八年级数学下册第十七章勾股定理单元检测习题一(含答案) (36)

八年级数学下册第十七章勾股定理单元检测习题一（含答案）已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．

(1)求BC的长；

(2)有一动点P从点C开始沿C→B→A方向以1cm/s的速度运动到点A

后停止运动，设运动时间为t秒；求：

①当t为几秒时，AP平分∠CAB；

①当t为几秒时，△ACP是等腰三角形(直接写答案)．

【答案】（1）BC==8；（2）①当t=3秒时，AP平分∠CAB；① t=6或t=10.8或t=12或t=13.

【解析】

【分析】

（1）直接根据勾股定理求出BC的长即可；

（2）①过点P作PD①AB于点D，根据角平分线的性质可得出PD=PC，由HL 定理可得出Rt①APD①Rt①APC，故AD=AC，设PC=x，则PB=8-x，在Rt①BPD 中根据勾股定理求出x的值即可得出结论；

①当点P在BC上时，只有AC=PC一种情况；当点P在AB上时，分AP=AC，PC=AC，PC =AP三种情况进行讨论．

【详解】

解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，

∴；

（2）①如图1所示，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，

∵AP 平分∠CAB ，∴PD=PC ．

在Rt △APD 与Rt △APC 中，

PD PC AP AP =⎧⎨=⎩

， ∴Rt △APD ≌Rt △APC （HL ），

∴AD=AC=6，∴BD=10－6=4．

设PC=x ，则PB=8－x ，

在Rt △BPD 中，PD 2+BD 2=PB 2，即x 2+42=（8－x ）2， 解得x=3， ∴当t=3秒时，AP 平分∠CAB ；

② 如图2所示,

当点P 在BC 上时，

①AC=1P C=6，

①t=6秒；

当点P 在AB 上,AC=A 2P 时，

①AC=A 2P =6，

①BC+B 2P =8+4=12，

①t=12秒；

当AC=3P C 时，如图3所示，

过点D 作CD ①AB 于点D,则AD=D 3P ， ①AD AC =AC AB ,即6AD =610

，解得AD=3.6， ①A 3P =7.2，

①BC+B 3P =8+(10−7.2)=10.8，

①t=10.8秒；

当C 4P =A 4P 时,如图4所示,过点4P 作4P E ①AC 于点E ，

①C 4P =A 4P ，AC=6，

①AE=12

AC=3， ①4P AE A =AC AB ,即4

3P A =610,解得A 4P =5， ①BC+B 4P =8+(10−5)=13，

①t=13秒．

综上所述，t=6或t=10.8或t=12或t=13秒时，△ACP 是等腰三角形.

【点睛】

本题考查勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定.

92．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝10，点D 是射线CB 上的一个动点，△ADE 是等边三角形，点F 是AB 的中点，联结EF ．

(1)如图，当点D 在线段CB 上时，

①求证：△AEF ≌△ADC ；

①联结BE ，设线段CD ＝x ，线段BE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义

域；

(2)当∠DAB＝15°时，求△ADE的面积．

，定义域是0＜

【答案】(1)①证明见解析；②函数的解析式是y

x≤(2)△ADE的面积为

或．

【解析】

【分析】

（1）①在直角三角形ABC中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出

==，确定出三角形ADE为等边三AC的长，再由F为AB中点，得到5

AC AF

=,利用SAS即可得证；角形，利用等式的性质得到一对角相等，再由AD AE

==，在三角形

②由全等三角形对应角相等得到AFE

∠为直角，EF CD x

AEF中，利用勾股定理即可列出y关于x的函数解析式及定义域；

（2）分两种情况考虑：①当点D在线段CB上时；②当点D在线段CB的延长线上时，分别求出三角形ADE面积即可.

【详解】

(1)①在Rt△ABC中，

∵∠B＝30°，AB＝10，

∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝5，

∵点F是AB的中点，

∴AF ＝AB ＝5，

∴AC ＝AF ，

∵△ADE 是等边三角形，

∴AD ＝AE ，∠EAD ＝60°，

∵∠CAB ＝∠EAD ，即∠CAD +∠DAB ＝∠FAE +∠DAB ，

∴∠CAD ＝∠FAE ，

在△AEF 和△ADC 中，

AD AE CAD FAE AC AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

， ∴△AEF ≌△ADC (SAS )；

②∵△AEF ≌△ADC ，

∴∠AFE ＝∠C ＝90°，EF ＝CD ＝x ，

又∵点F 是AB 的中点，

∴AE ＝BE ＝y ，

在Rt △AEF 中，勾股定理可得：y 2＝25+x 2，

∴

函数的解析式是y =

，定义域是0x <≤

(2)①当点D 在线段CB 上时，

由∠DAB ＝15°，可得∠CAD ＝45°，△ADC 是等腰直角三角形， ∴AD 2＝50，

△ADE

的面积为2

； ②当点D 在线段CB 的延长线上时，

由∠DAB ＝15°，可得∠ADB ＝15°，BD ＝BA ＝10，