人教版高三数学(理)一轮总复习PPT课件：7-7 空间向量在立体几何中的应用
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高考理科数学(人教A版)一轮复习课件87空间几何中的向量方法
C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1).
(1)因为几何体是直三棱柱,
所以侧棱AA1⊥底面A1B1C1.
因为1 =(2,0,0),=(0,1,1),所以 ·1 =0,即 ⊥ 1 .故 MN
∥平面 A1B1C1.
-20-
考点1
考点2
考点3
(2)设平面 MBC1 与平面 BB1C1C 的法向量分别为
2
2
2
= (0 -1 ) + (20 + 1 -2) + (-30 )
= 2(1 +
0 -2 2
2
) +
小值,即 PQmin=
4
3
27
2
=
ห้องสมุดไป่ตู้
2 2
4
2
8
(0 - 9) + 3,当且仅当 x0=9,x1=9时,PQ 取得最
2 √3
3
.
-12-
知识梳理
考点自诊
5.(2019福建漳州二模,8)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB和
2.平面的法向量的确定:设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 α
· = 0,
的法向量,则求法向量的方程组为
· = 0.
-7-
知识梳理
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)直线的方向向量是唯一确定的. ( × )
(2)平面的单位法向量是唯一确定的. ( × )
设 n=(x,y,z)为平面 PMN 的法向量,
2-4 = 0,
· = 0,
则
即 √5
可取 n=(0,2,1).
+ -2 = 0.
(1)因为几何体是直三棱柱,
所以侧棱AA1⊥底面A1B1C1.
因为1 =(2,0,0),=(0,1,1),所以 ·1 =0,即 ⊥ 1 .故 MN
∥平面 A1B1C1.
-20-
考点1
考点2
考点3
(2)设平面 MBC1 与平面 BB1C1C 的法向量分别为
2
2
2
= (0 -1 ) + (20 + 1 -2) + (-30 )
= 2(1 +
0 -2 2
2
) +
小值,即 PQmin=
4
3
27
2
=
ห้องสมุดไป่ตู้
2 2
4
2
8
(0 - 9) + 3,当且仅当 x0=9,x1=9时,PQ 取得最
2 √3
3
.
-12-
知识梳理
考点自诊
5.(2019福建漳州二模,8)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB和
2.平面的法向量的确定:设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 α
· = 0,
的法向量,则求法向量的方程组为
· = 0.
-7-
知识梳理
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)直线的方向向量是唯一确定的. ( × )
(2)平面的单位法向量是唯一确定的. ( × )
设 n=(x,y,z)为平面 PMN 的法向量,
2-4 = 0,
· = 0,
则
即 √5
可取 n=(0,2,1).
+ -2 = 0.
《高考数学第一轮复习课件》第64讲 空间向量在立体几何中的应用
③若n1·2=0,则α⊥β;④若n1· n n2=0,则α∥β. 其中正确的是( A ) A.①③ C.②③ B.①② D.②④
3.在二面角α-l-β中，平面α的法向量为n，平 面β的法向量为m.若〈n,m〉=130°，则二 面角α-l-β的大小为( ) C A.50° B.130° C.50°或130° D.可能与130°毫无关系
5.已知三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别是 P(-1,0,0)，A（0，1，0），B（-4，0， 0），C（0，0，2），则该三棱锥底面 ABC上的高h= 21 .
7
AC=(0,-1,2).
由已知, AP =(-1,-1,0), AB =(-4,-1,0),
设平面ABC的法向量n=(x,y,z),
(2) B1F =(-2,2,-4), EF =(2,-2,-2), AF =(2,2,0)， EF B1F· =(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0， 则 B1F ⊥ EF ，所以B1F⊥EF， AF B1F · =(-2)×2+2×2+(-4)×0=0， 则 B1F ⊥ AF，所以B1F⊥AF.
2.立体几何中的向量方法 (1)线线关系：若不重合的两直线AB、 CD的方向向量分别为 AB 、 . CD 一般关系：设直线AB与CD所成的角为 θ (θ∈[0, ]2)，则cosθ=|cos〈 ,AB CD 〉| =① ②
特殊关系:(ⅰ)AB⊥CD AB ⊥CD
| n B1C | | 1 1| = = = 6， 3 2 | n | | B1C | 3
(1)证明：以D为坐标原点建立空间直角 坐标系，如图. 1 1 则M( 2 ,1,0),N(0, 2 ,1)， A1(1,0,1),C1(0,1,1),C(0,1,0), B(1,1,0),B1(1,1,1), 1 1 所以 MN =(- 2 ,- 2 ,1). 在正方体中，易知有A1C1⊥平面B1D1DB， AC 故 1=(-1,1,0)是平面B1D1DB的一个法向量. 1 AC1· =(-1,1,0)· 1 ,- 1 ,1)=0, 又 1 (- 2 2 MN 所以AC1⊥MN . 1 显然MN平面B1D1DB,故MN∥平面B1D1DB.
3.在二面角α-l-β中，平面α的法向量为n，平 面β的法向量为m.若〈n,m〉=130°，则二 面角α-l-β的大小为( ) C A.50° B.130° C.50°或130° D.可能与130°毫无关系
5.已知三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别是 P(-1,0,0)，A（0，1，0），B（-4，0， 0），C（0，0，2），则该三棱锥底面 ABC上的高h= 21 .
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AC=(0,-1,2).
由已知, AP =(-1,-1,0), AB =(-4,-1,0),
设平面ABC的法向量n=(x,y,z),
(2) B1F =(-2,2,-4), EF =(2,-2,-2), AF =(2,2,0)， EF B1F· =(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0， 则 B1F ⊥ EF ，所以B1F⊥EF， AF B1F · =(-2)×2+2×2+(-4)×0=0， 则 B1F ⊥ AF，所以B1F⊥AF.
2.立体几何中的向量方法 (1)线线关系：若不重合的两直线AB、 CD的方向向量分别为 AB 、 . CD 一般关系：设直线AB与CD所成的角为 θ (θ∈[0, ]2)，则cosθ=|cos〈 ,AB CD 〉| =① ②
特殊关系:(ⅰ)AB⊥CD AB ⊥CD
| n B1C | | 1 1| = = = 6， 3 2 | n | | B1C | 3
(1)证明：以D为坐标原点建立空间直角 坐标系，如图. 1 1 则M( 2 ,1,0),N(0, 2 ,1)， A1(1,0,1),C1(0,1,1),C(0,1,0), B(1,1,0),B1(1,1,1), 1 1 所以 MN =(- 2 ,- 2 ,1). 在正方体中，易知有A1C1⊥平面B1D1DB， AC 故 1=(-1,1,0)是平面B1D1DB的一个法向量. 1 AC1· =(-1,1,0)· 1 ,- 1 ,1)=0, 又 1 (- 2 2 MN 所以AC1⊥MN . 1 显然MN平面B1D1DB,故MN∥平面B1D1DB.
高三一轮总复习理科数课件：-空间向量的运算及应用 .ppt..
(6)错误．充要条件应为 a 与 b 反向且|a|≥|b|.
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
你是我心中最美的云朵
13
2．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量D→1A，D→1C，A→1C1是(
)
A．有相同起点的向量
B．等长向量
C．共面向量
D．不共面向量
解析：A→1C1＝A→C，又∵AC，D1A，D1C 共面，∴A→C，D→1A，D→1C共面，即A→1C1，
你是我心中最美的云朵
11
「基础小题练一练」 1．判断下列结论是否正确．(打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量 a，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( ) (3)对于非零向量 b，若 a·b＝b·c，则 a＝c.( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) (5)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.( ) (6)|a|－|b|＝|a＋b|是 a，b 共线的充要条件．( )
(1)求证：BC⊥AM； (2)若 M，N 分别是 CC1，AB 的中点，求证：CN∥平面 AB1M. (3)若二面角 A－MB1－C 的大小为π4，求线段 C1M 的长．
你是我心中最美的云朵
34
解：(1)证明：∵CC1⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴CC1⊥BC. ∵AC＝BC＝2，AB＝2 2， ∴△ABC 中，AC2＋BC2＝8＝AB2， ∴BC⊥AC. ∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面 ACC1A1. ∵AM⊂平面 ACC1A1， ∴BC⊥AM.
2019高三一轮总复习
数 学（理）
提高效率 ·创造未来 ·铸就辉煌
高三数学总复习空间向量在立体几何中的应用PPT课件
如图所示，以 B 为坐标原点， ，
， 的方向分
别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．
设 PE＝x(0<x<4)，
又∵AB＝BC＝4，∴BE＝4－x，EF＝x.
在 Rt△PED 中，∠PED＝60°，
∴PD＝ 23x，DE＝12x，
∴BD＝4－x－12x＝4－32x，
∴C(4,0,0)，F(x,4－x,0)，P0，4－32x， 23x.
(2)由(1)的证明，可知 ED⊥DB，A1D⊥平面 BCED. 以 D 为坐标原点，以射线 DB、DE、DA1 分别为 x 轴、y 轴、 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，如图．
设 PB＝2a(0≤2a≤3)，作 PH⊥BD 于点 H，连接 A1H、A1P，
则 BH＝a，PH＝ 3a，DH＝2－a.
解：(1)证明：因为等边△ABC 的边长为 3，且ADDB＝ECAE＝12， 所以 AD＝1，AE＝2.在△ADE 中，∠DAE＝60°， 由余弦定理得， DE＝ 12＋22－2×1×2×cos 60°＝ 3. 因为 AD2＋DE2＝AE2，所以 AD⊥DE. 折叠后有 A1D⊥DE. 因为二面角 A1-DE-B 是直二面角， 所以平面 A1DE⊥平面 BCED. 又平面 A1DE∩平面 BCED＝DE，A1D⊂平面 A1DE，A1D⊥ DE，所以 A1D⊥平面 BCED.
3a 4a2－4a＋5×
2.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB＝4，AD＝3， AA1＝2.E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB＝FB＝1.
(1)求二面角 C-DE-C1 的正切值； (2)求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值．
[例 3] 如图，在 Rt△ABC 中，AB ＝BC＝4，点 E 在线段 AB 上．过点 E 作 EF ∥BC 交 AC 于点 F，将△AEF 沿 EF 折起 到△PEF 的位置(点 A 与 P 重合)，使得∠PEB＝60°.
高三数学空间向量及应用PPT教学课件
样题4:
如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=2,AA1=1， 直线BD与平面AA1BB1所成的角为300，AE垂直BD于E, F为A1B1的中点． （Ⅰ）求异面直线AE与BF所成的角；
（Ⅱ）求平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的大小；
（Ⅲ）求点A到平面BDF的距离
A1
D1
F B1
线和平面所成的角,二面角及其平面角,点到 平面的距离
知识整合: 用空间向量可以解决的立体几何问题有: ㈠利用两个向量共线的条件和共面向量定理,可以 证明有关线线平行,线面平行,面面平行问题
㈡利用两个向量垂直的充要条件可以证明有关线 线,线面,面面垂直问题
㈢利用两个向量的夹角公式可以求解有关角的问 题
PBC所成角的大小；
P
D
C
A
O
B
热点题型3: 二面角及点到面的距离的求法
如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的 正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. （Ⅰ）求证AE⊥平面BCE； （Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小； （Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.
D
C
AF
B
E
㈣利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以 求解有关的距离问题
热点题型1: 求异面直线所成的角角
D1 A1
D A
C1 B1
C B
热点题型2: 求直线与平面所成的角角
如＝面图 A12 BP，CA在．，三点棱O、锥DP－分A别B是C中AC，、APBC⊥的B中C，点A，BO＝PB⊥C底
(Ⅰ)求证OD∥平面PAB (Ⅱ) 求直线OD与平面
课时考点17 空间向量及其应用
高考考纲透析： 线线,线面,面面的平行与垂直,空间角与距离,棱柱,棱 锥,球,空间向量
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习课件第七章 第六节 空间向量及其运算ppt版本
知识点一
知识点一 知识点二
3．两个向量的数量积 (1)非零向量 a，b 的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
知识点一
知识点一 知识点二
易误提醒 (1)共线向量与共面向量区别时注意，平行于同一 平面的向量才能为共面向量． (2)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． (3)由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 故 0 不能作为基向量． (4)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
知识点一
知识点一 知识点二
空间向量的有关概念
1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有__大__小__和__方__向_的量叫作空间向 量，其大小叫作向量的_长__度__或 模 ． (2)相等向量：方向 相同 且模 相等 的向量． (3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 平行 或 重合 ，则这些向量叫作 共线向量 或平行向量 ，a平行于b 记作 a∥b . (4)共面向量：平行于同一 平面 的向量叫作共面向量．
若 a∥b，则 λ 与 μ 的值可以是( A )
A．2，21
B．－13，21
C．－3,2
D．2,2
6＝kλ＋1， ∴ 2μ－1＝0，
2λ＝2k，
解得
λ＝2， λ＝－3， μ＝12， 或μ＝21.
知识点二
知识点一 知识点二
空间向量的坐标表示及其应用 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
→→→→ (OA＋OB＋OC＋OD)．
试题
证明
高考一轮复习理科数学课件空间向量的应用
• 例题2：已知向量$\mathbf{m}=(2,-1,3)$，$\mathbf{n}=(-4,2,x)$， 且$\mathbf{m}\perp \mathbf{n}$，求$x$的值。
04
空间向量位置关系判断
平行关系判断方法
方向相同或相反
如果两个向量的方向相同或相反 ，则它们是平行的。这可以通过
典型例题分析与解答
01
02
例题1
例题2
力学问题中力的合成与分解。通过向 量的加法和数乘运算，求解多个力的 合成和分解问题，得出物体所受的合 力和分力大小和方向。
电磁学问题中电荷在电场和磁场中的 运动。通过场强和磁感应强度的向量 表示，求解电荷在电场和磁场中的受 力和运动轨迹等问题。
03
例题3
几何问题中点到平面的距离和两平面 间的夹角。通过向量的模长、点积和 外积运算，求解点到平面的距离、两 平面间的夹角以及二面角的平面角等 问题。
高考一轮复习理科数学课件空间向量 的应用
汇报人：XX 2024-02-05
contents
目录
• 空间向量基本概念与性质 • 空间向量线性运算 • 空间向量数量积与夹角余弦值计算 • 空间向量位置关系判断 • 空间向量在解决实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
空间向量基本概念与性质
向量定义及表示方法
解决垂直、平行问题
利用向量的垂直、平行关系可以解决空间 中的垂直、平行问题，如判断直线与平面 是否垂直、两直线是否平行等。
03
空间向量数量积与夹角余弦值 计算
数量积定义及性质
数量积定义
两向量的数量积是一个标量，等于两向量的模长与它们夹角的余弦值 的乘积。
性质1
两向量垂直时，它们的数量积为0。
04
空间向量位置关系判断
平行关系判断方法
方向相同或相反
如果两个向量的方向相同或相反 ，则它们是平行的。这可以通过
典型例题分析与解答
01
02
例题1
例题2
力学问题中力的合成与分解。通过向 量的加法和数乘运算，求解多个力的 合成和分解问题，得出物体所受的合 力和分力大小和方向。
电磁学问题中电荷在电场和磁场中的 运动。通过场强和磁感应强度的向量 表示，求解电荷在电场和磁场中的受 力和运动轨迹等问题。
03
例题3
几何问题中点到平面的距离和两平面 间的夹角。通过向量的模长、点积和 外积运算，求解点到平面的距离、两 平面间的夹角以及二面角的平面角等 问题。
高考一轮复习理科数学课件空间向量 的应用
汇报人：XX 2024-02-05
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目录
• 空间向量基本概念与性质 • 空间向量线性运算 • 空间向量数量积与夹角余弦值计算 • 空间向量位置关系判断 • 空间向量在解决实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
空间向量基本概念与性质
向量定义及表示方法
解决垂直、平行问题
利用向量的垂直、平行关系可以解决空间 中的垂直、平行问题，如判断直线与平面 是否垂直、两直线是否平行等。
03
空间向量数量积与夹角余弦值 计算
数量积定义及性质
数量积定义
两向量的数量积是一个标量，等于两向量的模长与它们夹角的余弦值 的乘积。
性质1
两向量垂直时，它们的数量积为0。
人教a版高考数学(理)一轮课件：8.7空间向量的应用
=
1
= ,
2
即 <m , n>= 45° , 其补角为 135° , ∴ 这两个平面所成的二面角为 45° 或 135° .
3. (2012·陕西卷 , 5 )如图 , 在空间直角坐标系中有直三棱柱 AB C-A 1B 1 C 1 , C A=CC 1 =2CB , 则直线 B C 1与直线 AB 1夹角的余弦值为(
������1 ·������2
|������1 ||������2|
.
5. 空间中的距离( 选学内容, 部分省份不要求) (1) 点面距离公式: P 为平面 α外一点, a, n 分别为平面 α的斜向量和法向 量, d 为 P 到 α的距离, 则 d=| a| ·| cos<a , n>| = (2) 线面距离转化为点面距离; (3) 面面距离转化为点面距离.
|������ ·������| ; |������|
(1 ) 利用向量解立体几何题的一般方法: 把线段或角度转 化为向量表示, 用已知向量表示未知向量, 然后通过向量的运算或证明去 解决问题. 在这里, 恰当地选取基底可使向量运算简捷, 或者是建立空间直 角坐标系, 使立体几何问题转化为代数问题, 熟练、准确地写出空间中任一 点的坐标是解决问题的基础. (2)利用坐标运算解决立体几何问题, 降低了推理难度, 可以避开一些 较复杂的线面关系, 但较复杂的代数运算也容易导致出错. 因此 , 在解决问 题时, 可以灵活地选用解题方法, 不要生搬硬套.
1. 直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1) 直线的方向向量: 在直线上任取一非零向量作为它的方向向量. (2) 平面的法向量可利用方程组求出: 设 a, b 是平面 α内两不共线向量, n 为平面 α的法向量, 则求法向量的方程组为 ������·������ = 0, ������·������ = 0.
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数学
→ 的方向为 x 轴的正方向，|AP → |为 如图，以 A 为坐标原点，AB 单 位 长 度 ，建 立 空 间直 角 坐 标系 Axyz ， 则 D(0 ， 3 ， 0) ，
E 0， 3 1 3 1 → ， ，AE＝0， ， . 2 2 2 2
第16页
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数学
考点一 求异面直线所成的角 命题点 异面直线所成角的位置与范围 设两条异面直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 θ，则 |a· b| cos φ＝|cos θ |＝ |a ||b | (其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)．
θ∈[0，π]
π ，φ∈0，2.
n1＝ 3 ，－1， 3. m
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数学
又 n2＝(1,0,0)为平面 DAE 的一个法向量，由题设知 1 |cos〈n1，n2〉|＝2，即 3 1 3 2＝ ，解得 m＝ . 2 3＋4m 2
1 因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥 EACD 的高为2. 1 1 3 1 3 所以三棱锥 EACD 的体积 V＝3×2× 3×2×2＝ 8 .
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数学
2．(2016· 高考全国丙卷)如图，四棱锥 PABCD 中，PA⊥底 面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点．
(1)证明 MN∥平面 PAB； (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值．
第10页
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数学
2y－4z＝0， 即 5 x＋y－2z＝0. 2 可取 n＝(0,2,1)． →| 8 5 | n · AN → 〉|＝ 于是|cos〈n，AN ＝ . 25 →| |n||AN 8 5 所以直线 AN 与平面 AMN 所成角的正弦值为 . 25
第11页
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数学
第8页
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数学
(2)如图，取 BC 的中点 E，连接 AE.由 AB＝AC 得 AE⊥BC，从而 AE⊥AD， 且 AE＝ AB2－BE2 ＝ AB
2
BC2 － 2 ＝
5.
第9页
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Hale Waihona Puke 学→ ，AD → ，AP → 的方向为 x 轴，y 轴，z 以 A 为坐标原点，分别以AE 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz. 由题意知， P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(
第7页
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数学
2 解：(1)证明：由已知得 AM＝3AD＝2. 如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 1 TN∥BC，TN＝2BC＝2. 又 AD∥BC，故 TN∥ ═AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于 是 MN∥AT. 因为 AT⊂平面 PAB，MN⊄平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB.
→ ＝(m， 3，0)． 设 B(m,0,0)，(m＞0)，则 C(m， 3，0)，AC
第14页
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数学
设 n1＝(x，y，z)为平面 ACE 的法向量， mx＋ 3y＝0， → n1· AC＝0， 则 即 3 1 → ＝0， y＋ z＝0， AE n1· 2 2 可取
第17页
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数学
1．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 和 N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值 为 ．
3．(2014· 高考课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥 PABCD 中，底 面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点．
(1)证明：PB∥平面 AEC； (2)设二面角 DAEC 为 60° ，AP＝1，AD＝ 3，求三棱锥 EACD 的体积．
第12页
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数学
解：(1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 EO. 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点． 又 E 为 PD 的中点，所以 EO∥PB. 因为 EO⊂平面 AEC，PB⊄平面 AEC，所以 PB∥平面 AEC. (2)因为 PA⊥平面 ABCD， 且四边形 ABCD 为矩形， 所以 AB， AD，AP 两两垂直．
数学
解析：选 C.由题意，以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间 直角坐标系．
令 BC＝CA＝CC1＝2，则 C(0,0,0)，A(0,2,0)， B(2,0,0)，A1(0,2,2)，B1(2,0,2)，C1(0,0,2)．因为 M， →＝ N 分别为 A1B1，A1C1 的中点，所以 M(1,1,2)，N(0,1,2)，这时BM →· → BM AN 30 → → → (－1,1,2)， AN＝(0， －1,2)， 所以 cos 〈BM， AN〉 ＝ ＝ ， 10 → → |BM||AN| 30 所以 BM 与 AN 所成角的余弦值为 ，故选 C. 10
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把脉高考 理清考情
考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
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第 7 课时
空间向量在立体几何中的应用
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数学
1.以常见几何体为背景的空间角(异面直线所成的 考纲 角、直线与平面所成的角、二面角)的计算. 点击 2.以三视图、平面的翻折为背景的空间角的计算. 3.以几何体为背景的点到面的距离的计算.
5，2,0)，N 5 ，1，2. 2
5 5 → → → PM＝(0,2，－4)，PN＝ ，1，－2，AN＝ ，1，2 . 2 2
设 n＝(x，y，z)为平面 PMN 的法向量， → ＝0， n· PM 则 → ＝0. n · PN
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1 ． (2014· 高考新课标全国卷 Ⅱ) 直三棱柱 ABCA1B1C1 中， ∠BCA＝90° ，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1， 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( 1 A.10 30 C. 10 2 B.5 2 D． 2 )
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