高三数学-【数学】湖南省八校2018届高三上学期第二次联考(理) 精品
2012届八校第二次联考理科数学-参考答案
湖北省 八校2012届高三第二次联考命题：黄石二中 叶济宇-----135********数学试题（理科）参考答案一、选择题：二、填空题:11、12i ； 12、5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈； 13、34； 14、1 15、（1）15+ （2）045三、解答题:21cos 161()cos cos 112222111cos sin()2262x x x xf x x x x x π+=-+=-+=-+=-+、解：（）……………………………………3分∵11()10f x =,∴3sin()65x π-=；又∵[0,]2x π∈，∴[,]663x πππ-∈-，即4cos()65x π-= 3cos cos[()]cos()cos sin()sin 6666661010x x x x ππππππ∴=-+=---=-…………………………………………………6分22bcosA 2c 2sin cos 2sin 2sin cos 2sin()2sin cos 2[sin cos cos sin ]2sin cos cos (0,]26B A c A B A A B AB A A B A B A A B A B B π≤≤⇒≤+⇒≤+⇒≥⇒≥⇒∈（）由－得： ……………………………………10分∴1sin()(,0]62B π-∈-，即11()sin()()(0,]622f B B f B π=-+⇒∈………………………………………………………12分鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、荆州中学、襄 阳 四中、襄阳五中、孝感高中17、解：（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：5.1682169168=+. ……………………………………2分（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为85220⨯=人，“非高个子”为125320⨯=人； 则至少有1人为高个子的概率P ＝1－2325710C C =……………………………………6分（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0,1，2,3；故353810(0)56C P C ξ===，21533830(1)56C C P C ξ===，12533815(2)56C C P C ξ===，33381(3)56C P C ξ===， 即ξ的分布列为：E ζ＝056⨯＋156⨯＋256⨯＋356⨯＝8。
高考数学考点导数的几何意义以及应用#
考点09 导数的几何意义以及应用【高考再现】热点一导数的几何意义1.<2018年高考<课标文））曲线在点(1,1>处的切线方程为________2.<2018年高考<广东理））曲线在点处的切线方程为_______________【答案】【解读】,所以切线方程为,即.热点二导数的几何意义的应用3.<2018年高考<重庆理））设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.(Ⅰ> 求的值。
(Ⅱ> 求函数的极值.【解读】(1>因,故因为曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即4.<2018年高考<山东文））已知函数为常数,e=2.71828是自然对数的底数>,曲线在点处的切线与x轴平行.(Ⅰ>求k的值。
(Ⅱ>求的单调区间。
(Ⅲ>设,其中为的导函数.证明:对任意.5.<2018年高考<湖北文））设函数,为正整数,为常数, 曲线在处的切线方程为.(1>求的值。
(2>求函数的最大值。
(3>证明:.【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等。
另外,要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查.6．<2018年高考<北京文））已知函数(>,.(1>若曲线与曲线在它们的交点(1,>处具有公共切线,求的值。
(2>当时,求函数在区间上的最大值为28,求的取值范围.当时,函数在区间上的最大值小于28.因此,的取值范围是7.<2018年高考<北京理））已知函数(>,.(1>若曲线与曲线在它们的交点(1,>处具有公共切线,求的值。
2020届湖北八校第二次联考数学(理科)试题答案(官方)
时有
一个零点；
当
a
2
1
ln
2
时，
f
2
x1x2
y1 y2
0
y12 2p
y22 2p
y1 y2
0 ，得到
y1 y2
4 p2
又令 l : x my t 代入抛物线 y2 2 px 中，可得方程 y2 2 pmy 2 pt 0
由韦达定理得 y1 y2 2 pt 4 p2 ,t 2 p
s
12p 2
y1
y2
p
4 p2m2 16 p2 2 p2
6
再设 hx
1 x
cos
x
，则 hx
1 x2
sin
x
0 从而 a 关于
x0 单调递增。
①若
x0
0,
2
，此时
a
,
2
，若
f
2
f
0
得
a
2
1
ln
2
或
a
ln
，所以
a
2
1
ln
2
时无零
点；
f
2
f
0
得
-
2
1
ln
2
a
ln
，所以
-
2
1
ln
2
a
2
即 c 2 3 2 2,8
tan B
…………………………………………………………………10 分
s 1 bc sin A 1 4 3 c 3c
2
2
2
s 2 3,8 3
18. 1 证明:连接 AC
高三数学复习(理)：第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式[学生用书P132]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎛⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎛⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用结论已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0；(2)忽视等号成立的条件． 1．若x <0，则x ＋1x ( ) A ．有最小值，且最小值为2 B ．有最大值，且最大值为2 C ．有最小值，且最小值为－2 D ．有最大值，且最大值为－2 解析：选D.因为x <0，所以－x >0， －x ＋1－x≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立， 所以x ＋1x ≤－2.2．若x ≥2，则x ＋4x ＋2的最小值为________．解析：设x＋2＝t，则x＋4x＋2＝t＋4t－2.又由x≥2，得t≥4，而函数y＝t＋4t－2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t＝4时，t＋4t －2取得最小值4＋44－2＝3.答案：3[学生用书P133]利用基本不等式求最值(多维探究)角度一通过拼凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)已知x<54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．【解析】(1)x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x＋（4－3x）22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号．(2)因为x<54，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x＋15－4x＋3≤－2 （5－4x）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.【答案】 (1)23 (2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度二 通过常数代换法求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________．【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案：4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________． 解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号．答案：114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A.223B ．23 C.33D.233【解析】 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x .由⎩⎨⎧x >0，y >0，即⎩⎨⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．角度四 多次利用基本不等式求最值若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】 因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.【答案】 4当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．1．(2021·湖北八校第一次联考)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为( )A ．12B ．16C ．20D ．24解析：选B.方法一：由题意x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝1＋y x ＋9x y ＋9≥1＋2y x ×9xy＋9＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，y x ＝9x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B.方法二：由1x ＋9y ＝1得9x ＋y －xy ＝0，即(x －1)(y －9)＝9，可知x ＞1，y ＞9，所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞9，1x ＋9y＝1，x －1＝y －9＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B. 2．(2021·贵阳市四校联考)已知a ＋b ＝2，且a ＞－1，b ＞0，则1a ＋1＋1b的最小值为( )A.23 B ．1 C.43D.32解析：选C.由a ＋b ＝2，得a ＋1＋b ＝3.因为a ＞－1，所以a ＋1＞0，所以1a ＋1＋1b ＝13(a ＋1＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋b a ＋1＋a ＋1b ≥13·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2ba ＋1·a ＋1b ＝43，当且仅当b a ＋1＝a ＋1b ，即a ＝12，b ＝32时等号成立，所以1a ＋1＋1b 的最小值为43，故选C.3．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y＋3y x 的最小值为( )A.53 B ．103 C.32 D ．3解析：选 D.由题意得x >0，y >0，4x x ＋3y ＋3y x ＝4x x ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y ·x ＋3yx－1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．基本不等式的实际应用(师生共研)某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品() A．60件B．80件C．100件D．120件【解析】若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是x8元，总的费用是800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时取等号，故选B.【答案】 B利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．(2021·安徽安庆大观模拟)如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的()A ．最小长度为8B ．最小长度为4 2C ．最大长度为8D ．最大长度为4 2解析：选B.设BC ＝a ，a ＞0，CD ＝b ，b ＞0，则ab ＝4，所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为2a ＋b ＝2a ＋4a ≥22a ·4a ＝42，当且仅当2a ＝4a ，即a ＝2时取等号，此时长度取得最小值4 2.故选B.基本不等式的综合应用(多维探究) 角度一 与其他知识的交汇问题(2021·吉林通钢一中等三校第五次联考)在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，P 为线段AB 上的一点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则1x ＋1y 的最小值为( )A.76 B ．712C.712＋33D.76＋33【解析】 因为CA ＝3，CB ＝4，即|CA →|＝3，|CB →|＝4， 所以CP →＝x CA →|CA →|＋y CB →|CB →|＝x 3CA →＋y 4CB →，因为P 为线段AB 上的一点，即P ，A ，B 三点共线， 所以x 3＋y4＝1(x ＞0，y ＞0)，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 4＝712＋x 3y ＋y 4x ≥712＋2112＝712＋33， 当且仅当x 3y ＝y 4x 时等号成立，所以1x ＋1y 的最小值为712＋33，故选C. 【答案】 C角度二 求参数的值或取值范围已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，所以(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 【答案】 4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．1．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号，所以1x ＋13y 的最小值为4.故选C.2．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1) ≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．所以S n ＋8a n 的最小值是92.答案：923．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立， 即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，当x ＝8x ，即x ＝22时，g (x )取得最小值，又x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞[学生用书P135]核心素养系列12 逻辑推理——利用基本不等式连续放缩求最值已知a >b >0，那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2且b ＝22时取等号，所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.【答案】 4设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝(a 2－ab )＋1（a 2－ab ）＋1ab＋ab ≥2（a 2－ab ）·1（a 2－ab ）＋21ab ×ab ＝4(当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab且1ab ＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号)．【答案】 4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．已知正实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，则1abc ＋1d 的最小值是( )A ．10B ．9C ．42D.3 3解析：选B.因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，所以1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．又因为c ＋d ＝1，c >0，d >0，所以1abc ＋1d ≥4·1c ＋1d ＝(c ＋d )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋1d ＝5＋4d c ＋c d ≥5＋24d c ·c d ＝9，当且仅当a ＝b ＝12，且c ＝23，d ＝13时取等号，即1abc ＋1d 的最小值为9，故选B.[学生用书P393(单独成册)][A 级 基础练]1．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，则1xy 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1.2．若a >0，b >0，a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.方法一：由于a ＋b ＝ab ≤（a ＋b ）24，因此a ＋b ≥4或a ＋b ≤0(舍去)，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.方法二：由题意，得1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.方法三：由题意知a ＝b b －1(b >1)，所以a ＋b ＝b b －1＋b ＝2＋b －1＋1b －1≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B ．43 C ．－1D ．0解析：选D.f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值是0.4．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C.因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0， 由ab ＝1a ＋2b ≥21a ×2b ＝22ab ，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2. 5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.6．(2021·四省八校第二次质量检测)已知a ＝(1，x )，b ＝(y ，1)，x ＞0，y ＞0.若a ∥b ，则xyx ＋y的最大值为( ) A.12 B ．1 C. 2D ．2解析：选 A.方法一：a ∥b ⇒xy ＝1，所以y ＝1x ，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ＝1x ＋1x≤12x ×1x ＝12(当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A.方法二：a ∥b ⇒xy ＝1，又x ＞0，y ＞0，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ≤12xy＝12(当且仅当x ＝y ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A.7．(2020·高考天津卷)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为________．解析：依题意得12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2×8a ＋b ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，ab ＝1，a ＋b 2＝8a ＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝4时取等号．因此，12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.答案：48．(2020·高考江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是__________．解析：方法一：由5x 2y 2＋y 4＝1得x 2＝15y 2－y 25，则x 2＋y 2＝15y 2＋4y 25≥215y 2·4y 25＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.方法二：4＝(5x 2＋y 2)·4y 2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5x 2＋y 2）＋4y 222＝254·(x 2＋y 2)2，则x 2＋y 2≥45，当且仅当5x 2＋y 2 ＝4y 2＝2，即x 2＝310，y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.答案：459．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， 所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12(x ＝72舍去)时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52， 故函数的最大值为－52. (2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）取最大值，为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥2 8x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[B 级 综合练]11．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24解析：选B.由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，当且仅当9b a ＝ab ，即a ＝3b 时等号成立， 所以m ≤12，所以m 的最大值为12. 12．(2020·福建龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．5C．7 D．9解析：选C.因为x>0，y>0.且1x＋1＋1y＝12，所以x＋1＋y＝2⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＋1y(x＋1＋y)＝2(1＋1＋yx＋1＋x＋1y)≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2yx＋1·x＋1y＝8，当且仅当yx＋1＝x＋1y，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.13．若a＋b≠0，则a2＋b2＋1（a＋b）2的最小值为________．解析：a2＋b2＋1（a＋b）2≥（a＋b）22＋1（a＋b）2≥212＝2，当且仅当a＝b＝2－34时，a2＋b2＋1（a＋b）2取得最小值 2.答案： 214．某厂家拟定在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－2m＋1(m≥0)，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，所以2021年的利润y＝1.5x×8＋16xx－8－16x－m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3时，y max ＝21.故该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，为21万元．[C 级 提升练]15．已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A (1，a )，B (2，b )，且α＝2β，则1a ＋b 的最小值为( )A ．1B ． 2 C. 3D ．2解析：选C.由已知得，a >0，b >0，tan α＝a ，tan β＝b2，因为α＝2β，所以tan α＝tan 2β，所以a ＝2·b 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＝4b 4－b 2，所以1a ＋b ＝4－b 24b ＋b ＝1b ＋3b 4≥21b ·3b4＝3，当且仅当1b ＝3b 4，即b ＝233时，取等号．故1a ＋b 的最小值为 3.16．(2021·江西吉安期末)已知函数f (x )＝sin 2xsin x ＋2，则f (x ) 的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，则sin 2x ＝(t －2)2，则g (t )＝（t －2）2t ＝t ＋4t －4(1≤t ≤3)，由“对勾函数”的性质可得g (t )在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g (1)＝1，g (3)＝13，所以g (t )max ＝g (1)＝1.即f (x )的最大值为1.答案：1。
2023八省联考数学试卷及答案
2023八省联考数学试卷及答案2023届八省联考数学试卷及答案T8联考被人们戏称为“第二次全国大联考”，虽然“T8联考”试题的难度很大，但还是有些学生考出了不错的成绩，以下是关于2023八省联考数学试卷及答案的相关内容，供大家参考!2023届高三第一次学业质量评价(T8联考)数学试题及答案2023八省联考参与省份八省联考参与联考的省份有：广东、江苏、河北、湖南、辽宁、湖北、重庆、福建。
八省联考是一场跨越八省八校的联考，往年参加八省联考的学校有：福州一中(福建)、东北育才中学(辽宁)、石家庄二中(河北)、华中师大一附中(湖北)、西南大学附中(重庆)、南京师大附中(江苏)、湖南师大附中(湖南)、广东实验中学(广东)。
新高考适应性考试参考对象是应届高三生、往届复读生、以及参加了高考报名的社会高考生。
这些考生如果没有不可抗拒因素是都要参加的，因此在八个省份中，办有高三班级教学的学校是都要参加八省联考的。
部分省份除了以上重点中学参加外，还有其他高中校也会参与八省联考，有这么多名校共同把关，强强联合，想必对于新高考的热点趋势把握还是比较到位的，考试试卷有一定的参考价值，所有的同学们都可以试着做一下这套卷子。
八省联考可以让学生了解新高考模式：通过这次联考模拟考试，使考生适应“不分文理，必考+选考”的新高考模式，熟悉考试流程、试卷结构和题型难度。
高三数学复习技巧1.重视数学能力的培养现阶段，高三数学复习正处于紧张阶段，我们应该重视学生数学能力的培养，教会学生将知识转化成能力的本领，以此帮助他们尽快解决各种数学考题。
这亦是数学核心素养的重要要求。
如，学生复习几何知识时，可以将身边的皮球、水杯、易拉罐作为研究事物，通过简化、抽象等方式转化成课本中的几何图形，这样就能锻炼自己的数学抽象能力。
这样的复习技巧看似简单，却能增强想象能力，为日后数学渗透生活奠定基础。
2.增强复习时的自我思考跟随老师能快速解题，自己时却不得要领，这是因为自我思考较少，没有形成正确的解题思维。
湖南省百所重点高中2024学年高三3月线上第二次月考数学试题试卷
湖南省百所重点高中2024学年高三3月线上第二次月考数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3πB．2C ．12πD ．24π2．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆3．若不等式22ln x x x ax -+对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥5．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．206．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]7．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 8．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32-D ．2-9．已知集合{}3|20,|0x P x x Q x x -⎧⎫=-≤=≤⎨⎬⎩⎭，则()R P Q 为（ ） A ．[0，2)B ．(2，3]C ．[2，3]D ．(0，2]10．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．311．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）12．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
八省八校(T8联考)2022届高三下学期第二次联考数学试题及参考答案
湖南师大附中、东北育才学校等八校联考2021-2022学年高三第二次T8联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1i iz =+，则z =（）A.0B.2iC.-2iD.1i-+2.设集合(){}2log 12A x x =-<，{}5B x x =<，则（）A.A B= B.B A⊆ C.A B⊆ D.A B =∅3.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且满足10a <，39S S =.则当n S 取得最小值时，n 的值为（）A.3B.6C.9D.124.如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB 、AD 向外分别作正方形ABEF 、ADMN ，其中2AB =，1AD =，4BAD π∠=，则AC FN ⋅= ()A.- B. C.0 D.1-5.若将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象分别向左平移3π个单位长度与向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则ϕ的最小值为（）A.23π B.2π C.53πD.π6.如图，已知正四面体ABCD 的棱长为1，过点B 作截面α分别交侧棱AC ，AD 于E ，F 两点，且四面体ABEF 的体积为四面体ABCD 体积的13，则EF 的最小值为（）A.2B.2C.13D.37.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式为()[]1,,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数．若函数()f x 是定义在实数集上的偶函数，且对任意x 都有()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()2022ln 25f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（）A.15 B.25C.25-D.15-8.已知椭圆Γ：22143x y +=，过其左焦点1F 作直线l 交椭圆Γ于P ，A 两点，取P 点关于x 轴的对称点B .若G 点为PAB △的外心，则1PA GF =（）A.2B.3C.4D.以上都不对二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.若事件A 与B 相互独立，且()0P A <，()1P B <，则()()P A B P A =B.设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，则111222P X P X ⎛⎫⎛⎫<=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，当样本相关系数r 越接近1时，样本数据的线性相关程度越强D.在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好10.作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy 下的一般方程为3330x y axy +-=.某同学对1a =情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是()A.曲线不经过第三象限B.曲线关于直线y x =对称C.曲线与直线1x y +=-有公共点D.曲线与直线1x y +=-没有公共点11.已知a ，R b ∈，满足e e 1a b +=，则（）A.2ln 2a b +≤- B.e 0a b +< C.1≥ab D.()222ee 1ab +≥12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段B.存在Q 点，使得1D Q ⊥平面1A PDC.当且仅当Q 点落在棱1CC 上某点处时，三棱锥1Q A PD -的体积最大D.若162D Q =，那么Q 点的轨迹长度为24三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在二项式8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数=a ___________.14.若在平面直角坐标系xOy 中，直线2x y -=与直线4x y -=分别截圆()2220x y r r +=>所得弦长之比为3：1，则r =___________.15.某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动.现有甲､乙､丙､丁四人，乒乓球､篮球､足球､羽毛球､网球五项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活动，则四人中恰有两人参加同一活动的概率为___________.16.已知(),01e ,1x x xf x x <<⎧=⎨≥⎩，若存在210x x >>，使得()()21e f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，在直角ABC 中，角C 为直角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 2c aB a-=.（1）求角B 的大小；（2）若3c =，D 点为AB 边上一点，且1AD =，求sin BCD ∠.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC ===，E ，F 分别为线段1BB ，1AC 的中点.（1）证明：EF ⊥平面11AA C C ；（2）若二面角1C A E A --的大小为3π，求1AA 的长.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()213n n S a n *+=∈N .（1）求n S ；（2）证明：当2n ≥时，329n nS a +≥.20.2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：心理价位（元/件）90100110120人数10205020假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x （单位：元/件），90120x <≤，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.（1）若100x =，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X 为这一时段该纪念品的购买人数，试求X 的分布列和数学期望()E X ；（2）假设共有M 名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y （单位：元），当该纪念品的销售价格x 定为多少时，Y 的数学期望()E Y 达到最大值？21.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>过点P，且Γ的渐近线方程为y =.（1）求Γ的方程；（2）如图，过原点O 作互相垂直的直线1l ，2l 分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧.请从①②两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分.①求四边形ACBD 面积的取值范围；②设直线AD 与两渐近线分别交于M ，N 两点，是否存在直线AD 使M ，N 为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD 的方程；若不存在，请说明理由.22.已知函数()()()2ln ,0f x x ax x x a a =-+∈>R .（1）若1是函数()f x 的极值点，求a 的值；（2）若01a <≤，试问()f x 是否存在零点.若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由.（3）若()f x 有两个零点，求满足题意的a 的最小整数值.（参考数据：ln 20.693≈ 1.649≈）数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1i iz =+，则z =（）A.0B.2iC.-2iD.1i-+【1题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法运算化简z ，从而求得z .【详解】()1ii i 0i i i z -=+=+=⋅-，所以0z =.故选：A2.设集合(){}2log 12A x x =-<，{}5Bx x =<，则（）A.A B= B.B A ⊆ C.A B⊆ D.A B =∅【2题答案】【答案】C 【解析】【分析】先由对数函数的单调性化简集合，再由集合知识判断即可.【详解】(){}(){}{}222log 12log 1log 415A x x x x x x =-<=-<=<<∴A 错误，B 错误，C 正确，D 错误.故选：C3.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且满足10a <，39S S =.则当n S 取得最小值时，n 的值为（）A.3B.6C.9D.12【3题答案】【答案】B 【解析】【分析】设出公差d ，由39S S =可得12110a d +=，从而得到公差大于0，得到670,0a a <>，从而得到答案.【详解】设公差为d ，由于39S S =，即()4567896730a a a a a a a a +++++=+=，即670a a +=，即12110a d +=，由于10a <，所以0d >，从而可得670,0a a <>，所以当n S 取得最小值时，n 的值为6故选：B4.如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB 、AD 向外分别作正方形ABEF 、ADMN ，其中2AB =，1AD=，4BAD π∠=，则AC FN ⋅=()A.-B.C.0D.1-【4题答案】【答案】C 【解析】2022届高三第二次T8联考答案解析【分析】根据向量加法法则，()()AC FN AB AD FA AN⋅=+⋅+ ，再利用数量积的运算法则计算即可.【详解】()()AC FN AB AD FA AN AB FA AD FA AB AN AD AN⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ 30cos cos 0044AD FA AB AN ππ=+++== .故选：C.5.若将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象分别向左平移3π个单位长度与向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则ϕ的最小值为（）A.23π B.2π C.53π D.π【5题答案】【答案】A 【解析】【分析】先分别求出向左以及向右平移后函数的解析式，再根据两函数图象重合列式求解【详解】()f x 的图象向左平移3π个单位长度得()g x =2sin 22sin 2333x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象,向右平移ϕ（0ϕ>）个单位长度得()()2sin 23h x x πϕ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭2sin 223x πϕ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的图象,由题意得2233k ππϕπ--+=（k Z ∈）所以3k πϕπ=-（kZ∈）又0ϕ>,故ϕ的最小值为23π,故选：A6.如图，已知正四面体ABCD 的棱长为1，过点B 作截面α分别交侧棱AC ，AD 于E ，F 两点，且四面体ABEF 的体积为四面体ABCD 体积的13，则EF 的最小值为（）A.2B.2C.13D.3【6题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据已知可得AEF的面积，由三角形面积公式和余弦定理，使用基本不等式可得.【详解】由题知13B AEFB ACD V--=，所以11111332212AEF ACD S S ==⨯⨯⨯⨯= ，记,,EF a AE b AF c ===，则1sin 60212bc ︒=，即13bc =.则22212cos 6023a b c bc bc bc bc =+-︒≥-==，当且仅当13b cbc =⎧⎪⎨=⎪⎩，即3b c ==时，取等号.故选：C7.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式为()[]1,,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数．若函数()f x 是定义在实数集上的偶函数，且对任意x 都有()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()2022ln 25f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（）A.15B.25C.25-D.15-【7题答案】【答案】D 【解析】【分析】根据函数的周期性，奇偶性及分段函数分段处理的原则即可求解.【详解】由()()20f x f x ++=，得()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，因为函数()f x 是定义在实数集上的偶函数，所以()()ln 2ln 2f f -=，()ln 20,1∈为无理数，所以()ln 20f -=，2022221()5555f f R ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()202211ln 20555f f ⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭.故选：D.8.已知椭圆Γ：22143x y +=，过其左焦点1F 作直线l 交椭圆Γ于P ，A 两点，取P 点关于x 轴的对称点B .若G 点为PAB △的外心，则1PA GF =（）A.2B.3 D.以上都不对C.4【8题答案】【答案】C 【解析】【分析】设出直线PA 方程，联立椭圆方程得到韦达定理，结合外心的性质，求得点G 的坐标，再用弦长公式求得PA ，再求结果即可.【详解】根据题意可得()11,0F -，显然直线PA 的斜率存在，故可设其方程为()1y k x =+，联立椭圆方程可得：()22223484120k x k x k +++-=，设()()1122,,,P x y A x y ，故2122834k x x k -+=+，212241234k x x k -=+，()121226234k y y k x x k k +=++=+，故()2212134k PA k+==+，设PA 的中点为H ，则其坐标为212122243,,223434x x y y kk k k ⎛⎫++-⎛⎫= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，显然x 轴垂直平分PB ，故可设()3,0G x ，又GH 直线方程为：2223143434k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，令0y =，解得2234k x k -=+，故221223313434k k GF k k -+=+=++，故()221121433k PA GF k+==+.故选：C.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.若事件A 与B 相互独立，且()0P A <，()1P B <，则()()P A B P A =B.设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，则111222P X P X ⎛⎫⎛⎫<=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，当样本相关系数r越接近1时，样本数据的线性相关程度越强D.在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好【9题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】根据相互独立事件和条件概率的概率计算公式，可判定A 正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定B 错误；根据相关系数的含义，可判定C 正确；根据残差的含义，可判定D 正确.【详解】对于A 中，若事件A 与B 相互独立，且()0P A <，()1P B <，可得()()()P AB P A P B =⋅，则()()()()()P A P B P A B P A P B ==，所以A 正确；对于B 中，设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，可得20,1μσ==，根据正态分布曲线的对称性，可得111222P X P X ⎛⎫⎛⎫<=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 错误；对于C 中，在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，根据相关系数的含义，可得当样本相关系数r越接近1时，样本数据的线性相关程度越强，所以C 正确；对于D 中，在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，根据残差的含义，可得残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，所以D 正确.故选：ACD10.作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy 下的一般方程为3330x y axy +-=.某同学对1a =情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是()A.曲线不经过第三象限B.曲线关于直线y x =对称C.曲线与直线1x y +=-有公共点D.曲线与直线1x y +=-没有公共点【10题答案】【答案】ABD 【解析】【分析】A ：当,0x y <时，判断3330x y xy +-=是否可能成立即可；B ：将点(y ，x )代入方程，判断与原方程是否相同即可；C 、D ：联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解即可.【详解】当,0x y <时，3330x y xy +-<，故第三象限内的点不可能在曲线上，A 选项正确；将点(),y x 代入曲线有程得3330x y xy +-=，故曲线关于直线y x =对称，B 选项正确；联立3330,1,x y xy x y ⎧+-=⎨+=-⎩其中()()3322330x y xy x y x y xy xy +-=++--=，将1x y +=-代入得2()0x y -+=，即0x y +=，则方程组无解，故曲线与直线1x y +=-无公共点，C 选项错误，D 选项正确.故选：ABD.11.已知a ，R b ∈，满足e e 1a b +=，则（）A.2ln 2a b +≤- B.e 0a b +< C.1≥ab D.()222e e 1a b +≥【11题答案】【答案】ABD 【解析】【分析】A 、D 利用基本不等式即可判断，注意等号成立条件；B 由e 1e ab b b +=+-，构造e ()x x f x =-且(,0)x ∈-∞，利用导数证明不等式；C 根据A 、B 的分析，应用特殊值法判断.【详解】A ：由e e 1a b +=≥，即2ln 2a b +≤-，当且仅当ln 2a b ==-时等号成立，正确；B ：由e 1e 0a b =->，则e 1e a b b b +=+-且,(,0)a b ∈-∞，令e ()x xf x =-且(,0)x ∈-∞，则()e 10xf x '=-<，()f x 递减，所以()(0)1f x f >=，e 1x x >+，即e 1e 0a b b b +=+-<成立，正确；C ：当ln 2a b ==-时，2ln 21ab =<，错误；D ：由222(ee )12(e e )ab a b +=≤+，当且仅当ln 2a b ==-时等号成立，正确.故选：ABD12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段B.存在Q 点，使得1D Q ⊥平面1A PDC.当且仅当Q 点落在棱1CC 上某点处时，三棱锥1QA PD -的体积最大D.若162D Q=，那么Q 点的轨迹长度为4π【12题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】A ：取11B C 、1C C 中点E F 、，连接11D E D F、、EF 、PF ，证明平面1A PD ∥平面1D EF ，则Q 点的轨迹为线段EF；B ：以1D 为原点，建立空间直角坐标系，设(),1,,0,1Q x z x z ≤ ，求出平面1A PD 的法向量，根据1D Q m λ=求出x 、z 即可判断；C ：1A PD △的面积为定值，∴当且仅当Q 到平面1A PD 的距离d最大时，三棱锥1QA PD -的体积最大；D ：可求1C Q 为定值，即可判断Q 的轨迹，从而求其长度.【详解】取11B C 、1C C 中点E F 、，连接11D E D F 、、EF、PF，由PF ∥1BC ∥11A D 且PF ＝111BC A D =知11A PFD 是平行四边形，∴1D F ∥1A P ，∵1D F ⊄平面1A PD ，1A P ⊂平面1A PD ，1D F ∥平面1A PD ，同理可得EF ∥平面1A PD ，∵EF ∩1D F ＝F ，∴平面1A PD ∥平面1D EF ，则Q 点的轨迹为线段EF，A 选项正确；如图，建立空间直角坐标系，则()11,0,0A ，11,1,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1D ，设(),1,,0,1Q x z x z ≤ ，则()11,0,1A D =- ，110,1,2A P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()1,1,.D Q x z =设(),,m a b c=为平面1A PD 的一个法向量，则110,0.m A D m A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,2a c c b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得,.2a c cb =⎧⎪⎨=-⎪⎩取1c =，则11,,12m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .若1D Q ⊥平面1A PD ，则1D Q ∥m ，即存在R λ∈，使得1D Qm λ=，则12x z λλλ=⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，解得[]20,1x z ==-∉，故不存在点Q使得1D Q ⊥平面1A PD ，B 选项错误；1A PD △的面积为定值，∴当且仅当Q 到平面1A PD 的距离d 最大时，三棱锥1Q A PD -的体积最大.12332A Q m d x z m ⋅==+-，32x z +① ，()213d x z =-+，则当0x z +=时，d 有最大值1；②32x z +>，()213d x z =+-，则当2x z +=时，d 有最大值13；综上，当0x z +=，即Q 和1C 重合时，三棱锥1Q A PD -的体积最大，C 选项正确；11D C ⊥平面11BB C C ，111D C C Q ∴⊥，12D Q ==，12C Q ∴=，Q 点的轨迹是半径为22，圆心角为2π的圆弧，轨迹长度为4π，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】本题综合考察空间里面的位置关系的判断与应用，需熟练运用线面平行、面面平行的判定定理和性质，需掌握运用空间直角坐标系和空间向量来解决垂直问题，掌握利用空间向量求点到平面的距离，利用几何关系判断空间里面的动点的轨迹，考察知识点较多，计算量较大，属于难题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在二项式8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数=a ___________.【13题答案】【答案】12或114【解析】【分析】结合二项式展开式的通项公式和等差中项的性质列方程，化简求得a .【详解】二项式8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()818288kkk k k kCx ax a C x ---⋅⋅=⋅⋅，前三项的系数001122888,,a C a C a C ⋅⋅⋅成等差数列，所以1100228882a C a C a C ⋅=⋅+⋅，即2281610a a -+=，解得12a=或114故答案为：12或11414.若在平面直角坐标系xOy 中，直线2x y -=与直线4x y -=分别截圆()2220x y r r +=>所得弦长之比为3：1，则r =___________.【14题答案】【答案】2【解析】【分析】根据弦长比列方程，化简求得r .【详解】圆()2220x y r r +=>的圆心为()0,0，半径为r .直线2x y -=即20x y --=，()0,0到直线20x y --==，所以直线2x y -=截圆()2220x y r r +=>所得弦长为.同理可求得直线4x y -=截圆()2220x y r r +=>所得弦长为，32r =⇒=.故答案为：35215.某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动.现有甲､乙､丙､丁四人，乒乓球､篮球､足球､羽毛球､网球五项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活动，则四人中恰有两人参加同一活动的概率为___________.【15题答案】【答案】72125##0.576【解析】【分析】结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】每个人有5种选择，四人共有45种选择，其中恰有两人参加同一拓展活动共有212454CC A 种选法，所以四人中恰有两人参加同一活动的概率为2124544725125C C A =.故答案为：7212516.已知(),01e ,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，若存在210x x >>，使得()()21e f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为___________.【16题答案】【答案】21(0,)[e ,)e+∞ 【解析】【分析】先讨论1x 、2x 与1的大小关系确定()1f x 、()2f x ，进而确定1x 的取值范围，再结合函数的单调性进行求解.【详解】①当1201x x <<<时，则11()f x x =，22()f x x =，又由()()21e f x f x =，得21e (0,1)x x =∈，所以11(0,e x ∈，则()2121211e (0,ex f x x x x ⋅==∈；②当1201x x <<≤时，因为()()11e e 0,e f x x =∈，22()e e x f x =≥，所以不存在1201x x <<≤，使得()()21e f x f x =；③当121x x ≤<时，则11()e x f x =，22()e x f x =，又由()()21e f x f x =，得2111e e e e x x x +=⋅=，则211x x =+，()11121e x x f x x +⋅=，令1()e x g x x +=，则()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以2()(1)e g x g ≥=，则()212e x f x ⋅≥；综上所述，()12x f x ⋅的取值范围为21(0,)[e ,)e+∞ .故答案为：21(0,)[e ,)e+∞ .四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，在直角ABC 中，角C 为直角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 2c aB a-=.（1）求角B 的大小；（2）若3c =，D 点为AB 边上一点，且1AD =，求sin BCD ∠.【17~18题答案】【答案】（1）3π；（2）【解析】【分析】(1)根据题意，△ABC 为直角三角形，由此可得cos a Bc=，结合cos2c aB a-=即可求得cos B ，从而求出B 的大小；(2)在△BCD 中利用余弦定理求出CD ，在利用正弦定理即可求出sin BCD ∠.【小问1详解】2C π=Q ，∴△ABC 为直角三角形，cos 2a c aB c a-∴==，整理得2220a c ac -+=，∴()()20a c a c -+=，0a c +> ，20a c ∴-=，2a c =，1cos 2B ∴=，()0,B π∈ ，3B π∴=；【小问2详解】3c AB ==，2BD AB AD =-=，3cos 2BC AB B ==，在BCD △中，由余弦定理得222931132cos 4224224CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，∴2CD =，在BCD △中，由正弦定理得sin sin CD BDB BCD ∠=，∴2·sin 2sin 132BD BBCD CD∠⨯==﹒18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC ===，E ，F 分别为线段1BB ，1AC 的中点.（1）证明：EF ⊥平面11AA C C ；（2）若二面角1CA E A --的大小为3π，求1AA 的长.【18~19题答案】【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由已知可得AB BC ⊥，从而得1111A B B C ⊥，则以1B 为原点，以11111,,B A B C B B 所在的直线的分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设1B B h =，则表示出111,,EF A A AC ，吸要证明111,EF A A EF AC ⊥⊥即可，（2）表示出平面11,CA E A EA 的法向量，利用向量的夹角公式列方程，可求出1AA 的长【小问1详解】因为AC ===，所以222BC AB AC +=，所以AB BC ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1111A B B C ⊥，111111,B B B C B B B A ⊥⊥，所以以1B 为原点，以11111,,B A B C B B 所在的直线的分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设1B B h =，则111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,),(1,0,),(0,1,)B A C B h A h C h ，因为E ，F 分别为线段1BB ，1AC 的中点，所以110,0,,,,2222h h E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11,,022EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，111(0,0,),(1,1,0)A A h AC ==-，所以111110,022EF A A EF A C ⋅=⋅=-+= ，所以111,EF A A EF AC ⊥⊥ ，所以111,EF A A EF A C ⊥⊥，因为1111A A AC A ⋂=，所以EF ⊥平面11AA C C ；【小问2详解】设平面1CA E 的法向量为(,,)m x y z = ，平面1A EA 的法向量为(,,)n a b c =，因为11(1,1,),1,0,,1,0,22h h CA h A E EA ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以11002m CA x y hz h m A E x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，10202h n EA a c h n A E a c ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ ，令1,1z b ==，则,,1,(0,1,0)22h h m n ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为二面角1CA E A --的大小为3π，所以1cos ,cos 32m n m n m n π⋅====，122h =，化简得22h =，因为0h >，所以h =所以1AA19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()213n n S a n *+=∈N .（1）求n S ；（2）证明：当2n ≥时，329n nS a +≥.【19~20题答案】【答案】（1）312n nS -=（2）见解析【解析】【分析】（1）先利用1n n n a S S -=-得到131n n S S -=+，再构造等比数列求解；（2）先表示出32nnS a +，换元后构造函数，通过导数确定单调性，求出最小值得证.【小问1详解】当1n=时，11121213S a a +=+=，解得111a S ==，当2n ≥时，112133(),31n n n n n n S a S S S S --+==-=+，即1111133,02222n n S S S -⎛⎫+=+-=≠ ⎪⎝⎭，12n S ⎧⎫∴⎨⎩+⎬⎭是以32为首项，3为公比的等比数列，11333222nn n S -+=⋅=，即312n n S -=.【小问2详解】由312n nS -=，得12133n n n S a -+==，则392313n n n n S a +=-+，令3,2n t n =≥，则9t ≥，令9()1f t t t=-+，则29()1f t t '=-，当9t ≥时，()0f t '>，()f t ∴在[)9,+∞上单调递增，()(9)9f t f ≥=，即93193n n -+≥，当且仅当2n =时，取等，得证.20.2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：心理价位（元/件）90100110120人数10205020假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x （单位：元/件），90120x <≤，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.（1）若100x =，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X 为这一时段该纪念品的购买人数，试求X 的分布列和数学期望()E X ；（2）假设共有M 名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y （单位：元），当该纪念品的销售价格x 定为多少时，Y 的数学期望()E Y 达到最大值？【20~21题答案】【答案】（1）分布列见解析，期望为3.6；（2）当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y 的数学期望()E Y 达到最大值21M ．【分析】（1）由调查表得出每个人购买纪念品的概念为0.9P =，而(4,0.9)X B ，由二项分布计算概率得分布列，由二项分布的期望公式得期望；（2）利用二项分布的期望公式求出100,110,120x =时的期望()E Y ，比较得最大值．【小问1详解】100x =时，消费者购买该纪念品的概率900.9100P ==，由题意(4,0.9)X B ，44()0.9(10.9)ii i P X i C -==-，0,1,2,3,4i =，41(0)0.110000P X ===，同理9(1)2500P X ==，243(2)5000P X ==，729(3)2500P X ==，6561(4)10000P X ==，X 的分布列为：X01234P1100009250024350007292500656110000()40.9 3.6E X =⨯=；【小问2详解】由（1）知90100x <≤时，90()(80)18100E Y M x M =⨯⨯-≤（100x =时等号成立），100110x <≤时，70()(80)21100E Y M x M =⨯⨯-≤（110x =时等号成立），110120x <≤时，20()(80)8100E Y M x M =⨯⨯-≤（120x =时等号成立），0M >，因此()E Y =21M最大，此时110x =．所以当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y 的数学期望()E Y 达到最大值21M．21.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>过点P ，且Γ的渐近线方程为y =.（1）求Γ的方程；（2）如图，过原点O 作互相垂直的直线1l ，2l 分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧.请从①②两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分.①求四边形ACBD 面积的取值范围；②设直线AD 与两渐近线分别交于M ，N 两点，是否存在直线AD 使M ，N 为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD 的方程；若不存在，请说明理由.【21~22题答案】【答案】（1）2213y x -=（2）若选①，6S ≥；若选②，直线AD 不存在.【解析】【分析】（1）求出,a b 后可得双曲线的方程.（2）若选①，设1:l y kx =，21:l y x k=-，联立直线方程和双曲线方程后可求四边形面积的平方的表达式，从而可求其取值范围；若选②，可得设()(),,Mm N n ，其中0,0mn ><，则可求,A D 的坐标，利用它们在双曲线上及OA OD ⊥可得关于,m n的方程组，根据方程组无解可得直线不存在.【小问1详解】因为双曲线的渐近线方程为y =，故b a=22361a b -=，解得1,a b ==2213y x -=.【小问2详解】若选①，由题设可知直线1l ，2l 的斜率均存在且均不为零，设1:l y kx =，21:l y x k=-，设1:l y kx =，则22{33y kx x y =-=可得2233Ax k =-，其中k <<.同理222331Ck x k =-，其中1k <-<33k <<-或3k <<，故()()222221211213Ak AB kxk+=+=-，同理()2222211211211313k k CD k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，故四边形ACBD 面积的S 满足：()()()()()22222222212112111364331331k k k S k k k k+++=⨯⨯=⨯----22211363616131631k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⨯=⨯⎛⎫--+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，令1y k k =+，则221k y k -'=，当1k <<-或1k <<时，0y '>；当313k -<<-或13k <<时，0y '<；故1y k k=+在()1-，(上为增函数，在1,3⎛-- ⎝⎭，,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，故当3k <<-k <时，123k k ≤+<或123k k-<+≤-，所以211643k k ⎛⎫≤+<⎪⎝⎭，故236S ≥即6S ≥.若选②，先考虑,A D 在x 轴上方，且A 在第一象限，D 在第二象限，设()(),,Mm N n ，其中0,0m n ><，由12DN NM =可得()()1,2DD n x y m n --=-+，故3,22D D n m x y ---==，同理3,22A A m n x y -==，所以22223332312333323123n m m n ⎧⎛⎫--⎪ ⎪⎪-⎛⎫⎝⎭-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+ ⎪⎪-⎛⎫⎝⎭⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩，整理得13mn =-，而OA OD ⊥，故0A D A D x x y y +=，故3302222n m m n --+⨯-⨯=，整理得到225539mn mn +=-⨯=，故429510m m -+=，此时2536110∆=-=-<，故429510m m -+=无解，故满足条件的直线AD 不存在，由双曲线的对称性可得直线AD 不存在.22.已知函数()()()2ln ,0f x x ax x x a a =-+∈>R .（1）若1是函数()f x 的极值点，求a 的值；（2）若01a <≤，试问()f x 是否存在零点.若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由.（3）若()f x 有两个零点，求满足题意的a 的最小整数值.（参考数据：ln 20.693≈， 1.649≈）【22~24题答案】【答案】（1）2（2）无，详见解析；（3）4【解析】【分析】（1）求导()()2ln 1f x x a x x a '=-+-+，根据1是函数()f x 的极值点，由()10f '=求解；（2）由()()()()2ln ln 10f x x ax x x x x a x x =-+=-+>⎡⎤⎣⎦，令()()ln 1h x x a x =-+，用导数法研究其零点即可；（3）将()f x 有两个零点，转化为1,ln y a y x x ==+有两解，令()1ln g x x x=+，用导数法求解.【小问1详解】解：因为函数()()()2ln ,0f x x ax x x a a =-+∈>R ，所以()()()212ln 1f x x a x x ax x'=-+-⋅+，()2ln 1x a x x a =-+-+，因为1是函数()f x 的极值点，所以()()12ln1110f a a '=-+-+=，解得2a =，经检验符合题意；【小问2详解】当1a=时，()()()()2ln 1ln 10f x x x x x x x x x =-+=-+>⎡⎤⎣⎦，令()()1ln 1h x x x =-+，则()()1ln 1ln 1x x x h x x x x x+-'=+-⋅=，()110h a '=-=，因为()2110h x x x''=+>，则()h x '在()0,∞+上递增，所以当()0,1x ∈时，()0h x '<，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，所以()()110hx h ≥=>，则()h x 无零点，即()f x 无零点；当01a <<，()()()()2ln ln 10f x x ax x x x x a x x =-+=-+>⎡⎤⎣⎦，令()()ln 1hx x a x =-+，则()()1ln ln x x x a h x x x a x x +-'=+-⋅=，()1110,e 0e h a h a ⎛⎫''=->=-< ⎪⎝⎭，因为()210ah x x x''=+>，则()h x '在()0,∞+上递增，所以存在0x 1,1e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有()()00001ln 0h x x x a x '=+-⋅=，即000ln x x x a +=，当01,e x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当()0,1x x ∈时，()0h x '>，且()1110,110e e h a h ⎛⎫=-+>=>⎪⎝⎭，又()()20001ln hx x x =-，令()()21ln r x x x =-，则()()()()()221ln 2ln ln 2ln r x x x x x x x'=--⋅⋅=--，令()ln 1,0tx =∈-，则()222110y t t t =--=-++>成立，所以()rx 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，所以()1110e e rx r ⎛⎫>=->⎪⎝⎭，即()00h x >，所以()h x 无零点，即()f x 无零点；【小问3详解】令()()2ln 0f x x ax x x =-+=，因为()110f =≠，可转化为1ln a x x=+，若()f x 有两个零点，则1,ln y a y x x==+有两解，令()1ln g x x x=+，则()()211ln g x x x '=-，()()322ln ln x g x x x +''=，当210,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()g x '递增，当21,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ''<，()g x '递减，所以()221e 10e 4g x g ⎛⎫''≤=-< ⎪⎝⎭，所以()g x 在()0,1上递减，又在()1,+∞上，()0g x ''>，则()g x '递增，又()()()2222119112110,11042ln 220.693993ln 3ln 442g g ⎛⎫''=-<-<=-=-> ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在092,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有()()0200110ln g x x x '=-=，即0ln x =，当0x x =时()g x 取得极小值()001524g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以a 的最小整数值是4.【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．。
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湖南省八校2018—2018学年度高三年级联考数学试题（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70m/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以石得山将被处罚的汽车人约有 ( ) A ．30辆 B ．40辆 C ．60辆D ．80辆 2．若0a b <<，则下列不等式中不一定成立的是（ ）A ．11a b> B ．11a b b>- C ．a b ->- D ．∣a ∣>b -3．已知集合{}2|21,A y y x x x R ==--∈，1|,0B y y x x R x x ⎧⎫==+∈≠⎨⎬⎩⎭且，则()R B A =ð（ ）A ．(2,2]-B ．[2,2)-C ．[2,)-+∞D ．(2,2)-4．设:211p x -≤，:()[(1)]0q x a x a --+≤，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1[0,]2 B ．1(0,)2C ．(,0]-∞∪1[,)2+∞D ．(,0)-∞∪1(,)2+∞5．已知函数112()log (421)x x f x +=-+的值域是[0,)+∞，则它的定义域可以是（ ）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(,1]-∞D ．(,0]-∞6．已知函数()2sin f x x ω=在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的取值范围为（ ） A ．9(,]2-∞-B ．(,2]-∞-C ．3(,2][,)2-∞-+∞D ．9(,][6,)2-∞-+∞7．函数sin()4()22|sin cos |sin cos x f x x x x xπ-=-是（ ）A ．周期为2π的偶函数 B ．周期为π的非奇非偶函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的非奇非偶函数8．已知函数2()11f x ax b x =-+-，其中{}{}0,1,1,2a b ∈∈，则使得()0f x >在[1,0]x ∈-上有解的概率为（ ）A ．12B ．13 C ．14D ．09．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为A ，P 为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A 引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP 分别交于Q ，R 两点，其中O 为坐标原点，则2||OP 与||||OQ OR 的大小关系为（ ）A ．2||||||OP OQ OR <B ．2||||||OP OQ OR >C ．2||||||OP OQ OR =D ．不确定10．平面向量的集合A 到A 的映射f 由()2()f x x x a a =-确定，其中a 为常向量．若映射f 满足()()f x f y x y =对,x y A ∈恒成立，则a 的坐标不可能是（ ）A ．(0,0)B ．22(,)44C ．22(,)22D ．13(,)22-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数是_________．12．如图，在△ABC 中，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+， 则λμ+=_________．13．将抛物线2(3)40(0)a x y a ---=≠按向量(3,4)v =-平移后所得抛物线的焦点坐标为_________．14．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310(7)n a n -=>，714S =，72n S =，则_________． 15．给出定义：若1122m x m -<+≤ （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =．在此基础上给出下列关于函数{}()f x x x =-的四个命题： ①()y f x =的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)()k k Z ∈是()y f x =的图像的对称中心； ③函数()y f x =的最小正周期为1； ④函数()y f x =在13(,]22-上是增函数； 则其中真命题是_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本小题满分10分）已知等比数列{}n a 中，123,,a a a b a c ===，,,a b c 分别为ABC ∆的三内角,,A B C 的对边，且3cos 4B =． （1）求数列{}n a 的公比q ；（2）设集合{}2|2||A x N x x =∈<，且1a A ∈，求数列{}n a 的通项公式．17．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，向量(sin ,1),(cos ,0),(sin ,2)OA OB OC ααα===-，点P 是直线AB 上的一点，且点B 分有向线段AP 的比为1． （1）记函数()f PB CA α=⋅，(,)82ππα∈-，讨论函数()f α的单调性，并求其值域；（2）若,,O P C 三点共线，求||OA OB +的值．若关于x 的实系数方程20x ax b ++=有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间(1,3)内，记点(,)a b 对应的区域为S ． （1）设2z a b =-，求z 的取值范围；（2）过点(5,1)-的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域S ，求反射光线所在直线l 经过区域S 内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线l 的方程．19．（本小题满分13分）已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，定义：若对给定的实数(0)a a ≠，函数()y f x a =+与1()y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”． （1）判断函数2()(1)1,[2,1]g x x x =++∈--是否满足“1和性质”，并说明理由； （2）若()F x kx b =+，其中0,k x R ≠∈满足“2和性质”，则是否存在实数a ，使得()2(9)cos sin (1)F F a F θθ<+<对任意的(0,)θπ∈恒成立？若存在，求出a 的范围；若不存在，请说明理由．已知椭圆22222221(0,)x y a b c a b c a b+=>>>=+的左、右焦点分别为F 1,F 2，若以F 2为圆心，b c -为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT|的最小值不小于3()2a c -． （1）求椭圆的离心率e 的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F 2与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为k （k>0）的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，若OA OB ⊥，求直线l 被圆F 2截得的弦长s 的最大值．21．（本小题满分14分）已知曲线:4,:4()x x n n C y C y n N +*==∈，从C 上的点(,)n n n Q x y 作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点111(,)n n n Q x y +++，设111,,n n n x a x x +==-1n n ny b y +=． （1）求数列{x n }的通项公式； （2）记4n n nc a b =，数列{}n c 的前n 项和为S n ，试比较S n 与3732的大小()n N *∈；（3）记2352(1)nn n n d b +⨯=⨯-，数列{d n }的前n 项和为T n ，试证明：21(21)n n n d T --⋅≤2155[1()]38n -⨯-≤．参考答案1．B 2．B 3．D 4．A 5．A 6．C 7．B 8．A 9．C 10．B 11．48 12．1213．1(0,)4a 14．12 15．①③ 16．解：（1）依题意知：2b ac =，由余弦定理得：222113cos ()2224a cb ac B ac c a +-==⨯+-=， （3分）而2c q a =，代入上式得22q =或212q =，又在三角形中,,a b c 0>， 2q ∴=或22q =； （6分） （2）2422||,40x x x x <∴-<，即22(4)0,22x x x -<∴-<<且0x ≠，（8分） 又x N ∈，所以{}11,1A a =∴=，1(2)n n a -=或12()2n n a -=．（10分） 17．解：依题意知：(sin ,1),(cos ,0),(sin ,2)A B C ααα-，设点P 的坐标为(,)x y ，则：sin 1cos ,01111x yαα++==++，所以2cos sin ,1x y αα=-=-，点P 的坐标为(2cos α-sin ,1)α-．（2分） （1）(sin cos ,1),(2sin ,1)PB CA ααα=-=-，2()2sin f PB CA αα∴=⋅=-2sin cos 1αα-(sin 2cos 2)αα=-+=2sin(2)4πα-+，（4分）由52(0,)44ππα+∈可知函数()f α的单调递增区间为(,)82ππ， 单调递减区间为(,)88ππ-， （6分）所以2sin(2)(,1]42πα+∈-，其值域为[2,1)-；（8分） （2）由,,O P C 三点共线得41(sin )2(2cos sin ),tan 3αααα-⨯-=⨯-∴=，（10分）∴2222sin cos 2tan 24sin 2sin cos 1tan 25ααααααα===++，∴2||(sin cos )1OA OB αα+=++=74sin 225α+=．（12分） 18．解：方程20x ax b ++=的两根在区间(0,1)和(1,3)上的几何意义是：函数2()y f x x ==ax b ++与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,3)内，由此可得不等式组(0)0(1)0(3)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即010390b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩，则在坐标平面aOb 内，点(,)a b 对应的区域S 如图阴影部分所示，易得图中,,A B C 三点的坐标分别为(4,3),(3,0),(1,0)---，（4分）（1）令2z a b =-，则直线2b a z =-经过点A 时z 取得最小值，经过点C 时z 取得最大值，即min max 11,2z z =-=-， 又,,A B C 三点的值没有取到， 所以112z -<<-；（8分）（2）过点(5,1)-的光线经x 轴反射后的 光线必过点(5,1)--，由图可知可能满足条件的整点为(3,1),(3,2),(2,2),(2,1)----，再结合不等式知点(3,1)-符合条件，所以此时直线方程为：1(1)1(5)3(5)y x --+=⋅+---，即4y x =+．（12分）19．解：（1）函数2()(1)1,[2,1]g x x x =++∈--的反函数是1()11g x x -=---，[1,2]x ∈，1(1)1,[0,1]g x x x -∴+=--∈，而2(1)(2)1,[3,2]g x x x +=++∈--，其反函数为21,[1,2]y x x =---∈, 故函数2()(1)1,[2,1]g x x x =++∈--不满足“1和性质”；（6分）（2）设函数()F x kx b =+满足“2和性质”，0.k ≠1(),,x bF x x R k --∴=∈12(2)x b F x k -+-+=，而(2)(2),F x k x b x R +=++∈，得反函数2x b ky k--=． 由“2和性质”定义可知2x b k +-=2x b kk --对x R ∈恒成立，1,,k b R ∴=-∈即函数()F x x b =-+，x R ∈，在(,)-∞+∞上递减，（9分） 所以假设存在实数a 满足2(9)(cos F F θ<+sin )(1)a F θ<， 即21cos sin 9a θθ<+<对任意的()0,θπ∈恒成立，它等价于22800t at t at ⎧-+>⎨-<⎩在(]0,1t ∈上恒成立．280t at -+>，(]0,1t ∈⇔8a t t<+，易得9a <．而20t at -<知a t >，所以1a >．综合以上有当19a <<使得()2cos sin 3f a θθ+<对任意的()0,θπ∈恒成立．（13分）20．解：（1）依题意设切线长222||||()PT PF b c =--，∴当且仅当2||PF 取得最小值时||PT 取得最小值，而2min ||PF a c =-，（2分）223()()()2a c b c a c ∴----≥，102b c a c -∴<-≤，从而解得3252e <≤， 故离心率e 的取值范围是3252e <≤；（6分） （2）依题意Q 点的坐标为(1,0)，则直线的方程为(1)y k x =-，联立方程组 222(1)1y k x x y a=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得22222222(1)20a k x a k x a k a +-+-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有22122221a k x x a k +=+，22212221a k a x x a k -=+，代入直线方程得2121212[()1]y y k x x x x =-++2222(1)1k a a k -=+，221212221k a x x y y a k -+=+，又OA OB ⊥，2212120,0,OA OB x x y y k a ∴=∴+=∴=，（10分）k a ∴=，直线的方程为0ax y a --=，圆心2F (,0)c 到直线l 的距离2||1ac a d a -=+，由图象可知2222222|1|212142221912121221d c c c c c s a a c a c c --+-+=====-+++++-+， ∴3252e <≤，351,21342c c ∴<+<≤≤， ∴241(0,]41s ∈，所以max 24141s =．（14分） 21．解：（1）依题意点n P 的坐标为1(,)n n x y +，1144n n x n x n y +++∴==，1n n x x n +∴=+，（2分） 1211(2)(1)12(1)(1)1.(4)2n n n x x n x n n x n n n --∴=+-=+-+-==++++--=+分（2）114n n c n -=⋅，由137132S =<，2193718832S =+=<，311553718484832S =++=<， ∴当3n >时，211111124344n n S n -=++++⨯⨯⨯ 231221111112434343411(1)119114411838369414n n n ---<+++++⨯⨯⨯⨯⨯-=++⨯=+-⨯- 1911378329432n -<+-=⨯；（8分） （3）2352(41)nn n n d +⨯=⨯-，所以易证：158n n d d +<， ∴当2n ≥时，211215555()()()8888n n n n n d d d d ---<<<<=，221211221555()()888n n n T d d d ---∴=+++++=≤2155[1()]38n -⨯-， （当1n =时取“=”）．（11分）另一方面，当2,1,2,21n k n =-≥时，有：235[42(41)k k n k k k d d -+=⨯+⨯-2225]2(41)n k n k n k ---⨯- 2222222355242(41)2(41)325142(41)(41)651.24441k n kk k n k n k nnk n k nn n k n k ----+-⨯⨯⨯-⨯-⨯⨯=⨯--⨯=--+≥ 又222224424,44414241(41)k n k n n k n k n n n --+⨯∴--+-⨯+=-≥≤，226512241n k n k n n n d d d -+⨯∴+⨯=-≥，211(21)2(21)2n n n T n d n d -⨯-⨯=-⨯≥． 所以对任意的N n *∈，都有21(21)n n n d T --≤2155[1()]38n -⨯-≤．（14分）。