可以用于图像处理、音频处理等各种领域。
通过马尔可夫模型，我们可以对各种随机过程进行建模和预测，提高系统的性能和效率。
马尔可夫模型是一种描述随机过程的数学工具，它基于马尔可夫假设，可以用来预测未来状态。
排队论大学课件11-马尔科夫排队网络
马尔可夫排队网络 一个二节点的级联网络
举例，假定1号节点是一个M/M/1排队系统
1 λ 2
？
2号节点的顾客输入流就是1号节点的顾客输出流 考虑1号节点顾客离开的间隔时间，假定其服从分布d(t)， d(t)的拉普拉斯变换为D*(x)。1号节点的服务时间分布的 拉普拉斯变换为B*(x)，顾客到达间隔时间分布的的拉普 拉斯变换为A*(x)。有：
设A(t)、D(t)为从任何状态开始上跳一步的总次数和下跳 一步的总次数，在统计平衡条件下，有：
A (t ) D (t ) lim D (t ) A (t ) 1
t
到达与离开时的队长分布的关系
An (t ) A (t ) lim pn
D n (t ) D (t ) An (t ) A (t ) An (t ) D (t ) An (t ) D (t )
两顾客离开的间隔时间是后面顾客到达的间隔时间＋后面顾客 服务的时间
D2 * ( x ) A * ( x ) B * ( x )
前一个顾客
后一个顾客
马尔可夫排队网络 一个二节点的级联网络
情况一出现的概率＝顾客离开时发现系统中有顾客的概率 ＝顾客到达时发现系统中有顾客的概率＝统计平衡时系统 队长不为0的概率＝ 同理，情况二出现的概率＝1- 所以
到达与离开时的队长分布的关系
G/G/1系统pn- =pn+
N(t)
n+1 n
t 跟踪N(t)实际走过的一条路线
到达与离开时的队长分布的关系
假定从状态n上跳到状态n+1的次数为An(t) 从状态n+1下跳到状态n的次数为Dn(t) 由于到达与离去是一个一个发生的，并且n->n+1与n+1>n是交错发生的。所以到t时刻为止，An(t)与Dn(t)至多相 差1
马尔可夫排队模型
第一节 状态转移图
• 状态：系统的某种可以稳定存在的形态。
– 从随机过程角度去看，则为随机过程的取值
• 变迁：状态间的有向弧，描述状态间可能的变化。
– 变迁没有延迟，发生的时间为0
• 状态转移图：用来描述系统状态和变迁情况的有 向图 • 实例：一个机械系统由A、B两部分构成，各自有 修理工。若运行时间和修理时间均为服从独立的 指数分布的随机变量，求状态转移图。
例题的求解
• 定义状态：
– S0＝AB，S1＝AB，S2＝AB，S3＝AB
• 变迁和强度：
– S0→S1：A系统发生故障强度λ1＝1/t1 – S1→S0：A的平均修复强度μ1＝1/t1’
• t1’:A的平均修复时间
• t1:A的平均无故障时间。（ λ1指数分布参数）
– 同样可能的变迁S1→S3，S3→S1，S0→S2，S2→S0， S2→S3，S3→S2，强度分别为：λ2、μ2、λ2、μ2、λ1、 μ1
• 试证
M|M|1|0的普通解
• 对应的哥氏方程组：
– p0‘(t) ＝ －λp0(t) ＋μp1(t) – p1‘(t) ＝ － μp1(t) ＋ λp0(t)
• 解得：
– p0(t) ＝μ/(μ+λ)+Ce -(μ+λ)t – 若 t=0 p0(t) =1，则 C＝ λ/(μ+λ) – ∴ p0(t) ＝μ/(μ+λ)+ λ/(μ+λ) e -(μ+λ)t – p1(t)=1-p0(t) = λ/(μ+λ)-λ/(μ+λ) e -(μ+λ)t
10排队论1、简答排队规则与系统数量指标；（2）马尔科夫排队模型...
10 排队论1、简答（1） 排队规则与系统数量指标；（2）马尔科夫排队模型；（3）稳定状态流平衡原则。
答：（1）排队规则,当顾客到达时，如所有服务台都被占用且又允许排队，则该顾客进入队列等待。
服务台对顾客进行的服务所遵循的规则通常有：先到先服务（FIFO ）、后到先服务（LIFO ）、有优先权的服务（SWP y ）和随机服务（SIRO ） 系统数量指标包括：1．系统中顾客数量的概率分布（P n ） 2．系统中顾客数量期望值（系统状态，L ） 3．队列中顾客数量期望值（队长，L q ） 4．顾客在系统中的平均逗留时间（W ）5．顾客的平均等待时间（W q ）（2）马尔科夫排队模型即为具有唯一性、独立性、平稳性的最简单流。
就是指在t 这一时间段里有k 个顾客到达服务系统的概率()k v t 服从泊松分布，而系统的概率分布处于负指数分布。
（3）所谓稳定状态流平衡原则就是在稳定状态下，流入任意一个结点的流量等于流出该结点的流量。
2、绘制各排队系统的状态转移图（1）//2/4M M ；（2）//3/3M M ；（3）//1/3/3M M 。
解：（1）此系统模型有2个服务台，系统容量为4，其状态转移图为（2）此系统模型有3个服务台，系统容量为3，其状态转移图为（3）此系统模型有1个服务台，系统容量为3，顾客总体为3，其状态转移图为3、服务亭只有一名服务员，顾客按泊松分布到达，平均每小时4人；服务时间服从负指数分布，平均每人6分钟。
求：（1）系统空闲的概率；（2）有3名顾客的概率；（3）至少有1名顾客的概率； （4）平均的顾客数； （5）平均逗留的时间； （6）平均等待的顾客数； （7）平均的等待时间；（8）顾客逗留15分钟以上的概率。
解：将此系统抽象为M/M/1模型 ：λ=4 μ=60/6=10(1) 繁忙率4/100.4λρμ=== 故系统空闲的概率10.6ρ-=（2） 0110.6P λρμ=-=-= 100.24P P ρ== 22P P ρ==0.096 3300.0384P P ρ==有3名顾客的概率为0.0384（3）至少有1名顾客的概率010.4P ρ-== （4）平均的顾客数40.67104L λλμ===--（人）（5）平均逗留的时间111/6104W λμ===--（小时）=10分钟 （6）平均等待的顾客数q L L ρ==0.4⨯0.67=0.268(人)（7）平均的等待时间q W W ρ==0.4⨯1/6=0.067(小时) （8）顾客逗留15分钟以上的概率{}11315615215P T ee ⎛⎫---⎪⎝⎭>==4、一个美发厅有两把椅子和两名美发师，没有顾客等待的位置。
07：排队网络模型的性能分析
一个典型的通信网络8泊松分布过程的一个例子。
10111522 237、局部平衡与时间可逆性30312、Jackson网络－独立性假设几点独立性假设9相互独立的外部到达、泊松过程9相互独立的服务时间、负指数分布•同一个顾客在不同的排队节点遵循相互独立、且有可能不同参数的负指数分布。
9相互独立的路由策略•在某一节点接受完服务后独立地决定下一节点的路由、或者退出该排队网络。
322、Jackson网络－稳态概率()()()111212,,,,mi i j jij m m i r P I Q r r r λλλγλλλγ−=+Λ−Λ∑L L ＝对于节点，顾客到达率如下：用矩阵形式可以表示为：＝其中：＝＝33111212122212m m m mm m P P P P P P QPP P ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L M M M M L Q矩阵的性质9对于开环网络来说，至少存在一个节点i有ri>0或者mij 1P 0>∑j=0－343、Jackson定理Jackson 定理9对于一个平稳状态的Jackson网络，在任一节点内的顾客数与其它节点的存在的顾客数无关。
9队长的概率分布Pn=P(n1,n2,…n m )等于每个单个节点队列长度概率分布的积。
353、Jackson定理()()()()()()()121122001100,,,!!!!iii i i i i i mm mn ii i i i i sn s i i i i n s s i i in i i i i ii i iP n n n p n p n p n ap n s n p n a p n s s a a s p n s s a s i a ρλµ−−−==⋅⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩⎛⎞=+⋅⎜⎟−⎝⎠=∑L L ，，为第个排队节点的服务者数,363、杰克逊网络通信量方程解）非奇异性，存在唯一（）＝－（则＝令稳态总体流量：通信量方程：Q -I Q I }{},{11γλλλλγλγλij i Mi i j Mi jij i i q Q q q ==+=∑∑==iiλiγiq 11λMiM q λ38399虽然外部顾客以泊松过程到达节点i，但实际到达于第i个节点的顾客为非泊松分布过程。
第四章 马尔可夫型排队系统的性能分析
aA? B ? 50erl
E62 (50) ? 0.01388 ? 0.01
E63 (50) ? 0.00844 ? 0.01
S ? 64 2001-3-14 A? B
? ? ? @? 华? ?
26
马尔可夫型排队系统的应用（2）
? 例题：有限等待空间排队系统与无限等待空间排队系统 的性能比较
? ? ? @? 华? ?
12
M/M/1排队系统的性能分析
? 等待/滞留时间的概率分布
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
13
M/M/1排队系统的扩展（1）
? 顾客到达率和服务率可变的M/M/1排队系统
? 分组交换网中 window-based flow control ? ATM网中用于ABR业务的 rate-based flow control ? 电路/分组交换网中的 dynamic bandwidth assignment
9
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
10
M/M/1排队系统的性能分析
? 全局平衡方程式(Global Balance Equation)
其中：
? 平稳状态概率的求解
?局域平衡方程式(local balance equation)：
pi
?平稳状态概率：
i
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
s?
s?
s?
? ? ? @? 华? ?
15
M/M/s/K排队系统的性能分析
? 被截断的M/M/s排队系统
?
?
?
?
?
?
?
0
1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 试证
M|M|1|0的普通解
• 对应的哥氏方程组：
– p0‘(t) ＝ －λp0(t) ＋μp1(t) – p1‘(t) ＝ － μp1(t) ＋ λp0(t)
• 解得：
– p0(t) ＝μ/(μ+λ)+Ce -(μ+λ)t – 若 t=0 p0(t) =1，则 C＝ λ/(μ+λ) – ∴ p0(t) ＝μ/(μ+λ)+ λ/(μ+λ) e -(μ+λ)t – p1(t)=1-p0(t) = λ/(μ+λ)-λ/(μ+λ) e -(μ+λ)t
• 如果0≤pi(t) ≤1, ∑pi(t)=1存在，等价于系统稳定，此 时，pi的含义是经过充分长的时间的运行后，系统 处于第i个状态的可能性（概率）
• 状态概率对系统求解的意义
第二节 哥氏方程
• 功能：基于状态转移图，获得Markov模型 排队系统的解（包括pi(t)和极限平稳解pi ）
• 普通解
第六章 马尔可夫排队模型
如果一个排队系统的到达过程为 泊松过程，服务时间为指数分布，则 该排队系统称为马尔可夫型排队系统
第一节 状态转移图
• 状态：系统的某种可以稳定存在的形态。
– 从随机过程角度去看，则为随机过程的取值
• 变迁：状态间的有向弧，描述状态间可能的变化。
– 变迁没有延迟，发生的时间为0
• 状态转移图：用来描述系统状态和变迁情况的有 向图
• 实例：一个机械系统由A、B两部分构成，各自有 修理工。若运行时间和修理时间均为服从独立的 指数分布的随机变量，求状态转移图。
例题的求解
• 定义状态：
– S0＝AB，S1＝AB，S2＝AB，S3＝AB
• 变迁和强度：
– S0→S1：A系统发生故障强度λ1＝1/t1
• 指数分布的无后效性对状态转移图的意义
• 系统状态和随机过程：将系统的每个可能 的状态对应于不同的整数，则状态转移图 对应于一个随机过程
• 状态概率：
– 随机过程角度pi(t)：t时刻系统处于第i个状态的 可能性
• 0≤pi(t) ≤1, ∑pi(t)=1,
– 随机变量角度（极限平稳解）：pi= limt→∞pi(t)
• t1:A的平均无故障时间。（ λ1指数分布参数）
– S1→S0：A的平均修复强度μ1＝1/t1’
• t1’:A的平均修复时间
– 同样可能的变迁S1→S3，S3→S1，S0→S2，S2→S0， S2→S3，S3→S2，强度分别为：λ2、μ2、λ2、μ2、λ1、 μ1
• 状态转移图 • 这是一个双通道闭合型的马尔可夫排队系统
• 极限平稳解
– 由普通解获得
–
在上例中，如果 p0=0.4, p1=0.2,
λp12＝=01.2,μ71,=p23,λ=20=.21,3μ。2=如3,则果有系统
A的创收能力为5，系统B的创收能力为3，则整
个系统的平均创收能力为5.15。工人A的忙率？
直接求极限平稳解
• 对状态转移图中的任一状态Pi,设有：
M|M|1|0的极限平稳解Байду номын сангаас
• 从普通解获得:
– p0= limt→∞p0(t)= μ/(μ+λ) – p1= limt→∞p1(t)=λ /(μ+λ)＝1－ p0
• 从状态转移图获得 • 有关的效率指标
– 相对通过能力Q＝ p0＝μ/(μ+λ) – 绝对通过能力A＝ λQ＝ λμ/(μ+λ) – 系统损失率Pl＝p1＝1－Q＝ λ/(μ+λ)
– 由该状态发出的弧A1…Am,强度分别为a1…am – 进入该状态的弧B1…Bl，强度分别为b1…bl,
对应的发出点为C1…Cl – 则对应的哥氏方程组为
– 即：发出（均值）＝进入（均值） – 实例
第三节 little公式
• 定理6.1：设ELs为排队系统内顾客平均值， EWs为顾客在系统内的平均排队时间，则 有ELs＝λEWs
– 证明过程见黑板演示
• 同样： ELq＝λEWq • 该公式可用于任何稳定的排队模型 • 定理的意义
第4节 单通道损失制M|M|1|0
• 状态定义：系统内顾客数-Ls
• 状态转移图：
•
λ
• S0
S1
•
μ
• 设：
– p0(t):系统在t时刻处于S0状态的概率 – p1(t):系统在t时刻处于S1状态的概率 – p0(t)＋p1(t)＝1
M|M|1|0的应用举例
• 一条电话热线，平均每分钟有一次呼叫， 平均每次呼叫的通话时间为0.4分钟，求稳 定状态下一次呼叫的占线概率
• 解：
– 采用M|M|1|0模型， – 此时，λ＝1， μ＝1/0.4＝2.5 – 则所求概率为Pl= p1= λ/(μ+λ)=0.28
M|M|1|0的应用举例
• 以太网CSMA/CD介质访问方式的站点数量 与性能关系分析。设站点数量为n，各站点 的访问介质的请求强度相同，总和为λ0，每 次访问请求实际通过介质的时间为指数分 布的随机变量μe-μt，平均冲突延迟 td=1/(2μ)，求访问通过介质全过程的平均 时延。
• 解：（见黑板演示）